Xem mẫu
- Hàm sóng và phương trình Schroedinger
Lý Lê
Ngày 4 tháng 7 năm 2009
Tóm t t n i dung
Đ có th hi u sâu v hóa h c ho c đ có th nghiên c u v lý
thuy t hóa h c, chúng ta ph i có nh ng hi u bi t nh t đ nh v Hóa
h c tư ng t . Tuy nhiên, đây là m t môn h c khó vì bên c nh nh ng
ki n th c v v t lý và hóa h c, nó còn yêu c u ngư i h c ph i có m t
n n t ng toán h c t t. Cách t t nh t đ làm quen v i nh ng công th c
toán trong lư ng t là b t đ u t hàm sóng và phương trình sóng.
1 Hàm sóng trong cơ h c lư ng t
Trong cơ h c c đi n, khái ni m tr ng thái (state) c a m t h t nghĩa là
s đ nh rõ v trí và t c đ c a nó t i m t th i đi m b t kì và các l c đang
tác d ng lên h t đó. Theo đ nh lu t hai Newton, n u cho trư c tr ng thái
c a m t h b t kì ta s xác đ nh chính xác tr ng thái c a nó trong tương
lai. Tuy nhiên, đ i v i h t vi mô thì ta không th đ ng th i xác đ nh chính
xác v trí và t c đ c a nó1 . Nghĩa là, d a vào cơ h c c đi n thì không th
d đoán đư c s chuy n đ ng c a h t vi mô trong tương lai. Do đó, chúng
ta ph i d a vào cơ h c lư ng t đ d đoán chính xác hơn s chuy n đ ng
c a h t trong tương lai.
Trong cơ h c lư ng t , tr ng thái c a m t h đư c mô t b i hàm sóng
hay hàm tr ng thái Ψ. B i vì tr ng thái c a h , thông thư ng, thay đ i
theo th i gian, nên Ψ cũng là m t hàm theo th i gian. Đ i v i h m t h t
chuy n đ ng trong không gian m t chi u, chúng ta có Ψ = Ψ(x, t). Hàm
sóng Ψ ch a đ ng t t c nh ng thông tin kh dĩ c a h nên thay vì nói
"tr ng thái đư c mô t b i hàm sóng Ψ", chúng ta đơn gi n ch nói "tr ng
thái Ψ". Đ xác đ nh tr ng thái trong tương lai c a c a m t h theo cơ h c
lư ng t chúng ta cũng ph i bi t tr ng thái hi n t i và m t phương trình
cho chúng ta bi t s thay đ i c a hàm sóng theo th i gian. Phương trình đó
đư c đ ngh như sau:
∂Ψ(x, t) 2 ∂ 2 Ψ(x, t)
− =− + V (x, t)Ψ(x, t) (1)
i ∂t 2m ∂x2
1
nguyên lí b t đ nh Heisenberg
1
- trong đó h ng s Plank rút g n đư c xác đ nh b i
h
= (2)
2π
Phương trình (1) đư c nhà v t lí ngư i Áo Schroedinger đưa ra vào
năm 1926 và đư c g i là phương trình Schroedinger ph thu c th i gian hay
√
phương trình sóng Schroedinger. Trong (1), i = −1, đư c g i là s ph c
hay s o; m là kh i lư ng c a h t; V (x, t) là hàm th năng c a h .
Phương trình Schroedinger ph thu c th i gian ch a đ o hàm b c nh t
c a hàm sóng theo th i gian. Nó cho phép chúng ta xác đ nh hàm sóng t i
b t kì th i đi m nào trong tương lai, n u ta bi t đư c hàm tr ng thái t i
th i đi m t0 .
Hàm sóng ch a đ ng t t c nh ng thông tin mà ta c n bi t v m t h
mà nó mô t . Tuy nhiên, chúng ta không th hi v ng r ng Ψ s liên h
v i v trí chính xác c a h t gi ng như cơ h c c đi n mô t . Ngay sau khi
Schroedinger khám phá ra phương trình sóng, Born đưa ra gi đ nh 2 r ng
|Ψ(x, t)|2 dx (3)
là xác su t tìm th y h t d c theo tr c x trong vùng t x đ n (x + dx). Hàm
|Ψ(x, t)|2 đư c g i là m t đ xác su t tìm th y h t nh ng v trí khác nhau
theo tr c x. Ví d , gi s t i th i đi m t0 h t trong tr ng thái đư c mô
2
t b i hàm sóng Ψ = ae−bx , v i a và b là nh ng h ng s th c. M t đ xác
2
su t tìm th y h t t i th i đi m t0 d c theo tr c x là a2 e−2bx .
2 Phương trình Schroedinger không ph thu c th i
gian
Phương trình Schroedinger (1) khá là ph c t p. Tuy nhiên, đ i v i nhi u áp
d ng c a cơ h c lư ng t vào hóa h c, nó ít khi đư c s d ng, thay vào đó,
phương trình đơn gi n hơn đư c s d ng; đó là phương trình Schroedinger
không ph thu c th i gian. Chúng ta s thi t l p phương trình Schroedinger
không ph thu c th i gian d a vào phương trình Schroedinger ph thu c
th i gian, cho trư ng h p m t h t trong không gian m t chi u.
Chúng ta b t đ u b ng cách gi i h n th năng V là hàm không ph
thu c th i gian t, ch ph thu c t a đ x. Phương trình Schroedinger ph
thu c th i gian trong trư ng h p này là
∂Ψ(x, t) 2 ∂ 2 Ψ(x, t)
− =− + V (x)Ψ(x, t) (4)
i ∂t 2m ∂x2
Gi s nghi m c a (4) có th đư c vi t dư i d ng tích c a hàm theo th i
gian và hàm theo t a đ
Ψ(x, t) = f (t)ψ(x) (5)
2
khi m i làm quen v i cơ h c lư ng t , ta ph i ch p nh n m t s gi đ nh
2
- L y đ o hàm (5) theo t
∂Ψ(x, t) df (t)
= ψ(x) (6)
∂t dt
và đ o hàm b c hai theo x
∂Ψ2 (x, t) d2 ψ(x)
= f (t) (7)
∂x2 dx2
Th (6) và (7) vào (4), ta đư c
df (t) 2 d2 ψ(x)
− ψ(x) = − f (t) + V (x)ψ(x)f (t) (8)
i dt 2m dx2
Chia hai v (8) cho f (t)ψ(x), ta đư c
1 df (t) 2 1 d2 ψ(x)
− =− + V (x) (9)
i f (t) dt 2m ψ(x) dx2
Nhìn vào (9) ta th y v ph i không ph thu c vào t; trong khi đó v trái
không ph thu c vào x. Như v y phương trình không ph thu c vào c x
và t; nó ph i b ng m t h ng s . Đ t h ng s này là E
1 df (t) 2 1 d2 ψ(x)
− =E=− + V (x) (10)
i f (t) dt 2m ψ(x) dx2
Xét v trái c a phương trình
df (t) iE
= − dt (11)
f (t)
L y tích phân c hai v phương trình theo t, ta đư c
iEt
lnf (t) = − +C (12)
v i C là h ng s tích phân. T đó, ta có
f (t) = eC e−iEt/ = Ae−iEt/ (13)
H ng s A có th đư c nhân vào hàm ψ(x). Như v y, ta đư c
f (t) = e−iEt/ (14)
Ti p theo, ta xét v ph i c a phương trình (10)
2 1 d2 ψ(x)
E=− + V (x)
2m ψ(x) dx2
3
- Suy ra
2d2 ψ(x)
− + V (x)ψ(x) = Eψ(x) (15)
2m dx2
Phương trình (15) đư c g i là phương trình Schroedinger không ph thu c
th i gian cho m t h t có kh i lư ng m di chuy n trong không gian m t
chi u. Nó đư c dùng đ tìm năng lư ng cũng như hàm sóng cho r t nhi u
h khác nhau.
Ta có th vi t l i (15) như sau
d2 ψ(x) 2m
+ 2 [E − V (x)]ψ(x) = 0 (16)
dx2
H ng s E có đi m gì đ c bi t? Ta th y E xu t hi n trong bi u th c [E −
V (x)], nên nó cùng th nguyên v i th năng V . Nghĩa là, E cùng th nguyên
v i năng lư ng. Th t v y, E chính là năng lư ng c a h .
Như v y, t n t i các hàm sóng có d ng
Ψ(x, t) = e−iEt/ ψ(x) (17)
Hàm sóng (17) là hàm ph c. Bình phương tr tuy t đ i c a m t s ph c
là tích c a nó v i liên h p ph c 3 c a nó. Như v y, m t đ xác su t |Ψ(x, t)|2
đư c tính như sau
|Ψ|2 = Ψ∗ Ψ (18)
trong đó d u sao (∗ ) kí hi u cho liên h p ph c. Đ i v i hàm sóng (17), ta có
|Ψ(x, t)|2 = [e−iEt/ ψ(x)]∗ e−iEt/ ψ(x) = eiEt/ [ψ(x)]∗ e−iEt/ ψ(x) (19)
đây ta gi s E là s th c nên E = E ∗ . Ta có
e−iEt/ e−iEt/ = e0 = 1
Do đó, (19) tr thành:
|Ψ(x, t)|2 = [ψ(x)]∗ ψ(x) = |ψ(x)|2 (20)
Như v y, n u nghi m Ψ(x, t) c a phương trình Schroedinger ph thu c th i
gian là tích c a hàm theo th i gian và hàm theo t a đ
Ψ(x, t) = e−iEt/ ψ(x)
v i năng lư ng E là h ng s , thì m t đ xác su t là |ψ(x)|2 và không đ i
theo th i gian. Nh ng tr ng thái như th này đư c g i là tr ng thái tĩnh
(stationary state). Hàm ψ(x) cũng đư c g i là hàm sóng, m c dù hàm sóng
đ y đ c a m t tr ng thái tĩnh là e−iEt/ ψ(x). Tr ng thái tĩnh trong trư ng
3
Liên h p ph c c a i = −i.
4
- h p này đư c hi u là m t đ xác su t |Ψ(x, t)|2 không thay đ i theo th i
gian, ch không ph i h t không thay đ i.
Phương trình Schroedinger (15) ch a hai n s là năng lư ng đư c phép
E và hàm sóng ψ. Đ gi i phương trình ch a hai n, chúng ta c n áp đ t
thêm m t s đi u ki n (đư c g i là đi u ki n biên - boundary conditions) lên
ψ bên c nh yêu c u nó th a mãn (15); đi u ki n biên xác đ nh năng lư ng
cho phép E c a h nên ch nh ng giá tr xác đ nh c a E thì ψ m i phù h p
v i đi u ki n biên.
3 S chu n hóa hàm sóng
3.1 Xác su t
S chu n hóa hàm sóng có liên quan đ n xác su t tìm th y h t trong không
gian. Vì v y, trư c h t ta s gi i thi u sơ lư c v c a xác su t.
Có nhi u khái ni m đưa ra đ đ nh nghĩa xác su t. đây, chúng ta đ nh
nghĩa xác su t theo l i th ng kê: Th c hi n phép th n l n. Gi s bi n c
m
A xu t hi n m l n. Khi đó, m đư c g i là t n s c a bi n c A và t s
n
đư c g i là t n s xu t hi n bi n c A trong lo t phép th . Cho s phép
th tăng lên vô h n, t n s xu t hi n bi n c A d n v m t s xác đ nh g i
là xác su t c a bi n c A
m
PA = lim
n→∞ n
Ví d , sau 1000 l n đi qua ngã tư, có 200 l n g p đèn đ . Khi đó, xác
200 1
su t đ g p đèn đ là = .
1000 5
Trong trư ng h p n u phép th có nhi u bi n c xu t hi n thì phép tính
xác su t s ph c t p hơn. Ví d , trong m t h p ch a 10 viên bi, trong đó
có 4 viên màu xanh và 6 viên màu đ . L n lư t l y ra 2 viên bi, không hoàn
l i. Trong trư ng h p này, xác su t đ hai viên bi đó đ u màu đ đư c tính
như sau.
6
Ta th y xác su t đ l n l y th nh t đư c viên bi màu đ là . Vì l y
10
không hoàn l i, nên sau l n l y th nh t, s viên bi còn l i trong h p là 9,
trong đó còn l i 5 viên màu đ , gi s l n l y th nh t ta đư c viên màu
5
đ . Do đó, xác su t đ l n l y th hai cũng viên bi màu đ s là . Như
9
v y, t ng c ng ta có 5 · 6 = 30 l n s thu đư c viên bi màu đ trong t ng s
9 · 10 = 90 l n th . K t qu xác su t đ thu đư c hai viên bi đ u màu đ là
6 5 30 1
P = · = =
10 9 90 3
Xác su t trong cơ h c lư ng t thư ng liên quan đ n m t bi n liên t c,
đó là t a đ x. Không có nhi u ý nghĩa n u chúng ta nói r ng xác su t c a
m t h t đư c tìm th y t i m t đi m c th nào đó, ch ng h n t i x = 0, 500.
5
- Thay vào đó, ta s nói xác su t tìm th y h t trong m t kho ng nh trên
tr c x t x đ n x + dx. Xác su t s t l thu n v i giá tr dx và s thay đ i
theo nh ng vùng khác nhau trên tr c x. Vì v y, xác su t tìm th y h t t
x đ n x + dx s là m t hàm bi n thiên theo x, ví d g(x). Hàm g(x) đư c
g i là m t đ xác su t, vì nó là xác su t trên m t đơn v chi u dài. B i vì
xác su t ph i là m t s th c, không âm nên g(x) cũng ph i là hàm th c và
không âm t i m i đi m.
Hàm sóng Ψ có th nh n giá tr âm và cũng có th là hàm ph c nên
không ph i là hàm m t đ xác su t. Theo cơ h c lư ng t , hàm |Ψ|2 là hàm
m t đ xác su t.
3.2 S chu n hóa hàm sóng
Xác su t tìm th y h t trong vùng a ≤ x ≤ b đư c tính b ng cách l y tích
phân |Ψ|2 theo bi n x t a → b
b
|Ψ|2 dx (21)
a
B i vì xác su t tìm th y m t h t trong toàn b không gian là b ng đơn v
nên chúng ta có yêu c u
+∞
|Ψ|2 dx = 1 (22)
−∞
Khi hàm Ψ th a mãn đi u ki n trên thì đư c g i là chu n hóa. N u hàm
Ψ không chu n hóa nhưng th a mãn yêu c u sau
+∞
|Ψ|2 dx = λ2 (23)
−∞
v i λ2 là s không âm tùy ý, thì khi đó hàm Φ đư c xác đ nh b i
1 1
Φ= √ Ψ=± Ψ (24)
λ 2 λ
là hàm chu n hóa. Th t v y
+∞ +∞
1 1
|Φ|2 dx = |Ψ|2 dx = × λ2 = 1
−∞ λ2 −∞ λ2
Như v y, đ Ψ(x, t) có th là hàm sóng, trư c h t nó ph i kh tích bình
2
phương; nghĩa là Ψ(x, t) ph i có tích phân. Hơn n a, tích phân c a nó
ph i xác đ nh. Vì v y, Ψ(x, t) ph i d n v zero khi x → ±∞. Tương t , đ o
∂Ψ
hàm ph i d n v zero khi khi x → ±∞.
∂x
Ngoài yêu c u kh tích bình phương, hàm sóng c n ph i đơn tr và liên
t c. Xác su t tìm th y h t t i m t đi m c th không th có hai giá tr khác
6
- nhau nên Ψ∗ Ψ ph i đơn tr . Đ Ψ∗ Ψ ch c ch n đơn tr , ta yêu c u Ψ đơn
tr . Bên c nh yêu c u hàm sóng ph i liên t c, ta thư ng có thêm yêu c u là
các đ o hàm riêng ph n c a nó ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, . . . cũng liên t c. M t hàm
th a mãn nh ng đi u ki n như trên đư c g i là hàm hoàn h o (ti ng Anh
well-behaved ).
4 Nguyên lí ch ng ch t tr ng thái
Phương trình Schroedinger là m t phương trình vi phân tuy n tính. Vì v y,
n u ψ1 và ψ2 là hai nghi m c a phương trình Schroedinger, thì c1 ψ1 , c2 ψ2
(v i c1 , c2 là nh ng h ng s ) và ψ đư c xác đ nh b i
ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2 (25)
cũng là nghi m c a phương trình Schroedinger. Nguyên lí này còn đư c g i
là nguyên lí ch ng ch t. Áp d ng c a nguyên lí ch ng ch t trong cơ h c
lư ng t đư c tóm t t như sau:
N u Ψ1 và Ψ2 là nh ng hàm sóng ng v i hai tr ng thái c a h thì tr ng
thái Ψ đư c mô t b i
Ψ = c1 Ψ1 + c2 Ψ2 (26)
cũng là m t tr ng thái c a h . Dĩ nhiên, chúng ta có th m r ng s tr ng
thái nhi u hơn hai.
N u Ψ là hàm sóng c a m t tr ng thái thì kΨ, v i k là h ng s , cũng là
m t hàm sóng c a tr ng thái đó. Ví d , t phương trình (24), ta th y hai
1 1
hàm sóng Ψ và − Ψ tương đương nhau, chúng đ u mô t m t tr ng thái
λ λ
1
c a h . Tuy nhiên, theo thói quen, ta thư ng ch ch n Ψ.
λ
5 S ph c
5.1 D ng đ i s c a s ph c
√
N u i = −1, ta có th bi u di n m t s ph c hay s o z dư i d ng bi u
th c z = x + iy, v i x và y là nh ng s th c. S th c x đư c g i là ph n
th c; s th c y đư c g i là ph n o c a s ph c z. Ph n th c c a s ph c
z = x + iy đư c ký hi u là Re(z). Ph n o c a s ph c z = x + iy đư c ký
hi u là Im(z). Hai s ph c đư c g i là b ng nhau n u chúng có ph n th c
và ph n o tương ng b ng nhau.
Ví d : Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c
z = (3 + 5i) + (2 − 3i)
7
- Hư ng d n:
z = (3 + 5i) + (2 − 3i) = (3 + 2) + (5i − 3i) = (5 + 2i)
Vy Re(z) = 5 và Im(z) = 2
Cho z = x + iy, thì s ph c z ∗ = x − iy đư c g i là s ph c liên h p hay
liên h p ph c c a s ph c z = x + iy
Ví d : Tìm liên h p ph c c a s ph c z = (2 + 3i)(4 − 2i)
Hư ng d n:
z = (2 + 3i)(4 − 2i) = (8 − 4i + 12i − 6i2 ) = (8 + 8i + 6) = (14 + 8i)
Như v y
z ∗ = 14 − 8i
5.2 D ng lư ng giác c a s ph c
M t cách bi u di n khác c a s ph c z là d a vào m t ph ng o (ph c)
−→
xOy. Cho s ph c z = x + iy và OA là vectơ bi u di n hình h c c a z trên
−→ −→
m t ph ng xOy. Đ dài r = |OA| c a vectơ OA đư c g i là tr tuy t đ i
(absolute value) hay modulus c a s ph c z, ký hi u là |z|. Góc θ đư c t o
−→
b i OA và tr c x đư c g i là phase hay agurment c a z.
y
T
Tr c o
y A
r
Ex
O x
Tr c th c
Ta có:
|z| = r = x2 + y 2 x = r cos θ
y
y = r sin θ tan θ =
x
8
- Như v y, ta có th vi t
x iy
z = x + iy = x2 + y 2 ( + ) (27)
x2 + y 2 x2 + y 2
hay
z = r(cos θ + i sin θ) = r cos θ + ir sin θ (28)
Đây là d ng lư ng giác c a s ph c.
√
Ví d : Tìm d ng lư ng giác c a s ph c z = −1 + i 3
√
Hư ng d n: Ta có x = −1; y = 3 và r = (−1)2 + 3 = 2. Như v y:
x −1
cos θ = =
r 2
√
b 3
sin θ = =
r 2
Vy
2π
θ=
3
D ng lư ng giác
2π 2π
z = r cos θ + ir sin θ = 2(cos + i sin ) (29)
3 3
Hai s ph c d ng lư ng giác đư c g i là b ng nhau khi r1 = r2 và
θ1 = θ2 + 2kπ. Khi nhân hai s ph c d ng lư ng giác, tr tuy t đ i nhân v i
nhau còn góc thì c ng l i
z1 z2 = r1 r2 [cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )] (30)
5.3 D ng mũ c a s ph c
D ng mũ c a s ph c có th đư c thi t l p như sau. Đ t f (θ) là hàm th a
đi u ki n
f (θ) = (cos θ + i sin θ)e−iθ (31)
L y đ o hàm (31) theo θ, ta có
d d d
f (θ) = (cos θ + i sin θ) e−iθ + e−iθ (cosθ + isinθ) (32)
dθ dθ dθ
Áp d ng
(sin x) = cos x; (cos x) = − sin x; (eax ) = aeax
9
- Ta suy ra
f (θ) = (cos θ + i sin θ)(−i)e−iθ + e−iθ (− sin θ + i cos θ) (33)
Sau khi đơn gi n (33), ta có
f (θ) = 0
Như v y f (θ) ph i là hàm không thay đ i theo θ. B i vì f (0) đư c xác đ nh,
nên ta luôn có f (θ) = f (0). Hay
(cos θ + i sin θ)e−iθ = (cos 0 + i sin 0)e−i0 = e0 = 1 (34)
Nhân hai v (34) v i eiθ , ta có
(cos θ + i sin θ)e−iθ eiθ = eiθ (35)
vì e−iθ eiθ = e0 = 1, nên (35) tr thành
(cos θ + i sin θ) = eiθ (36)
hay
z = r(cos θ + i sin θ) = reiθ (37)
Đây chính là d ng mũ c a s ph c. Khi đó, liên h p ph c c a z là
z ∗ = x − iy = re−iθ (38)
N u z là s th c thì ph n o c a nó ph i là zero. V y nên z ch là s
th c khi và ch khi z = z ∗ . L y tích c a z v i liên h p ph c c a nó z = z ∗ ,
ta đư c
zz ∗ = (x + iy)(x − iy) = (x2 − i2 y 2 ) = x2 + y 2 = r2 = |z|2 (39)
Khi th c hi n các phép toán đ i v i s ph c, đ đơn gi n chúng ta nên
dùng d ng mũ. Mu n tìm d ng mũ t d ng đ i s ta chuy n d ng đ i s
sang d ng lư ng giác trư c.
√
Ví d : Tìm d ng mũ c a z = − 3 + i
Hư ng d n: Ta có d ng lư ng giác
5π 5π
z = 2(cos + i sin )
6 6
V y d ng mũ là
z = 2ei5π/6
10
- Bài t p
1. M t h p ch a 100 viên bi, trong đó có 60 viên n ng 14 gam và 40 viên
n ng 15 gam. Tính xác su t đ sau hai l n b c liên ti p (không hoàn l i) ta
đư c hai viên bi có kh i lư ng t ng c ng là (a) 28 gam; (b) 30 gam; (c) 29
gam. √
3 2ix
2. Cho c = e . Tính |c|2 .
2
3. Tìm d ng lư ng giác c a (a) z = e2+iθ ; (b) z = ea+iπ/2 .
4. Tìm tr tuy t đ i và phase c a: (a) i; (b) aeiπ/3 ; (c) 1 − 2i.
5. Cho hàm ph c z = aeimϕ . V i a và m là nh ng h ng s th c.
a) Tính |z|2 .
b) Vi t phương trình d ng lư ng giác c a z.
6. Cho bi t hàm sau đây đã chu n hóa
b 1/4 2 /2
f (x) = e−bx
π
Trong đó b là h ng s th c. Áp d ng đi u ki n chu n hóa, tính tích phân
∞
2
e−bx dx
0
7. N u ψ1 , ψ2 và ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2 là nh ng nghi m c a m t phương trình
Schroedinger thì chúng s chu n hóa và tr c giao v i nhau; nghĩa là
∞ ∞ ∞
∗ ∗
ψ1 ψ1 dx = ψ2 ψ2 dx = ψ ∗ ψdx = 1
−∞ −∞ −∞
∞ ∞
∗ ∗
ψ1 ψ2 dx = ψ2 ψ1 dx = 0
−∞ −∞
T tính chu n hóa và tr c giao c a hàm sóng, hãy ch ng minh
a. T ng bình phương tr tuy t đ i các h s c1 , c2 b ng đơn v
|c1 |2 + |c2 |2 = 1
b. Năng lư ng c a tr ng thái ψ1 đư c tính như sau
∞ 2
∗ d2 ψ1 (x)
E1 = ψ1 − + V (x)ψ1 (x) dx
−∞ 2m dx2
11
nguon tai.lieu . vn
