Xem mẫu

  1. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 TÍNH ðƠN ðI U C A HÀM S TÓM T T LÝ THUY T 1. ð nh nghĩa : Gi s K là m t kho ng , m t ño n ho c m t n a kho ng . Hàm s f xác ñ nh trên K ñư c g i là ( ) ( ) • ð ng bi n trên K n u v i m i x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f x 1 < f x 2 • Ngh ch bi n trên K n u v i m i x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f ( x ) > f (x ) 1 2 2. ði u ki n c n ñ hàm s ñơn ñi u : Gi s hàm s f có ñ o hàm trên kho ng I ( ) • N u hàm s f ñ ng bi n trên kho ng I thì f ' x ≥ 0 v i m i x ∈ I • N u hàm s f ngh ch bi n trên kho ng I thì f ' ( x ) ≤ 0 v i m i x ∈I 3. ði u ki n ñ ñ hàm s ñơn ñi u : ð nh lý 1 : ð nh lý v giá tr trung bình c a phép vi phân (ð nh lý Lagrange): ( ) N u hàm s f liên t c trên a;b  và có ñ o hàm trên kho ng a;b thì t n t i ít nh t m t ñi m c ∈ a;b   ( ) () () ( )( sao cho f b − f a = f ' c b − a ) ð nh lý 2 : Gi s I là m t kho ng ho c n a kho ng ho c m t ño n , f là hàm s liên t c trên I và có ñ o hàm t i m i ñi m trong c a I ( t c là ñi m thu c I nhưng không ph i ñ u mút c a I ) .Khi ñó : ( ) • N u f ' x > 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f ñ ng bi n trên kho ng I • N u f ' (x ) < 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f ngh ch bi n trên kho ng I • N u f ' (x ) = 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f không ñ i trên kho ng I Chú ý : ( ) ( ) • N u hàm s f liên t c trên a;b  và có ñ o hàm f ' x > 0 trên kho ng a;b thì hàm s f ñ ng bi n   trên a;b    ( ) ( ) • N u hàm s f liên t c trên a;b  và có ñ o hàm f ' x < 0 trên kho ng a;b thì hàm s f ngh ch   bi n trên a;b    5
  2. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 CÁC BÀI TOÁN CƠ B N Ví d 1: Xét chi u bi n thiên c a các hàm s : 1 ( ) a ) f x = x 3 − 3x 2 + 8x − 2 3 x 2 − 2x b) f x =( ) x −1 ( ) c) f x = x 3 + 3x 2 + 3x + 2 1 3 1 2 d) f x = ( ) 3 x − x − 2x + 2 2 Gi i : 1 3 a) f x =( ) 3 x − 3x 2 + 8x − 2 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có f ' x = x 2 − 6x + 8 ( ) f ' x = 0 ⇔ x = 2, x = 4 Chi u bi n thiên c a hàm s ñư c nêu trong b ng sau : x −∞ 2 4 +∞ ( ) f' x + 0 − 0 + f (x ) +∞ −∞ ( ) ( ) V y hàm s ñ ng bi n trên m i kho ng −∞;2 và 4; +∞ , ngh ch bi n trên kho ng 2; 4 ( ) x 2 − 2x ( ) b) f x = x −1 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên t p h p ℝ \ 1 . {} (x − 1) + 1 > 0, x ≠ 1 2 x 2 − 2x + 2 Ta có f ' x = ( ) = ( x − 1) ( x − 1) 2 2 Chi u bi n thiên c a hàm s ñư c nêu trong b ng sau : x −∞ 1 +∞ ( ) f' x + + +∞ +∞ ( ) f x −∞ −∞ 6
  3. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 V y hàm s ñ ng bi n trên m i kho ng −∞;1 và 1; +∞ ( ) ( ) ( ) c) f x = x 3 + 3x 2 + 3x + 2 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) ( ) 2 Ta có f ' x = 3x 2 = 6x + 3 = 3 x + 1 ( ) ( ) f ' x = 0 ⇔ x = −1 và f ' x > 0 v i m i x ≠ −1 ( ) Vì hàm s ñ ng bi n trên m i n a kho ng −∞; −1 và  −1; +∞ nên hàm s ñ ng bi n trên ℝ .   Ho c ta có th dùng b ng bi n thiên c a hàm s : x −∞ −1 +∞ ( ) f' x + 0 + f (x ) +∞ 1 −∞ ( ) Vì hàm s ñ ng bi n trên m i n a kho ng −∞; −1 và  −1; +∞ nên hàm s ñ ng bi n trên ℝ .   1 1 ( ) d ) f x = x 3 − x 2 − 2x + 2 Tương t bài a ) 3 2 Ví d 2: Xét chi u bi n thiên c a các hàm s : ( ) a ) f x = 2x 3 + 3x 2 + 1 b) f (x ) = x 4 − 2x 2 − 5 4 2 ( ) c) f x = − x 3 + 6x 2 − 9x − 3 3 d) f (x ) = 2x − x 2 Gi i : ( ) a ) f x = 2x 3 + 3x 2 + 1 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có f ' x = 6x 2 + 6x ( ) ( )( ) ( ) ( f ' x > 0, x ∈ −∞; −1 , 0; +∞ ⇒ f x ñ ng bi n trên m i kho ng −∞; −1 và 0; +∞ . ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −1; 0 ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên kho ng ( −1; 0 ) . Ngoài ra : H c sinh có th gi i f ' ( x ) = 0 , tìm ra hai nghi m x = −1, x = 0 , k b ng bi n thiên r i k t lu n. 7
  4. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 ( ) b ) f x = x 4 − 2x 2 − 5 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có f ' x = 4x 3 − 4x ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f ' x > 0, x ∈ −1; 0 , 1; +∞ ⇒ f x ñ ng bi n trên m i kho ng −1; 0 và 1; +∞ . f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −∞; −1) , ( 0;1) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên m i kho ng ( −∞; −1) và ( 0;1) . Ngoài ra : H c sinh có th gi i f ' ( x ) = 0 , tìm ra hai nghi m x = −1, x = 0, x = 1 , k b ng bi n thiên r i k t lu n. 4 2 ( ) c) f x = − x 3 + 6x 2 − 9x − 3 3 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) ( ) 2 Ta có f ' x = −4x 2 + 12x − 9 = − 2x − 3 3 3 ( ) f' x =0⇔x = 2 ( ) và f ' x < 0 v i m i x ≠ 2  3 3  Vì hàm s ngh ch bi n trên m i n a kho ng  −∞;  và  ; +∞  nên hàm s ngh ch bi n trên ℝ .  2 2  ( ) d ) f x = 2x − x 2 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên 0;2  .   1−x ( ) Ta có f ' x = , x ∈ 0;2 ( ) 2x − x 2 ( ) ( ) ( ) f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x ñ ng bi n trên kho ng ( 0;1) f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên kho ng (1;2 ) Ho c có th trình bày : ( ) ( ) ( ) f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x ñ ng bi n trên ño n 0;1   f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên ño n 1;2    Ví d 3: ( ) Ch ng minh r ng hàm s f x = 4 − x 2 ngh ch bi n trên ño n 0;2    Gi i : −x D th y hàm s ñã cho liên t c trên ño n 0;2  và có ñ o hàm f ' x =   ( )
  5. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 Ví d 4: ( ) 1. Ch ng minh r ng hàm s f x = x 3 + x − cos x − 4 ñ ng bi n trên ℝ . 2 . Ch ng minh r ng hàm s f ( x ) = cos 2x − 2x + 3 ngh ch bi n trên ℝ . Gi i : 1. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có f ' x = 3x 2 + 1 + sin x Vì 3x 2 ≥ 0, x ∈ ℝ ( ) 1 + sin x ≥ 0, x ∈ ℝ nên f ' x ≥ 0, x ∈ ℝ . Do ñó hàm s ñ ng bi n trên ℝ . 2 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . π ( ) ( ) ( ) Ta có f ' x = −2 sin 2x + 1 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ và f ' x = 0 ⇔ sin 2x = −1 ⇔ x = − 4 + kπ , k ∈ ℤ  π π  ( ) Hàm s ngh ch bi n trên m i ño n  − + k π ; − + k + 1 π  , k ∈ ℤ . Do ñó hàm s ngh ch bi n trên  4 4  ℝ. Ví d 5: ( ) Tìm kho ng ñơn ñi u c a hàm s f x = sin x trên kho ng 0;2π ( ) Gi i : ( ) Hàm s ñã cho xác ñ nh trên kho ng 0;2π và có ñ o hàm f ' x = cos x , x ∈ 0;2π . ( ) ( ) 3π π ( ) ( f ' x = 0, x ∈ 0;2π ⇔ x = )2 2 ,x = Chi u bi n thiên c a hàm s ñư c nêu trong b ng sau : π 3π x 0 2π 2 2 ( ) f' x + 0 − 0 + f (x ) 1 0 0 −1  π   3π   π 3π  Hàm s ñ ng bi n trên m i kho ng  0;  và  ;2π  , ngh ch bi n trên kho ng  ; .  2  2  2 2  9
  6. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 Ví d 6:  π Ch ng minh r ng : sin x + tan x > 2x , ∀x ∈  0;  .  2 Gi i :  π ( ) Xét hàm s f x = sin x + tan x − 2x liên t c trên n a kho ng 0;  .Ta có :  2 1 1  π ( ) f ' x = cos x + cos2 x − 2 > cos2 x + cos2 x ( ) − 2 > 0, ∀x ∈  0;  ⇒ f x là hàm s ñ ng bi n trên  2  π  π  π ( ) () 0;  và f x > f 0 , ∀x ∈  0;  hay sin x + tan x > 2x , ∀x ∈  0;  .  2  2  2 NG D NG ð O HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ð I S Ví d 1: 81 Gi i phương trình : 81sin x + cos x = 10 10 256 () * Gi i : ð t t = sin x ; 0 ≤ t ≤ 1 . 2 81 () Khi ñó phương trình * ⇔ 81t + (1 − t ) = 5 5 256 , t ∈ 0;1   Xét hàm s f (t ) = 81t + (1 − t ) liên t c trên ño n  0;1 , ta có: 5 5   f '(t ) = 5[81t 4 − (1 − t )4 ],t ∈ 0;1   81t 4 = (1 − t )4  1 f '(t ) = 0 ⇔  ⇔t = t ∈ 0;1    4 81 1 L p b ng bi n thiên và t b ng bi n thiên ta có: f (t ) ≥ f ( ) = 256 4 1 1 1 π V y phương trình có nghi m t = ⇔ sin 2 x = ⇔ cos 2x = ⇔ x = + k π (k ∈ Z ) . 4 4 2 6 10
  7. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 Ví d 2: Gi i phương trình : 1. 3x (2 + 9x 2 + 3) + (4x + 2)( 1 + x + x 2 + 1) = 0 2  π π 2. e tan x + cosx=2 ,x ∈  - ;  .  2 2 3. 2003x + 2005x = 4006x + 2 4. 3x = 1 + x + log 3(1 + 2x ) Gi i : 1. 3x (2 + 9x 2 + 3) + (4x + 2)( 1 + x + x 2 + 1) = 0 (1) Phương trình (1) ⇔ −3x (2 + ( ) (−3x )2 + 3) = (2x + 1)(2 + (2x + 1)2 + 3) (2) ð t u = −3x , v = 2x + 1, u, v > 0 Phương trình (1) ⇔ u(2 + u 2 + 3) = v(2 + v 2 + 3) (3) Xét hàm s f (t ) = 2t + t 4 + 3t 2 , t > 0 2t 3 + 3t Ta có f '(t ) = 2 + () ( > 0, ∀t > 0 ⇒ f t ñ ng bi n trên kho ng 0; +∞ . ) t + 3t 4 2 1 Khi ñó phương trình (3) ⇔ f (u ) = f (v ) ⇔ u = v ⇔ −3x = 2x + 1 ⇔ x = − 5 1 V yx =− là nghi m duy nh t c a phương trình. 5 Chú ý : ( ) N u hàm s y = f x luôn ñơn ñi u nghiêm ngo c ( ho c luôn ñ ng bi n ho c luôn ngh ch bi n ) thì ( ) s nghi m c a phương trình : f x = k s không nhi u hơn m t và f x = f y ( ) () khi và ch khi x =y. 2  π π 2. e tan x + cosx =2 ,x ∈  - ;   2 2 tan2 x  π π Xét hàm s : f (x ) = e + cosx liên t c trên kho ng x ∈  - ;  . Ta có  2 2 11
  8. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12  tan2x  1 2  2e − cos3x  f '(x ) = 2 tan x . e tan x − sin x = sin x 2 cos x  cos3x    tan2 x Vì 2e ≥ 2 > cos x > 0 3 Nên d u c a f '(x ) chính là d u c a sin x . T ñây ta có f (x ) ≥ f (0) = 2 V y phương trình ñã cho có nghi m duy nh t x = 0 . 3. 2003x + 2005x = 4006x + 2 x x Xét hàm s : f (x ) = 2003 + 2005 − 4006x − 2 x x Ta có: f '(x ) = 2003 ln 2003 + 2005 ln 2005 − 4006 f ''(x ) = 2003x ln2 2003 + 2005x ln2 2005 > 0 ∀x ⇒ f "(x ) = 0 vô nghi m ( ) ( ) f ' x = 0 có nhi u nh t là m t nghi m . Do ñó phương trình f x = 0 có nhi u nh t là hai nghi m và f ( 0 ) = f (1) = 0 nên phương trình ñã cho có hai nghi m x = 0, x = 1 Chú ý : ( ) • N u hàm s y = f x luôn ñơn ñi u nghiêm ngo c ( ho c luôn ñ ng bi n ho c luôn ngh ch bi n ) ( ) và hàm s y = g x luôn ñơn ñi u nghiêm ngo c ( ho c luôn ñ ng bi n ho c luôn ngh ch bi n ) trên D , thì s nghi m trên D c a phương trình f x = g x ( ) ( ) không nhi u hơn m t. ( ) • N u hàm s y = f x ) có ñ o hàm ñ n c p n và phương trình f (k ) (x ) = 0 có m nghi m, khi ñó (k −1) phương trình f (x ) = 0 có nhi u nh t là m + 1 nghi m 4. 3x = 1 + x + log 3(1 + 2x ) 1 x >− 2 Phương trình cho ⇔ 3x + x = 1 + 2x + log3 (1 + 2x ) ⇔ 3x + log3 3x = 1 + 2x + log3 (1 + 2x ) * () Xét hàm s : f (t ) = t + log 3 t, t > 0 ta có f ' (t ) = 1 + > 0, t > 0 ⇒ f (t ) là hàm ñ ng bi n 1 t ln 3 kho ng ( 0; +∞ ) nên phương trình (*) ⇔ f (3x ) = f (1 + 2x ) ⇔ 3x = 2x + 1 ⇔ 3x − 2x − 1 = 0 (* *) x x x 2 Xét hàm s : f (x ) = 3 − 2x − 1 ⇒ f '(x ) = 3 ln 3 − 2 ⇒ f "(x ) = 3 ln 3 > 0 12
  9. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 () ⇒ f (x ) = 0 có nhi u nh t là hai nghi m, và f (0) = f 1 = 0 nên phương trình ñã cho có hai nghi m x = 0, x = 1 . Ví d 3: 3 x −x 2 −1 Gi i phương trình : log 3 ( )1 x 2 − 3x + 2 + 2 +   5 () =2 * Gi i : ði u ki n x 2 − 3x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ∨ x ≥ 2 ð t u = x 2 − 3x + 2, u ≥ 0 1−u 2 1 1 2 () ( Phương trình * ⇔ log 3 u + 2 +   ) ( ) = 2 ⇔ log 3 u + 2 +   .5u = 2, u ≥ 0 * * ( ) 5 5 1 2 ( ) ( ) Xét hàm s : f u = log 3 u + 2 +   .5u liên t c trên n a kho ng 0; +∞ , ta có :  ) 5 1 1 2 f ' (u ) = ( )  + 5u .ln 5.2u > 0, ∀u ≥ 0 ⇒ f u ñ ng bi n trên n a kho ng 0; +∞ và (u + 2)ln 3 5 ) () f 1 = 2 ⇒ u = 1 là nghi m phương trình * * . ( )  3− 5 x = Khi ñó x 2 − 3x + 2 = 1 ⇔ x 2 − 3x + 1 = 0 ⇔  2 tho ñi u ki n.  3+ 5 x =  2 Ví d 4: Gi i h phương trình : 2x 3 4 y 4 (1) 1. 2y 3 4 x 4 (2)  x 3 + 2x = y ( 1 )  2.  3   y + 2y = x ( 2 )    x 3 − 3x = y 3 − 3y (1)  3.  x + y = 1 6 6 (2)  13
  10. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 Gi i : 2x 3 4 y 4 (1) 1. 2y 3 4 x 4 (2)  3  − ≤ x ≤ 4  ði u ki n:  2  .  3 − ≤ x ≤ 4   2  Cách 1: Tr (1) và (2) ta ñư c: 2x + 3 − 4 − x = 2y + 3 − 4 − y (3)  3  Xét hàm s f (t ) = 2t + 3 − 4 − t , t ∈  − ; 4  , ta có:  2  1 1  3  f / (x ) = + > 0, ∀t ∈  − ; 4  ⇒ (3) ⇔ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y .    2t + 3 2 4 − t  2   Thay x = y vào (1) ,ta ñư c: 2x + 3 + 4 − x = 4 ⇔ x + 7 + 2 (2x + 3)(4 − x ) = 16 9 − x ≥ 0 x = 3 2    ⇔ 2 −2x + 5x + 12 = 9 − x ⇔  2 ⇔   9x − 38x + 33 = 0   x = 11   9   11 x = 3 x =   V y h phương trình có 2 nghi m phân bi t   ,   9 . y = 3    11  y =   9 Cách 2: Tr (1) và (2) ta ñư c: (2x + 3) − (2y + 3) (4 − y ) − (4 − x ) ( 2x + 3 − 2y + 3 + ) ( ) 4 −y − 4 −x = 0 ⇔ 2x + 3 + 2y + 3 + 4 −y + 4−x =0  2 1   = 0 ⇔ x = y. ⇔ (x − y )   +    2x + 3 + 2y + 3  4 −y + 4−x   Thay x = y vào (1) ,ta ñư c: 2x + 3 + 4 − x = 4 ⇔ x + 7 + 2 (2x + 3)(4 − x ) = 16 9 − x ≥ 0 x = 3 2    ⇔ 2 −2x + 5x + 12 = 9 − x ⇔  2 ⇔   9x − 38x + 33 = 0   x = 11   9 14
  11. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12   11 x = 3 x =   V y h phương trình có 2 nghi m phân bi t   ,   9 . y = 3    11  y =   9  3  x + 2x = y ( 1 )  2.  3  y + 2y = x ( 2 )    Cách 1 : Xét hàm s f (t ) = t 3 + 2t ⇒ f / (t ) = 3t 2 + 2 > 0, ∀t ∈ ℝ .   f (x ) = y (1) H phương trình tr thành   .  f (y ) = x (2)   + N u x > y ⇒ f (x ) > f (y ) ⇒ y > x (do (1) và (2) d n ñ n mâu thu n). + N u x < y ⇒ f (x ) < f (y ) ⇒ y < x (mâu thu n). Suy ra x = y , th vào h ta ñư c x 3 + x = 0 ⇔ x ( x 2 + 1 ) = 0 ⇔ x = 0 vì x 2 + 1 > 0. x = 0  V y h có nghi m duy nh t   . y = 0   Cách 2: Tr (1) và (2) ta ñư c: x 3 − y 3 + 3x − 3y = 0 ⇔ (x − y )(x 2 + y 2 + xy + 3) = 0  2  y 3y 2 ⇔ (x − y )   x +  +    + 3  = 0 ⇔ x = y   2 4   Th x = y vào (1) và (2) ta ñư c: x 3 + x = 0 ⇔ x ( x 2 + 1 ) = 0 ⇔ x = 0 x = 0  V y h phương trình có nghi m duy nh t   . y = 0   x 3 − 3x = y 3 − 3y (1)  3.  x + y = 1 6 6 (2)  T (1) và (2) suy ra −1 ≤ x , y ≤ 1 (1) ⇔ f (x ) = f (y ) (*) Xét hàm s f (t ) = t − 3t liên t c trên ño n [ −1;1] , ta có 3 () f '(t ) = 3(t 2 − 1) ≤ 0 ∀t ∈ [ −1;1] ⇒ f t ngh ch bi n trên ño n [ −1;1] 1 Do ñó: (*) ⇔ x = y thay vào (2) ta ñư c nghi m c a h là: x = y = ± . 6 2 Ví d 5: 15
  12. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 Gi i h phương trình :  x − 1 = y − 1   (1) 1.  x y  2  2x − xy − 1 = 0 (2)      x − 1 = y − 1 (1)   2.  x y   2y = x 3 + 1 (2)    Gi i :  x − 1 = y − 1   (1) 1.  x y  2  2x − xy − 1 = 0 (2)    ði u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0 . Ta có: y = x  1 = 0 ⇔  (1) ⇔ (x − y )  1 +      xy  y = − 1 .  x • y = x phương trình (2) ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1 . 1 • y = − phương trình (2) vô nghi m. x  x = 1  x = −1   V y h phương trình có 2 nghi m phân bi t   ;   .  y = 1  y = −1     Bình lu n:  x − 1 = y − 1   (1) Cách gi i sau ñây sai:  x y .  2  2x − xy − 1 = 0 (2)    ði u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0 . 1 1 Xét hàm s f (t ) = t − , t ∈ ℝ \ {0} ⇒ f / (t ) = 1 + > 0, ∀t ∈ ℝ \ {0} . t t2 Suy ra (1) ⇔ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y ! Sai do hàm s f (t ) ñơn ñi u trên 2 kho ng r i nhau (c th f ( −1 ) = f ( 1 ) = 0 ). 1 1 x y (1) 2. x y 2y x3 1 (2) Cách 1: ði u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0. 16
  13. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 x −y  1 1 (1) ⇔ x − y + = 0 ⇔ (x − y )  1 +  = 0 ⇔ x = y ∨ y = − .    xy   xy  x −1 ± 5 • x = y phương trình (2) ⇔ x = 1 ∨ x = . 2 1 • y =− phương trình (2) ⇔ x 4 + x + 2 = 0. x −1 Xét hàm s f (x ) = x 4 + x + 2 ⇒ f / (x ) = 4x 3 + 1 = 0 ⇔ x = . 3 4  −1   3 f 3  = 2 − 3 > 0, lim = lim = +∞ ⇒ f (x ) > 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ x 4 + x + 2 = 0  4   4 4 x →−∞ x →+∞ vô nghi m. Cách 2: ði u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0. x −y  1 1 (1) ⇔ x − y +  = 0 ⇔ (x − y )  1 +  = 0 ⇔ x = y ∨ y = − . xy    xy  x −1 ± 5 • x = y phương trình (2) ⇔ x = 1 ∨ x = . 2 1 • y =− phương trình (2) ⇔ x 4 + x + 2 = 0. x • V i x < 1 ⇒ x + 2 > 0 ⇒ x4 + x + 2 > 0 . • V i x ≥ 1 ⇒ x 4 ≥ x ≥ −x ⇒ x 4 + x + 2 > 0 . Suy ra phương trình (2) vô nghi m.     −1 + 5  −1 − 5 x = 1 x =    x =  V y h phương trình có 3 nghi m phân bi t   ∨ 2 ∨ 2 . y = 1     y = −1 + 5  y = − 1 − 5       2    2 Ví d 6: Gi i h phương trình: x + x 2 − 2x + 2 = 3y −1 + 1  1.  (x , y ∈ R) x −1 y + y − 2y + 2 = 3 + 1 2  (1 + 42x −y )51−2x +y = 1 + 22x −y +1 (1) 2.   3 2 y + 4x + 1 + ln(y + 2x ) = 0 (2)  17
  14. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 Gi i : x + x 2 − 2x + 2 = 3y −1 + 1  1.  (x , y ∈ R) x −1 y + y − 2y + 2 = 3 + 1 2  ð t u = x − 1, v = y − 1  2 v u + u + 1 = 3 (I ) vi t l i  (II ) v + v 2 + 1 = 3u  ( ) Xét hàm s : f x = x + x 2 + 1 liên t c ∀x ∈ ℝ , ta có x2 + 1 + x x +x () f x =1+ 2 x = 2 > 2 ( ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ f x ñ ng bi n ∀x ∈ ℝ . x +1 x +1 x +1 ( ) () N u u > u ⇒ f u > f v ⇒ 3v > 3u ⇒ v > u vô lý Tương t n u v > u cũng d n ñ n vô lý   u + u 2 + 1 = 3u 1 = 3u ( u 2 + 1 − u ) (1) Do ñó h ( ) II ⇔ ⇔ u = v  u = v  ( ) ð t: g u = 3u ( u 2 + 1 − u ) liên t c ∀u ∈ R , ta có  u    1  g '(u ) = 3u ln 3( u 2 + 1 − u ) + 3u  − 1  = 3u  u 2 + 1 − u   ln 3 −  > 0, ∀u ∈ R  2    2   u +1   u +1 ( ) () Do ñó g u ñ ng bi n ∀u ∈ R và g 0 = 1 ⇒ u = 0 là nghi m duy nh t c a 1 . () Nên ( II ) ⇔ u = v = 0 . V y (I ) ⇔ x = y = 1 (1 + 42x −y )51−2x +y = 1 + 22x −y +1 (1) 2.   3 2 y + 4x + 1 + ln(y + 2x ) = 0 (2)  1 4 ð t t = 2x − y . Khi ñó phương trình (1) tr thành: 5[( ) + ( ) ] = 1 + 2.2 5 t 5 t t (* ) 1 4 () t Xét f t = 5[( ) + ( ) ] , g t = 1 + 2.2 5 5 t () t () 1t 4t () D th y : f t = 5[( ) + ( ) ] là hàm ngh ch bi n và g t = 1 + 2.2 5 5 t là hàm ñ ng bi n và f (1) = g (1) = 5 ⇒ t = 1 là m t nghi m c a ( * ) . Do ñó ( * ) có nghi m duy nh t t = 1 . t = 1 ⇔ 2x − y = 1 ⇔ 2x = y + 1 khi ñó: (2) ⇔ y 3 + 2y + 3 + ln(y 2 + y + 1) = 0 ( * * ) 18
  15. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 3 2 Xét hàm s f (y ) = y + 2y + 3 + ln(y + y + 1) , ta có: 2 2y + 1 2 2y 2 + 4y + 3 f '(y ) = 3y + 2 + = 3y + > 0 ⇒ f (y ) là hàm ñ ng bi n 2 2 y +y +1 y +y +1 ( ) và f (−1) = 0 nên * * có nghi m duy nh t y = −1 x = 0  V y nghi m c a h là:  . y = −1  Ví d 7:  x y e = 2007 −  y 2 − 1 1 có ñúng 2 nghi m th a mãn ñi u ki n Ch ng minh r ng h phương trình  x () e y = 2007 −   x2 − 1 x > 1, y > 1 Gi i : () ð t: f t = e t , g t = () t ( liên t c trên kho ng 1, +∞ , ta có ) t2 − 1 () () f ' t = e t > 0, ∀t > 1 ⇒ f t ñ ng bi n trên kho ng 1, +∞ ( ) −1 g / (t ) = 3 () < 0, ∀t > 1 ⇒ g t ngh ch bi n trên kho ng 1, +∞ . ( ) (t − 1) 2 2  x y e = 2007 −  H phương trình  2  ( ) y − 1 1 ⇔  f x + g y = 2007 ⇒ f x + g y = f y + g x () () ( ) () () ( )  e y = 2007 − x  f y + g x = 2007  () ( )   x2 − 1 ( ) () N u x > y ⇒ f x > f y ⇒ g y < g x ⇒ y > x vô lý. () ( ) Tương t y > x cũng vô lý .  x y e = 2007 −    x x Khi ñó  y − 1 1 ⇔ e + 2 − 2007 = 0 () 2 () x x −1 2 e = 2007 − y x = y    x2 − 1 Xét hàm s : h x = e x +( ) x − 2007 liên t c trên kho ng 1; +∞ , ta có ( ) x2 − 1 19
  16. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 3 5 ( ) 1 ( ) ( ) ( 3 2 ) 3x − − h ' x = ex − 3 = ex − x 2 − 1 2 , h '' x = e x + x −1 2 .2x = e x + 5 >0 2 (x 2 −1 ) 2 (x 2 −1 ) 2 + x →1 ( ) và lim h x = +∞, lim h x = +∞ x →+∞ ( ) V y h ( x ) liên t c và có ñ th là ñư ng cong lõm trên 1; +∞ . ( ) () Do ñó ñ ch ng minh 2 có 2 nghi m l n hơn 1 ta ch c n ch ng minh t n t i x 0 > 1 mà h x 0 < 0 . ( ) 2 () Ch n x 0 = 2 : h 2 = e 2 + ( ) − 2007 < 0 ⇒ h x = 0 có ñúng hai nghi m x > 1 3 () V y h phương trình 1 có ñúng 2 nghi m th a mãn ñi u ki n x > 1, y > 1 . Ví d 8: Gi i h phương trình sau:  2x y =  1 − x2  2y 1. z =  1 − y2  2z x = 1 − z 2  y 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0  2. z 3 − 9y 2 + 27y − 27 = 0 x 3 − 9z 2 + 27z − 27 = 0  Gi i :  2x y =  1 − x2  2y 1. z =  1 − y2  2z x =  1 − z2 Gi s x > y > z Xét hàm s : f t = () 2t 1 − t2 ,xác ñ nh trên D = ℝ \ ±1 .Ta có { } 2(t 2 + 1) () f t = (1 − t 2 )2 () > 0, ∀x ∈ D ⇒ f t luôn ñ ng bi n trên D . 20
  17. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 ( ) () () Do ñó : x > y > z ⇒ f x > f y > f z ⇒ y > z > x . Mâu thu n, do ñó ñi u gi s sai . Tương t x < y < z không tho . V yx =y =z ( ) ( H cho có nghi m : x ; y; z = 0; 0; 0 ) y 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0  2. z 3 − 9y 2 + 27y − 27 = 0 x 3 − 9z 2 + 27z − 27 = 0  y 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0 y 3 = 9x 2 + 27x − 27  3  3 z − 9y + 27y − 27 = 0 ⇔ z = 9y + 27y − 27 2 2 x 3 − 9z 2 + 27z − 27 = 0 x 3 = 9z 2 + 27z − 27   Xét hàm s ñ c trưng : f (t ) = 9t 2 − 27t + 27 ⇒ f '(t ) = 18t − 27  3 3  f '(t ) > 0, ∀t >  f '(t ) = 0 ⇔ 18t − 27 = 0 ⇔ t = ⇒  2 2   ()  f ' t < 0, ∀t < 3 2 3   3 Hàm s ñ ng bi n trên kho ng  ; +∞  và ngh ch bi n trên kho ng  −∞;  2   2 3  3  27 Hàm s ñ t giá tr nh nh t t i t = ⇒f = 2 2 4  3 3 x ≥ 3 > 27 27 27 3 3  4 2 Và f (t ) ≥ ⇔ 9x 2 − 27x + 27 ≥ ⇒ y3 ≥ ⇒y ≥ > ⇒ 4 4 4 4 2 z ≥ 3 > 3 3   3 4 2  f (x ) = y  V y x , y, z thu c mi n ñ ng bi n, suy ra h phương trình  f (y ) = z là h hoán v vòng quanh.  f (z ) = x  Không m t tính t ng quát gi s x ≥ y ⇒ f (x ) ≥ f (y ) ⇒ y 3 ≥ z 3 ⇒ y ≥ z ⇒ f (y ) ≥ f (z ) ⇒ z 3 ≥ x 3 ⇒ z ≥ x ⇒x ≥y ≥z ≥x ⇒x =y =z Thay vào h ta có: x 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0 ⇒ x = 3 . Suy ra: x = y = z = 3 Ví d 9: Gi i h phương trình : x 3 + 3x − 3 + ln(x 2 − x + 1) = y  21  3 2 1. y + 3y − 3 + ln(y − y + 1) = z
  18. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 Gi i : x 3 + 3x − 3 + ln(x 2 − x + 1) = y   1. y 3 + 3y − 3 + ln(y 2 − y + 1) = z  3 2 z + 3z − 3 + ln(z − z + 1) = x   f (x ) = y   H phương trình có d ng :  f (y ) = z .   f (z ) = x  Ta gi s (x ; y; z ) là nghi m c a h . Xét hàm s f (t ) = t 3 + 3t − 3 + ln(t 2 − t + 1), t ∈ R . 2t − 1 2 Ta có: f '(t ) = 3t + 3 + 2 () > 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ f t là hàm ñ ng bi n ∀t ∈ R . 2 t −t +1 { } Gi s : x = max x ; y; z thì y = f (x ) ≥ f (y ) = z ⇒ z = f (y ) ≥ f (z ) = x 3 2 V y x = y = z . Vì phương trình x + 2x − 3 + ln(x − x + 1) = 0 ( ) 3 2 ( ) Xét hàm s g x = x + 2x − 3 + ln(x − x + 1), x ∈ R , hàm s g x ñ ng bi n trên R và () ( ) g 1 = 0 , do ñó phương trình g x = 0 có nghi m duy nh t x = 1 . Do ñó h ñã cho có nghi m là x = y = z = 1 .  x 2 − 2x + 6 log (6 − y ) = x  3  2 2.  y − 2y + 6 log3 (6 − z ) = y  2  z − 2z + 6 log3 (6 − x ) = z  22
  19. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12  x log3 (6 − y ) =  x 2 − 2x + 6  f (y ) = g(x )   y  H cho ⇔ log3 (6 − z ) = ⇔  f (z ) = g(y )  y 2 − 2y + 6  f (x ) = g(z )  z  log3 (6 − x ) =   z 2 − 2z + 6 t Xét hàm s f (t ) = log3 (6 − t ) ; g (t ) = , t ∈ (−∞;6) 2 t − 2t + 6 1 Ta có f '(t ) = − () < 0, t ∈ (−∞;6) ⇒ f t ngh ch bi n trên kho ng (−∞;6) và ( 6 − t ln 3 ) 6 −t g '(t ) = > 0, () ∀t ∈ (−∞;6) ⇒ g t ñ ng bi n trên kho ng (−∞;6) . (t ) 3 2 − 2t + 6 Ta gi s (x ; y; z ) là nghi m c a h thì x = y = z thay vào h ta có: x log3 (6 − x ) = ⇔x =3 2 x − 2x + 6 V y nghi m c a h ñã cho là x = y = z = 3 . Chú ý :H HOÁN V VÒNG QUANH:  f (x1) = g(x 2 )   f (x 2 ) = g(x 3 ) ð nh nghĩa: Là h có d ng:  (I) .................  f (x n ) = g(x1)  ð nh lí 1: N u f , g là các hàm cùng tăng ho c cùng gi m trên A và (x1, x 2,..., x n ) là nghi m c a h trên A thì x1 = x 2 = ... = x n ð nh lí 2:N u f , g khác tính ñơn ñi u trên A và (x1, x 2,..., x n ) là nghi m c a h trên A thì x1 = x 3 = ... = x n −1  x1 = x 2 = ... = x n n u n l và  n u n ch n x 2 = x 4 = ... = x n  Ví d 10: Gi i h phương trình : sin x − sin y = 3x − 3y (1)  23  π 1. x + y = (2)
  20. Nguy n Phú Khánh -ðàsL t Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12 Gi i : sin x − sin y = 3x − 3y (1)   π 1. x + y = (2)  5 x , y > 0  (3) T (2 ) , ( 3 ) ⇒ x, y ∈ (0; π ) 5 (1) ⇔ sin x − 3x = sin y − 3y (*) . π π Xét hàm s f (t ) = sin t − 3t, t ∈ (0; ) ta có f ' (t ) = cos t − 3 < 0, t ∈ (0; ) ⇒ f (t ) là hàm 5 5 π ngh ch bi n trên kho ng t ∈ (0; 5 ) nên ( * ) ⇔ f ( x ) = f (y ) ⇔ x = y π () V i x = y thay vào 2 ta tìm ñư c x = y = 10 π π  ( ) V y x;y =  ;  là nghi m c a h . 10 10   log 2 (1 + 3 cos x ) = log 3 (sin y ) + 2  2.  log 2 (1 + 3 sin y ) = log 3 (cos x ) + 2   cos x > 0 ði u ki n :  sin y > 0  24