Xem mẫu
- Trang 1
- Trang 2
- M CL C
… ∗ …
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC CƠ B N...........................................3
II. M T S D NG
PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC ƠN GI N.......................................10
III.PHƯƠNG PHÁP GI I CÁC
PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC T NG QUÁT ...................................29
IV.PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC CÓ CH A THAM S ......................35
V. PHƯƠNG PHÁP LƯ NG GIÁC
GI I PHƯƠNG TRÌNH I S ..............................................................42
VI.TR C NGHI M.........................................................................................4
Trang 3
- PH N I
PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC CƠ B N
… …
I.PHƯƠNG PHÁP GI I
Cơ s c a phương pháp là bi n i sơ c p các phương trình lư ng giác c a
ra v m t trong b n d ng chu n sau và ư c chia thành 2 lo i:
1.Phương trình lư ng giác cơ b n:
Có b n d ng: sin x = m, cos x = m, tan x = m,cot x = m
Công th c nghi m; k ∈ Z
Phương trình i u ki n có nghi m
D ng 1 D ng 2
x = α + k 2π
Sinx = m
−1 ≤ m ≤ 1 x = (−1) k arcsin m + k π x = π − α + k 2π
(m = sin α)
x = ±α + k 2π
Cosx = m −1 ≤ m ≤ 1 x = ± arc cos m + k 2π
(m = cos α)
π x = α + kπ
Tanx = m ∀m; x ≠ + kπ x = arctan m + k π
2 (m = tan α)
x = α + kπ
Cotx = m ∀m; x ≠ k π x = arc cot m + k π
(m = cot α)
π
∗Chú ý: sin x = 1 ⇔ x = + k 2π;cos x = 1 ⇔ x = k 2π
2
π
sin x = 0 ⇔ x = k π;cos x = 0 ⇔ x = + kπ
2
π
sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π;cos x = −1 ⇔ x = −π + k 2π
2
2.Phương trình lư ng giác thu c d ng cơ b n:
Có m t trong các d ng sau:
Sin[f(x)] = m; cos[f(x)] =m; tan[f(x)] = m; cot[f(x)] = m v i f(x) là bi u th c ch a
bi n x
Ho c là : sin[f(x)] = sin[g(x)]; cos[f(x)] = cos[g(x)]
Tan[f(x)] = tan[g(x)]; cot[f(x)] = cot[g(x)]
Ta s d ng các công th c nghi m như trên
Trang 4
- II.VÍ D : Gi i phương trình:
Ví d 1
x
tan = tan x
2
x
⇔ = x + kπ
2
⇔ x = 2 x + k 2π
⇔ x = − k 2π ( k ∈ Ζ)
V y phương trình có 1 h nghi m x = −k 2π (k ∈ Z )
.
Ví d 2
sin x = 2 sin 5 x + cos x
⇔ 2 sin 5 x = sin x − cos x
π
⇔ 2 sin 5 x = 2 sin x −
4
π
⇔ sin 5 x = sin x −
4
π
5 x = x − 4 + k 2π
⇔ (k ∈ Z)
π
5 x = π − x −
4
π
x = − + k 2π
16
⇔ (k ∈ Z)
x = 5 π + k π
24 3
π
x = 2 + k 2π
V y phương trình có 2 h nghi m (k ∈ Z )
x = 5 π + k π
24 3
Trang 5
- Ví d 3
1
sin 2 x + sin 2 x =
2
1 cos 2 x 1
⇔ sin 2 x + − =
2 2 2
⇔ 2 sin 2 x − cos 2 x = 0
sin 2 x 1
⇔ =
cos 2 x 2
1
⇔ tan 2 x =
2
1
⇔ 2 x = arctan + kπ (k ∈ Z)
2
1 1
⇔ x = arctan + kπ (k ∈ Z)
2 2
1 1
V y phương trình có 1 h nghi m x = arctan + kπ (k ∈ Z)
2 2
Ví d 4
3 sin x − cos x + 2sin 3 x = 0
3 1
⇔ sin x − cos x + sin 3x = 0
2 2
π π
⇔ sin .sin x − cos cos x + sin 3 x = 0
3 3
π
⇔ − cos x + + sin 3 x = 0
3
π
⇔ cos x + = sin 3x
3
π π
⇔ cos x + = cos − 3 x
3 2
π π
x + 3 = 2 − 3x + k 2π
⇔
x + π = 3x − π + k 2π
3 2
π kπ
x = 24 + 2
⇔ (k ∈ Z)
x = 5π
− kπ
12
Trang 6
- π kπ
x = 24 + 2
V y phương trình có 2 h nghi m (k ∈ Z)
x = 5π − kπ
12
Ví d 5
1 + tan x = 2 2 sin x (1)
π
i u ki n : cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ
2
sin x
V i i u ki n trên (1) ⇔ 1 + = 2 2 sin x
cos x
⇔ cos x + sin x = 2 2 sin x.cos x
π
⇔ 2 sin x x + = 2 sin 2 x
4
π
2 x = x + + k 2π
4
⇔
2 x = π − x + π + k 2π
4
π
x = + k 2π (loaï )
i
4
⇔ (k ∈ Z)
x = +π k 2π
4 3
π k 2π
⇔x= + (k ∈ Z )
4 3
π k 2π
V y phương trình có m t h nghi m ⇔ x = + (k ∈ Z)
4 3
Trang 7
- Ví d 6
sin 3 x.cos3 x + cos3 x.sin 3 x = sin 3 4 x
⇔ sin 3 x(4 cos3 x − 3cos x) + cos3 x(3sin x − 4sin 3 x) = sin 3 4 x
⇔ 4sin 3 x.cos3 x − 3sin 3 x.cos x + 3sin x.cos3 x − 4sin 3 x.cos3 x = sin 3 4 x
⇔ 3sin x.cos x(cos 2 x − sin 2 x) = sin 3 4 x
3
⇔ sin 2 x.cos 2 x = 4sin 3 4 x
2
⇔ 3sin 4 x = 4sin 3 4 x
⇔ 3sin 4 x − 4sin 3 4 x = 0
⇔ sin12 x = 0
kπ
⇔x= (k ∈ Z)
12
kπ
V y phương trình có m t h nghi m x = (k ∈ Z)
12
Ví d 7
sin x cot 5 x
= 1 (1)
cos 9 x
kπ
5 x ≠ kπ x ≠ 5
sin 5 x ≠ 0
i u ki n : ⇔ π ⇔ (k ∈ Z)
cos 9 x ≠ 0 9 x ≠ + kπ π kπ
x ≠ +
2
18 9
cos 5 x
(1) ⇔ sin x. = cos 9 x
sin 5 x
⇔ sin x.cos5 x = cos 9 x.sin 5 x
⇔ sin 6 x − sin 4 x = sin14 x − sin 4 x
⇔ sin14 x = sin 6 x
14 x = 6 x + k 2π
⇔
14 x = π − 6 x + k 2π
8 x = k 2π
⇔
20 x = π + k 2
kπ
x = 4
⇔ (k ∈ Z )
x = π kπ
+
20 10
Trang 8
- kπ
x = 4
V y phương trình có 2 h nghi m ( k ∈ Z)
x = π kπ
+
20 10
III.BÀI T P NGH
Gi i các phương trình sau:
1) 2 tan 3x − 3 = 0
2π
2)sin x − = cos 2 x
3
3) cos 2 x − sin 2 x = 0
4)2sin x − 2 cos x = 1 − 3
sin 2 x
5) + 2 cos x = 0
1 + sin x
2
6)2 tan x + cot x = 3 +
sin 2 x
sin 4 x + cos 4 x 1
7) = (tan x + cot x)
sin 2 x 2
8) cos x − sin x = 2 cos3 x
1 1 1
9) + =
sin 2 x cos 2 x sin 4 x
10) cos10 x + 2 cos 2 4 x + 6cos3 x.cos x = cos x + 8cos x.cos3 3x
11) tan x + cot x = 2(sin 2 x + cos 2 x)
cot 2 x − tan 2 x
12) = 16(1 + cos 4 x)
cos 2 x
Trang 9
- IV.HƯ NG D N VÀ ÁP S
π kπ
1) + .
9 3
7π k 2π 7π π
2) + ;− + k 2π . Höôùg daã : cos 2 x = sin − 2 x
n n
18 3 6 2
1 1 − cos 2 x
3) ± arc cos + kπ . Höôùg daã : sin x =
n n 2
3 2
π 2π 3 −1 π
4) + k 2π ; − + k 2π . Höôùg daã :
n n = sin
6 3 2 2 12
π
k 2π
5) − . ( Höôùg daã : ÑK 1+ sinx ≠ 0 , ñöa pt veà ng 2(sin2x + cos x) = 0 )
+ n n daï
6 3
π 2
6) + kπ . Höôùg daã : tanx + cotx =
n n
3 sin 2 x
7)Voâ
nghieä .
m ( Höôùg daã : ÑK sin 2 x ≠ 0,sin
n n 4
x + cos 4 x = 1 − 2sin 2 x.cos 2 x )
π π kπ π
8) + kπ ; − + . Höôùg daã : cos x − sin .x = 2 x +
n n
8 16 2 4
nghieä . ( Höôùg daã : ÑK sin2x ≠ 0, sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2sin 2 x cos 2 x )
9)Voâ m n n
10) k 2π . ( Höôùg daã : chuyeä veá t nhaâ töûchung,aù duï g coâg thöù cos 3x = 4cos3 x − 3cos x )
n n n ñaë n p n n c
k π π kπ
π 2
11) +
; + . Höôùg daã : Tìm ÑK, phöông trình ⇔
n n = 2(sin2x + cos2x)
8 2 4 2 sin 2 x
π kπ 4cos 2 x
12) + . Höôùg daã : Vieáveá i döôùdaï g 2
n n t traù i n , veá i döôùdaï g 32 cos 2 2 x
phaû i n
16 8 sin 2 x.cos 2 x
Trang 10
- M T S D NG
PH N II
PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC ƠN GI N
… …
I. PHƯƠNG PHÁP GI I
D ng 1. D ng bình phương c a các phương trình lư ng giác cơ b n
D ng chu n Công th c
nghi m; ∀k ∈ Z
a sin 2 f ( x)
] = sin 2 g ( x) ]
f ( x ) = ± g ( x ) + kπ
1 f ( x), g ( x)
b cos 2 f ( x)
] = cos 2 g ( x) ]
tan 2 f ( x)
] = tan g ( x) ]
2
f ( x ) = ± g ( x ) + kπ
π
2 f ( x ) ≠ + kπ
2
f ( x), g ( x)
cot 2 f ( x)
] = cot 2 g ( x) ]
f ( x ) = ± g ( x ) + kπ
3 f ( x ) ≠ π + kπ
f ( x), g ( x)
D ng 2. Phương trình b c hai ưa v m t hàm lư ng giác
Phương trình b c hai i v i hàm s lư ng giác:
D ng i u ki n(a,b,c ∈ R; a ≠ 0 ) Cách gi i
a sin x + b sin x + c
2
=0 sin x =t
1 t
a sin 2 [ f ( x) + b sin[ f ( x)] + c = 0 sin f ( x) = t
a cos 2 x + b cos x + c =0 cos x =t
2 t
a cos 2 [ f ( x) + b cos[ f ( x)] + c = 0 cos f ( x) = t
a tan 2 x + b tan x + c =0 tan x =t
3 t
a tan 2 [ f ( x) + b sin[ f ( x)] + c = 0 tan f ( x) =
a cot 2 x + b cot x + c =0 cot x =t
4 t
a cot 2 [ f ( x) + b cot[ f ( x)] + c = 0 cot f ( x) = t
Trang 11
- Chú ý :
1.N u t t = sinx, t = cosx thì ph i có k t ≤ 1
x = arcsin α + k2π
2.Sinx = α ⇔ (k ∈ Z)
x = (π − arcsin α) + k2π
Cosx = α ⇔ x = ± arccos α + k2π
Tanx = α ⇔ x = arctan α + kπ
Cotx = α ⇔ x = arccot α + kπ
D ng 3. i s hóa phương trình lư ng giác
Cơ s c a phương pháp c n thc hi n ba bư c:
x
• B1 nh n d ng R( x) = R (sin x; cos x) và t : t = tan
2
( K: x ≠ (2k + 1)π ; k ∈ Z )
• B2: s d ng các bi n i
2t 1 − t1 2t
sin x = cos x = tan x =
1+ t2 1 + t1 1− t2
ưa R( x) = R (sin x; cos x) v phương trình b c hai:
f (t ) = at 2 + β t + γ = 0
Hay phương trình b c cao g (t ) = 0 ph i có cách gi i
c bi t.
• B3: ki m tra hi n tư ng m t nghi m c a phương trình: a sin x + b sin x = c
x = (2k + 1)π ; k ∈ Z khi a + b + c = 0
Trang 12
- D ng 4. S d ng h ng t không âm
Cơ s c a phương pháp là s d ng các tìm nghi m nguyên c a phương trình
phi tuy n c bi t:
f1 ( x) = 0
A1[ f1 ( x)] f ( x) = 0
+ A2 [ f 2 ( x)] + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + An [ f n ( x)] =0
2m n
2m 1 2m 2
⇔ 2
A, B ≥ 0
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
f n ( x) = 0
Qua ba bư c:
B1: bi n i sơ c p ưa phương trình gi thi t v d ng 1.( ơn gi n)hay
t ng quát (d ng hai).
B2: gi i các phương trình tương ương mà các phương trình trogn h có
cách gi i ơn gi n ã c:
f1 ( x) = 0
f ( x) = 0
2
cho d ng t ng quát
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
f n ( x) = 0
B3:thông thư ng ph i tìm nghi m chung cho h ã bi t k t lu n nghi m
t ng quát
D ng 5. Các phương trình lư ng giác có phương pháp gi i t ng quát
1.asinx + bcosx = c
Ta có: a.sinx + bcosx = c
a b c
⇔ sin x + cos x = (1)
a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2
2 2
a b
Vì
2 + 2
=1
a +b a + b2
2
a
sin ϕ = 2
a + b2
Nên ∃ϕ sao cho :
cosϕ = b
a2 + b2
Trang 13
- c
Do ó : (1) ⇔ sinx.sin ϕ + cosx.cosϕ =
a2 + b2
c
⇔ cos(x − ϕ) = (2)
a2 + b2
Vì v y
c
•N u ≤ 1 hay c2 ≤ a2 + b2
a2 + b2
c c
Thì (2) x − ϕ = ± arccos ⇔ x = ϕ ± arccos 2
2
a +b a +b
2 2
c
•N u > 1hay c2 ≤ a2 + b2 thì pt vô nghi m
a +b
2 2
a) Pt a.sinx + bcosx = c có ngi m khi và ch khi a 2 + b 2 > 0
b) Phương pháp gi i thư ng dùng :Chia 2 v cho a2 + b2 t ó dưa v pt d ng
cơ b n
2. a.sin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0
π
_ Ki m tra v i x = + kπ xem có là nhi m c a pt hay không
2
π
_Chia 2 v c a pt cho cos2x (x ≠ + kπ ), ta ư c pt :
2
a.tan2x + b.tanx + c = 0
Chú ý:
1. G p pt không thu n nh t : a.sin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d (d ≠ 0)
Ta có th ch n 1 trong 2 cách trình bày sau:
a) Vi t d = d(sin2x + cos2x) sau ó ưa v pt thu n nh t
π
b) _Trư c h t ki m tra v i x = + kπ
2
π 1
_V i x ≠ + kπ , chia 2 v c a pt cho cos2x v i lưu ý2
= 1 + tan2 x
2 cos x
2.Ngoài cách gi i trên v i pt thu n nh t ho c không thu n nh t i v i sinx và
cosx ta có th s d ng cách gi i sau : Dùng công th c ưa pt v d ng Asin2x +
Bcos2x = C
1 − cos2x
• sin2x =
2
1 + cos2x
• cos2x =
2
Trang 14
- sin2x
• sinx.cosx =
2
Tuy nhiên cách gi i này ch nên s d ng i v i nh ng pt có ch a tham s
3. a(sinx + cosx) + bsinx.cosx = c (∗)
t t = sinx + cosx ( t ≤ 2 )
t2 −1
Ta có : sinx.cosx =
2
Thay vào (*) ta ư c pt b c 2 theo t, tìm t t ó tìm x b ng cách thay t vào (*)
Chú ý:
_V i d ng a(sinx − cosx) + bsinx.cox = c
t t = sinx − cosx ( t ≤ 2 )
_V i d ng a sinx + cosx + bsinx.cosx = c
t t = sinx + cosx ( 0 ≤ t ≤ 2)
_v i d ng a sinx − cosx + bsinx.cosx = c
t t = sinx − cosx ( 0 ≤ t ≤ 2)
II. VÍ D
Trang 15
- Ví d 1 :Gi i pt :
tan2x − ( 3 + 1)tanx + 3 = 0 (pt baä hai theo tan)
c
Ñaët = tanx ta ñöôï pt
t c
t 2 − ( 3 + 1)t + 3 = 0
t = 1
⇔
t = 2
π
_ Vôùt = 1: tanx = 1 ⇔ x =
i + kπ (k ∈ Z)
4
π
_Vôùt = 3 : tanx = 2 ⇔ x =
i + kπ (k ∈ Z)
3
π π
Vaä pt coù hoïnghieä x =
y 2 m + kπ ; x = + kπ (k ∈ Z)
4 3
Ví d 2 : Gi i pt :
cos3x − 3cos2x + 2 = 0 (pt baä 3 ñoávôùcosx)
c i i
Ñaët = cosx ( t ≤ 1)
t
Ta coù : t 3 − 3t 2 + 2 = 0
pt
⇔ (t − 1)(t 2 − 2t − 2) = 0
t = 1
⇔ t = 1− 3
t = 1 + 3 (loaï )
i
_Vôùt = 1: cosx = 1 ⇔ x = k2π
i
x = arccos(1 − 3) + k2π
_Vôùt = 1 − 3 : cosx = 1 − 3 ⇔
i (k ∈ Z)
x = − arccos(1 − 3) + k2π
Ví d 3. Gi i phương trình:
sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) (1)
π
2 sin x − v i − 2 ≤ u ≤ 2 (2)
t u = sinx – cosx =
4
Khi ó: u = 1 – sin2x ⇒ sin2x = 1 – u2
2
Phương trình (1) v i n u có d ng:
1
(1 − u 2 ) = 6(u − 1)
2
2
⇔ u + 12u -13 = 0
Trang 16
- u =1 th a mãn (2)
⇔
u = −13 < − 2 (lo i)
Tr v tìm x, gi i:
π π 1
2 sin x − = 1 ⇔ sin x − =
4 4 2
π π
x − 4 = 4 + k 2π
⇔
x − π = 3 π + l 2π
4 4
π
⇔ x = 2 + k 2π (k , l ∈ Z )
x = π + l 2π
Ví d 4. Gi i phương trình:
Sinx + cosx +sinxcosx = 1 (1)
π
t u = s inx + cos x = 2 sin x +
4
v i − 2 ≤ u ≤ 2 (2)
u2 −1
Khi ó u2 = 1 +2sinxcosx ⇒ sin x cos x =
2
Phương trình (1) v i n u có d ng:
u2 −1
u+ =1
2
⇔ u 2 + 2u − 3 = 0
u =1 Th a mãn (2)
⇔
u = −3 < − 2 lo i
Tr v tìm x, gi i:
π π 1
2 sin x + = 1 ⇔ sin x + =
4 4 2
π π
x + 4 = 4 + k 2π
⇔
x + π = 3π
4 4
x = k 2π
(k, l ∈ Z)
⇔ π
x = + l 2π
2
Trang 17
- Ví d 5. Gi i phương trình:
6
4 sin x + 3cos x + =6 (1)
4sin x + 3cos x + 1
i u ki n: 4sinx+3cosx+1 ≠ 0
t u = 4sinx + 3cosx = 5sin(x+ ϕ )
3
Trong ó ϕ là góc mà tan ϕ =
4
−5 ≤ u ≤ 5
i u ki n (2)
u ≠ −1
Phương trình (1) v i n u có d ng:
6
u+ =6
u +1
u = 0
⇔ u 2 − 5u = 0 ⇔ th a mãn (2)
u = 5
Tr v tìm x, gi i
a) 5sin( x + ϕ ) = 0 ⇔ sin( x + ϕ ) = 0
⇔ x + ϕ = kπ
⇔ x = −ϕ + kπ
b) 5sin( x + ϕ ) = 5 ⇔ sin( x + ϕ ) = 1
π
⇔ x +ϕ = + l 2π
2
π (k, l ∈ Z)
⇔ x = − ϕ + l 2π
2
Ví d 6. Gi i phương trình
2(1- sinx – cosx) + tanx + cotx = 0 (1)
s inx ≠ 0 π
i u ki n: ⇔x≠k k ∈Z
cos x ≠ 0 2
Bi n i phương trình (1) v d ng:
1
2[1 − (s inx + cos x)] + =0
s inx.cos x
π
t u = s inx + cos x = 2 sin x +
4
1 2
⇒ u 2 = 1 + 2 sin x cos x ⇒ sin x cos x = (u − 1)
2
− 2 ≤ u ≤ 2
⇒ (2)
u ≠ ±1
Trang 18
- Phương trình (1) v i n u có d ng:
2
2(1 − u ) + =0
u −1 2
⇔ u (u 2 − u − 1) = 0
u=0
⇔
u = 1 ± 5
2
Ch có u=0 và
1− 5
u= (th a mãn i u ki n(2))
2
Tr v tìm x, gi i:
π
a) 2 sin x + = 0 ⇔ x + π = kπ
4 4
π
⇔ x=− + kπ
4
π 1− 5 π 1− 5
b) 2 sin x + = ⇔ sin x + = = sin α
4 2
4 2 2
π
x + 4 = α + l 2π
⇔
x + π = π − α + n 2π
4
π
x = α − 4 + l 2π
⇔
x = 3 π − α + n 2π
4
(k, l, m ∈ Z)
Ví d 7. Gi i phương trình
tan 4 x + cot 4 x = 8(t anx + c otx) 2 − 9 (1)
s inx ≠ 0 π
i u ki n ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k
cos x ≠ 0 2
Bi n i (1) v d ng
(1) ⇔ tan 4 x + cot 4 x = 8(tan 2 x + cot 2 x) + 7
t u = tan2x + cot2x
⇒u≥2 (2)
⇒ u 2 = tan 4 x + cot 2 x + 2
Phương trình (1) v i n u có d ng
Trang 19
- u2 -8u – 9 = 0
u = −1 lo i
⇔ th a mãn (2)
u =9
Tr v tìm x, gi i: tan2x + cot2x = 9
sin 2 x cos 2 x
⇔ + =9
cos 2 x sin 2 x
⇔ sin 4 x + cos 4 x = 9 sin 2 xcos 2 x
1 9
⇔ 1 − sin 2 2 x = sin 2 2 x
2 4
11
⇔ sin 2 2 x = 1
4
3
⇔ cos4 x =
11
3
⇔ 4 x = ± ar cos + k 2π
11
3
± ar cos (k ∈ Z)
⇔ x= 11 + 1 kπ
4 2
Ví d 8. Gi i phương trình
1 1 1 1
(s inx + cos x) + 1 + t anx + c otx + + =0
2 2 s inx cos x
s inx ≠ 0 π
i u ki n ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k
cos x ≠ 0 2
Bi n i phương trình v d ng:
1 s inx + cos x
s inx + cos x + 2 + + =0
sin x cos x sin x cos x
π
t u = s inx + cos x = 2 sin x +
4
u2 −1
Ta ư c u 2 = 1 + 2sin x cos x ≠ 1 ⇒ sin x cos x =
2
− 2 ≤ u ≤ 2
Và i u ki n c a u: (2)
u ≠ ±1
Phương trình i v i u có d ng
Trang 20
nguon tai.lieu . vn
