Xem mẫu

  1. NHỊ THỨC NEWTON 1. Công thức Newton Định lí: (a  b)n  Cn a n  Cna n 1b  Cn a n 2b2  ...  Cn 1abn 1  Cn bn 0 1 2 n n 2.Nhận xét Trong khai triển Newton (a+b)n có các tính chất sau * Gồm có n+1 số hạng * Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n *Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n *Các hệ số có tính đối xứng: Cn  Cn  k k n * Số hạng tổng quát : Tk 1  Cn a n  k bk k VD: Số hạng thứ nhất T1  T01  Cn a n , số hạng thứ k T( k 1) 1  Cn 1a n  k 1bk 1 0 k 3. Một số hệ quả Hq: Ta có : (1  x)n  Cn  xCn  x2Cn  ...  x nCn 0 1 2 n Từ khai triển này ta có các kết quả sau * Cn  Cn  ...  Cn  2n 0 1 n * Cn  Cn  Cn  ...  (1)n Cn  0 0 1 2 n 3. Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Xác định các yếu tố trong khai triển như *Xác định hệ số của xk trong khai triển * Xác định hệ số không chứa x PP: Dùng công thức khai triển , khi đó Tk 1  Cn a n  k bk k 40  1  1) Trong khai triển f  x    x  2  , hãy tìm hệ số của x31  x  18  1  2) Hãy tìm trong khai triển nhị thức  x3  3  số hạng độc lập đối với x  x  17  1  3) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển   4 x3  3 2   x  7  1  4) Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển của  3 x  4   x n  1  5) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức của  3  x5  , biết 8 x  Cn  4  Cn  3  7  n  3 n 1 n x 1 x x 1 x   6) Cho khai triển (2 2 2 3 )n  Cn (2 2 )n 0  ...  Cn (2 n 3 )n (n là số nguyên dương). Biết trong khai triển đó Cn  5Cn và 3 1 số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm x và n?.
  2. n   28  7)Trong khai triển nhị thức  x 3 x  x 15  , hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x ,     n 1 n2 biết rằng Cn  Cn  Cn  79 n n  1 1 1  8)Hãy tìm n trong khai triển  x 2  x 4  , biết rằng ba hệ số của ba số hạng đầu theo  2  thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. n  3  x 9)Cho biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển nhị thức  x 2 x   bằng  x  36 . Hãy tìm số hạng thứ 7. 12  x 3 10)Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển    4 3 x   15 11)Tính hệ số của x 25 y10 trong khai triển x3  xy 12) Cho đa thức P  x   1  x   1  x   ...  1  x  9 10 14 có dạng khai triển là P  x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a14 x14 . Hãy tính hệ số a9 . 13)Cho đa thức P  x   1  x   2 1  x   31  x   ...  20 1  x  2 3 20 có dạng khai triển là P  x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a20 x 20 . Hãy tính hệ số a15 . 14)Trong khai triển  x  1  x  2  x11  a1x10  a2 x9  ...  a10 x  a11 , hãy tìm hệ 10 số a5 .   5 15)Khai triển 1  x  x 2  x3  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a15 x15 a) Hãy tính hệ số a10 b) Tính tổng T  a0  a1  ...  a15 và S  a0  a1  a2  ...  a15   10 16) Khai triển 1  2 x  3x 2  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a20 x 20 a) Hãy tính hệ số a4 b) Tính tổng S  a1  2a2  4a3  ...  220 a20 8 17) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của 1  x 2 1  x       15 18) Tìm hai hạng tử chính giữa trong khai triển x3  xy 10  1  19)Tìm hạng tử đứng giữa của khai triển  5  3 x  x 
  3.   6 20)Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển 3  15   9 21) Tìm số hạng của khai triển 332 là một số nguyên   124 22)Trong khai triển 345 có bao nhiêu số hạng hữu tỉ. 23) Khai triển đa thức P  x   1  2 x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a12 x12 . Tìm hệ số 12 lớn nhất trong khai triển trên. ( Tức là tìm max(a0 , a1 ,..., a12 ) ) 10 1 2  24) Trong khai triển   x  thành đa thức a0  a1 x  ...  a9 x9  a10 x10 , hãy tìm 3 3  hệ số ak lớn nhất? ( k  0,1,2,, 10 ).   n 25) Biết tổng các hệ số trong khai triển x 2  1 bằng 1024, hãy tìm hệ số a của số hạng ax12 trong khai triển đó. 26) Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n-3=26n. n Dạng 2: Tính tổng T   ak Cnk bk k 0 PP: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (1  x)n  Cn  xCn  x2Cn  ...  x nCn , ta 0 1 2 n chọn những giá trị x thích hợp Ví dụ 1.Cmr: a)C2n  C2n  ...  C2n  C2n  C2n  ...  C2n 1 0 2 2n 1 3 2n b)CmCn  CmCn 1  ...  CmCn  Cm  n 0 k 1 k k 0 k Ví dụ 2: Tính các tổng sau 1 1 1 2 1 a) Cn  Cn  Cn  ...  0 Cnn 2 3 n 1 b) Cn  2Cn  ...  nCn 1 2 n c) 2.1.Cn  3.2Cn  4.3Cn  ...  n(n  1)Cn 2 3 4 n d ) C2007  22 C2007  24 C2007  ...  22006 C2007 0 2 4 2006 Ví dụ 3: Tìm số nguyên dương n sao cho: Cn  2Cn  4Cn  ...  2n Cn  243 0 1 2 n Ví dụ 4: Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của 1 ( 4  x7 )n , biết C2n 1  C2n 1  ...  C2n 1  220  1. 1 2 n x Ví dụ 5: Áp dụng khai triển nhi thức Newton của (x2+x)100, chứng minh rằng 1 1 99 1 100 1 100C100 ( )99  101C100 ( )100  ...  199C100 ( )198  200C100 ( )199  0 2 1 2 2 2 2
  4. 32  1 1 3n 1  1 n Ví dụ 6: Tính tổng S  Cn 0  Cn  ...  Cn 2 n 1 1 Ví dụ 7: Tính tích phân I   x(1  x 2 )n dx và tính tổng 0 1 0 1 1 1 3 1 4 (1) n n S  Cn  Cn  Cn  Cn  ...  Cn 2 4 6 8 2(n  1) Bài tập 1 1. Xét khai triển (2 x  )20 x a) Viết số hạng thứ k+1 trong khai triển b) Số hạng nào trong khai triển không chứa x 2. Xác định hệ số của x4 trong khai triển f ( x)  (3x 2  2 x  1)10 3. Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau 28  a ) f ( x)  ( x x  x 3 biết rằng Cn 1  Cn  2  78 với x>0. 15 ) n n n 1 b) f ( x)  ( 3 x  4 )7 với x>0 x 4. Giả sử n là số nguyên dương và (1  x)n  a0  a1 x  ...  an x n . Biết rằng tồn tại số a a a nguyên k (1  k  n  1)sao cho k 1  k  k 1 . Tính n=? 2 9 24 1 5. Tìm hệ số chứa x8 trong khai triển nhị thứ Newton của ( 3  x5 )n , biết rằng x n 1 Cn  4  Cn  3  7(n  3) n 6. Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1-x)]8. a b 7. Trong khai triển nhị thức ( 3  3 )21 tìm hệ số của số hạng chứa a và b có b a số mũ bằng nhau. 22  1 1 2n 1  1 n 8. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng S  Cn  0 Cn  ...  Cn 2 n 1 9. Tìm số nguyên dương n sao cho 2 n 1 C2n 1  2.2C2n 1  3.22 C2n 1  4.23 C2n 1  ...  (2n  1)2n C2n 1  2005 1 2 3 4 10. Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của (2-3x)2n, biết n là số nguyên 2 n 1 dương thỏa mãn C2n 1  C2n 1  C2n 1  ...  C2n 1  1024 . 1 3 5 11. Giả sử (1  2 x)n  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n , biết rằng a0  a1  ...  an  729 . Tìm n và số lớn nhất trong các số a0,a1,…,an. 12. Cho tập A có n phần tử . Tìm n biết rằng trong số các tập con của A có đúng 16n tập con có số phần tử lẻ.
  5. 13. Tính tổng S  Cn  22 Cn  ...  n2Cn . 1 2 n 1 2.4.6....(2n  2)2n 14. Cho I   (1  x 2 )n dx  . Hãy tính tổng sau 0 1.3.5....(2n  1)(2n  1) 1 1 1 2 1 3 (1)n n S  1  Cn  Cn  Cn  ...  Cn 3 5 7 2n  1 15. Tính các tổng sau a) S  Cn  23 Cn  33 Cn  ...  n3Cn 1 2 3 n 22 2 23 3 2n n b) S  Cn  Cn  0 1 Cn  Cn  ...  Cn 3 4 n 1 c) S  Cn 3n 1  2Cn 3n  2  3Cn 3n  3  ...  nCn 1 2 3 n 16. .Vôùi moãi n laø moät soá töï nhieân,haõy tính toång: 1 1 1 2 1 3 1 Cn  Cn 2  Cn 22  Cn 23  ...  0 Cn 2n n 2 3 4 n 1 Bổ sung các tính chất Chứng minh các đẳng thức sau: k 1 1) An 1  kAn 1  An k k k 1 2)kCn  nCn 1 k k 1 3)Cn 1  Cn 1  Cn k k 4)Cn  2  2Cn 1  Cn  Cn  2 k k k k (2  k  n) 5)Cn  4Cn 1  6Cn  2  4Cn  3  Cn  4  Cn  4 (4  k  n) k k k k k k 1 1 1 n 1 6) mọi n≥2 ta luôn có: 2  2  ...  2  A2 A3 An n An 1  3 An 4 3 7) Tính giá trị của biểu thức M  biết (n  1)! Cn 1  2Cn  2  2Cn  3  Cn  4  149 2 2 2 2 2 Cn Cnp n Cn 8. Tính tổng S  Cn 1 2  ...  p  ...  n 1 Cn Cnp 1 Cn 1 n