Xem mẫu
- KỲ THI OLYMPIC TRUY N TH NG 30/4
L N TH XIII T I THÀNH PH HU
THI MÔN TOÁN L P 10
Th i gian làm bài: 180 phút
Chú ý: M i câu h i thí sinh làm trên 01 t gi y riêng bi t
Câu 1 (4 i m).
Gi i h phương trình:
2 2 8 xy
x + y + x + y = 16
x + y = x2 − y
Câu 2 (4 i m).
Cho các s th c a, b, x, y tho mãn i u ki n ax − by = 3 . Tìm giá tr nh
nh t c a bi u th c F = a 2 + b 2 + x 2 + y 2 + bx + ay .
Câu 3 (4 i m).
Cho tam giác ABC có các góc A, B th a i u ki n:
3A 3B A− B
sin + sin = 2 cos .
2 2 2
Ch ng minh tam giác ABC là tam giác u.
Câu 4 (4 i m).
Cho t giác l i ABCD. Xét M là i m tùy ý. G i P, Q, R, S là các i m sao
cho:
MB + MC + MD = 4 MP ; MC + MD + MA = 4 MQ ;
MD + MA + MB = 4 MR ; MA + MB + MC = 4 MS .
Tìm v trí c a i m M sao cho PA = QB = RC = SD.
Câu 5 (4 i m).
Trong m t ph ng t a cho m t ngũ giác l i có các nh là nh ng i m có
t a nguyên. Ch ng minh r ng bên trong ho c trên c nh ngũ giác có ít nh t m t
i m có t a nguyên.
-------------------H T---------------------
Ghi chú: Cán b coi thi không gi i thích gì thêm
- áp án Toán 10
N I DUNG I M
Câu 1: Gi i h phương trình:
2 2 8xy
x + y + x + y = 16 (1)
x + y = x2 − y ( 2)
* i u ki n: x + y > 0 0,5
* (1) ⇔ (x2 + y2)(x + y) + 8xy = 16(x + y) 1
⇔ [(x + y)2 – 2xy ] (x + y) – 16(x + y) + 8xy = 0
⇔ (x + y)3 – 16(x + y) – 2xy(x + y) + 8xy = 0
⇔ (x + y)[(x + y)2 – 16] – 2xy(x + y – 4) = 0
⇔ (x + y – 4)[(x + y)(x + y + 4) – 2xy] = 0
x + y − 4 = 0 (3) 0,5
⇔ 2 2
x + y + 4(x + y) = 0 (4)
T (3) ⇒ x + y = 4, th vào (2) ta ư c: 1
x = −3 ⇒ y = 7
x2 + x – 4 = 2 ⇔ x2 + x – 6 = 0 ⇔ .
x = 2 ⇒ y = 2
(4) vô nghi m vì x2 + y2 ≥ 0 và x + y > 0. 0,5
V y h có hai nghi m là (–3; 7); (2; 2) 0,5
- áp án Toán 10
N I DUNG I M
Câu 2: Cho các s th c a , b , x , y th a mãn i u ki n ax − by = 3 .
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c F = a 2 + b 2 + x 2 + y 2 + bx + ay .
2 2
0,5
Vi t l i F = x + + y + + a 2 + b 2 .
b a 3
( )
2 2 4
t M = (x; y ) , A = − ; − , (∆ ) : ax − by = 3 . Ta có 1,5
b a
2 2
2 2
b a 3
MA = x + + y + . Mà M ∈ (∆ ) nên MA 2 ≥ [d ( A; ∆ )] = 2
2 2
.
2 2 a + b2
ng th c x y ra khi M là hình chi u c a A trên (∆ ) .
3 3 3 3 1
Suy ra F ≥ 2
a +b 2
4
(
+ a2 + b2 ≥ 2 2 )2
a +b 4
. a2 + b2 = 3 .( )
V y min F = 3 t ư c ch ng h n khi 1
(a; b; x; y ) = 2 ; 0; 6 ; − 2 .
2 2
- áp án Toán 10
N I DUNG I M
Câu 3: Cho tam giác ABC có các góc A, B th a i u ki n :
sin
3A 3B A− B
+ sin = 2cos .
2 2 2
Ch ng minh tam giác ABC là tam giác u.
Ta có: sin( 3A ) + sin( 3B ) = 2 sin( 3( A + B) ) cos( 3( A − B) ) . 1
2 2 4 4
1 ≥ sin( 3( A + B ) ) > 0; cos( A − B ) > 0
4 2
0≤ A− B ≤ 3A− B 0 1
2 2 2 2
Suy ra : 2sin( 3( A + B) )cos( 3( A − B) ) >0
4 4
Hay cos( 3( A − B ) )>0.
4
K t h p v i sin( 3( A + B) ) ≤ 1, ta có sin( 3( A + B) )cos( 3( A − B) ) ≤ cos( 3( A − B) ) 1
4 4 4 4
Do ó: 2 sin( 3( A + B) )cos( 3( A − B) ) ≤ 2cos( 3( A − B) ) ≤ 2cos( A − B )
4 4 4 2
Vì v y n u sin( 3A ) + sin( 3B ) = 2cos( A − B ) thì ph i có: 1
2 2 2
A− B 3A− B
2 = π
4 ⇔A=B= .
sin( 3( A + B) ) = 1
3
4
V y tam giác ABC là tam giác u.
- áp án Toán 10
N I DUNG I M
Câu 4: Cho t giác l i ABCD. Xét M là i m tùy ý. G i P, Q, R, S là các
i m sao cho
MB + MC + MD = 4MP ; MC + MD + MA = 4MQ
MD + MA + MB = 4MR ; MA + MB + MC = 4MS
Tìm v trí c a i m M sao cho PA = QB = RC = SD.
Gi s có i m M th a bài toán. G i G là i m sao cho 0,5
5MG = MA + MB + MC + MD .
T MB + MC + MD = 4MP , ta có 4 PA = 5GA . 1
Tương t 4QB = 5GB , 4 RC = 5GC , 4SD = 5GD .
Do ó PA = QB = RC = SD ⇔ GA = GB = GC = GD. 1
N u ABCD là t giác n i ti p ư c trong ư ng tròn tâm O thì G 1
trùng O và M là i m duy nh t xác nh b i
( )
OM = − OA + OB + OC + OD . Ki m tra l i th y th a PA = QB = RC =
SD.
N u ABCD không ph i là t giác n i ti p ư c trong ư ng tròn thì 0,5
không t n t i i m M.
- áp án Toán 10
N I DUNG I M
Câu 5: Trong m t ph ng t a cho m t ngũ giác l i có các nh là nh ng
i m có t a nguyên.
Ch ng minh r ng bên trong ho c trên c nh ngũ giác có ít nh t m t
i m có t a nguyên.
Coi nh Ai (xi; yi), i = 1, 2, 3, 4, 5. 1,5
(xi; yi) có th rơi vào nh ng trư ng h p sau:
(2k; 2k’), (2k; 2k’+1), (2k+1; 2k’ + 1), ( 2k +1; 2k’) v i k, k’ ∈ Z
Do a giác có 5 nh nên theo nguyên lí i rich lê, có ít nh t 2 nh 1,5
có t a thu c m t trong b n ki u trên.
Khi ó trung i m c a o n n i 2 nh y s có t a nguyên. 1
Do ngũ giác là l i nên i m này mi n trong ho c trên c nh c a
ngũ giác ó.
nguon tai.lieu . vn
