Xem mẫu
- NHỊ THỨC NEWTON
1. Công thức Newton
Định lí: (a b)n Cn a n Cna n 1b Cn a n 2b2 ... Cn 1abn 1 Cn bn
0 1 2 n n
2.Nhận xét
Trong khai triển Newton (a+b)n có các tính chất sau
* Gồm có n+1 số hạng
* Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n
*Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
*Các hệ số có tính đối xứng: Cn Cn k
k n
* Số hạng tổng quát : Tk 1 Cn a n k bk
k
VD: Số hạng thứ nhất T1 T01 Cn a n , số hạng thứ k T( k 1) 1 Cn 1a n k 1bk 1
0 k
3. Một số hệ quả
Hq: Ta có : (1 x)n Cn xCn x2Cn ... x nCn
0 1 2 n
Từ khai triển này ta có các kết quả sau
* Cn Cn ... Cn 2n
0 1 n
* Cn Cn Cn ... (1)n Cn 0
0 1 2 n
3. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Xác định các yếu tố trong khai triển như
*Xác định hệ số của xk trong khai triển
* Xác định hệ số không chứa x
PP: Dùng công thức khai triển , khi đó Tk 1 Cn a n k bk
k
40
1
1) Trong khai triển f x x 2 , hãy tìm hệ số của x31
x
18
1
2) Hãy tìm trong khai triển nhị thức x3 3 số hạng độc lập đối với x
x
17
1
3) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 4 x3
3 2
x
7
1
4) Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển của 3 x 4
x
n
1
5) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức của 3 x5 , biết
8
x
Cn 4 Cn 3 7 n 3
n 1 n
x 1 x x 1 x
6) Cho khai triển (2 2 2 3 )n Cn (2 2 )n
0
... Cn (2
n 3 )n (n là số nguyên
dương). Biết trong khai triển đó Cn 5Cn và
3 1
số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm x và n?.
- n
28
7)Trong khai triển nhị thức x 3 x x 15 , hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x ,
n 1 n2
biết rằng Cn Cn Cn 79
n
n
1 1 1
8)Hãy tìm n trong khai triển x 2 x 4 , biết rằng ba hệ số của ba số hạng đầu theo
2
thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
n
3
x
9)Cho biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển nhị thức x 2 x bằng
x
36 . Hãy tìm số hạng thứ 7.
12
x 3
10)Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển
4
3 x
15
11)Tính hệ số của x 25 y10 trong khai triển x3 xy
12) Cho đa thức P x 1 x 1 x ... 1 x
9 10 14
có dạng khai triển là
P x a0 a1 x a2 x 2 ... a14 x14 . Hãy tính hệ số a9 .
13)Cho đa thức P x 1 x 2 1 x 31 x ... 20 1 x
2 3 20
có dạng khai
triển là P x a0 a1 x a2 x 2 ... a20 x 20 . Hãy tính hệ số a15 .
14)Trong khai triển x 1 x 2 x11 a1x10 a2 x9 ... a10 x a11 , hãy tìm hệ
10
số a5 .
5
15)Khai triển 1 x x 2 x3 a0 a1 x a2 x 2 ... a15 x15
a) Hãy tính hệ số a10
b) Tính tổng T a0 a1 ... a15 và S a0 a1 a2 ... a15
10
16) Khai triển 1 2 x 3x 2 a0 a1 x a2 x 2 ... a20 x 20
a) Hãy tính hệ số a4
b) Tính tổng S a1 2a2 4a3 ... 220 a20
8
17) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của 1 x 2 1 x
15
18) Tìm hai hạng tử chính giữa trong khai triển x3 xy
10
1
19)Tìm hạng tử đứng giữa của khai triển 5 3 x
x
-
6
20)Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển 3 15
9
21) Tìm số hạng của khai triển 332 là một số nguyên
124
22)Trong khai triển 345 có bao nhiêu số hạng hữu tỉ.
23) Khai triển đa thức P x 1 2 x a0 a1 x a2 x 2 ... a12 x12 . Tìm hệ số
12
lớn nhất trong khai triển trên. ( Tức là tìm max(a0 , a1 ,..., a12 ) )
10
1 2
24) Trong khai triển x thành đa thức a0 a1 x ... a9 x9 a10 x10 , hãy tìm
3 3
hệ số ak lớn nhất? ( k 0,1,2,, 10 ).
n
25) Biết tổng các hệ số trong khai triển x 2 1 bằng 1024, hãy tìm hệ số a của số
hạng ax12 trong khai triển đó.
26) Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa
thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n-3=26n.
n
Dạng 2: Tính tổng T ak Cnk bk
k 0
PP: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (1 x)n Cn xCn x2Cn ... x nCn , ta
0 1 2 n
chọn những giá trị x thích hợp
Ví dụ 1.Cmr: a)C2n C2n ... C2n C2n C2n ... C2n 1
0 2 2n 1 3 2n
b)CmCn CmCn 1 ... CmCn Cm n
0 k 1 k k 0 k
Ví dụ 2: Tính các tổng sau
1 1 1 2 1
a) Cn Cn Cn ...
0
Cnn
2 3 n 1
b) Cn 2Cn ... nCn
1 2 n
c) 2.1.Cn 3.2Cn 4.3Cn ... n(n 1)Cn
2 3 4 n
d ) C2007 22 C2007 24 C2007 ... 22006 C2007
0 2 4 2006
Ví dụ 3: Tìm số nguyên dương n sao cho: Cn 2Cn 4Cn ... 2n Cn 243
0 1 2 n
Ví dụ 4: Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của
1
( 4 x7 )n , biết C2n 1 C2n 1 ... C2n 1 220 1.
1 2 n
x
Ví dụ 5: Áp dụng khai triển nhi thức Newton của (x2+x)100, chứng minh rằng
1 1 99 1 100 1
100C100 ( )99 101C100 ( )100 ... 199C100 ( )198 200C100 ( )199 0
2 1
2 2 2 2
- 32 1 1 3n 1 1 n
Ví dụ 6: Tính tổng S Cn
0
Cn ... Cn
2 n 1
1
Ví dụ 7: Tính tích phân I x(1 x 2 )n dx và tính tổng
0
1 0 1 1 1 3 1 4 (1) n n
S Cn Cn Cn Cn ... Cn
2 4 6 8 2(n 1)
Bài tập
1
1. Xét khai triển (2 x )20
x
a) Viết số hạng thứ k+1 trong khai triển
b) Số hạng nào trong khai triển không chứa x
2. Xác định hệ số của x4 trong khai triển f ( x) (3x 2 2 x 1)10
3. Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau
28
a ) f ( x) ( x x x
3
biết rằng Cn 1 Cn 2 78 với x>0.
15 ) n n n
1
b) f ( x) ( 3 x 4 )7 với x>0
x
4. Giả sử n là số nguyên dương và (1 x)n a0 a1 x ... an x n . Biết rằng tồn tại số
a a a
nguyên k (1 k n 1)sao cho k 1 k k 1 . Tính n=?
2 9 24
1
5. Tìm hệ số chứa x8 trong khai triển nhị thứ Newton của ( 3 x5 )n , biết rằng
x
n 1
Cn 4 Cn 3 7(n 3)
n
6. Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1-x)]8.
a b
7. Trong khai triển nhị thức ( 3 3 )21 tìm hệ số của số hạng chứa a và b có
b a
số mũ bằng nhau.
22 1 1 2n 1 1 n
8. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng S Cn 0
Cn ... Cn
2 n 1
9. Tìm số nguyên dương n sao cho
2 n 1
C2n 1 2.2C2n 1 3.22 C2n 1 4.23 C2n 1 ... (2n 1)2n C2n 1 2005
1 2 3 4
10. Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của (2-3x)2n, biết n là số nguyên
2 n 1
dương thỏa mãn C2n 1 C2n 1 C2n 1 ... C2n 1 1024 .
1 3 5
11. Giả sử (1 2 x)n a0 a1 x a2 x 2 ... an x n , biết rằng a0 a1 ... an 729 .
Tìm n và số lớn nhất trong các số a0,a1,…,an.
12. Cho tập A có n phần tử . Tìm n biết rằng trong số các tập con của A có đúng 16n
tập con có số phần tử lẻ.
- 13. Tính tổng S Cn 22 Cn ... n2Cn .
1 2 n
1
2.4.6....(2n 2)2n
14. Cho I (1 x 2 )n dx . Hãy tính tổng sau
0
1.3.5....(2n 1)(2n 1)
1 1 1 2 1 3 (1)n n
S 1 Cn Cn Cn ... Cn
3 5 7 2n 1
15. Tính các tổng sau
a) S Cn 23 Cn 33 Cn ... n3Cn
1 2 3 n
22 2 23 3 2n n
b) S Cn Cn
0 1
Cn Cn ... Cn
3 4 n 1
c) S Cn 3n 1 2Cn 3n 2 3Cn 3n 3 ... nCn
1 2 3 n
16. .Vôùi moãi n laø moät soá töï nhieân,haõy tính toång:
1 1 1 2 1 3 1
Cn Cn 2 Cn 22 Cn 23 ...
0
Cn 2n
n
2 3 4 n 1
Bổ sung các tính chất
Chứng minh các đẳng thức sau:
k 1
1) An 1 kAn 1 An
k k
k 1
2)kCn nCn 1
k
k 1
3)Cn 1 Cn 1 Cn
k k
4)Cn 2 2Cn 1 Cn Cn 2
k k k k
(2 k n)
5)Cn 4Cn 1 6Cn 2 4Cn 3 Cn 4 Cn 4 (4 k n)
k k k k k k
1 1 1 n 1
6) mọi n≥2 ta luôn có: 2
2 ... 2
A2 A3 An n
An 1 3 An
4 3
7) Tính giá trị của biểu thức M biết
(n 1)!
Cn 1 2Cn 2 2Cn 3 Cn 4 149
2 2 2 2
2
Cn Cnp n
Cn
8. Tính tổng S Cn
1
2 ... p ... n
1
Cn Cnp 1 Cn 1
n
nguon tai.lieu . vn
