Xem mẫu

  1. Hàm sóng và phương trình Schroedinger Lý Lê Ngày 4 tháng 7 năm 2009 Tóm t t n i dung Đ có th hi u sâu v hóa h c ho c đ có th nghiên c u v lý thuy t hóa h c, chúng ta ph i có nh ng hi u bi t nh t đ nh v Hóa h c tư ng t . Tuy nhiên, đây là m t môn h c khó vì bên c nh nh ng ki n th c v v t lý và hóa h c, nó còn yêu c u ngư i h c ph i có m t n n t ng toán h c t t. Cách t t nh t đ làm quen v i nh ng công th c toán trong lư ng t là b t đ u t hàm sóng và phương trình sóng. 1 Hàm sóng trong cơ h c lư ng t Trong cơ h c c đi n, khái ni m tr ng thái (state) c a m t h t nghĩa là s đ nh rõ v trí và t c đ c a nó t i m t th i đi m b t kì và các l c đang tác d ng lên h t đó. Theo đ nh lu t hai Newton, n u cho trư c tr ng thái c a m t h b t kì ta s xác đ nh chính xác tr ng thái c a nó trong tương lai. Tuy nhiên, đ i v i h t vi mô thì ta không th đ ng th i xác đ nh chính xác v trí và t c đ c a nó1 . Nghĩa là, d a vào cơ h c c đi n thì không th d đoán đư c s chuy n đ ng c a h t vi mô trong tương lai. Do đó, chúng ta ph i d a vào cơ h c lư ng t đ d đoán chính xác hơn s chuy n đ ng c a h t trong tương lai. Trong cơ h c lư ng t , tr ng thái c a m t h đư c mô t b i hàm sóng hay hàm tr ng thái Ψ. B i vì tr ng thái c a h , thông thư ng, thay đ i theo th i gian, nên Ψ cũng là m t hàm theo th i gian. Đ i v i h m t h t chuy n đ ng trong không gian m t chi u, chúng ta có Ψ = Ψ(x, t). Hàm sóng Ψ ch a đ ng t t c nh ng thông tin kh dĩ c a h nên thay vì nói "tr ng thái đư c mô t b i hàm sóng Ψ", chúng ta đơn gi n ch nói "tr ng thái Ψ". Đ xác đ nh tr ng thái trong tương lai c a c a m t h theo cơ h c lư ng t chúng ta cũng ph i bi t tr ng thái hi n t i và m t phương trình cho chúng ta bi t s thay đ i c a hàm sóng theo th i gian. Phương trình đó đư c đ ngh như sau: ∂Ψ(x, t) 2 ∂ 2 Ψ(x, t) − =− + V (x, t)Ψ(x, t) (1) i ∂t 2m ∂x2 1 nguyên lí b t đ nh Heisenberg 1
  2. trong đó h ng s Plank rút g n đư c xác đ nh b i h = (2) 2π Phương trình (1) đư c nhà v t lí ngư i Áo Schroedinger đưa ra vào năm 1926 và đư c g i là phương trình Schroedinger ph thu c th i gian hay √ phương trình sóng Schroedinger. Trong (1), i = −1, đư c g i là s ph c hay s o; m là kh i lư ng c a h t; V (x, t) là hàm th năng c a h . Phương trình Schroedinger ph thu c th i gian ch a đ o hàm b c nh t c a hàm sóng theo th i gian. Nó cho phép chúng ta xác đ nh hàm sóng t i b t kì th i đi m nào trong tương lai, n u ta bi t đư c hàm tr ng thái t i th i đi m t0 . Hàm sóng ch a đ ng t t c nh ng thông tin mà ta c n bi t v m t h mà nó mô t . Tuy nhiên, chúng ta không th hi v ng r ng Ψ s liên h v i v trí chính xác c a h t gi ng như cơ h c c đi n mô t . Ngay sau khi Schroedinger khám phá ra phương trình sóng, Born đưa ra gi đ nh 2 r ng |Ψ(x, t)|2 dx (3) là xác su t tìm th y h t d c theo tr c x trong vùng t x đ n (x + dx). Hàm |Ψ(x, t)|2 đư c g i là m t đ xác su t tìm th y h t nh ng v trí khác nhau theo tr c x. Ví d , gi s t i th i đi m t0 h t trong tr ng thái đư c mô 2 t b i hàm sóng Ψ = ae−bx , v i a và b là nh ng h ng s th c. M t đ xác 2 su t tìm th y h t t i th i đi m t0 d c theo tr c x là a2 e−2bx . 2 Phương trình Schroedinger không ph thu c th i gian Phương trình Schroedinger (1) khá là ph c t p. Tuy nhiên, đ i v i nhi u áp d ng c a cơ h c lư ng t vào hóa h c, nó ít khi đư c s d ng, thay vào đó, phương trình đơn gi n hơn đư c s d ng; đó là phương trình Schroedinger không ph thu c th i gian. Chúng ta s thi t l p phương trình Schroedinger không ph thu c th i gian d a vào phương trình Schroedinger ph thu c th i gian, cho trư ng h p m t h t trong không gian m t chi u. Chúng ta b t đ u b ng cách gi i h n th năng V là hàm không ph thu c th i gian t, ch ph thu c t a đ x. Phương trình Schroedinger ph thu c th i gian trong trư ng h p này là ∂Ψ(x, t) 2 ∂ 2 Ψ(x, t) − =− + V (x)Ψ(x, t) (4) i ∂t 2m ∂x2 Gi s nghi m c a (4) có th đư c vi t dư i d ng tích c a hàm theo th i gian và hàm theo t a đ Ψ(x, t) = f (t)ψ(x) (5) 2 khi m i làm quen v i cơ h c lư ng t , ta ph i ch p nh n m t s gi đ nh 2
  3. L y đ o hàm (5) theo t ∂Ψ(x, t) df (t) = ψ(x) (6) ∂t dt và đ o hàm b c hai theo x ∂Ψ2 (x, t) d2 ψ(x) = f (t) (7) ∂x2 dx2 Th (6) và (7) vào (4), ta đư c df (t) 2 d2 ψ(x) − ψ(x) = − f (t) + V (x)ψ(x)f (t) (8) i dt 2m dx2 Chia hai v (8) cho f (t)ψ(x), ta đư c 1 df (t) 2 1 d2 ψ(x) − =− + V (x) (9) i f (t) dt 2m ψ(x) dx2 Nhìn vào (9) ta th y v ph i không ph thu c vào t; trong khi đó v trái không ph thu c vào x. Như v y phương trình không ph thu c vào c x và t; nó ph i b ng m t h ng s . Đ t h ng s này là E 1 df (t) 2 1 d2 ψ(x) − =E=− + V (x) (10) i f (t) dt 2m ψ(x) dx2 Xét v trái c a phương trình df (t) iE = − dt (11) f (t) L y tích phân c hai v phương trình theo t, ta đư c iEt lnf (t) = − +C (12) v i C là h ng s tích phân. T đó, ta có f (t) = eC e−iEt/ = Ae−iEt/ (13) H ng s A có th đư c nhân vào hàm ψ(x). Như v y, ta đư c f (t) = e−iEt/ (14) Ti p theo, ta xét v ph i c a phương trình (10) 2 1 d2 ψ(x) E=− + V (x) 2m ψ(x) dx2 3
  4. Suy ra 2d2 ψ(x) − + V (x)ψ(x) = Eψ(x) (15) 2m dx2 Phương trình (15) đư c g i là phương trình Schroedinger không ph thu c th i gian cho m t h t có kh i lư ng m di chuy n trong không gian m t chi u. Nó đư c dùng đ tìm năng lư ng cũng như hàm sóng cho r t nhi u h khác nhau. Ta có th vi t l i (15) như sau d2 ψ(x) 2m + 2 [E − V (x)]ψ(x) = 0 (16) dx2 H ng s E có đi m gì đ c bi t? Ta th y E xu t hi n trong bi u th c [E − V (x)], nên nó cùng th nguyên v i th năng V . Nghĩa là, E cùng th nguyên v i năng lư ng. Th t v y, E chính là năng lư ng c a h . Như v y, t n t i các hàm sóng có d ng Ψ(x, t) = e−iEt/ ψ(x) (17) Hàm sóng (17) là hàm ph c. Bình phương tr tuy t đ i c a m t s ph c là tích c a nó v i liên h p ph c 3 c a nó. Như v y, m t đ xác su t |Ψ(x, t)|2 đư c tính như sau |Ψ|2 = Ψ∗ Ψ (18) trong đó d u sao (∗ ) kí hi u cho liên h p ph c. Đ i v i hàm sóng (17), ta có |Ψ(x, t)|2 = [e−iEt/ ψ(x)]∗ e−iEt/ ψ(x) = eiEt/ [ψ(x)]∗ e−iEt/ ψ(x) (19) đây ta gi s E là s th c nên E = E ∗ . Ta có e−iEt/ e−iEt/ = e0 = 1 Do đó, (19) tr thành: |Ψ(x, t)|2 = [ψ(x)]∗ ψ(x) = |ψ(x)|2 (20) Như v y, n u nghi m Ψ(x, t) c a phương trình Schroedinger ph thu c th i gian là tích c a hàm theo th i gian và hàm theo t a đ Ψ(x, t) = e−iEt/ ψ(x) v i năng lư ng E là h ng s , thì m t đ xác su t là |ψ(x)|2 và không đ i theo th i gian. Nh ng tr ng thái như th này đư c g i là tr ng thái tĩnh (stationary state). Hàm ψ(x) cũng đư c g i là hàm sóng, m c dù hàm sóng đ y đ c a m t tr ng thái tĩnh là e−iEt/ ψ(x). Tr ng thái tĩnh trong trư ng 3 Liên h p ph c c a i = −i. 4
  5. h p này đư c hi u là m t đ xác su t |Ψ(x, t)|2 không thay đ i theo th i gian, ch không ph i h t không thay đ i. Phương trình Schroedinger (15) ch a hai n s là năng lư ng đư c phép E và hàm sóng ψ. Đ gi i phương trình ch a hai n, chúng ta c n áp đ t thêm m t s đi u ki n (đư c g i là đi u ki n biên - boundary conditions) lên ψ bên c nh yêu c u nó th a mãn (15); đi u ki n biên xác đ nh năng lư ng cho phép E c a h nên ch nh ng giá tr xác đ nh c a E thì ψ m i phù h p v i đi u ki n biên. 3 S chu n hóa hàm sóng 3.1 Xác su t S chu n hóa hàm sóng có liên quan đ n xác su t tìm th y h t trong không gian. Vì v y, trư c h t ta s gi i thi u sơ lư c v c a xác su t. Có nhi u khái ni m đưa ra đ đ nh nghĩa xác su t. đây, chúng ta đ nh nghĩa xác su t theo l i th ng kê: Th c hi n phép th n l n. Gi s bi n c m A xu t hi n m l n. Khi đó, m đư c g i là t n s c a bi n c A và t s n đư c g i là t n s xu t hi n bi n c A trong lo t phép th . Cho s phép th tăng lên vô h n, t n s xu t hi n bi n c A d n v m t s xác đ nh g i là xác su t c a bi n c A m PA = lim n→∞ n Ví d , sau 1000 l n đi qua ngã tư, có 200 l n g p đèn đ . Khi đó, xác 200 1 su t đ g p đèn đ là = . 1000 5 Trong trư ng h p n u phép th có nhi u bi n c xu t hi n thì phép tính xác su t s ph c t p hơn. Ví d , trong m t h p ch a 10 viên bi, trong đó có 4 viên màu xanh và 6 viên màu đ . L n lư t l y ra 2 viên bi, không hoàn l i. Trong trư ng h p này, xác su t đ hai viên bi đó đ u màu đ đư c tính như sau. 6 Ta th y xác su t đ l n l y th nh t đư c viên bi màu đ là . Vì l y 10 không hoàn l i, nên sau l n l y th nh t, s viên bi còn l i trong h p là 9, trong đó còn l i 5 viên màu đ , gi s l n l y th nh t ta đư c viên màu 5 đ . Do đó, xác su t đ l n l y th hai cũng viên bi màu đ s là . Như 9 v y, t ng c ng ta có 5 · 6 = 30 l n s thu đư c viên bi màu đ trong t ng s 9 · 10 = 90 l n th . K t qu xác su t đ thu đư c hai viên bi đ u màu đ là 6 5 30 1 P = · = = 10 9 90 3 Xác su t trong cơ h c lư ng t thư ng liên quan đ n m t bi n liên t c, đó là t a đ x. Không có nhi u ý nghĩa n u chúng ta nói r ng xác su t c a m t h t đư c tìm th y t i m t đi m c th nào đó, ch ng h n t i x = 0, 500. 5
  6. Thay vào đó, ta s nói xác su t tìm th y h t trong m t kho ng nh trên tr c x t x đ n x + dx. Xác su t s t l thu n v i giá tr dx và s thay đ i theo nh ng vùng khác nhau trên tr c x. Vì v y, xác su t tìm th y h t t x đ n x + dx s là m t hàm bi n thiên theo x, ví d g(x). Hàm g(x) đư c g i là m t đ xác su t, vì nó là xác su t trên m t đơn v chi u dài. B i vì xác su t ph i là m t s th c, không âm nên g(x) cũng ph i là hàm th c và không âm t i m i đi m. Hàm sóng Ψ có th nh n giá tr âm và cũng có th là hàm ph c nên không ph i là hàm m t đ xác su t. Theo cơ h c lư ng t , hàm |Ψ|2 là hàm m t đ xác su t. 3.2 S chu n hóa hàm sóng Xác su t tìm th y h t trong vùng a ≤ x ≤ b đư c tính b ng cách l y tích phân |Ψ|2 theo bi n x t a → b b |Ψ|2 dx (21) a B i vì xác su t tìm th y m t h t trong toàn b không gian là b ng đơn v nên chúng ta có yêu c u +∞ |Ψ|2 dx = 1 (22) −∞ Khi hàm Ψ th a mãn đi u ki n trên thì đư c g i là chu n hóa. N u hàm Ψ không chu n hóa nhưng th a mãn yêu c u sau +∞ |Ψ|2 dx = λ2 (23) −∞ v i λ2 là s không âm tùy ý, thì khi đó hàm Φ đư c xác đ nh b i 1 1 Φ= √ Ψ=± Ψ (24) λ 2 λ là hàm chu n hóa. Th t v y +∞ +∞ 1 1 |Φ|2 dx = |Ψ|2 dx = × λ2 = 1 −∞ λ2 −∞ λ2 Như v y, đ Ψ(x, t) có th là hàm sóng, trư c h t nó ph i kh tích bình 2 phương; nghĩa là Ψ(x, t) ph i có tích phân. Hơn n a, tích phân c a nó ph i xác đ nh. Vì v y, Ψ(x, t) ph i d n v zero khi x → ±∞. Tương t , đ o ∂Ψ hàm ph i d n v zero khi khi x → ±∞. ∂x Ngoài yêu c u kh tích bình phương, hàm sóng c n ph i đơn tr và liên t c. Xác su t tìm th y h t t i m t đi m c th không th có hai giá tr khác 6
  7. nhau nên Ψ∗ Ψ ph i đơn tr . Đ Ψ∗ Ψ ch c ch n đơn tr , ta yêu c u Ψ đơn tr . Bên c nh yêu c u hàm sóng ph i liên t c, ta thư ng có thêm yêu c u là các đ o hàm riêng ph n c a nó ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, . . . cũng liên t c. M t hàm th a mãn nh ng đi u ki n như trên đư c g i là hàm hoàn h o (ti ng Anh well-behaved ). 4 Nguyên lí ch ng ch t tr ng thái Phương trình Schroedinger là m t phương trình vi phân tuy n tính. Vì v y, n u ψ1 và ψ2 là hai nghi m c a phương trình Schroedinger, thì c1 ψ1 , c2 ψ2 (v i c1 , c2 là nh ng h ng s ) và ψ đư c xác đ nh b i ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2 (25) cũng là nghi m c a phương trình Schroedinger. Nguyên lí này còn đư c g i là nguyên lí ch ng ch t. Áp d ng c a nguyên lí ch ng ch t trong cơ h c lư ng t đư c tóm t t như sau: N u Ψ1 và Ψ2 là nh ng hàm sóng ng v i hai tr ng thái c a h thì tr ng thái Ψ đư c mô t b i Ψ = c1 Ψ1 + c2 Ψ2 (26) cũng là m t tr ng thái c a h . Dĩ nhiên, chúng ta có th m r ng s tr ng thái nhi u hơn hai. N u Ψ là hàm sóng c a m t tr ng thái thì kΨ, v i k là h ng s , cũng là m t hàm sóng c a tr ng thái đó. Ví d , t phương trình (24), ta th y hai 1 1 hàm sóng Ψ và − Ψ tương đương nhau, chúng đ u mô t m t tr ng thái λ λ 1 c a h . Tuy nhiên, theo thói quen, ta thư ng ch ch n Ψ. λ 5 S ph c 5.1 D ng đ i s c a s ph c √ N u i = −1, ta có th bi u di n m t s ph c hay s o z dư i d ng bi u th c z = x + iy, v i x và y là nh ng s th c. S th c x đư c g i là ph n th c; s th c y đư c g i là ph n o c a s ph c z. Ph n th c c a s ph c z = x + iy đư c ký hi u là Re(z). Ph n o c a s ph c z = x + iy đư c ký hi u là Im(z). Hai s ph c đư c g i là b ng nhau n u chúng có ph n th c và ph n o tương ng b ng nhau. Ví d : Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z = (3 + 5i) + (2 − 3i) 7
  8. Hư ng d n: z = (3 + 5i) + (2 − 3i) = (3 + 2) + (5i − 3i) = (5 + 2i) Vy Re(z) = 5 và Im(z) = 2 Cho z = x + iy, thì s ph c z ∗ = x − iy đư c g i là s ph c liên h p hay liên h p ph c c a s ph c z = x + iy Ví d : Tìm liên h p ph c c a s ph c z = (2 + 3i)(4 − 2i) Hư ng d n: z = (2 + 3i)(4 − 2i) = (8 − 4i + 12i − 6i2 ) = (8 + 8i + 6) = (14 + 8i) Như v y z ∗ = 14 − 8i 5.2 D ng lư ng giác c a s ph c M t cách bi u di n khác c a s ph c z là d a vào m t ph ng o (ph c) −→ xOy. Cho s ph c z = x + iy và OA là vectơ bi u di n hình h c c a z trên −→ −→ m t ph ng xOy. Đ dài r = |OA| c a vectơ OA đư c g i là tr tuy t đ i (absolute value) hay modulus c a s ph c z, ký hi u là |z|. Góc θ đư c t o −→ b i OA và tr c x đư c g i là phase hay agurment c a z. y T Tr c o y A         r     Ex O x Tr c th c Ta có: |z| = r = x2 + y 2 x = r cos θ y y = r sin θ tan θ = x 8
  9. Như v y, ta có th vi t x iy z = x + iy = x2 + y 2 ( + ) (27) x2 + y 2 x2 + y 2 hay z = r(cos θ + i sin θ) = r cos θ + ir sin θ (28) Đây là d ng lư ng giác c a s ph c. √ Ví d : Tìm d ng lư ng giác c a s ph c z = −1 + i 3 √ Hư ng d n: Ta có x = −1; y = 3 và r = (−1)2 + 3 = 2. Như v y: x −1 cos θ = = r 2 √ b 3 sin θ = = r 2 Vy 2π θ= 3 D ng lư ng giác 2π 2π z = r cos θ + ir sin θ = 2(cos + i sin ) (29) 3 3 Hai s ph c d ng lư ng giác đư c g i là b ng nhau khi r1 = r2 và θ1 = θ2 + 2kπ. Khi nhân hai s ph c d ng lư ng giác, tr tuy t đ i nhân v i nhau còn góc thì c ng l i z1 z2 = r1 r2 [cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )] (30) 5.3 D ng mũ c a s ph c D ng mũ c a s ph c có th đư c thi t l p như sau. Đ t f (θ) là hàm th a đi u ki n f (θ) = (cos θ + i sin θ)e−iθ (31) L y đ o hàm (31) theo θ, ta có d d d f (θ) = (cos θ + i sin θ) e−iθ + e−iθ (cosθ + isinθ) (32) dθ dθ dθ Áp d ng (sin x) = cos x; (cos x) = − sin x; (eax ) = aeax 9
  10. Ta suy ra f (θ) = (cos θ + i sin θ)(−i)e−iθ + e−iθ (− sin θ + i cos θ) (33) Sau khi đơn gi n (33), ta có f (θ) = 0 Như v y f (θ) ph i là hàm không thay đ i theo θ. B i vì f (0) đư c xác đ nh, nên ta luôn có f (θ) = f (0). Hay (cos θ + i sin θ)e−iθ = (cos 0 + i sin 0)e−i0 = e0 = 1 (34) Nhân hai v (34) v i eiθ , ta có (cos θ + i sin θ)e−iθ eiθ = eiθ (35) vì e−iθ eiθ = e0 = 1, nên (35) tr thành (cos θ + i sin θ) = eiθ (36) hay z = r(cos θ + i sin θ) = reiθ (37) Đây chính là d ng mũ c a s ph c. Khi đó, liên h p ph c c a z là z ∗ = x − iy = re−iθ (38) N u z là s th c thì ph n o c a nó ph i là zero. V y nên z ch là s th c khi và ch khi z = z ∗ . L y tích c a z v i liên h p ph c c a nó z = z ∗ , ta đư c zz ∗ = (x + iy)(x − iy) = (x2 − i2 y 2 ) = x2 + y 2 = r2 = |z|2 (39) Khi th c hi n các phép toán đ i v i s ph c, đ đơn gi n chúng ta nên dùng d ng mũ. Mu n tìm d ng mũ t d ng đ i s ta chuy n d ng đ i s sang d ng lư ng giác trư c. √ Ví d : Tìm d ng mũ c a z = − 3 + i Hư ng d n: Ta có d ng lư ng giác 5π 5π z = 2(cos + i sin ) 6 6 V y d ng mũ là z = 2ei5π/6 10
  11. Bài t p 1. M t h p ch a 100 viên bi, trong đó có 60 viên n ng 14 gam và 40 viên n ng 15 gam. Tính xác su t đ sau hai l n b c liên ti p (không hoàn l i) ta đư c hai viên bi có kh i lư ng t ng c ng là (a) 28 gam; (b) 30 gam; (c) 29 gam. √ 3 2ix 2. Cho c = e . Tính |c|2 . 2 3. Tìm d ng lư ng giác c a (a) z = e2+iθ ; (b) z = ea+iπ/2 . 4. Tìm tr tuy t đ i và phase c a: (a) i; (b) aeiπ/3 ; (c) 1 − 2i. 5. Cho hàm ph c z = aeimϕ . V i a và m là nh ng h ng s th c. a) Tính |z|2 . b) Vi t phương trình d ng lư ng giác c a z. 6. Cho bi t hàm sau đây đã chu n hóa b 1/4 2 /2 f (x) = e−bx π Trong đó b là h ng s th c. Áp d ng đi u ki n chu n hóa, tính tích phân ∞ 2 e−bx dx 0 7. N u ψ1 , ψ2 và ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2 là nh ng nghi m c a m t phương trình Schroedinger thì chúng s chu n hóa và tr c giao v i nhau; nghĩa là ∞ ∞ ∞ ∗ ∗ ψ1 ψ1 dx = ψ2 ψ2 dx = ψ ∗ ψdx = 1 −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ ∗ ∗ ψ1 ψ2 dx = ψ2 ψ1 dx = 0 −∞ −∞ T tính chu n hóa và tr c giao c a hàm sóng, hãy ch ng minh a. T ng bình phương tr tuy t đ i các h s c1 , c2 b ng đơn v |c1 |2 + |c2 |2 = 1 b. Năng lư ng c a tr ng thái ψ1 đư c tính như sau ∞ 2 ∗ d2 ψ1 (x) E1 = ψ1 − + V (x)ψ1 (x) dx −∞ 2m dx2 11