Xem mẫu
- Đ I S CƠ B N
(ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C)
Bài 12. Không gian vectơ con
PGS TS M Vinh Quang
Ngày 28 tháng 2 năm 2006
1 Đ nh nghĩa và các ví d
1.1 Đ nh nghĩa
Cho V là không gian vectơ. T p con U (khác r ng) c a V g i là không gian vectơ con c a
V n u các phép toán c ng và phép toán nhân vô hư ng c a V thu h p trên U là các phép toán
trong U , đ ng th i U cùng v i các phép toán đó làm thành m t không gian vectơ.
T đ nh nghĩa không gian vectơ con, ta d dàng có đư c k t qu dư i đây.
1.2 Tiêu chu n c a không gian vectơ con
T p con U (khác r ng) c a không gian vectơ V là không gian vectơ con c a V khi và ch
khi:
1. V i m i α, β ∈ U , ta có: α + β ∈ U
2. V i m i α ∈ U , ta có −α ∈ U
Như v y, vi c ki m tra t p con U c a V có là không gian vectơ con hay không khá đơn
gi n: ta ch vi c ki m tra xem U có các tính ch t 1 và 2 hay không. B n đ c có th v n d ng
tiêu chu n trên đ t ki m tra các ví d sau.
1.3 Các ví d
1.3.1 Ví d 1
T p {0} ch g m vectơ-không là không gian vectơ con c a V .
T p V cũng là không gian vectơ con c a V .
Các không gian con {0}, V g i là các không gian vectơ con t m thư ng c a V .
1.3.2 ví d 2
A = {(x1 , . . . , xn ) | x1 + x2 + · · · + xn = 0} ⊂ Rn là không gian con c a Rn .
B = {(x1 , . . . , xn ) | x1 + x2 + · · · + xn ≥ 0} ⊂ Rn không là không gian con c a Rn , có th
d dàng ki m tra B không có tính ch t 2.
1
- 1.3.3 Ví d 3
T p Rn [x] g m đa th c không và các đa th c h s th c có b c ≤ n là không gian con c a
R[x].
T p các đa th c h s th c b c n không là không gian con c a R[x] vì c 2 đi u ki n 1 và
2 đ u không đư c th a mãn.
1.3.4 Ví d 4
T p Tn (R) các ma tr n tam giác trên c p n là không gian con c a không gian Mn (R) các
ma tr n vuông c p n.
1.4 S chi u c a không gian con
Liên quan đ n s chi u c a không gian vectơ con, ta có đ nh lý sau:
N u U là không gian vectơ con c a V thì dim U ≤ dim V và dim U = dim V ⇔ U = V .
Ch ng minh
Gi s α1 , . . . , αm là cơ s c a U ; β1 , . . . , βn là cơ s c a V . Vì U ⊂ V nên h vectơ (α) bi u
th tuy n tính đư c qua h (β). Do đó theo b đ cơ b n, ta có m ≤ n, t c là dim U ≤ dim V .
N u dim U = dim V = n thì α1 , . . . , αn là h đ c l p tuy n tính có đúng n = dim V vectơ
nên α1 , . . . , αn là cơ s c a V . Do đó U = V
2 M t s các không gian con
2.1 Không gian giao và không gian t ng
Dùng tiêu chu n không gian vectơ con, ta có th d dàng ch ng minh đư c các k t qu sau:
• N u A, B là các không gian vectơ con c a V thì A ∩ B là không gian vectơ con c a V .
T ng quát, giao c a m t h tùy ý các không gian vectơ con c a V là không gian vectơ
con c a V .
• Cho A, B là các không gian vectơ con c a V , ta đ nh nghĩa:
A + B := {x = α + β | α ∈ A, β ∈ B} ⊂ V
(x ∈ A + B ⇔ x = α + β v i α ∈ A, β ∈ B)
Khi đó, A + B là không gian vectơ con c a V g i là không gian t ng c a các không gian
con A và B.
Liên quan đ n s chi u c a không gian giao và không gian t ng ta có đ nh lý sau.
Đ nh lý. N u A, B là các không gian con c a không gian vectơ V (h u h n chi u) thì:
dim(A + B) = dim A + dim B − dim(A + B)
Ch ng minh. Gi s α1 , . . . , αr là cơ s c a A ∩ B (dim A ∩ B = r). Vì α1 , . . . , αr là
h vectơ đ c l p tuy n tính c a A nên ta có th b sung thêm các véctơ đ đư c h vectơ
α1 , . . . , αr , β1 , . . . , βs là cơ s c a A (dim A = r + s).
Tương t c, ta có th b sung thêm các vectơ đ đư c h vectơ α1 , . . . , αr , γ1 , . . . , γt là cơ
s c a B (dim B = r + t).
Ta ch ng minh h vectơ α1 , . . . , αr , β1 , . . . , βs , γ1 , . . . , γt là cơ s c a A + B. Th t v y:
2
- • α1 , . . . , αr , β1 , . . . , βs , γ1 , . . . , γt là h sinh vì: v i m i x ∈ A + B, ta có x = y + z v i
y ∈ A, z ∈ B.
Vì y ∈ A nên y = a1 α1 + · · · + ar αr + b1 β1 + · · · + bs βs
Vì z ∈ B nên z = a1 α1 + · · · + ar αr + c1 γ1 + · · · + ct γt
trong đó ai , ai , bj , ck ∈ R.
Khi đó, x = (a1 + a1 )α1 + · · · + (ar + ar )αr + b1 β1 + · · · + bs βs + c1 γ1 + ct γt
V y h trên là h sinh c a A + B.
• α1 , . . . , αr , β1 , . . . , βs , γ1 , . . . , γt là h vectơ đ c l p tuy n tính.
Gi s a1 α1 + · · · + ar αr + b1 β1 + · · · + bs βs + c1 γ1 + · · · + ct γt = 0 (1)
trong đó ai , bj , ck ∈ R.
Xét vectơ x = a1 α1 + · · · + ar αr + b1 β1 + · · · + bs βs = −c1 γ1 − · · · − ct γt (2)
Vì α1 , . . . , αr , β1 , . . . , βs là cơ s c a A nên x ∈ A. M t khác, γ1 , . . . , γt ∈ B nên x ∈ B.
Do đó x ∈ A ∩ B. B i v y, x = a1 α1 + · · · + ar αr (3) v i ai ∈ R.
T (2) và (3) ta có:
(a1 − a1 )α1 + · · · + (ar − ar )αr + b1 β1 + · · · + bs βs = 0
Vì α1 , . . . , αr , β1 , . . . , βs đ c l p tuy n tính nên b1 = b2 = · · · = bs = 0.
Thay vào (1) ta có:
a1 α1 + · · · + ar αr + c1 γ1 + · · · + ct γt = 0
Do đó, a1 = · · · = ar = c1 = · · · = ct = 0
V y h trên đ c l p tuy n tính
Như v y, ta đã ch ng minh đư c h vectơ α1 , . . . , αr , β1 , . . . , βs , γ1 , . . . , γt là cơ s c a A+B.
Do đó:
dim(A + B) = r + s + t
= (r + s) + (r + t) − r
= dim A + dim B − dim(A ∩ B)
2.2 Không gian con sinh b i m t h vectơ
Cho V là không gian vectơ, α1 , . . . , αn là h vectơ c a V . Ta đ nh nghĩa:
α1 , . . . , αn := {x = a1 α1 + a2 α2 + · · · + an αn | ai ∈ R} ⊂ V
(x ∈ V ⇔ T n t i ai ∈ R đ x = a1 α1 + · · · + an αn )
Dùng tiêu chu n không gian vectơ con, ta có ngay α1 , . . . , αn là không gian vectơ con c a
V . Không gian con này g i là không gian con c a V sinh b i h vectơ α1 , α2 , . . . , αn (hay còn
g i là bao tuy n tính c a h vectơ α1 , α2 , . . . , αn ).
T đ nh nghĩa, ta có: α1 , . . . , αn chính là m t h sinh c a không gian vectơ con α1 , . . . , αn .
B i v y, m i h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a h α1 , . . . , αn đ u là h sinh, do đó là cơ s
c a không gian vectơ con α1 , . . . , αn .
3
- 2.3 Không gian con các nghi m c a h phương trình tuy n tính
thu n nh t
Cho h phương trình tuy n tính thu n nh t m phương trình, n n.
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0
.
. (I)
.
a x + a x + ··· + a x = 0
m1 1 m2 2 mn n
M i nghi m c a h (I) có th xem là m t vectơ trong không gian Rn . Dùng tiêu chu n
không gian vectơ con có th d dàng ch ng minh t p nghi m N c a h phương trình tuy n
tính thu n nh t (I) là không gian vectơ con c a Rn . Không gian con này g i là không gian con
các nghi m c a h (I).
N u ta ký hi u r = rank A thì s chi u c a không gian con các nghi m c a h (I): dim N =
n − r. Cơ s c a không gian nghi m N c a h (I) ta g i là h nghi m cơ b n c a h (I). Đ
tìm h nghi m cơ b n c a h (I) (cơ s c a không gian nghi m N ), ta làm như sau:
• Gi i h phương trình (I), h có nghi m t ng quát ph thu c n − r tham s .
• Gi s các tham s là xi1 , . . . , xin−r .
Cho xi1 = 1, xi2 = 0, . . . , xin−r = 0, t c là (xi1 , xi2 , . . . , xin−r ) = (1, 0, . . . , 0). Tính các xi
còn l i theo công th c nghi m t ng quát, ta s đư c m t nghi m c a h (I) ký hi u là α1 .
• Tương t v i (xi1 , xi2 , xi3 , . . . , xin−r ) = (0, 1, 0, . . . , 0) . . . (xi1 , xi2 , . . . , xin−r ) = (0, 0, . . . , 1),
ta s thu đư c các nghi m α2 , . . . , αn−r .
Khi đó, α1 , α2 , . . . , αn−r là cơ s c a N (là h nghi m cơ b n c a h (I)).
B n đ c s th y rõ quá trình trên thông qua ví d c th sau:
Ví d . Tìm cơ s c a không gian nghi m N c a h phương trình tuy n tính thu n nh t
x1 + 2x2 + 2x4 + x5 = 0
2x1 + 4x2 + x3 + 3x4 = 0
3x1 + 6x2 + 2x3 + 3x4 + x5 = 0
x1 + 2x2 + x3 + x5 = 0
Gi i. Đ u tiên ta gi i h đã cho.
Bi n đ i ma tr n các h s m ng:
r
1 2 0 2 1 0 1 2 0 2 1 0
2 4 1 3 0 0 0 0 1 −1 −2 0
A= 3 6 2 3 1 0 −→ 0 0 2 −3 −2 0
1 2 1 0 1 0 0 0 1 −2 0 0
∗
1 2 0 2 1 0 1 2 0 2 1 0
0 0 1 −1 −2 0 ∗
−→ 0 0 1 −1∗ −2 0
−→ 0 0 0 −1 0 0 0 −1
2 0 2 0
0 0 0 −1 2 0 0 0 0 0 0 0
rank A = 3, h có vô s nghi m ph thu c hai tham s là x2 , x5 . Ta có:
x4 = 2x5
x3 = x4 + 2x5 = 4x5
x1 = −2x2 − 2x4 − x5 = −2x2 − 5x5
4
- V y nghi m t ng quát c a h là:
x1 = −2x2 − 5x5
x3 = 4x5
x4 = 2x5
x2 , x5 tùy ý
Ch n x2 = 1, x5 = 0, ta s có x1 = −2, x3 = 0, x4 = 0, ta đư c vectơ α1 = (−2, 1, 0, 0, 0).
Ch n x2 = 0, x5 = 1, ta s có x1 = −5, x3 = 4, x4 = 2, ta đư c vectơ α2 = (−5, 0, 4, 2, 1).
V y cơ s c a không gian nghi m N c a h trên là h {α1 , α2 }, N = α1 , α2 , dim N = 2.
2.4 M t vài nh n xét
Cho A và B là các không gian vectơ con c a V . N u A = α1 , . . . , αm , B = β1 , . . . , βn
thì A + B = α1 , . . . , αm , β1 , . . . , βn .
Th t v y, vì A ⊂ A + B, B ⊂ A + B nên các vectơ αi , βj ∈ A + B, và do đó ta có
α1 , . . . , αm , β1 , . . . , βn ⊂ A + B
Ngư c l i, n u x ∈ A + B thì x = y + z trong đó y ∈ A, z ∈ B. Ta có y ∈ A nên
y = a1 α1 + · · · + am αm , đ ng th i z ∈ B nên z = b1 β1 + · · · + bn βn , v i ai , bj ∈ R.
B i v y, x = y + z = a1 α1 + · · · + am αm + b1 β1 + · · · + bn βn ∈ A + B.
T nh n xét trên ta có chú ý sau:
N u A = α1 , . . . , αm , B = β1 , . . . , βn thì α1 , . . . , αm , β1 , . . . , βn là m t h sinh c a A + B
và do đó h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a h vectơ α1 , . . . , αm , β1 , . . . , βn là cơ s c a A+B.
* N u A là không gian vectơ con c a không gian vectơ h u h n chi u V thì A luôn có th
vi t dư i d ng A = α1 , . . . , αm .
Th t v y, gi s α1 , . . . , αm là m t cơ s (ho c h sinh) b t kỳ c a A thì ta có ngay
A = α1 , . . . , αm .
* N u A là không gian vectơ con c a không gian Rn thì A có th xem như không gian
nghi m c a h phương trình tuy n tính thu n nh t có n n nào đó.
Th t v y, gi s α1 , . . . , αm là cơ s c a A thì A = α1 , . . . , αm . Vectơ x = (a1 , . . . , an ) ∈ A
khi và ch khi phương trình vectơ x = x1 α1 + · · · + xm αm (xi ∈ R) có nghi m, khi và ch khi
x = (a1 , . . . , an ) là nghi m c a h phương trình tuy n tính thu n nh t nào đó. B n đ c có th
th y rõ đi u này qua ví d sau.
Ví d . Trong R4 cho các vectơ α1 = (1, −1, 0, 1), α2 = (1, 1, 1, 0), α3 = (2, 0, 1, 1) và cho
không gian con A = α1 , α2 , α3 .
Tìm m t đi u ki n c n và đ đ vectơ x = (a1 , a2 , a3 , a4 ) ∈ A.
Gi i. Vectơ x ∈ A khi và ch khi phương trình (a1 , a2 , a3 , a4 ) = x1 α1 + x2 α2 + x3 α3 có
nghi m, nghĩa là h phương trình
1 1 2 a1
−1 1 0 a2
0 1 1 a3 (∗)
1 0 1 a4
có nghi m.
Bi n đ i h (*):
5
-
1 1 2 a1 1 1 2 a1
0 2 2 a1 + a2 0 2 2 a3
(∗) −→ −→
0 1 1 a3 0 0 0 a1 + a2 − 2a3
0 −1 −1 −a1 + a4 0 0 0 −a1 + a3 + a4
H (*) có nghi m khi và ch khi
a1 + a2 − 2a3 = 0
−a1 + a3 + a4 = 0
a1 + a2 − 2a3 = 0
Do đó, đi u ki n c n và đ đ vectơ x = (a1 , a2 , a3 , a4 ) ∈ A là:
−a1 + a3 + a4 = 0
Và do đó, A chính là không gian nghi m c a h phương trình:
x1 + x2 − 2x3 = 0
−x1 + x3 + x4 = 0
6
- Bài t p
13. Cho A, B là các không gian vectơ con c a không gian vectơ V . Ch ng minh r ng A ∪ B
là không gian vectơ con c a V khi và ch khi A ⊂ B ho c B ⊂ A.
14. Cho V là không gian vectơ và A là không gian vectơ con c a V . Ch ng minh r ng t n
t i không gian vectơ con B c a V sao cho A + B = V , A ∩ B = {0}.
15. Trong R4 cho các vectơ: u1 = (1, 1, 0, 0), u2 = (1, 1, 1, 1), u3 = (0, −1, 0, 1), u4 =
(1, 2, −1, −2) và E = u1 , u2 , u3 , u4 .
(a) Tìm m t cơ s và s chi u c a E.
(b) Tìm m t đi u ki n c n và đ đ vectơ x = (a1 , a2 , a3 , a4 ) ∈ E.
(c) Cho vectơ v1 = (1, a3 , a, 1), v2 = (1, b, b3 , 1), v3 = (ab + 1, ab, 0, 1). Tìm a, b đ v1 ,
v2 , v3 là cơ s c a E.
16. Trong R4 cho các không gian con:
U = (2, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1), (0, −2, −1, −1)
x1 − x3 − x4 = 0
V = (x1 , x2 , x3 , x4 )
x2 − x3 + x4 = 0
(a) Tìm cơ s , s chi u c a các không gian vectơ U , V , U + V .
(b) Tìm cơ s , s chi u c a không gian vectơ con U ∩ V .
17. Cho U là không gian vectơ con c a V . Bi t r ng dim U = m < dim V = n. Ch ng minh:
(a) Có cơ s c a V không ch a vectơ nào c a U .
(b) Có cơ s c a V ch a đúng k vectơ c a U (0 ≤ k ≤ m).
18. Cho A, B là các ma tr n c p m × n (A, B ∈ Mm×n (R)). Ch ng minh:
rank(A + B) ≤ rank A + rank B
7
nguon tai.lieu . vn
