Xem mẫu

  1. KỲ THI OLYMPIC TRUY N TH NG 30/4 L N TH XIII T I THÀNH PH HU THI MÔN TOÁN L P 10 Th i gian làm bài: 180 phút Chú ý: M i câu h i thí sinh làm trên 01 t gi y riêng bi t Câu 1 (4 i m). Gi i h phương trình:  2 2 8 xy  x + y + x + y = 16   x + y = x2 − y  Câu 2 (4 i m). Cho các s th c a, b, x, y tho mãn i u ki n ax − by = 3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c F = a 2 + b 2 + x 2 + y 2 + bx + ay . Câu 3 (4 i m). Cho tam giác ABC có các góc A, B th a i u ki n: 3A 3B A− B sin + sin = 2 cos . 2 2 2 Ch ng minh tam giác ABC là tam giác u. Câu 4 (4 i m). Cho t giác l i ABCD. Xét M là i m tùy ý. G i P, Q, R, S là các i m sao cho: MB + MC + MD = 4 MP ; MC + MD + MA = 4 MQ ; MD + MA + MB = 4 MR ; MA + MB + MC = 4 MS . Tìm v trí c a i m M sao cho PA = QB = RC = SD. Câu 5 (4 i m). Trong m t ph ng t a cho m t ngũ giác l i có các nh là nh ng i m có t a nguyên. Ch ng minh r ng bên trong ho c trên c nh ngũ giác có ít nh t m t i m có t a nguyên. -------------------H T--------------------- Ghi chú: Cán b coi thi không gi i thích gì thêm
  2. áp án Toán 10 N I DUNG I M Câu 1: Gi i h phương trình:  2 2 8xy x + y + x + y = 16 (1)   x + y = x2 − y ( 2)  * i u ki n: x + y > 0 0,5 * (1) ⇔ (x2 + y2)(x + y) + 8xy = 16(x + y) 1 ⇔ [(x + y)2 – 2xy ] (x + y) – 16(x + y) + 8xy = 0 ⇔ (x + y)3 – 16(x + y) – 2xy(x + y) + 8xy = 0 ⇔ (x + y)[(x + y)2 – 16] – 2xy(x + y – 4) = 0 ⇔ (x + y – 4)[(x + y)(x + y + 4) – 2xy] = 0 x + y − 4 = 0 (3) 0,5 ⇔  2 2  x + y + 4(x + y) = 0 (4) T (3) ⇒ x + y = 4, th vào (2) ta ư c: 1  x = −3 ⇒ y = 7 x2 + x – 4 = 2 ⇔ x2 + x – 6 = 0 ⇔  . x = 2 ⇒ y = 2 (4) vô nghi m vì x2 + y2 ≥ 0 và x + y > 0. 0,5 V y h có hai nghi m là (–3; 7); (2; 2) 0,5
  3. áp án Toán 10 N I DUNG I M Câu 2: Cho các s th c a , b , x , y th a mãn i u ki n ax − by = 3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c F = a 2 + b 2 + x 2 + y 2 + bx + ay . 2 2 0,5 Vi t l i F =  x +  +  y +  + a 2 + b 2 . b a 3     ( )  2  2 4 t M = (x; y ) , A =  − ; −  , (∆ ) : ax − by = 3 . Ta có 1,5 b a    2 2 2 2  b  a 3 MA =  x +  +  y +  . Mà M ∈ (∆ ) nên MA 2 ≥ [d ( A; ∆ )] = 2 2 2 .  2  2 a + b2 ng th c x y ra khi M là hình chi u c a A trên (∆ ) . 3 3 3 3 1 Suy ra F ≥ 2 a +b 2 4 ( + a2 + b2 ≥ 2 2 )2 a +b 4 . a2 + b2 = 3 .( ) V y min F = 3 t ư c ch ng h n khi 1   (a; b; x; y ) =  2 ; 0; 6 ; − 2  .   2 2  
  4. áp án Toán 10 N I DUNG I M Câu 3: Cho tam giác ABC có các góc A, B th a i u ki n : sin  3A   3B   A− B   + sin   = 2cos  .  2   2   2  Ch ng minh tam giác ABC là tam giác u. Ta có: sin( 3A ) + sin( 3B ) = 2 sin( 3( A + B) ) cos( 3( A − B) ) . 1 2 2 4 4 1 ≥ sin( 3( A + B ) ) > 0; cos( A − B ) > 0 4 2 0≤ A− B ≤ 3A− B 0 1 2 2 2 2 Suy ra : 2sin( 3( A + B) )cos( 3( A − B) ) >0 4 4 Hay cos( 3( A − B ) )>0. 4 K t h p v i sin( 3( A + B) ) ≤ 1, ta có sin( 3( A + B) )cos( 3( A − B) ) ≤ cos( 3( A − B) ) 1 4 4 4 4 Do ó: 2 sin( 3( A + B) )cos( 3( A − B) ) ≤ 2cos( 3( A − B) ) ≤ 2cos( A − B ) 4 4 4 2 Vì v y n u sin( 3A ) + sin( 3B ) = 2cos( A − B ) thì ph i có: 1 2 2 2  A− B 3A− B   2 = π  4 ⇔A=B= .  sin( 3( A + B) ) = 1 3   4 V y tam giác ABC là tam giác u.
  5. áp án Toán 10 N I DUNG I M Câu 4: Cho t giác l i ABCD. Xét M là i m tùy ý. G i P, Q, R, S là các i m sao cho MB + MC + MD = 4MP ; MC + MD + MA = 4MQ MD + MA + MB = 4MR ; MA + MB + MC = 4MS Tìm v trí c a i m M sao cho PA = QB = RC = SD. Gi s có i m M th a bài toán. G i G là i m sao cho 0,5 5MG = MA + MB + MC + MD . T MB + MC + MD = 4MP , ta có 4 PA = 5GA . 1 Tương t 4QB = 5GB , 4 RC = 5GC , 4SD = 5GD . Do ó PA = QB = RC = SD ⇔ GA = GB = GC = GD. 1 N u ABCD là t giác n i ti p ư c trong ư ng tròn tâm O thì G 1 trùng O và M là i m duy nh t xác nh b i ( ) OM = − OA + OB + OC + OD . Ki m tra l i th y th a PA = QB = RC = SD. N u ABCD không ph i là t giác n i ti p ư c trong ư ng tròn thì 0,5 không t n t i i m M.
  6. áp án Toán 10 N I DUNG I M Câu 5: Trong m t ph ng t a cho m t ngũ giác l i có các nh là nh ng i m có t a nguyên. Ch ng minh r ng bên trong ho c trên c nh ngũ giác có ít nh t m t i m có t a nguyên. Coi nh Ai (xi; yi), i = 1, 2, 3, 4, 5. 1,5 (xi; yi) có th rơi vào nh ng trư ng h p sau: (2k; 2k’), (2k; 2k’+1), (2k+1; 2k’ + 1), ( 2k +1; 2k’) v i k, k’ ∈ Z Do a giác có 5 nh nên theo nguyên lí i rich lê, có ít nh t 2 nh 1,5 có t a thu c m t trong b n ki u trên. Khi ó trung i m c a o n n i 2 nh y s có t a nguyên. 1 Do ngũ giác là l i nên i m này mi n trong ho c trên c nh c a ngũ giác ó.