Xem mẫu

  1. TS. Tr n Thái Ninh Hư ng d n ôn t p Xác su t và Th ng kê toán Hà n i 2007
  2. 2 Chương I Bi n c ng u nhiên và xác su t 1/ ð nh nghĩa c ñi n c a xác xu t Bài t p m u t ñ Bài 1.1a. T (6 , 4 ) → L y ng u nhiên ra 2 qu . Tìm xác su t các bi n c sau ñây: a. A = (L y ñư c 2 qu ñ ) b. B = (L y ñư c hai qu khác m u) c. C = (L y ñư c ít nh t m t qu ñ ) Bài 1.1b. Cho hai cái thùng và theo cách ký hi u như trên ta có th vi t như sau: T1 (6t, 4ñ), T2 (5t, 5ñ). T thùng 1 l y ng u nhiên ra 2 qu và t thùng 2 l y ng u nhiên ra 1 qu . Tìm xác su t các bi n c sau ñây: a. A = (C 3 qu l y ra ñ u là ñ ) b. B = (Trong 3 qu l y ra có ñúng 2 qu ñ ) c. C = (Trong 3 qu l y ra có ít nh t m t qu ñ ) Bài 1.2. Ngư i ta chia m t t m bìa có in dòng ch KINH TE KE HOACH thành 13 ph n tương ng v i 13 ch cái. Tìm xác su t x p ng u nhiên 10 t m bìa trong s 13 t m bìa nói trên thành ch KHOA KINH TE. Bài 1.3.a (Bài toán khách hàng). Có 3 khách hàng không quen bi t nhau cùng ñi mua hàng m t c a hàng có 5 qu y hàng. Gi s các khách hàng ch n qu y hàng ñ mua hàng m t cách ng u nhiên. Tìm xác su t các bi n c sau ñây: a. A = (C 3 khách hàng cùng vào m t qu y) b. B = (3 khách hàng vào 3 qu y khác nhau) c. C = (Có hai ngư i vào qu y s 1) d. D = (Có hai ngư i vào cùng m t qu y) Bài 1.3.b. 5 khách hàng không quen bi t nhau và cùng vào mua hàng m t c a hàng có 3 qu y hàng. N u s l a ch n qu y hàng c a khách hàng là ng u nhiên thì hãy tìm xác su t c a các bi n c sau: a. A = (C 5 khách hàng cùng vào 1 qu y) b. B = (Có 3 ngư i vào cùng 1 qu y) c. C = (5 ngư i khách vào hai qu y t c là 2 qu y có khách) d. D = (Qu y nào cũng có khách hàng) 2/ ð nh lí c ng và nhân xác xu t Bài t p m u Bài 1.4. Trong m t căn phòng có m t m ch ñi n như hình v sau ñây: 2 1 3 K Gi s s ki n các b ng 1,2,3 b cháy khi b t công t c K là ng u nhiên và ñ c l p v i nhau. Xác su t các bóng b cháy cho trư c và b ng 0,1; 0,2; 0,3 tương ng. Tìm xác su t phòng không có ánh sách khi b t công t c.
  3. 3 Bài t p c ng c Bài 1.5. M t chi c máy bay l n lư t ném m i l n m t qu bom xu ng m t chi c c u cho ñ n khi bom trúng c u thì thôi. Tìm xác su t máy bay ném bom trúng c u mà t n không quá 2 qu bom bi t r ng xác su t ném bom trúng c u không ñ i và b ng 0,7. Bài 1.6. B n m t viên ñ n vào hai m c tiêu, xác su t ñ n trúng m c tiêu 1 là 0,5, trúng m c tiêu hai là 0,3. Sau khi b n ñài quan sát báo có m c tiêu b trúng ñ n. Tìm xác su t m c tiêu th nh t trúng ñ n (gi thi t ñ n không th cùng m t lúc trúng c hai m c tiêu) Bài 1.7. Hai Công ty A và B cùng kinh doanh m t m t hàng. Xác su t công ty A thua l là 0,2 xác su t công ty B thua l là 0,4. Tuy nhiên trên th c t kh năng c hai công ty cùng thua l ch là 0,1. Tìm xác su t các bi n c sau ñây: a. Ch có m t công ty thua l b. Có ít nh t m t công ty làm ăn không thua l . 3/ công th c xác su t ñ y ñ – công th c bayes Bài t p m u t ñ t ñ Bài 1.8. Cho hai cái thùng v i cơ c u các qu c u như sau: T1(6 , 4 ), T2(5 , 5 ). Ngư i ta l y ng u nhiên 2 qu t thùng m t(T1) r i b vào thùng hai(T2). Sau ñó l y ng u nhiên ra 1 qu t T2. a/ Tìm xác su t l y ra ñư c qu ñ . Gi s l y ñư c qu ñ . Tìm xác su t: b/ Qu ñ ñó là c a thùng 1 c/ Hai qu b t T1 sang T2 ñ u là ñ . Bài 1.9. Cho hai thùng T1 (6t, 4ñ), T2 (5t, 5ñ). T T1 l y ra 2 qu và t T2 l y ra 1 qu (không nhìn). Sau ñó ch n ng u nhiên m t qu t 3 qu ñó. a/ Tìm xác su t bi n c A = (Ch n ñư c qu ñ ). Gi s ch n ñư c qu ñ , tìm xác su t: b/ C 3 qu l y ra t T1 và T2 ñ u là ñ . c/ Qu ch n ñư c là qu c a thùng m t. Bài t p c ng c Bài 1.10 T l ph ph m c a máy 1 là 1% , c a máy 2 là 2%. M t lô s n ph m g m 40% s n ph m c a máy 1 và 60% s n ph m c a máy 2. Ngư i ta l y ng u nhiên ra 2 s n ph m ñ ki m tra. a/ Tìm xác su t trong hai s n ph m l y ra có ít nh t 1 s n ph m t t?. b/ Gi s hai s n ph m ki m tra ñ u là t t thì kh năng l y ti p ñư c hai s n ph m t t n a là bao nhiêu ? Bài 1.11 M t chi c máy có 3 b ph n 1,2,3. Xác su t c a các b ph n trong th i gian làm vi c b h ng tương ng là 0,2; 0,4; 0,3. Cu i ngày làm vi c ñư c thông báo có 2 b ph n b h ng. Tìm xác su t hai b ph n b h ng ñó là 1 và 2.
  4. 4 Chương II Bi n ng u nhiên và quy lu t phân b xác su t Bài t p m u Bài 2.1. Trong m t phân xư ng có ba c máy ho t ñ ng ñ c l p v i nhau. Xác su t ñ các máy b h ng trong m t ca s n xu t tương ng là: 0,1; 0,2; 0,3. a. Xác ñ nh quy lu t phân b xác su t c a s máy h ng trong m t ca s n xu t. b. Tìm xác su t trong 3 ca s n xu t liên t c có ít nh t m t ca không có máy h ng. c. Trung bình trong m t ca s n xu t có bao nhiêu máy t t. Bài 2.2. Theo tài li u th ng kê v tai n n giao thông m t khu v c thì ngư i ta th y t l xe máy b tai n n là 0,0055 (v /t ng s xe/năm). M t công ty b o hi m ñ ngh t t c các ch xe ph i mua b o hi m xe máy v i s ti n là 30.000ñ/xe và s ti n b o hi m trung bình cho m t v tai n n là 3.000.000ñ. H i l i nhu n công ty kỳ v ng thu ñư c ñ i v i m i h p ñ ng b o hi m là bao nhiêu bi t r ng chi phí cho qu n lý và các chi phí khác chi m 30% s ti n bán b o hi m. Bài t p c ng c Bài 2.3. Gieo 2 con xúc x c, g i X là t ng s ch m xu t hi n. Tính EX và V(X). Bài 2.4. Theo s li u th ng kê m t c a hàng kinh doanh rau tươi thì ngư i ta th y lư ng rau bán ra là bi n ng u nhiên có b ng phân b xác su t như sau : x(kg) 10 15 20 25 30 p 0,1 0,15 0,45 0,2 0,1 N u giá nh p là 10000ñ/kg thì c a hàng s lãi 5000ñ cho m i kg bán ra, tuy nhiên n u ñ n cu i ngày không bán ñư c s b l 8000ñ/kg. V y m i ngày c a hàng nên nh p bao nhiêu kg rau ñ hy v ng s thu ñư c lãi nhi u nh t? Bài 2.5. M t ngư i ñi mau hàng v i xác su t ch n ñư c hàng t t là 0,9. N u l n trư c ngư i ñó ch n ñư c hàng x u thì xác su t ch n ñư c hàng t t l n sau là 0,95 còn n u l n trư c ngư i ñó ch n ñư c hàng t t thì không có kinh nghi m gì khi mua l n sau. Ngư i ñó ñã mua hàng 2 l n, m i l n mua 1 s n ph m. a. Tìm xác su t ñ có 1 l n mua ph i hàng x u b. Tìm s hàng t t trung bình mua ñư c sau 2 l n mua và xác su t ñ mua ñư c s hàng t t trung bình ñó. Bài 2.6. M t công ty d ñ nh t ch c bu i ca nh c vào ñêm Noel t i sân v n ñ ng . S ngư i s ñ n xem d ki n là : - N u tr i không mưa và m thì s có 10.000 ngưòi ñ n .
  5. 5 - N u tr i không mưa và rét thì s có 5.000 ngưòi ñ n . - N u tr i mưa và m thì s có 2.000 ngưòi ñ n . - N u tr i mưa và rét thì s có 1.000 ngưòi ñ n . Các kho n chi phí bao g m : Thuê sân 5 tri u , thuê ban nh c 20 tri u , chi cho qu n lý và các d ch v khác 10 tri u , thu doanh thu 10% . N u giá vé ñư c quy ñ nh là 10.000 ñ thì ti n lãi thu ñư c trung bình là bao nhiêu ? Bi t r ng ngư i ta d ñoán ñư c 60% ñêm Noel không mưa và 80% ñêm Noel tr i s rét . Gi thi t tr i mưa hay không mưa ñ c l p v i tr i rét hay m . N u mu n ti n lãi thu ñư c b ng 30% doanh thu thì ph i quy ñ nh giá vé là bao nhiêu ? Chương III M t s quy lu t phân b xác su t quan tr ng 1/ Quy lu t nh th c : Bi(n,p) - A có P(A) = p không ñ i - Th c hi n n phép th ñ c l p ñ i v i A => X ~ B(n,p) ; EX=np , V(X) = np(1-p) - X =( S l n x y ra A trong n phép th nói trên ) k2 + Công th c tính xác su t : P( k1 < X < k2 ) = ∑ C p (1 − p) i = k1 i i n n −i i = 1,2,..., n. + Xác ñ nh s có kh năng x y ra l n nh t : np + p -1 ≤ k ≤ np + p 2/ Quy lu t phân b chu n : N(µ , σ2) µ b−µ a−µ - P( a < X < b ) = Φ 0 ( ) − Φ0 ( ) σ σ ε  - P( | X - EX |
  6. 6 ch a k p th i t t c các máy h ng trong ca chúng ta nên b trí bao nhiêu k sư máy tr c cho m t ca s n xu t là h p lý nh t. 1. Quy lu t phân b chu n Bài 3.2. Tu i th c a m t lo i s n ph m s n xu t hàng lo t là bi n ng u nhiên phân ph i chu n v i µ = 1000 gi và σ 2 = 100 gi . a. N u th i gian b o hành là t = 980 gi hãy tính t l s n ph m ph i b o hành p. b. N u bán ñư c m t s n ph m lãi 50.000 ñ ng, nhưng n u trong th i gian b o hành s n ph m b h ng thì chi phí b o hành trung bình là 500.000 ñ ng. H i ti n lãi trung bình ñ i v i m i s n ph m bán ra là bao nhiêu. N u mu n ti n lãi trung bình ñ i v i m i s n ph m bán ra là m0 =4500 thì ph i h t l b o hành xu ng m c p0=? c. N u mu n t l b o hành là p0 =0,01 thì ph i quy ñ nh th i gian b o hành là bao nhiêu. e. N u th i gian b o hành t không ñ i nhưng chúng ta l i mu n gi m t l b o hành xu ng m c p0 thì ph i tăng ch t lư ng s n ph m b ng cách nâng tu i th trung bình c a s n ph m lên bao nhiêu gi ? Bài t p c ng c Bài 3.3. Tìm xác su t chon ng u nhiên m t gia ñình 4 ñ a con thì gia ñình ñó : a. Có ít nh t m t con trai b. Có ít nh t m t ñ a con trai và m t ñ a con gái. Gi thi t r ng xác su t sinh con trai và con gái là như nhau. Bài 3.4. Chi u dài c a chi ti t ñư c gia công trên máy t ñ ng là bi n ng u nhiên tuân theo quy lu t phân ph i chu n v i ñ l ch tiêu chu n là 0,01 mm. Chi ti t ñư c coi là ñ t tiêu chu n n u các kích thư c th c t c a nó sai l ch so v i kích thư c trung bình không vư t quá 0,02 mm. a) Tìm t l chi ti t không ñ t tiêu chu n. b) Xác ñ nh ñ ñ ng ñ u c n thi t c a s n ph m ñ t l chi ti t không ñ t tiêu chu n ch còn 1% . Bài 3.5. Có hai th trư ng A và B, lãi su t c a c phi u trên hai th trư ng này là các bi n ng u nhiên phân ph i chu n, ñ c l p v i nhau, có kỳ v ng và phương sai ñư c cho trong b ng dư i ñây. Trung bình Phương sai Th trư ng A 19% 36 Th trư ng B 22 % 100 a. N u m c ñích là ñ t ñư c lãi su t t i thi u b ng 10% thì nên ñ u tư vào lo i c phi u nào? b. ð tránh r i ro thì nên ñ u tư vào c phi u trên c hai th trư ng theo t l như th nào? Chương IV Bi n ng u nhiên hai chi u 1/ Phân b xác su t : - P( X = xi , Y = yj ) = pij = P( X = xi ) P( Y = yj / X = xi ) = P( Y = yj ) P( X = xi / Y = yj ) P( X = x i , Y = y þ ) - P( X = x i / Y = y þ ) = P (Y = y þ ) 2/ Kỳ v ng có ñi u ki n :
  7. 7 - E(X/ Y= yj ) = ∑ xiP( X= xi / Y= yj ) 3/ Hi p phương sai - H s tương quan : cov( X , Y ) - cov(X,Y) = ∑(xi - EX)(yj - EY)pij = ∑ xi yjpij - EX.EY → ρXY= V ( X ) V (Y ) 2 2 - V(aX + bY) = a V(X) + b V(Y) + 2abcov(X,Y) Bài t p m u Bài 4.1. t ñ t ñ Cho 2 cái thùng: T1 (6 , 4 ), T2 (5 , 5 ) L y ng u nhiên 2 qu t thùng 1 b sang thùng 2, sau ñó t thùng 2 l y ng u nhiên m t qu . a. Tìm quy lu t phân b xác su t ñ ng th i c a s qu c u ñ l y ra ñư c t thùng 1 (ñ b vào thùng 2) và s qu ñ l y ra ñư c t thùng 2. b. N u 2 qu l y ra t thùng 1 ñ u là qu ñ thì trung bình m i l n ta l y ñư c bao nhiêu qu ñ t thùng 2? Bài 4.2. Cho bi t b ng phân b xác su t c a bi n ng u nhiên 2 chi u (X,Y), trong ñó X = (Doanh thu- tri u ñ ng), Y = (Chi phí qu ng cáo-tri u ñ ng) như sau: X 100 150 200 PY Y 0 0,1 0,05 0,05 0,2 1 0,05 0,2 0,15 0,4 2 0 0,1 0,3 0,4 PX 0,15 0,35 0,5 1 Hãy cho bi t t t c nh ng thông tin (có th tính toán ñư c) v hai bi n ng u nhiên X, Y và m i quan h gi a chúng. Bài 4.3. Cho b ng phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên hai chi u (X,Y) như sau: Y 1 2 3 X 0 0.2 0.25 a 1 b 0.15 0.1 a. L p b ng phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X, bi t E(X)=0.5 b. Tìm quy lu t phân b xác su t c a Z = XY ? Bài 4.4. Có hai lo i c phi u A, B ñư c bán trên th trư ng ch ng khoán và lãi su t c a chúng là 2 bi n ng u nhiên X, Y tương ng. Gi s (X, Y) có b ng phân b xác su t như sau: Y -2 0 5 10 X 0 0 0,05 0,05 0,1 4 0,05 0,1 0,25 0,15 6 0,1 0,05 0,1 0
  8. 8 a. N u ñ u tư toàn b vào c phi u A thì lãi su t kỳ v ng và m c ñ r i ro là bao nhiêu? b. N u m c tiêu là nh m ñ t ñư c lãi su t kỳ v ng là l n nh t thì nên ñ u tư vào c hai lo i c phi u trên theo t l nào? c. Mu n h n ch r i ro v lãi su t ñ n m c th p nh t thì nên ñ u tư vào hai lo i c phi u trên theo t l nào?
  9. 9 Chương VI M u ng u nhiên và các ñ c trưng m u Phân b xác su t c a các ñ c trưng m u 1/ M u l y ra t t ng th phân b chu n 1. N u X ~ N (µ , σ2 )  σ2  b−µ  a−µ  ε  + X ~ N  µ,   → + P( a < X < b ) = Φ 0  n  − Φ0 n  + P( | X - µ | < ε) = 2 Φ 0  n  n    σ   σ  σ  2. N u X1 ~ N(µ1 , σ12); X2 ~ N(µ2 , σ22) 1 n 1 n  σ2 σ2  + X1 = n1 ∑X 1i X 2 = n2 ∑X 2i ⇒ X 1 − X 2 ~ N  µ1 − µ 2 , 1 + 1  n1 n2   1 1   + S12 = 1 n n1 − 1 1 ( ∑ X 1i − X 1 ) 2 S2 = 2 1 n ∑X n2 − 1 1 ( 2i −X 2 ) 2 (n − 1) S 12  1 ~ χ 2 (n1 − 1)  σ 12  S 12 σ 22  ⇒ 2 . 2 ~ F (n1 − 1, n 2 − 1) (n 2 − 1) S 22 ~ χ 2 (n − 1) S2 σ1 σ 22 2   + R XY = ∑(X i − X )(Yi − Y ) = XY − XY ∑(X ∑ (Y 2 − X) − Y )2 MS X MS Y i i 2/ M u l y ra t phân b không-m t 2.1. X ~ A(p) và v i n ñ l n (n≥100) m  p(1 − p )   b− p   a− p  + f = ~ N  p,  ⇒ P( a < f < b ) = Φ 0  n  − Φ0 n n  n   p (1 − p )   p (1 − p )       ε  + P( f − p < ε ) = 2 Φ 0  n  p (1 − p)    2.2. X1 ~ A (p1) , X2 ~ A (p2) và n1 , n2 ñ l n. m1 m   p (1 − p1 ) p 2 (1 − p 2 )   + f1 = ; f2 = 2 ⇒ f1 − f 2 ~ N  p1 − p 2 ,  1   +   n1 n2   n1 n2  Bài t p m u Bài 6.1. Chi u cao thanh niên c a vùng M là bi n ng u nhiên phân b chu n v i µ = 165cm, σ 2 = 10 2 2 (cm) . Ngư i ta ño ng u nhiên chi u cao c a 100 thanh niên vùng ñó. a. Xác su t ñ chi u cao trung bình c a 100 thanh niên ñó s sai l ch so v i chi u cao trung bình c a thanh niên vùng M không vư t quá 2cm là bao nhiêu? b. Kh năng chi u cao trung bình c a s thanh niên trên vư t quá 168cm là bao nhiêu? c. N u mu n chi u cao trung bình ño ñư c sai l ch so v i chi u cao trung bình c a t ng th (c a t t c
  10. 10 thanh niên vùng M)không vư t quá 1cm v i xác su t (ñ tin c y) là 0,99 thì chúng ta ph i ti n hành ño chi u cao c a bao nhiêu thanh niên. d.V i kích thư c m u là 100 thì ñ l ch chu n m u s l n hơn giá tr th t c a nó ít nh t bao nhiêu l n v i xác su t là 0,05. Bài 6.2. Chi u dài c a m t lo i s n ph m ñư c s n xu t hàng lo t là bi n ng u nhiên phân ph i chu n v i µ = 100mm và σ 2 = 42 . Ki m tra ng u nhiên 25 s n ph m. Kh năng chi u dài trung bình c a s s n ph m ki m tra n m trong kho ng t 98mm ñ n 101mm là bao nhiêu? Bài 6.4. Lô hàng ñ t tiêu chu n xu t kh u n u t l ph ph m không quá 5%. Gi s m t lô hàng ñ t tiêu chu n xu t kh u thi khi ki m tra 100 s n ph m kh năng có không quá 8 s n ph m ph ph m là bao nhiêu? Bài 6.5. T l ngư i hút thu c lá m t khu dân cư là 10%. V i xác su t 0,95 hãy cho bi t n u ki m tra ng u nhiên 100 ngư i thì s có t i ña bao nhiêu ngư i hút thu c lá? Bài t pc ng c Bài 6.6. M t phư ng s ñư c coi là làm t t công tác k ho ch hóa gia ñình n u t l gia ñình sinh con th 3 là không quá 1%.V y t i m t phư ng n u ki m tra ng u nhiên 900 gia ñình thì ph i có t i thi u bao nhiêu gia ñình không sinh con th 3 thì chúng ta có th k t lu n phư ng trên làm t t công tác k ho ch hóa gia ñình mà kh năng không m c sai l m là 99%. Bài 6.7. N u cho r ng t l c tri ng h cho ng c viên A và B là như nhau thì khi ph ng v n 2500 ngư i thì kh năng t l ng h A và B khác bi t nhau không quá 4% là bao nhiêu? Bài 6.8. Theo nh n ñ nh c a cơ quan qu n lý ch t lư ng thì ch có 80% s s n ph m c a cơ s kinh doanh A là ñ t yêu c u v ch t lư ng an toàn th c ph m. Nhân tháng. Ki m tra ng u nhiên 100 s n ph m c a cơ s kinh doanh tnói trên. a/ Tính xác su t ñ trong s các s n ph m ñư c ki m tra có không ít hơn 85 s n ph m ñ t yêu c u. b/ N u 90% s s n ph m c a cơ s kinh doanh A là ñ t yêu c u v ch t lư ng thì v i xác su t 99% có th kh ng ñ nh trong 100 s n ph m ñư c ki m tra s có ít nh t bao nhiêu s n ph m ñ t yêu? Bài 6.9. Gi s t l ngư i dân thành ph A mua b o hi m nhân th là 25%. a/ Tính xác su t ñ có nhi u hơn 28% s ngư i trong m t m u ng u nhiên g m 120 ngư i c a thành ph này có mua b o hi m nhân th . b/ V n s d ng m u 120 ngư i trên, v i xác su t là 0,1 thì t n su t m u l n hơn t l c a c t ng th m t lư ng ít nh t là bao nhiêu? Bài 6.10. Tr ng lư ng c a m t bao ñư ng là bi n ng u nhiên phân b chu n v i tr ng lư ng tiêu chu n là 50 kg và ñ l ch chu n là 0,5 kg. Ki m tra ng u nhiên 100 bao. a/ Kh năng tr ng lư ng trung bình c a 100 bao ñư ng nói trên ít hơn tr ng lư ng quy ñ nh ñ i v i m t bao trên 1 kg b ng bao nhiêu? b/ Cho bi t n u ch n ng u nhiên 2 bao thì xác su t t ng tr ng lư ng c a chúng không ít hơn 99 kg là bao nhiêu?
  11. 11 Chương VII Ư c lư ng tham s c a quy lu t phân b xác su t 1/ X ~ N(µ,σ2) : µσ + Ư c lư ng tham s µ : 2 2 Trư ng h p σ ñã bi t Trư ng h p σ chưa bi t  σ σ   S S   X − uα / 2 < µ < X + uα / 2 )  X − t α(n/−21) < µ < X + t αn/−21) (   n   n  n   n  σ S Kho ng tin c y t i ña : µ ≤ X + uα Kho ng tin c y t i ña : µ ≤ X + t α(n −1) n n σ S Kho ng tin c y t i thi u : µ ≥ X − u α Kho ng tin c y t i thi u : µ ≥ X − t αn −1) ( n n Xác ñ nh kích thư c m u n ñ cho IN ≤ Io : Xác ñ nh kích thư c m u l y thêm m ñ cho 4u 2 2 σ 2 In+m ≤ Io : N ≥ α /2 4(t αn−21) ) 2 s 2 ( I0 n+m≥ / I 02 +Ư c lư ng tham s σ2 : Trư ng h p µ ñã bi t Trư ng h p µ chưa bi t  nS *2 nS *2   (n − 1) S 2 (n − 1) S 2   2
  12. 12 Bài t p m u Bài 7.1. a/ Hãy ư c lư ng năng su t trung bình c a m t lo i cây tr ng b ng kho ng tin c y 95% trên cơ s b ng s li u sau ñây: Năng su t (t /ha) 42,5- 47,5- 52,5- 57,5- 62,5- 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 S ñi m thu 2 5 14 10 5 ho ch b/ N u mu n ñ chính xác c a lư ng không vư t quá 1 thì ph i ti n hành thu ho ch thêm bao nhiêu ñi m n a? Gi thi t r ng năng su t cây tr ng là bi n ng u nhiên tuân theo quy lu t phân b chu n. Gi i : a/ + X = (...............................................................................................................) → X ~ N(µ , 2 σ) µ là ............................................................................................................... σ2 là ................................................................................................................ + Theo yêu c u c a bài toán ta ph i tìm kho ng tin c y.................................... v i ñ tin c y (1- α)=......... cho tham s ....... trong phân b chu n trư ng h p ......................................................................................... Kho ng tin c y ñó là : + Tính toán . L p b ng tính sau ñây: 2 Năng su t ni xi ni xi nixi 42.5 - 47,5 2 45 47,5 - 52,5 5 50 52,5 - 57,5 14 55 57,5 - 62,5 10 60 62,5 - 67,5 5 65 ∑ 36 x= ∑ ni x i = x2 = ∑ ni x i2 = n n n ms = x 2 − ( x )2 = s= ms = n −1
  13. 13 b/ Theo yêu c u c a bài toán ta ph i xác ñ nh kích thư c m u c n l y thêm m sao cho : Bài 7.2. ði u tra m c doanh thu c a 100 h kinh doanh v m t hàng A, thu ñư c b ng s li u sau: M c doanh thu (Tri u 20 22 24 26 28 ñ ng) S h ni 10 21 32 25 12 a/ Tìm ư c lư ng không ch ch t t nh t c a doanh thu trung bình? Gi thi t m c doanh thu c a các h tuân theo quy lu t chu n v i ñ l ch chu n là 0,1 tri u thì kh năng giá tr c a ư c lư ng trên s sai l ch so v i giá tr th c không vư t quá 20000 ñ là bao nhiêu? b/ D a vào s li u thu ñư c, hãy ư c lư ng m c doanh thu trung bình c a các h kinh doanh m t hàng A b ng kho ng tin c y 95%. Bài 7.3. Sai s c a ñ ng h là bi n ng u nhiên tuân theo quy lu t chu n. Sau 1 tháng (31 ngày) theo dõi ngư i ta tính ñư c s = 15 giây/ngày. Hãy ư c lư ng ñ chính xác c a ñ ng h b ng kho ng tin c y 95%. Bài 7.4. a/ Ư c lư ng t l gia ñình ñang s d ng lo i máy bơm B (trong s gia ñình ñã có máy bơm) bi t r ng ñi u tra ng u nhiên 1000 gia ñình ngư i ta th y 400 gia ñình có máy bơm. Trong s ñó có 15 gia ñình ñang s d ng lo i máy bơm B. Cho α = 0,05. Mu n có kho ng tin c y v i ñ dài gi m ñi m t n a thì ph i l y m t m u kích thư c là bao nhiêu? b/ Cho bi t công ty M t tr i là ñơn v s n xu t ra lo i máy bơm B . Công ty ñã bán ñư c 550 chi c bơm trên ñ a bàn kinh doanh c a mình . ð xây d ng k ho ch s n xu t cho tương lai b n hãy giúp công ty ư c lư ng s h ñã có máy bơm t i ñ a bàn kinh doanh nói trên b ng kho ng tin c y 95%. Gi thi t m i h ch dùng 1 máy bơm . Bài t pc ng c Bài 7.5. S n xu t th 100 s n ph m trên m t dây chuy n t ñ ng ngư i ta th y có 60 s n ph m ñ t tiêu chu n. Ư c lư ng t l s n ph m không ñ t tiêu chu n t i ña v i ñ tin c y 95%. Bài 7.6. Hãy ư c lư ng b ng kho ng tin c y ñ i x ng v i h s tin c y 95% s vi khu n có trong 1 ñơn v dung d ch thí nghi m . Bi t r ng ngư i ta ñã l y ra 100 con vi khu n và ñánh d u (nhu m m u sinh h c) r i sau ñó th chúng tr l i dung d ch ñó . Sau m t th i gian ng n l y ng u nhiên ra ki m tra 200 con vi khu n thì th y có 15 con có d u. ðS: ( 897 ≤ N ≤ 2597 ) Bài 7.7. Hãy ư c lư ng v i h s tin c y 90% t ng s t b c gi c a 1 lo i gi y b c hi n có trong lưu thông bi t r ng ngư ita ñã ñánh d u 200 t gi y b c lo i này r i tung vào lưu thông, sau m t th i gian ng n ki m tra 600 t gi y b c gi lo i này thu v , th y có 16 t có d u. ðS : ( 5136 ≤ N ≤ 12420 ). Bài 7.8. ði u tra thu nh p hàng năm c a 100 công nhân t i xí nghi p Mùa ñông thu ñư c các s li u sau:
  14. 14 Thu nh p (tri u 5.5 5.8 6 6.2 ñ/năm ) 6.5 S công nhân 15 20 35 25 5 a. V i ñ tin c y 0,95 hãy xác ñ nh t i thi u có bao nhiêu công nhân có thu nh p hàng năm ≤ 5.5 tri u, bi t r ng xí nghi p ñó có 500 công nhân. b. V i ñ tin c y 0,95 hãy ư c lư ng thu nh p trung bình hàng năm c a công nhân xí nghi p ñó. Gi thi t r ng thu nh p c a công nhân là bi n ng u nhiên có phân b chu n. M ðS: a. p = ≥ 0,09126 ⇒ ( M ≥ 46 ) b. (5,90924 < µ < 6,01076) 500 Bài 7.9. T l ph ph m c a hàng A là p. Mu n ư c lư ng p b ng kho ng tin c y 95% v i ñ dài ≤ I0 = 0,01 thì ph i l y m t m u kích thư c t i thi u bao nhiêu là h p lý nh t? Bài 7.10. M c tiêu hao nhiên li u c a m t lo i xe ô tô là bi n ng u nhiên tuân theo quy lu t chu n. Do tình hình ñư ng sá ñư c c i thi n ñ thay ñ i ñ nh m c tiêu hao nhiên li u ngư i ta ñã theo dõi 100 chuy n xe và thu ñư c các s li u sau : Lư ng tiêu hao(l/100 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 km) S chuy n xe 14 20 36 22 8 a/ Hãy ư c lư ng m c tiêu hao nhiên li u trung bình v i ñ tin c y 95%. b/ Xe c n ñưa vào ki m tra k thu t là xe có m c tiêu hao nhiên li u trên m c 55 lít/100 km . Hãy ư c lư ng t l xe c n ñưa vào ki m tra k thu t t i ña v i ñ tin c y 95% trên cơ s s li u ñi u tra trên ? ðS : a. (45,88133 < µ < 48,11867) b. p ≤ 0,124628
  15. 15 Chương VIII Ki m ñ nh gi thi t th ng kê Ki m ñ nh gi thi t v tham s 2 1/ Ki m ñ nh gi thi t v tham s µ : X ~ N(µ , σ ) Gi thi t Mi n bác b khi σ2 ñã bi t Gi thi t Mi n bác b khi σ2 chưa bi t   x − µ0   H0 : (µ =µo )   x − µ0   H 0 : ( µ= µo ) Wα =  u = n ; u < −u α  Wα =  u = n ; t < - tαn −1)  ( H1 : (µ µ o ) Wα = { u = . . . ; u > H1 : (µ >µo Wα = { t = . . . ; t > tα ( n −1) uα } ) } H1 : (µ ≠µo ) Wα = { u =... ; |u| > H1 : (µ ≠µo W α = { t =. . . ( n −1) ; |t| > tα / 2 uα/2 } ) } 2 2 2/ So sánh hai tham s µ1 , µ2 : X1 ~ N(µ1 , σ1 ) – X2 ~ N(µ2 , σ2 ) Gi thi t Mi n bác b khi σ2 ñã bi t Gi thi t Mi n bác b khi σ2 chưa bi t H0 :( H0 : (     x1 − x 2    x1 − x 2  µ1=µ2 ) Wα =  u = ; u < - uα  µ1=µ2 ) Wα =  u = ; u < - uα  H1 : σ 12 / n1 + σ 22 / n 2 H1 : (µ1µ2 Wα = { u = . . . ; u > uα } :(µ1>µ2) ) H1: (µ1≠µ2 Wα = { u = . . . ; |u| > uα/2 H1: (µ1 ≠µ2 Wα = { u = . . . ; |u| > uα/2 } ) } ) 2 3/ Ki m ñ nh gi thi t và so sánh v tham s σ : Gi thi t Mi n bác b khi µ chưa bi t Gi thi t Mi n bác b khi µ1, µ2 chưa bi t H0 :  2 ( n − 1) s 2  H0:  s2  2 2 (σ =σo ) Wα =  χ = ; χ 2 < χ 12−α (n - 1)  2 2 (σ1 =σ2 ) Wα =  F = 12 ; F < f 1-α (n 1 - 1, n 2 - 1)   σ0 2   s2  H1 : H1 : 2 2 2 2 (σ fα(n1 -1,n2 -1) (σ2>σo2) (σ12>σ22) }  (n − 1) s 2 χ < χ 1−α / 2 (n - 1)  2 2 H1 Wα =  χ 2 = ; 2  H1:   s 2 F < f 1− α (n 1 - 1, n 2 - 1)   σ 02 χ > χ α2 / 2 (n - 1)  Wα = F = 12 ; 2  :(σ2≠σo2) (σ12≠σ22)  s 2 F > f α / 2 (n 1 - 1, n 2 - 1)    4/ Ki m ñ nh gi thi t và so sánh tham s p trong phân b A(p) Gi thi t Mi n bác b Gi thi t Mi n bác b H0   H0 : (p1=p2    f − p0   f1 − f 2  :(p=po) Wα =  u = n ; u < −u α  ) Wα =  u = ; u < - uα  H1   p 0 (1 − p 0 )   H1 : (p1p2 Wα = { u = . . . ; u > uα } (p>pp) } ) H1 Wα = { u = . . . ; |u| > uα/2 H1 : Wα = { u = . . . ; |u| >uα/2 } :(p≠po) } (p1≠p2)
  16. 16 Ki m ñ nh phi tham s 1/ H0 : ( Hai ch tiêu A và B ñ c l p v i nhau ) H0 : ( Hai ch tiêu A và B ph thu c nhau )    n2    Wα =  χ 2 = n (∑ Þ ) − 1 ; χ 2 > χ α2 [(k − 1)(l − 1)]      n i . n. j     2/ H0 : ( X tuân theo quy lu t phân b nh th c B(N,p) ) H1 : ( X không tuân theo quy lu t phân b nh th c )  N (n − n ) ' 2    Wα =  χ 2 = ∑i ' i ; χ 2 > χ 2 ( N − m )  (Trong ñó: m=0 n u p ñã bi t và m=1 n u p chưa α  i =0 n   i  bi t ) Bài t p m u 1. Ki m ñ nh gi thi t v tham s Bài 8.1. ð chính xác c a m t chi c ñ ng h theo thi t k là σ = 10 giây/ngày . Sau 1 tháng (31 ngày) theo dõi ngư i ta tính ñư c s = 15 giây/ngày . H i ñ ng h có ho t ñ ng bình thư ng không ? Cho k t lu n v i m c ý nghĩa 5% . Gi thi t r ng sai s c a ñ ng h là bi n ng u nhiên tuân theo quy lu t chu n. Gi i : a. + X = (......................................................................................................) → X ~ N(µ , σ2) µ là ....................................................................................................... σ2 là ......................................................................................................... + Theo yêu c u c a bài toán ta ph i ki m ñ nh c p gi thi t sau ñây : H0 : ( σ 2 = σ 0 = ............... ) 2 H1 : (.................................. ) + Mi n bác b ñ ki m ñ nh c p gi thi t trên là :   Wα =  χ 2 =    + Tính gíá tr quan sát và k t lu n : Bài 8.2. M t công ty d ñ nh m m t c a hàng siêu th t i m t khu dân cư A. ð ñánh giá kh năng mua hàng c a nhân dân trong khu , giám ñ c công ty ñã cho ñi u tra thu nh p bình quân hàng tháng c a 100 h ñư c ch n m t cách ngâũ nhiên trong khu và thu ñư c b ng s li u sau: Thu nh p bình quân 150 200 250 300 350 (ngàn/ngư i/tháng) S h 10 15 20 30 10 Theo tính toán c a b ph n kinh doanh thì siêu th ch ho t ñ ng có hi u qu t i khu v c này n u thu nh p bình quân hàng tháng c a các h ñ t trên m c 250 nghìn ñ ng/tháng. V y qua k t qu ñi u tra trên,
  17. 17 công ty có nên quy t ñ nh m siêu th t i khu dân cư A này hay không? Yêu c u k t lu n v i xác su t tin c y 95%. Bi t r ng thu nh p bình quân hàng tháng c a các h trong khu v c này tuân theo quy lu t chu n. Bài 8.3. B nh A có th ch a b ng hai lo i thu c là H và K. Công ty s n xu t thu c H tuyên b t l b nh nhân kh i b nh do dùng thu c c a h là 85%. Ngư i ta dùng th thu c H cho 250 nhân b b nh A th y có 210 ngư i kh i b nh và dùng th thu c K cho 200 b nh nhân b b nh A th y có 175 ngư i kh i b nh. a. Hi u qu ch a b nh c a thu c H có ñúng như công ty qu ng cáo không? Cho k t lu n v i m c ý nghĩa 5%. b. V i m c ý nghĩa 0,05 có th k t lu n thu c K có kh năng ch a b nh A t t hơn không? Bài 8.4. M t HTX tr ng th hai gi ng lúa , m i gi ng trên 30 th a ru ng và ñư c chăm sóc như nhau . Cu i v thu ho ch ngư i ta ñư c s li u như sau : Năng su t trung bình ( x ) ð l ch tiêu chu n ( s ) Gi ng lúa I 45 2,5 Gi ng lúa II 46,5 4,0 Cho bi t ý ki n c a b n v m t s nh n ñ nh sau ñây : a/ Năng su t trung bình c a hai gi ng lúa có th coi là như nhau . b/ N u ch p nh n ý ki n câu a/ thì ch n gi ng lúa nào ñ ñưa vào s n xu t ñ i trà cũng như nhau. Bi t r ng năng su t c a hai gi ng lúa là hai bi n ng u nhiên phân ph i chu n Ch n m c ý nghĩa α = 5%. Bài t pc ng c Bài 8.5. Trư c ñây ñ nh m c tiêu dùng ñi n cho 1 h gia ñình trong m t tháng là 140 KW. Do ñ i s ng nâng cao , ngư i ta theo dõi 100 h gia ñình và thu ñư c các s li u sau L ng tiêu dùng 100- 120- 140- 160- 180- 120 140 160 180 200 S h gia ñình 14 25 30 20 11 a/ Theo anh (ch ) có c n thay ñ i ñ nh m c không ?Cho α = 5%. 2 2 b/ N u trư c ñây m c ñ bi n ñ ng c a m c tiêu dùng ñi n cho 1 h gia ñình là σ = 20 . V y hi n nay m c ñ bi n ñ ng trên tăng hay gi m? Hãy cho k t lu n v i m c ý nghĩa 5%. Gi thi t r ng lư ng ñi n tiêu dùng c a m t h gia ñình là bi n ng u nhiên tuân theo quy lu t chu n. x − µ0 147,8 − 140 ðS: t qs = n= 100 = 3,23607 s 24,1033 Bài 8.6. Theo dõi giá c phi u c a hai công ty A và B trong vòng 100 ngày ngư i ta tính ñư c các giá tr sau ñây : Giá trung bình ð l ch chu n Công ty A 37500 1500 Công ty B 38800 2200 Gi thi t r ng giá c phi u c a hai công ty A và B là hai bi n ng u nhiên phân ph i chu n . Hãy cho bi t ý ki n c a b n v nh ng ý ki n sau ñây : a. Có s khác bi t th c s v giá c phi u trung bình c a hai công ty ?
  18. 18 b. N u như ñ u tư vào c phi u c a công ty B thì m c ñ r i ro s l n hơn. Ch n : α = 5%. Bài 8.7. T l ph ph m do máy A s n xu t là 5%. Ki m tra 150 s n ph m do máy B s n xu t th y có 9 ph ph m. a. Ư c lư ng t l ph ph m t i ña c a máy B v i ñ tin c y 95%. b. V i m c ý nghĩa 5% có th cho r ng t l ph ph m c a hai máy trên là khác nhau không? c. V i xác su t 0,95 hãy cho bi t n u ki m tra 200 s n ph m c a dây chuy n A thì s có t i ña bao nhiêu ph ph m? Bài 8.8. M t dây chuy n s n xu t t ñ ng n u ho t ñ ng bình thư ng thì t l s n ph m không ñ t tiêu chu n là 2%. Ki m tra ng u nhiên m t lô g m 250 s n ph m th y có 7 s n ph m không ñ t tiêu chu n. V y theo anh(ch ) dây chuy n s n xu t trên có ho t ñ ng bình thư ng không. Cho k t lu n v i α = 5%, Bài 8.9. Theo dõi giá c phi u c a công ty A trong hai ñ t, m i ñ t 36 phiên giao d ch ngư i ta tính ñư c : Giá c phi u trung bình (ngàn ñ ng) ð l ch chu n ð tI 37,58 2,50 ð t II 38,24 1,60 Gi thi t r ng giá c phi u là bi n ng u nhiên phân ph i chu n. V i m c ý nghĩa 5% hãy cho bi t ý ki n c a b n v các nh n ñ nh sau ñây : a. Giá c phi u ñã th c s tăng lên. b. ð r i ro khi ñ u tư vào c phi u trên gi m ñi. Bài 8.10. M c tiêu hao nguyên li u cho m t ñơn v s n ph m là bi n ng u nhiên tuân theo quy lu t chu n. Do có thay ñ i v công ngh nên ch t lư ng s n xu t ñư c c i thi n rõ r t, ñ có cơ s thay ñ i ñ nh m c tiêu hao nguyên li u ngư i ta ñã theo dõi 100 s n ph m và thu ñư c các s li u sau : Lư ng tiêu hao(gam/sp) 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 S s n ph m 14 20 36 22 8 a. N u ñ nh m c tiêu hao nguyên li u trư c ñây là 50 gam/sp thì vi c thay ñ i công ngh có ñem l i hi u qu th c s không? Cho k t lu n v i m c ý nghĩa 5%. b. S n ph m có m c tiêu hao nguyên li u trên m c 55 g/sp ñư c g i là "s n ph m không kinh t ". Hãy ư c lư ng s "s n ph m không kinh t " t i ña v i ñ tin c y 95% bi t r ng m u trên ñư c l y ra t lô hàng g m 1000 s n ph m. 2. Ki m ñ nh s ñ c l p c a hai d u hi u ñ nh tính Bài 8.11. Quan sát 400 ngư i v màu m t và màu tóc ngư i ta ñư c b ng s li u sau ñây: Màu tóc Vàng Nâu ðen M um t ðen 12 65 121 Nâu 38 59 105 Có th cho r ng màu m t và màu tóc không có gì liên quan ñ n nhau không? Cho k t lu n v i m c ý nghĩa 5%. Gi i: + ð t A = (................................................................) B = (..................................................................) + Ta có c p gi thi t c n ki m ñ nh là : H0 : (................................................ ) H1 : (.................................................. )
  19. 19 + Mi n bác b ñ ki m ñ nh c p gi thi t trên là:   2   n ij 2     Wα =  χ = n  ∑  n n  − 1 ; χ 2 > χ α2 [(k − 1)(l − 1)]        i. . j     + Tính gíá tr quan sát và k t lu n. L p b ng tínhsau ñây:: Màu tóc Vàng Nâu ðen ∑ M um t 12 65 121 ðen 38 59 105 Nâu ∑   n2   χ qs = n ∑  ij  2 − 1 =  ni. n. j        K t lu n: Bài t pc ng c Bài 8.12. T i m t trung tâm cai nghi n ma tuý ngư i ta ti n hành ñi u tr b ng hai phương pháp : ðông y và ðông - Tây y k t h p. Ki m tra 1000 b nh nhân ñư c ñi u tr b ng phương pháp ðông y th y k t qu phân b như sau : Kh i - 56% , ñ - 34% , không kh i - 10% . ð so sánh ngư i ta ñi u tra thêm 600 b nh nhân ñư c ñư c ñi u tr b ng phương pháp ðông-Tây y k t h p và ñư c s li u như sau : Kh i - 360 ngư i , ñ - 190 ngư i , không kh i - 50 ngư i Có th cho r ng hi u qu ch a b nh c a hai phương pháp là khác nhau th c s không . Cho k t lu n vơí m c ý nghĩa α = 5% . 2 ðS : = 2,7709 χ qs = 2,7709 ∉ W α → Chưa có cơ s bác b gi thi t H0 . K t lu n: Có th cho r ng hi u qu ch a b nh c a hai phương pháp là như nhau. Bài 8.13. ði u tra s tr em b ch t trư c 1 tu i xã A b r i ch t di t c và xã B không b r i ch t di t c ngư i ta thu ñư c s li u như sau : Xã A Xã B S tr s ng 1260 876 S tr ch t 52 19 Ch t di t c có nh hư ng ñ n t l tr b ch t trư c m t tu i không? Cho k t lu n v i m c ý nghĩa 5% .
  20. 20 3/ Ki m ñ nh v quy lu t nh th c Bài 8.14. Th ng kê 4000 gia ñình có 3 con theo s con trai ngư i ta ñư c s li u như sau: S con trai 0 1 2 3 S lgia ñình 450 1460 1530 560 V i m c ý nghĩa = 5% có th xem s con trai trong gia ñình 3 con tuân theo quy lu t nh th c ñư c không? Gi i: + G i X là s con trai trong gia ñình 3 con thì theo yêu c u c a bài toán ta ph i ki m ñ nh c p gi thi t sau ñây: H0 : ( X tuân theo quy lu t nh th c B(N = 3; p = 0,5) ) H1 : ( X không tuân theo quy lu t nh th c ) + Mi n bác b ñ ki m ñ nh c p gi thi t trên là: + Tính gíá tr quan sát và k t lu n. L p b ng tính như sau: xi ni pi = ni' = npi (ni-ni')2/n' 0 450 1 1460 2 1530 3 560 ∑ 4000 2 ( ni − n' ) 2 i χ qs = ∑ = ; Tra b ng χ α2 ( N − m) = χ 02, 05 (3 − 0) = ni' 2 → χ qs χ 02,05 (3) 2 → χ qs Bài t pc ng c Bài 8.15. S n ph m s n xu t ra trên m t dây chuy n t ñ ng ñư c ñóng gói ng u nhiên theo quy cách : 3 s n ph m /1 h p.Có th xem s chính ph m c a m t h p là bi n ng u nhiên tuân theo quy lu t nh th c ñư c không , bi t r ng ki m tra 100 h p ngư i ta th y 75 h p không có ph ph m , 20 h p có 1 ph ph m , 5 h p có 2 ph ph m , không có h p nào có 3 ph ph m ? Cho k t lu n v i m c ý nghĩa 1% .