Xem mẫu
- Đ I S CƠ B N
(ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C)
Bài 18. Không gian vectơ Euclide
PGS TS M Vinh Quang
Ngày 10 tháng 3 năm 2006
1 Các khái ni m cơ b n
1.1 Tích vô hư ng và không gian vectơ Euclide
Đ nh nghĩa. Cho V là không gian vectơ trên R. M t tích vô hư ng trên V là m t ánh x
, :V ×V →R
(α, β) → α, β
th a các đi u ki n sau: v i m i α, α1 , α2 ∈ V , β ∈ V v i m i a ∈ R,
i) α1 + α2 , β = α1 , β + α2 , β
ii) aα, β = a α, β
iii) α, β = β, α
iv) α, α ≥ 0
α, α = 0 khi và ch khi α = 0.
Chú ý r ng, do tính ch t i), ii). Khi c đ nh vectơ β ∈ V , tích vô hư ng là m t ánh x tuy n
tính đ i v i bi n th nh t. Do tính ch t đ i x ng (giao hoán) iii), ta d dàng suy ra khi c đ nh
α ∈ V , thì tích vô hư ng là m t ánh x tuy n tính đ i v i bi n th 2, t c là: α, β, β1 , β2 ∈ V ,
a ∈ R ta có:
i’) α, β1 + β2 = α, β1 + α, β2
ii’) α, aβ = a α, β
Đ nh nghĩa
Không gian vectơ trên R, trong đó có thêm m t tích vô hư ng đư c g i là không gian vectơ
Euclide.
Chú ý
T tính ch t tuy n tính c a tích vô hư ng theo t ng bi n (tính ch t i, ii, i’, ii’), ta d dàng
có các công th c sau:
• 0, α = α, 0 = 0 v i m i α ∈ V .
1
- m n
• Gi s α = ai αi , β = bj βj thì:
i=1 j=1
m n m n
α, β = ai αi , bj βj = ai b j αi , βj
i=1 j=1 i=1 j=1
1.2 Các ví d
1. Cho V = Rn , ∀α = (x1 , . . . , xn ), β = (y1 , . . . , yn ) ∈ V , ta đ nh nghĩa:
n
α, β = x1 y1 + · · · + xn yn = xi yi
i=1
Đây là m t tích vô hư ng trên Rn và (Rn , , ) là m t không gian vectơ Euclide.
2. Cho V = C[a, b] là không gian vectơ các hàm s th c liên t c trên [a, b]. V i m i f (x),
g(x) thu c C[a, b] ta đ nh nghĩa:
b
f (x), g(x) = f (x)g(x)dx
a
Đây là m t tích vô hư ng trên C[a, b] và (C[a, b], , ) là m t không gian vectơ Euclide.
1.3 Đ dài và góc
1. Đ nh nghĩa. Cho E là không gian vectơ Euclide. V i m i vectơ α ∈ E, đ dài c a vectơ
α, ký hi u là α , là s th c không âm, xác đ nh như sau:
x = x, x
2. Các ví d
(a) E = Rn , x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn thì x = x2 + · · · + x2
1 n
b
(b) E = C[a, b], f (x) ∈ C[a, b] thì f (x) = [f (x)]2 dx
a
3. M t vài tính ch t cơ b n
Trong không gian vectơ Euclide E, ta có:
• α = 0 ⇔ α = 0 và a ∈ R, aα = |a|. α
• B t đ ng th c Bunhiac pxki
∀α, β ∈ E, | α, β | ≤ α . β
D u đ ng th c x y ra khi và ch khi các vectơ α, β ph thu c tuy n tính.
Ch ng minh
– N u β = 0, b t đ ng th c hi n nhiên đúng.
– N u β = 0 thì tam th c b c hai:
f (t) = β, β t2 − 2 α, β t + α, α = α − tβ, α − tβ ≥ 0 v i m i t ∈ R.
Do đó, ∆f ≤ 0 ⇔ α, β 2 − α, α β, β ≤ 0 ⇔ | α, β | ≤ α . β
2
- • B t đ ng th c tam giác
∀α, β ∈ E, α − β ≤ α + β ≤ α + β
Ch ng minh. Áp d ng b t đ ng th c Bunhiac pxki, ta có:
2
α+β = α + β, α + β
= α, α + 2 α, β + β, β
≤ α 2 + α β + β 2 = ( α + β )2
Do đó, α + β ≤ α + β
Do ch ng minh trên, ta có:
α = (α + β) + (−β) ≤ α + β + − β = α + β + β
Do đó, α − β ≤ α + β
4. Góc gi a hai vectơ
• Cho E là không gian vectơ Euclide. Ta g i góc gi a hai vectơ khác không α, β ∈ E
là s th c ϕ ∈ [0, π] xác đ nh b i:
α, β
cos ϕ =
α . β
α, β
C n chú ý r ng do b t đ ng th c Bunhiac pxki, ≤ 1 nên góc gi a hai
α . β
vetơ khác không α, β ∈ E xác đ nh và duy nh t.
• Hai vectơ α, β ∈ E g i là tr c giao, ký hi u α ⊥ β n u α, β = 0.
π
N u α, β = 0 thì α ⊥ β ⇔ góc gi a chúng là ϕ =
2
• Công th c Pitago
2 2 2
∀α, β ∈ E, α ⊥ β ⇔ α + β = α + β
Th t v y, ∀α, β ∈ E, ta có:
2
α+β = α + β, α + β
= α, α + 2 α, β + β, β
= α 2 + β 2 + 2 α, β
2 2 2
Do đó, α + β = α + β ⇔ α, β = 0 ⇔ α ⊥ β
2 H tr c giao, h tr c chu n, cơ s tr c giao, cơ s tr c
chu n
2.1 Các khái ni m cơ b n
Ta nh c l i r ng hai vectơ α, β c a không gian vectơ Euclide E g i là tr c giao, ký hi u
α ⊥ β n u α, β = 0.
3
- • H vectơ α1 , . . . , αm ∈ E g i là h tr c giao n u chúng đôi m t tr c giao, nghĩa là
αi ⊥ αj ∀i = j.
M t cơ s c a E mà là h tr c giao, g i là cơ s tr c giao c a E.
• Vectơ α ∈ E g i là tr c giao v i t p con A ⊂ E n u α tr c giao v i m i vectơ c a A. Khi
đó ta ký hi u α ⊥ A.
• H vectơ α1 , . . . , αm ∈ E g i là h tr c chu n n u chúng là h tr c giao và m i vectơ αi
là vectơ đơn v (nghĩa là đ dài c a αi , αi = 1).
Như v y, h vectơ α1 , . . . , αm ∈ Elà h tr c chu n khi và ch khi
0n ui=j
αi , αj = δij =
1n ui=j
M t cơ s c a E mà là h tr c chu n, g i là cơ s tr c chu n c a E.
• N u α1 , . . . , αm là m t h tr c giao, không ch a vectơ không c a E thì h :
α1 α2 αm
u1 = , u2 = , ..., um =
α1 α2 αm
là m t h tr c chu n c a E.
Phép bi n đ i trên ta g i là phép tr c chu n hóa m t h vectơ tr c giao.
N u α1 , . . . , αm là cơ s tr c giao c a E thì tr c chu n hóa cơ s đó, ta s đư c m t cơ
s tr c chu n c a E.
Chú ý r ng, m t h vectơ tr c giao không ch a vectơ không thì đ c l p tuy n tính. Ch ng
minh đi u này khá đơn gi n, xin dành cho b n đ c.
2.2 Tr c giao hóa m t h vectơ đ c l p tuy n tính (phương pháp
Gram-Schmidt
• Tr c giao hóa
Trong không gian Euclide E cho h vectơ đ c l p tuy n tính α1 , α2 , . . . , αm . Khi đó, h
vectơ:
β1 = α1
α2 , β1
β2 = α2 − β1
β1 , β1
.
.
.
m−1
αm , βi
βm = αm − βi
i=1
βi , βi
là h vectơ tr c giao, đ c l p tuy n tính trong E, và α1 , . . . , αm = β1 , . . . , βm
Phép chuy n t h vectơ α1 , . . . , αm sang h vectơ tr c giao β1 , . . . , βm như trên g i là
phép tr c giao hóa h vectơ α1 , . . . , αm .
• Chú ý
4
- – N u α1 , . . . , αm là cơ s c a không gian vectơ con U c a không gian vectơ Euclide
E, (U = α1 , . . . , αm ), tr c giao hóa h vectơ α1 , . . . , αm ta đư c h vectơ tr c giao
β1 , . . . , βm và U = α1 , . . . , αm = β1 , . . . , βm .
Do đó, β1 , . . . , βm chính là cơ s tr c giao c a U .
– T chú ý trên, m t không gian Euclide E luôn có cơ s tr c chu n.
Th t v y, đ tìm cơ s tr c chu n c a E, đ u tiên ta tìm m t cơ s α1 , . . . , αm b t
kỳ c a E, sau đó tr c giao hóa cơ s trên ta đư c cơ s tr c giao β1 , . . . , βm c a E.
Cu i cùng, tr c chu n hóa cơ s tr c giao β1 , . . . , βm , ta s đư c cơ s tr c chu n
u1 , . . . , um c a E.
Cũng lưu ý b n đ c r ng, trong quá trình tr c giao hóa h vectơ α1 , . . . , αm , đ đơn gi n
cho quá trình tính toán, ta có th thay vectơ βi b i m t vectơ t l v i βi . Sau đây là
m t ví d :
• Ví d
Trong không gian vetơ Euclide R4 , cho không gian vectơ con U sinh b i các vectơ:
α1 = (0, 1, 0, 1)
α2 = (0, 1, 1, 0)
α3 = (1, 1, 1, 1)
α4 = (1, 2, 1, 2)
(U = α1 , α2 , α3 , α4 )
Tìm m t cơ s tr c chu n c a U .
Gi i
Đ tìm cơ s tr c chu n c a U , đ u tiên ta tìm m t cơ s c a U . H con đ c l p tuy n
tính t i đ i c a α1 , α2 , α3 , α4 là m t cơ s c a U . T đó ta có α1 , α2 , α3 là m t cơ s c a
U.
Ti p theo, tr c giao hóa h vectơ α1 , α2 , α3 đ đư c m t cơ s tr c giao c a U .
Ta có:
β1 = α1 = (0, 1, 0, 1)
α2 , β1 1 1 1
β2 = α2 − β1 = (0, 1, 1, 0) − (0, 1, 0, 1) = 0, , 1, −
β1 , β1 2 2 2
Đ phép tính ti p theo đơn gi n hơn, ta có th ch n β2 = (0, 1, 2, −1).
α3 , β1 α3 , β2 2 2 1 1 1
β3 = α3 − β1 β2 = (1, 1, 1, 1)− (0, 1, 0, 1)− (0, 1, 2, −1) = 1, − , ,
β1 , β1 β2 , β2 2 6 3 3 3
Đ đơn gi n, ta có th ch n β3 = (3, −1, 1, 1).
V y cơ s tr c giao c a U là:
β1 = (0, 1, 0, 1)
β2 = (0, 1, 2, −1)
β3 = (3, −1, 1, 1)
Tr c chu n hóa cơ s tr c giao β1 , β2 , β3 , ta đư c cơ s tr c chu n c a U là:
5
- 1 1
e1 = 0, √ , 0, √
2 2
1 2 −1
e2 = 0, √ , √ , √
6 6 6
3 −1 1 1
e3 = √ , √ , √ , √
2 3 2 3 2 3 2 3
3 Hình chi u tr c giao và đư ng tr c giao
3.1 Đ nh lý - Đ nh nghĩa
Cho E là không gian vectơ Euclide, và U là không gian vectơ con c a E. Khi đó m i vectơ
α ∈ E đ u vi t đư c duy nh t dư i d ng:
α=α +β
trong đó α ∈ U và β ⊥ U .
Vectơ α g i là hình chi u tr c giao c a vectơ α lên U , còn β = α − α là đư ng tr c giao
h t α xu ng U .
Ch ng minh
Gi s e1 , . . . , ek là m t cơ s tr c chu n c a U . Vì α ∈ U nên α có d ng:
α = x1 e1 + · · · + xk ek
Ta c n tìm x1 , . . . , xk đ β = α − α ⊥ U .
β = α − α ⊥ U ⇔ α − α ⊥ ej , ∀j = 1, 2, . . . , k
⇔ α − α , ej = 0
⇔ α, ej − α , ej = 0
k
⇔ α, ej − xi ei , ej = 0
i=1
⇔ α, ej − xj = 0
⇔ xj = α, ej
V y vectơ α xác đ nh duy nh t b i
k
α = α, ej .ej
j=1
trong đó e1 , . . . , ek là m t cơ s tr c chu n c a U , còn vectơ β xác đ nh b i β = α − α .
3.2 Cách tìm hình chi u tr c giao
Cho không gian vectơ Euclide E, và U là không gian vectơ con c a E. Cho vectơ α ∈ E.
Đ tìm hình chi u tr c giao c a vectơ α lên U , ta có th tìm b ng hai cách sau:
6
- 1. Cách 1. Tìm m t cơ s tr c chu n e1 , e2 , . . . , ek c a U . Khi đó hình chi u tr c giao α c a
vectơ α xác đ nh b i công th c:
α = α, e1 .e1 + α, e2 .e2 + + · · · + α, ek .ek
2. Gi s u1 , . . . , uk là cơ s b t kỳ c a U . Vì α ∈ U nên α = x1 u1 + · · · + xk uk . Ta c n
tìm x1 , . . . , xk đ vectơ α − α ⊥ U .
α−α ⊥U
⇔ α − α ⊥ uj v i j = 1, 2, . . . , k
⇔ α , uj = α, uj
⇔ x1 u1 , uj + x2 u2 , uj + · · · + xk uk , uj = α, uj
L n lư t cho j = 1, 2, . . . , k, ta có x1 , . . . , xk là nghi m c a h phương trình sau:
u1 , u1 x1 + u2 , u1 x2 + · · · +
uk , u1 xk = α, u1
u1 , u2 x1 + u2 , u2 x2 + · · · +
uk , u2 xk = α, u2
.
. (∗)
.
u ,u x + u ,u x + ··· + uk , uk xk = α, uk
1 1 k 2 k 2
Như v y, đ tìm hình chi u α c a α lên U , ta c n tìm m t cơ s u1 , . . . , uk c a U , sau
đó l p h phương trình (∗). Gi i h (∗) ta s có nghi m duy nh t (x1 , . . . , xk ). Khi đó:
α = x 1 u1 + · · · + x k u k .
Ví d
Trong không gian Euclide R4 cho không gian vectơ con U sinh b i các vectơ:
α1 = (0, 1, 0, 1)
α2 = (0, 1, 1, 0)
α3 = (1, 1, 1, 1)
α4 = (1, 2, 1, 2)
(U = α1 , α2 , α3 , α4 )
Tìm hình chi u tr c giao c a vectơ x = (1, 1, 0, 0) lên U .
Gi i
Cách 1 :
Đ u tiên ta tìm m t cơ s tr c chu n c a U . ví d trư c ta đã tìm đư c m t cơ s tr c
chu n c a U là:
1 1
e1 = 0, √ , 0, √
2 2
1 2 −1
e2 = 0, √ , √ , √
6 6 6
3 −1 1 1
e3 = √ , √ , √ , √
2 3 2 3 2 3 2 3
Do đó, hình chi u tr c giao c a x là:
x = x, e1 e1 + x, e2 e2 + x, e3 e3
1 1 1
= √ e1 + √ e2 + √ e3
2 6 3
7
- 1 1 1 1
= , , ,
2 2 2 2
Cách 2 :
Đ u tiên tìm m t cơ s c a U . D th y α1 , α2 , α3 là m t cơ s c a U . Sau đó l p h phương
trình d ng (∗).
Ta có:
α1 , α1 = 2
α2 , α1 = 1
α3 , α1 = 2
x, α1 = 1
α2 , α2 = 2
α3 , α2 = 2
x, α2 = 1
α3 , α3 = 4
x, α3 = 2
Do đó, h phương trình (∗) trong trư ng h p này có d ng:
2x1 + x2 + 2x3 = 1
x1 + 2x2 + 2x3 = 1
2x1 + 2x2 + 4x3 = 2
1
Đây là h Cramer, gi i h này ta có x1 = 0, x2 = 0, x3 = . Do đó, hình chi u tr c giao
2
c a vectơ x là:
1 1 1 1 1
x = 0α1 + 0α2 + α3 = , , ,
2 2 2 2 2
3.3 Đ nh nghĩa
Cho U là không gian vectơ con c a không gian Euclide E và α là vectơ thu c E. Khi đó
góc gi a hai vectơ α và hình chi u tr c giao α cũng đư c g i là góc gi a vectơ α và không gian
con U .
Đ dài c a đư ng th ng tr c giao β = α − α t α đ n U g i là kho ng cách t vectơ α
đ n U.
4 Phép bi n đ i tr c giao và phép bi n đ i đ i x ng
4.1 Hai không gian Euclide đ ng c u
Cho hai không gian vectơ Euclide E1 v i tích vô hư ng , 1 và E2 v i tích vô hư ng , 2 .
Ta nói E1 đ ng c u v i E2 , ký hi u E1 ∼ E2 n u t n t i đ ng c u gi a hai không gian vectơ
=
f : E1 → E2 th a:
∀α, β ∈ E1 , α, β 1 = f (α), f (β) 2
Quan h đ ng c u là m t quan h tương đương và ta có k t qu sau:
Đ nh lý. Hai không gian Euclide đ ng c u khi và ch khi chúng có cùng s chi u.
8
- Ch ng minh
N u E1 ∼ E2 thì theo đ nh nghĩa E1 , E2 là các không gian vectơ đ ng c u nên
=
dim E1 = dim E2 .
Ngư c l i, gi s dim E1 = dim E2 = n và α1 , . . . , αn (α), β1 , . . . , βn (β) l n lư t là cơ
s tr c chu n c a E1 và E2 . Khi đó t n t i ánh x tuy n tính f : E1 → E2 , f (αi ) = βi ,
i = 1, 2, . . . , n. Vì f bi n cơ s thành cơ s nên f là đ ng c u không gian vectơ. Ta ch ng minh
x, y 1 = f (x), f (y) 2 .
Th t v y, ∀x, y ∈ E1 , ta có:
n
x= xi αi
i=1
n
y= yi αj
j=1
Khi đó:
x, y 1 = xi αi , yj αj 1
= xi yj αi , αj 1
i,j
n
= xi yi
i=1
f (x), f (y) 2 = f( xi , αi ), f ( yj αj ) 2
= xi f (αi ), yj f (αj ) 2
= xi βi ), yj βj 2
= xi yj βi , βj 2
n
= xi yi
i=1
V y x, y 1 = f (x), f (y) 2 và E1 ∼ E2 .
=
4.2 Phép bi n đ i tr c giao
4.2.1 Ma tr n tr c giao
Ma tr n vuông A g i là ma tr n tr c giao n u A−1 = At (At : ma tr n chuy n v c a A).
4.2.2 Đ nh nghĩa
Cho E là không gian vectơ Euclide. M t phép bi n đ i tuy n tính f c a E g i là phép bi n
đ i tr c giao c a E n u f b o toàn tích vô hư ng, t c là:
∀α, β ∈ E, α, β = f (α), f (β)
D th y, phép bi n đ i tr c giao là m t song ánh vì:
f (α) = 0 ⇔ f (α), f (α) = 0 ⇔ α, α = 0 ⇔ α = 0
Tính ch t cơ b n nh t c a phép bi n đ i tr c giao đư c cho trong đ nh lý sau.
9
- 4.2.3 Đ nh lý
Cho f là phép bi n đ i tuy n tính c a không gian vectơ Euclide E. Khi đó các kh ng đ nh
sau tương đương:
1. f là phép bi n đ i tr c giao.
2. f bi n cơ s tr c chu n c a E thành cơ s tr c chu n c a E.
3. Ma tr n c a f trong m t cơ s tr c chu n là ma tr n tr c giao.
Ch ng minh
1) ⇒ 2) Gi s e1 , . . . , en là cơ s tr c chu n c a E. Khi đó:
1n ui=j
ei , ej = δij =
0n ui=j
Vì f là phép bi n đ i tr c giao, nên:
1n ui=j
f (ei ), f (ej ) = ei , ej = δij =
0n ui=j
Do đó, f (e1 ), . . . , f (en ) là cơ s tr c chu n.
2) ⇒ 3) Ma tr n c a f trong cơ s tr c chu n e1 , . . . , en theo đ nh nghĩa chính là ma tr n đ i
cơ s t e1 , . . . , en sang cơ s tr c chu n f (e1 ), . . . , f (en ). Vì ma tr n đ i cơ s gi a hai
cơ s tr c chu n là ma tr n tr c giao (xem bài t p 10) nên ma tr n c a f trong cơ s
tr c chu n là ma tr n tr c giao.
3) ⇒ 1) Gi s e1 , . . . , en (e) là cơ s tr c chu n c a E và A = Af /(e) là ma tr n tr c giao
(At = A−1 ).
V i α, β ∈ E, α = a1 e1 + · · · + an en , β = b1 e1 + · · · + bn en
Khi đó,
α, β = [α]t (e) [β]/(e)
/
= [α]t (e) I[β]/(e)
/
= [α]t (e) A−1 A[β]/(e)
/
= [α]t (e) At A[β]/(e)
/
= (A[α]/(e) )t (A[β]/(e) )
= [f (α)]t (e) .[f (β)]/(e)
/
= f (α), f (β)
4.3 Phép bi n đ i đ i x ng
4.3.1 Đ nh nghĩa
Cho E là không gian vectơ Euclide. Phép bi n đ i tuy n tính f c a E g i là phép bi n đ i
đ i x ng n u ∀α, β ∈ E : f (α), β = α, f (β) .
10
- 4.3.2 Đ nh lý
M t phép bi n đ i tuy n tính c a E là phép bi n đ i đ i x ng khi và ch khi ma tr n c a
f trong m t cơ s tr c chu n là ma tr n đ i x ng.
Ch ng minh
Gi s f : E → E là phép bi n đ i tuy n tính, ma tr n c a f trong cơ s tr c chu n
e1 , . . . , en là A = [aij ]. Khi đó:
n
f (ei ) = aki ek
k=1
V i m i i, j ta có:
n n
f (ei ), ej = aki ek , ej = aki ek , ej = aji
k=1 k=1
n n
ei , f (ej ) = ei , akj ek = akj ei , ek = aij
k=1 k=1
• N u f là phép bi n đ i đ i x ng, thì f (ei ), ej = ei , f (ej ) . Do đó, aji = aij . V y ma
tr n A là ma tr n đ i x ng.
• N u ma tr n A đ i x ng, t c là aji = aij thì f (ei ), ej = ei , f (ej ) ∀i, j.
n n
N uα= xi ei , β = yj ej c a E thì:
i=1 j=1
f (α), β = xi f (ei ), yj ej = xi yj f (ei ), ej = xi yj ei , f (ej )
i,j i,j
= xi ei , yj f (ej )
= α, f (β)
V y f là phép bi n đ i đ i x ng.
11
nguon tai.lieu . vn
