Xem mẫu
- Gi¶i bµi kú tr−íc.
Bµi 1.Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh
x 2 + xy − y 2 = 5
a) y
x 5 2
x − 2 y = − 2 − xy
3x 2 − 8xy + 4 y 2 = 0
b)
5 x − 7 xy − 6 y = 0
2 2
Gi¶i
x + xy − y = 5
2 2
a) y
x 5 2
x − 2 y = − 2 − xy
§iÒu kiÖn: x π 0; y π 0.
ViÕt l¹i hÖ ®· cho d−íi d¹ng:
x 2 + xy − y 2 = 5
5
−2 x + 2 xy + y = −2
2 2
§©y lµ hÖ ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai, gi¶i theo mét trong hai c¸ch ë d¹ng 4.
x = 2
§¸p sè: y = 1 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)
x = −2
y = −1
3x 2 − 8xy + 4 y 2 = 0
b) 2
5 x − 7 xy − 6 y = 0
2
§©y lµ hÖ ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai.
+) NÕu x=0 th× hÖ cã d¹ng:
4 y 2 = 0
⇔ y=0
−6 y = 0
2
VËy (0,0) lµ mét nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh.
+) NÕu x π 0. §Æt y=kx, thay vµo hÖ ta cã:
x 2 (3 − 8k + 4k 2 ) = 0
2
x (5 − 7k − 6k ) = 0
2
3 − 8k + 4k 2 = 0
1
⇔ ⇔k =
5 − 7 k − 6k = 0
2
2
1 1
víi k = suy ra y = x , thay vµo hÖ ban ®Çu ta thÊy hÖ lu«n ®óng
2 2
1
VËy nghiÖm cña hÖ lµ (t , t ) ∀t ∈ R
2
Bµi 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh
- x3 = 2x + y
a)
y = 2y + x
3
x 2 − 2y2 = 2x + y
b) 2
y − 2x = 2y + x
2
3 3
x + 4x = y + 2
c)
y3 + 4 y = x + 3
2
C¸c hÖ trªn lµ hÖ ®èi xøng lo¹i II.
x 3 = 2 x + y (1)
a) 3
y = 2 y + x (2)
Trõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau ta ®−îc:
x3 -y3=2(x-y)+(y-x)=x-y
¤ (x-y)(x2+y2+xy-1)=0
x = 0
+) x=y thay vµo (1) ta cã: x3=2x+x=3x ¤ x = 3
x = − 3
+) x2+y2+xy-1=0, kÕt hîp víi ph−¬ng tr×nh (1)ta ®−îc:
x 2 + y 2 + xy − 1 = 0
3
x = 2x + y
y = x3 − 2 x
⇔ 2
x + ( x − 2 x ) + x.( x − 2 x ) − 1 = 0
3 2 3
y = x3 − 2 x
⇔ 6
x − 3x + 3x − 1 = 0
4 2
y = x3 − 2 x
⇔ 2
( x − 1) = 0
3
y = x3 − 2 x
x = ±1
⇔ 2 ⇔
x = 1
y = ∓1
VËy nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ : (0,0);(1, −1);( −1,1),( 3, 3);( − 3 − 3)
x 2 − 2y2 = 2x + y
b) 2
y − 2x = 2y + x
2
§¸p sè: (0,0); (-3,-3)
3 3
x + 4x = y + 2
c)
y3 + 4 y = x + 3
2
¸p dông c¸ch gi¶i nh− trªn, trõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau ta ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh
t−¬ng ®−¬ng
- 3 3 y = x
x + 4x = y +
2 ⇔ 3 3 (1)
( x − y )( x 2 + y 2 + xy + 5) = 0
x + 3x = 2
Gi¶i ph−¬ng tr×nh (1):
§Æt x= 2t th× (1) cã d¹ng:
3
4t 3 + 3t =
4
1 1
⇔ 4t 3 + 3t = (2 − )
2 2
1 1
⇔ t = (3 2 − 3 )
2 2
VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt:
1
x = 2 − 3 2
3
y = 3 2 − 1
3
2
Chó ý: NÕu ph−¬ng tr×nh bËc ba cã d¹ng:
1 3 1
4 x 3 + 3x = (a − 3 )
2 a
1 1
th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ x = (a − )
2 a
Bµi 3.
a) X¸c ®Þnh a ®Ó c¸c ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung
x 3 + a( x + 2)2 + x 2 = 0
vµ x3 + 4 x 2 + (3 − a) x − 2 a = 0
b)X¸c ®Þnh m ®Ó hai ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung:
x2+mx+1=0 vµ x2+x+m=0
c) Chøng minh r»ng nÕu hai ph−¬ng tr×nh
x2+ax+b=0 vµ x2+cx+d=0
cã nghiÖm chung th×: (b-d)2+(a-c)(ad-bc)=0
d)X¸c ®Þnh m ®Ó hai ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung
x(x-1)=m+1 vµ x4+(x+1)2=m2
Gi¶i
x + a( x + 2) + x = 0 (1)
3 2 2
a)
vµ x3 + 4 x 2 + (3 − a) x − 2a = 0 (2)
NÕu a=0 th× c¸c ph−¬ng tr×nh 91) vµ (2) cã nghiÖm chung lµ x=0. VËy a=0 lµ mét gi¸
trÞ cÇn t×m.
XÐt a π 0. V× x=-2 kh«ng lµ nghiÖm cña (1) vµ (2) nªn
x3 + x2 x (3 x + 4)
(1) ⇔ a = − ⇔a= −x
( x + 2) 2
( x + 2)2
x 3 + 4 x 2 + 3x x
(2) ⇔ ⇔ a = x ( x + 2) −
x+2 x+2
- x
§Æt = y (3)
x+2
khi ®ã (2) cã d¹ng x(x+2)=y+a
(1) cã d¹ng y(y+2)=x+a
VËy ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung lµ hÖ:
x ( x + 2) = y + a
(4)
y( y + 2) = x + a
ph¶i cã nghiÖm
x 2 + 2x = y + a
(4) ⇔ 2
y + 2y = x + a
®©y lµ hÖ ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai
Trõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau ta ®−îc hÖ t−¬ng ®−¬ng:
y = x
2
x2 + 2 = y + a x + x − a = 0
⇔
y = −3 − x
( x − y )( x + y + +3) = 0
x 2 + 3x + 3 − a = 0
KÕt hîp víi (3) ta ®−îc c¸c ph−¬ng tr×nh (1) vµ (2) cã nghiÖm chung khi vµ chØ khi
mét trong hai hÖ sau ph¶i cã nghiÖm:
y = x
2 x = 0; a = 0 lo¹i
x + x − a = 0 ⇔
x x=-1;a=0 lo¹i
=y
x + 2
y = −3 − x
2 x1,2 = −3 ∓ 3
x + 3x + 3 − a = 0 ⇔
x a = 6 ∓ 3 3
=y
x + 2
kÕt luËn: víi a = 0; a = 6 ∓ 3 3 th× c¸c ph−¬ng tr×nh (1) vµ (2) cã nghiÖm chung.
b)X¸c ®Þnh m ®Ó hai ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung:
x2+mx+1=0 vµ x2+x+m=0
Xem c¸ch gi¶i ë vÝ dô 1, d¹ng 1. §¸p sè: m=-2.
c) Chøng minh r»ng nÕu hai ph−¬ng tr×nh
x2+ax+b=0 vµ x2+cx+d=0
cã nghiÖm chung th×: (b-d)2+(a-c)(ad-bc)=0
®Æt x2=y, y ≥ 0, khi ®ã ta cÇn hÖ sau cã nghiÖm ( víi y ≥ 0)
y + ax + b = 0
y + cx + d = 0
D= c−a
Dy = ad − bc
Dx = b − d
+)NÕu D=0 ¤ a=c, khi ®ã hÖ muèn cã nghiÖm th× b=d,do ®ã ®¼ng thøc cÇn chøng
minh lµ hiÓn nhiªn.
- +)NÕu D π 0, ta cã
ad − bc
y =
c−a
x = b−d
c−a
ad − bc b−d 2
Tõ ®iÒu kiÖn y=x2 ta cã: =( ) ⇔ (b − d )2 + ( a − c)( ad − bc) = 0
c−a c−a
d)X¸c ®Þnh m ®Ó hai ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung
x(x-1)=m+1 (1)vµ x4+(x+1)2=m2 (2)
§Æt x2=u, x+1=v fi u=(v-1)2 (3)
Khi ®ã
Tõ (1) vµ (2) cã: u-v=m; u2+v2=m2
XÐt hÖ ®èi xøng lo¹i 1
u − v = m u − v = m
2 ⇔
u + v = m (u + v ) + (u − v ) = 2 m
2 2 2 2 2
u − v = m u − v = m
⇔ 2 ⇔
m + (u + v ) = 2 m u + v = ± m
2 2
u + v = m u = m
1) ⇔
u − v = m v = 0
ThÕ vµo (3) ta ®−îc m=(0-1)2=1
Víi m=1 th× hai ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung lµ x=-1.
u + v = − m
2) t−¬ng tù ta ®−îc m=-1
u − v = m
Víi m=-1 ta ®−îc x=0 lµ nghiÖm chung cña (1) vµ (2).
KÕt luËn: Hai ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung khi vµ chØ khi m=±1
Bµi 4. Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh
x + y + z = 1
a)
2 x + 2 y − 2 xy + z = 1
2
x + y + xy = a 2 + 2 a
b) 4 4
(víi a ≥ 0)
x + y = 2a
4
x + y + z = a
c) x 2 + y 2 + z 2 = a 2
x 3 + y 3 + z 3 = a3
x + y + z = 1
a)
2 x + 2 y − 2 xy + z = 1
2
Coi z nh− tham sè, ta ®−îc hÖ ®èi xøng lo¹i I ®èi víi x vµ y
x + y = 1 − z x + y = 1 − z
2 ⇔
1− z 1 − z2 1 − 2z + z2
x + y − xy = xy = 1 − z − =
2 2 2
§iÒu kiÖn ®Ó cã nghiÖm x,y lµ
- 1 − 2z + z2
(1 − z )2 − 4 ≥0
2
⇔ −(1 − z)2 ≥ 0 ⇔ z = 1
VËy nÕu z π 1 th× hÖ v« nghiÖm
Víi z=1 thay vµo hÖ ta cã x=y=0
VËy hÖ chØ cã nghiÖm x=0, y=0,z=1.
b)
x + y + xy = a 2 + 2 a
4 (víi a ≥ 0)
x + y = 2a
4 4
NhËn xÐt : NÕu x, y lµ nghiÖm cña hÖ th×
x4 +y4 ≥ 2x2y2
hay 2a4 ≥ 2x2y2 fi xy £ a2
Do (x+y)2 £ 2(x2+y2) nªn (x+y)4 £ [2(x2+y2)]2 £ 4.2(x4+y4)=16a4
x + y ≤ 2a
Khi ®ã ta cã:
xy ≤ a
2
VËy khi a ≥ 0 th× x+y+xy £ a2+2a, kÕt hîp víi ph−¬ng tr×nh ®Çu tiªn cña hÖ ta ®−îc hÖ
cã nghiÖm duy nhÊt x=y=a
x + y + z = a
c) x 2 + y 2 + z 2 = a 2
x 3 + y 3 + z 3 = a3
§Æt xy+yz+zx=b
xyz=c
x 2 + y 2 + z 2 = a 2 − 2b ⇒ b = 0
Ta cã ®¼ng thøc
x 3 + y 3 + z 3 = a( a 2 − 3b) + 3c ⇒ c = 0
Do ®ã
x + y + z = a
(1) ⇔ xy + yz + zx = 0
xyz = 0
tõ ®ã hÖ cã c¸c nghiÖm lµ (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a).
Bµi 6
Ph−¬ng tr×nh bËc ba vµ
Ph−¬ng tr×nh bËc bèn
I. Ph−¬ng tr×nh bËc ba
Trong phÇn nµy sÏ nªu ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc ba tæng qu¸t.
ax3 +bx2+cx+d=0 (1)
D¹ng1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh khi biÕt mét nghiÖm x=x0.
Theo gi¶ thiÕt x=x0 lµ mét nghiÖm nªn ax03+bx02+cx0+d=0
(1) ¤ ax3+bx2+cx+d= ax03+bx02+cx0+d
¤ a(x3-x03)+b(x2-x02)+c(x-x0)=0
¤ (x-x0)[ax2+(ax0+b)x+ax02+bx0+c]=0
1)NÕu D =(ax0+b)2-4a(ax02+bx0+c)
- x = x0
x = −( ax0 + b) ± ∆
2a
*NhËn xÐt:
1)NÕu biÕt tr−íc x0 lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) th× ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó
ph−¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt lµ:
ax0 2 + ( ax0 + b) x0 + ax0 2 + bx0 + c ≠ 0
2
∆ = ( ax0 + b) − 4a ( ax0 + bx0 + c ) > 0
2
2) NÕu x0 lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) th× cã thÓ ph©n tÝch
ax3+bx2+cx+d=(x-x0).f(x) (2)
Trong ®ã f(x) lµ mét tam thøc bËc hai
3) NÕu x1;x2;x3 lµ c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) th× ta cã ph©n tÝch
ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3), tõ ®ã ta cã c«ng thøc Viet cho ph−¬ng
tr×nh bËc ba:
b
x1 + x2 + x3 = − a
c
x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 =
a
d
x1 x2 x3 = a
D¹ng 2.Ph−¬ng tr×nh håi quy bËc ba
§ã lµ ph−¬ng tr×nh ax3+bx2+cx+d (3)
víi ac3=bd3 (a ,d π 0) (4)
Tõ (4) suy ra
d
1) NÕu c=0 fi b=0 , khi ®ã ph−¬ng tr×nh (3) trë thµnh ax3+d=0¤ x = 3 −
a
d c
2) NÕu c π 0fi b π 0 vµ = ( )3
a b
c
§Æt = − x0 th× c=-bx0, d=-ax03
b
Thay vµo ph−¬ng tr×nh (3) ta ®−îc
ax3+bx2-bx0x-ax03=0
¤ a(x3-x03)+bx(x-x0)=0
¤ (x-x0)[ax2+(ax0+b)x+ax02]=0
c
VËy x = x0 = lµ mét nghiÖm
b
NÕu D =(ax0+b)2-4a2x02 ≥ 0 th× ph−¬ng tr×nh cßn cã nghiÖm
−( ax0 + b) ± ∆
x=
2a
NhËn xÐt:NÕu ph−¬ng tr×nh bËc ba lµ håi quy th× nã lu«n cã mét nghiÖm lµ
c
x0 =
b
D¹ng 3.
Ph−¬ng tr×nh cã d¹ng 4 x 3 − 3x = m víi m ≤ 1
- §Æt m= cosa =cos(a ±2p )
α α α
Khi ®ã cos α = cos(3 ) = 4 cos3 − 3cos
3 3 3
Do ®ã ph−¬ng tr×nh cã ba nghiÖm lµ
α α ± 2π
x1 = cos ; x 2,3 = cos
3 3
D¹ng 4.
Ph−¬ng tr×nh d¹ng 4 x 3 − 3x = m víi m > 1
Tr−íc hÕt dÔ thÊy r»ng ph−¬ng tr×nh
1 3 1
4 x 3 − 3x =
(a + 3 )(*) ( a ≠ 0)
2 a
1 1
lu«n cã nghiÖm lµ x = (a + )
2 a
MÆt kh¸c ph−¬ng tr×nh 4 x − 3x = m víi m > 1 chØ cã mét nghiÖm duy nhÊt
3
ThË vËy, ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm trong [-1,1] v× nÕu tr¸i l¹i x=x0 Œ [-1,1] lµ
nghiÖm th× ®Æt x= cos a . Khi ®ã
4 x 3 − 3x = cos3α ≤ 1 ≠ m (v× m > 1)
Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x=x1 víi x1 > 1
Khi ®ã 4x13-3x1=m. VËy ta cã ph−¬ng tr×nh:
4x3-3x=4x13-3x1
¤ 4(x3-x13)-3(x-x1)=0
¤ (x-x1)[4x2+4x1x+4x12-3]=0
Cã D' =4x12-4(4x12-3)=12-12x12< 0 do x1 > 1
VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x=x1 ( chó ý r»ng mét ph−¬ng tr×nh bËc ba lu«n
cã Ýt nhÊt mét nghiÖm.
1 1
§Æt m = (a3 + ) víi a3 = m ± m 2 − 1
2 a3
Khi ®ã theo (*) nghiÖm duy nhÊt x1 cña ph−¬ng tr×nh lµ:
1 1 1
x= (a + ) = ( 3 m + m 2 − 1 + 3 m − m 2 − 1 )
2 a 2
D¹ng 5:
Ph−¬ng tr×nh d¹ng: 4x3+3x=m
NhËn xÐt r»ng nÕu x=x0 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt.
ThËy vËy, xÐt x>x0, khi ®ã
4x3+3x>4x03+3x0=m nªn x kh«ng lµ nghiÖm
T−¬ng tù víi x
- 1 1 1
x= (a − ) = ( 3 m + m 2 + 1 + 3 m − m 2 + 1 )
2 a 2
D¹ng 6: D¹ng tæng qu¸t
at3+bt2+ct+d=0
B»ng c¸ch chia c¶ hai vÕ cho a, ta cã thÓ coi a=1. ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng
t3+at2+bt+c=0
a
1) §Æt t = y − , khi ®ã cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng:
3
a a a
( y − )3 + a( y − ) 2 + b ( y − ) + c = 0
3 3 3
⇔ y − py = q
3
a2 2a3 ab
trong ®ã p= − b; q = − + −c
3 27 3
NÕu p=0 th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt: x = 3 q
p
NÕu p>0.§Æt y = 2 x .
3
3 3q
Khi ®ã ph−¬ng tr×nh sÏ cã d¹ng :4x3-3x=m víi m = ®ã lµ ph−¬ng tr×nh d¹ng 4.
2p p
−p
NÕu p
- x3 = 2 y − 2
a)
y = 2x − 2
3
x3 = 3 y − 3
b) 3
y = 3x − 3
x + y + z = 0
c) xy + yz + zx = −
3
4
1
xyz = 8
Bµi 5. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh
1
a) 4x 3 -3x=
2
1
b) 4 x 3 + 3x =
4
c)x4=4x+1
nguon tai.lieu . vn
