Xem mẫu

  1. SỞ GD&ĐT NGHỆ AN BAI KIÊM TRA SỐ 2 - NGAY 14.11.2010 ̀ ̉ ̀ TRƯƠNG THPT ĐĂNG THUC HƯA ̣ ́ MÔN: TOÁN ————————— Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— 3 2 1 3 Câu I (2,0 điêm) Cho ham số y = x − mx + m 3 ̉ ̀ 2 2 1. Khao sat sư biên thiên và vẽ đồ thị ham số khi m = 1 ̉ ́ ́ ̀ 2. Tim m để đồ thị ham số có hai điêm cưc đai , cưc tiêu đôi xưng qua đường thăng y = x. ̀ ̀ ̉ ̣ ̉ ́ ̉ Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình x + 2 7 − x = 2 x −1 + − x2 + 8x − 7 + 1 ( x ∈ ¡ ) 2. Giải hệ phương trình 2 2 x + y = 3 − 2 x − y   2 ( x, y ∈ ¡ )  2 x + 3xy + 1 = 0  Câu III (2,0 điểm)  17π  1. Giai phương trinh: 8cos x + 6 2 sin 2 x + 3 2 cos  − 4 x  .cos 2 x = 16cos x 3 3 ̉ ̀  2  Cho số tư nhiên n thỏa man: C n .2 + C n .2 + ... + Cn .2 = 6560 . Tìm số hang không chưa x 1 2 2 n n 2. ̃ ̣ n  3  trong khai triển nhị thưc Niutơn của  x +  ; x>0  x x Câu IV (3,0 điểm) 1. Trong hệ tọa độ Oxy cho elip (E) đi qua M(-2 ; 3) và hinh chư nhât cơ sơ có diên tich ̀ ̣ ̣ ́ băng 8 3 . Viêt phương trinh chinh tăc cua elip (E). ̀ ́ ̀ ́ ́ ̉ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chư nhật, AB = a, BC = a 2 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA= a 3 . M là trung điểm của SD, N là trung điểm của AD . a).Chưng minh rằng đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (BMN). b).Goi (P) là mặt phẳng đi qua B,M và cắt mặt phẳng (SAC) theo một đường thẳng vuông ̣ góc với đường thẳng BM. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (P). Câu V (1,0 điểm). Cho x, y , z là các số thưc không âm thoả mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thưc P = 6 ( y + z − x ) + 27 xyz . ----------------------Hết--------------------- Chú ý : Thí sinh tự giac lam bai không quay cop, không trao đôi. ́ ̀ ̀ ́ ̉ Họ và tên thí sinh: …………………………………………SBD: ………………… Đap an và thang điêm xem tai http://dangthuchua.com ́ ́ ̉ ̣ 1
  2. ĐAP AN VÀ THANG ĐIÊM ́ ́ ̉ Câu ̣ NÔI DUNG ̉ Điêm I 1. Khao sat ham số khi m = 1 ̉ ́ ̀ 1,00 3 2 1 Khi m = 1 ta có y = x − x + . 3 2 2 • Tâp xac đinh: ¡ ̣ ́ ̣ 0,25 • Sư biên thiên ́ ̀ ́ -Chiêu biên thiên x = 0 Ta có y ' = 3x 2 − 3 x ; y'= 0 ⇔  x =1 Trên khoang ( −∞;0 ) và ( 1; +∞ ) , ta có y ' > 0 nên ham số đông biên ̉ ̀ ̀ ́ Trên khoang ( 0;1) , ta có y ' < 0 nên ham số nghich biên ̉ ̀ ̣ ́ 0,25 1 -Cưc tri: Ham số đat cưc đai tai x = 0, yCÐ = y (0) = ̣ ̀ ̣ ̣ ̣ 2 Ham số đat cưc tiêu tai x = 1, yCT = y ( 1) = 0 ̀ ̣ ̉ ̣ -Giới han tai vô cưc: ̣ ̣ lim y = −∞ lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ ̉ ́ -Bang biên thiên x −∞ 0 1 +∞ y’ + 0 - 0 + 1 0,25 +∞ 2 y 0 −∞  1  • Đồ thi: Đồ thị căt truc hoanh tai điêm  − ;0  ; ( 1;0 ) và căt truc tung tai ̣ ́ ̣ ̀ ̣ ̉ ́ ̣ ̣ 0,25  2   1 1 1 điêm  0;  . Đồ thị nhân điêm uôn U  ;  lam tâm đôi xưng. ̉ ̣ ̉ ́ ̀ ́  2 2 4 4 y 2 ­10 x ­5 5 10 ­2 ­4 2. Tim m để đồ thị ham số có cưc đai cưc tiêu….. ̀ ̀ ̣ ̉ 1,00 Ta có y’= 3 x − 3mx 2 x = 0 y'= 0 ⇔  0,25 x = m 2
  3. Để đồ thị ham số có cưc đai, cưc tiêu thì y ' = 0 có hai nghiêm phân biêt ⇔ m ≠ 0 . ̀ ̣ ̉ ̣ ̣  m3  Khi đó giả sư cac điêm cưc đai, cưc tiêu là : A  0; ́ ̉ ̣ ̉  và B ( m ; 0 ) 0,25  2  uuu  r m3   m m3  Ta co: AB  m; − ́  ; trung điêm I cua AB la: I  ; ̉ ̉ ̀   2  2 4  Theo yêu câu bai toan để A và B đôi xưng với nhau qua đường thăng y = x thì ̀ ̀ ́ ́ ̉ đường thăng AB vuông goc với ∆ : y = x và trung điêm I cua AB thuôc đường ̉ ́ ̉ ̉ ̣ uuu uur r  m 3 0,5  AB.u∆ = 0  m −  =0 m = 0 ̉ thăng ⇔ ⇔ 3 2 ⇔ I ∈ ∆  m = m m = ± 2  4  2 Đôi chiêu điêu kiên ta có m = ± 2 ́ ́ ̀ ̣ 1. Giai phương trinh … ̉ ̀ 1, 00 Điêu kiên: 1 ≤ x ≤ 7 ̀ ̣ Với điêu kiên đo, phương trinh đã cho tương đương: ̀ ̣ ́ ̀ x − 1 + 2 7 − x = 2 x − 1 + − x2 + 8x − 7 0,25 Đặt: a = x − 1 , b = 7 − x ( a, b ≥ 0 ) a = 2 Phương trinh đã cho trơ thanh: a + 2b = 2a + ab ⇔ ( a − 2 ) ( a − b ) = 0 ⇔  0,25 2 ̀ ̀ a = b Với a = 2 ta co: x − 1 = 2 ⇔ x − 1 = 4 ⇔ x = 5 ́ 1 ≤ x ≤ 7 II Với a = b ta co: x − 1 = 7 − x ⇔  ́ ⇔ x=4 0,5 x −1 = 7 − x Vây phương trinh đã cho có nghiêm x = 4 và x = 5. ̣ ̀ ̣ 2. Giai hệ phương trinh … ̉ ̀ 1,00 y 0,25 ̀ ̣ Điêu kiên: x≥− 2 Từ phương trinh thư nhât ta có ̀ ́ 0,25  2x + y = 1 ⇔  2 x + y = −3 (VN )  Với 2 x + y = 1 ⇔ 2 x + y = 1 ⇔ y = 1 − 2 x thay vao phương trinh thư hai ta đươc ̀ ̀ x =1 −4 x + 3 x + 1 = 0 ⇔  2 x = − 1 0,25  4 Với x = 1 thì y = - 1 ta có nghiêm (x; y) = (1; -1) ̣ 1 3  1 3 Với x = − thì y = ta có nghiêm ( x; y ) =  − ;  ̣ 0,25 4 2  4 2  1 3 Vây hệ đã cho có nghiêm (x ; y) = (1 ; -1) và ( x; y ) =  − ;  ̣ ̣  4 2 3
  4. 1. Giai phương trinh… ̉ ̀ III 1,00 0,25  17π  Ta co: 6 2 sin 2 x + 3 2 cos  − 4 x  .cos 2 x = 6 2 sin 3 2 x + 3 2 sin 4 x.cos 2 x 3 ́  2  ( ) = 6 2 sin 2 x sin 2 x + cos 2 x = 6 2 sin 2 x 2 2 Phương trinh đã cho tương đương với ̀ 4 cos3 x + 3 2 sin 2 x = 8cos x ⇔ 2 cos x.(2 cos 2 x + 3 2 sin x − 4) = 0 0,5  cos x = 0 ⇔  2sin x − 3 2 sin x + 2 = 0 2  π  x = 2 + kπ  π ⇔  x = + k 2π ( k ∈ ¢ )  4   x = 3π + k 2π 0,25  4 π π Vây phương trinh đã cho có nghiêm x = ̣ ̀ ̣ + kπ ; x = + k 2π 2 4 3π và x = + k 2π ( k ∈ ¢ ) 4 2. Xac đinh hệ số không chưa x trong khai triên nhị thưc Niu tơn... ́ ̣ ̉ 1,00 ́ Ta co: C1 .2 + Cn .22 + ... + Cn .2n = 6560 ⇔ C0 + C1 .2 + Cn .22 + ... + Cn .2n = 6561 n 2 n n n 2 n 0,25 ⇔ ( 1 + 2 ) = 6561 ⇔ 3n = 38 ⇔ n = 8 (TM ) 0,25 n Với n = 8 ta co: ́ 8 k 8− k −3k 8 − 4k  3  ( x)  3  8 8− k 8 8  x+  = ∑ C8 k   = ∑ C8 .3k.x k 2 .x 2 = ∑ C .3 .x k 8 k 2 0,25  x x  k =0  x x  k =0 k =0 Số hang không chưa x tương ưng với giá trị k thoả man ̣ ̃ 8 − 4k = 0 ⇔ 8 − 4k = 0 ⇔ k = 2 2 0,25 Vây số hang không chưa x trong khai triên la: C8 .3 = 252 2 2 ̣ ̣ ̉ ̀ 1.Viêt phương trinh chinh tăc cua elip .... ́ ̀ ́ ́ ̉ 1,00 x2 y 2 Goi phương trinh chinh tăc cua elip (E) có dang ̣ ̀ ́ ́ ̉ ̣ + = 1 ( a > b > 0) 0,25 a 2 b2 Theo bai ra ta có : ̀ 4 9  4 3a 2  2 + 2 =1  2+ = 1 3a 4 − 4a 2 + 16 = 0  a b ⇔ a 4 ⇔ ̣ vô nghiêm 0,5  2a.2b = 8 3 ab = 2 3 ab = 2 3    Vây không tôn tai phương trinh chinh tăc cua elip (E) thoả man yêu câu bai ̣ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ̉ ̃ ̀ ̀ toan.́ 0,25 4
  5. a). Chưng minh AC vuông goc mp(BMN) ́ 0,5 S M E G A D F N O B C Trong măt phăng (ABCD), xet hai tam giac vuông ABC và NAB ta có ̣ ̉ ́ ́ AN AB 1 0,25 = = do đó : ∆ABC : ∆NAB mà AN ⊥ AB, BA ⊥ BC AB BC 2 suy ra AC ⊥ BN (1) Măt khac M là trung điêm SD, N là trung điêm cua AD nên MN // SA mà ̣ ́ ̉ ̉ ̉ SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ MN ⊥ ( ABCD ) do đó MN ⊥ AC (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra AC ⊥ ( BMN ) b). Tinh khoang cach tư S đên mp(P) ́ ̉ ́ ́ 1,50 Theo câu a, AC vuông goc với măt phăng (BMN) nên AC vuông goc với BM. ́ ̣ ̉ ́ Măt phăng (P) đi qua BM và căt (SAC) theo môt đường thăng vuông goc với ̣ ̉ ́ ̣ ̉ ́ BM mà nên EF//AC ( E ∈ SA, F ∈ SC ). 0,25 Ta có : S ABCD = a 2 2 0,25 1 1 a3 6 VSABCD = SA.S ABCD = a 3.a 2 2 = 3 3 3 SG 2 Trong măt phăng (SBD) ta có G là trong tâm cua tam giac SBD nên ̣ ̉ ̣ ̉ ́ = SO 3 SE SF SG 2 ̣ ̉ ́ Trong măt phăng (SAC) ta co: = = = ( vì EF//AC) SA SC SO 3 VSEBM SE SM 2 1 1 V SF SM 2 1 1 = . = . = và SBFM = . = . = VSABD SA SD 3 2 3 VSBCD SC SD 3 2 3 1 0,25 mà VSABD = VSBCD = VSABCD . 2 5
  6. VSEBFM V V 1 1 2 = SEBM + SBFM = + = Do đo: 1 ́ 1 1 VSABCD VSABCD VSABCD 3 3 3 2 2 2 3 0,25 1 a 6 Suy ra VSEBFM = VSABCD = 3 9 Lai co: BD = a 3 , SD = a 5 , SB = 2a ̣ ́ 3a 2 2a 3 Nên: BM = , EF = . AC = 2 3 3 0,25 Tư giac EBFM có hai đường cheo vuông goc với nhau nên ta có : ́ ́ ́ 2 1 1 3a 2a 3 a 3 S EBFM = BM .EF = . . = 2 2 2 3 2 Vây khoang cach từ S đên măt phăng (P) là ̣ ̉ ́ ́ ̣ ̉ 3 a 6 3. 0,25 3VSEBFM 2a 2 d( S ,( P ) ) = = 29 = S EBFM a 3 3 2 V Tim giá trị lơn nhât cua biêu thưc ̀ ́ ̉ ̉ 1,00 y2 + z2 Ap dung bât đăng thưc Bunhia côpxki ta co: y + z ≤ 2 y 2 + z 2 ́ ̣ ́ ̉ ́ ( ) và yz ≤ 2 0,25 Ta có P ≤ 6 ( ) 2 y2 + z2 − x + 27 2 x y2 + z2 ( ) Vì x 2 + y 2 + z 2 = 1 nên P≤6 ( 2 1 − x2 − x + )27 2 ( 27 ) 15 x 1 − x 2 = − x3 + x + 6 2 1 − x 2 2 2 ( ) 8 0,25 + 1 − x2 Lai ap dung Bât đăng thưc Cô si: ̣ ́ ̣ ́ ̉ 2 2 . 1 − x2 ≤ 9 3 2 −1 Suy ra P ≤ 2 ( 27 x 3 + 9 x 2 − 15 x − 17 ) Theo giả thiêt x, y , z là các số thưc không âm thoả mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1 . ́ −1 ta có x, y , z ∈ [ 0;1] . Xet f ( x ) = ́ 2 ( ) 27 x 3 + 9 x 2 − 15 x − 17 trên đoan [0 ; 1] ̣ −1 Ta có : f ' ( x ) = 2 ( ) 81x 2 + 18 x − 15  1 0,25 x = 3 f '( x) = 0 ⇔   x = − 5 (loai )   9 17 1 1 Và f ( 0 ) = ; f   = 10; f ( 1) = −2 . Do đó : Max f ( x ) = f   = 10 x∈[ 0;1] 2  3 3 1 2 Từ đó suy ra P ≤ 10 . Đăng thưc xay ra khi x = , y = z = ̉ ̉ 3 3 1 2 0,25 Vây giá trị lớn nhât cua biêu thưc P là 10 đat tai x = , y = z = ̣ ́ ̉ ̉ ̣ ̣ 3 3 (Nêu thí sinh là theo cach khac mà đung thì đươc đủ điêm tưng phân như đap an quy đinh. ́ ́ ́ ́ ̉ ̀ ́ ́ ̣ 6
  7. 7