Xem mẫu

  1. Gi¶i bµi kú tr−íc. Bµi 1.Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh  x 2 + xy − y 2 = 5 a)  y  x 5 2  x − 2 y = − 2 − xy  3x 2 − 8xy + 4 y 2 = 0 b)   5 x − 7 xy − 6 y = 0 2 2  Gi¶i  x + xy − y = 5 2 2 a)  y  x 5 2  x − 2 y = − 2 − xy  §iÒu kiÖn: x π 0; y π 0. ViÕt l¹i hÖ ®· cho d−íi d¹ng:  x 2 + xy − y 2 = 5   5  −2 x + 2 xy + y = −2 2 2  §©y lµ hÖ ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai, gi¶i theo mét trong hai c¸ch ë d¹ng 4.  x = 2  §¸p sè:   y = 1 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)   x = −2    y = −1  3x 2 − 8xy + 4 y 2 = 0 b)  2  5 x − 7 xy − 6 y = 0 2  §©y lµ hÖ ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai. +) NÕu x=0 th× hÖ cã d¹ng: 4 y 2 = 0   ⇔ y=0  −6 y = 0 2  VËy (0,0) lµ mét nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh. +) NÕu x π 0. §Æt y=kx, thay vµo hÖ ta cã:  x 2 (3 − 8k + 4k 2 ) = 0   2  x (5 − 7k − 6k ) = 0 2  3 − 8k + 4k 2 = 0  1 ⇔ ⇔k = 5 − 7 k − 6k = 0  2 2 1 1 víi k = suy ra y = x , thay vµo hÖ ban ®Çu ta thÊy hÖ lu«n ®óng 2 2 1 VËy nghiÖm cña hÖ lµ (t , t ) ∀t ∈ R 2 Bµi 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh
  2. x3 = 2x + y a)   y = 2y + x 3   x 2 − 2y2 = 2x + y b)  2   y − 2x = 2y + x 2   3 3 x + 4x = y + 2 c)    y3 + 4 y = x + 3   2 C¸c hÖ trªn lµ hÖ ®èi xøng lo¹i II.  x 3 = 2 x + y (1) a)  3   y = 2 y + x (2)  Trõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau ta ®−îc: x3 -y3=2(x-y)+(y-x)=x-y ¤ (x-y)(x2+y2+xy-1)=0 x = 0  +) x=y thay vµo (1) ta cã: x3=2x+x=3x ¤  x = 3 x = − 3  +) x2+y2+xy-1=0, kÕt hîp víi ph−¬ng tr×nh (1)ta ®−îc:  x 2 + y 2 + xy − 1 = 0   3 x = 2x + y   y = x3 − 2 x  ⇔ 2  x + ( x − 2 x ) + x.( x − 2 x ) − 1 = 0 3 2 3   y = x3 − 2 x  ⇔ 6  x − 3x + 3x − 1 = 0 4 2   y = x3 − 2 x  ⇔ 2 ( x − 1) = 0 3   y = x3 − 2 x   x = ±1 ⇔ 2 ⇔ x = 1   y = ∓1 VËy nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ : (0,0);(1, −1);( −1,1),( 3, 3);( − 3 − 3)  x 2 − 2y2 = 2x + y b)  2   y − 2x = 2y + x 2  §¸p sè: (0,0); (-3,-3)  3 3 x + 4x = y + 2 c)    y3 + 4 y = x + 3   2 ¸p dông c¸ch gi¶i nh− trªn, trõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau ta ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng
  3.  3 3 y = x x + 4x = y +   2 ⇔ 3 3 (1) ( x − y )( x 2 + y 2 + xy + 5) = 0   x + 3x = 2  Gi¶i ph−¬ng tr×nh (1): §Æt x= 2t th× (1) cã d¹ng: 3 4t 3 + 3t = 4 1 1 ⇔ 4t 3 + 3t = (2 − ) 2 2 1 1 ⇔ t = (3 2 − 3 ) 2 2 VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt:  1 x = 2 − 3 2 3   y = 3 2 − 1   3 2 Chó ý: NÕu ph−¬ng tr×nh bËc ba cã d¹ng: 1 3 1 4 x 3 + 3x = (a − 3 ) 2 a 1 1 th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ x = (a − ) 2 a Bµi 3. a) X¸c ®Þnh a ®Ó c¸c ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung x 3 + a( x + 2)2 + x 2 = 0 vµ x3 + 4 x 2 + (3 − a) x − 2 a = 0 b)X¸c ®Þnh m ®Ó hai ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung: x2+mx+1=0 vµ x2+x+m=0 c) Chøng minh r»ng nÕu hai ph−¬ng tr×nh x2+ax+b=0 vµ x2+cx+d=0 cã nghiÖm chung th×: (b-d)2+(a-c)(ad-bc)=0 d)X¸c ®Þnh m ®Ó hai ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung x(x-1)=m+1 vµ x4+(x+1)2=m2 Gi¶i x + a( x + 2) + x = 0 (1) 3 2 2 a) vµ x3 + 4 x 2 + (3 − a) x − 2a = 0 (2) NÕu a=0 th× c¸c ph−¬ng tr×nh 91) vµ (2) cã nghiÖm chung lµ x=0. VËy a=0 lµ mét gi¸ trÞ cÇn t×m. XÐt a π 0. V× x=-2 kh«ng lµ nghiÖm cña (1) vµ (2) nªn x3 + x2 x (3 x + 4) (1) ⇔ a = − ⇔a= −x ( x + 2) 2 ( x + 2)2 x 3 + 4 x 2 + 3x x (2) ⇔ ⇔ a = x ( x + 2) − x+2 x+2
  4. x §Æt = y (3) x+2 khi ®ã (2) cã d¹ng x(x+2)=y+a (1) cã d¹ng y(y+2)=x+a VËy ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung lµ hÖ:  x ( x + 2) = y + a  (4)  y( y + 2) = x + a ph¶i cã nghiÖm x 2 + 2x = y + a  (4) ⇔  2 y + 2y = x + a  ®©y lµ hÖ ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai Trõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau ta ®−îc hÖ t−¬ng ®−¬ng: y = x  2 x2 + 2 = y + a x + x − a = 0  ⇔   y = −3 − x ( x − y )( x + y + +3) = 0    x 2 + 3x + 3 − a = 0  KÕt hîp víi (3) ta ®−îc c¸c ph−¬ng tr×nh (1) vµ (2) cã nghiÖm chung khi vµ chØ khi mét trong hai hÖ sau ph¶i cã nghiÖm:  y = x  2  x = 0; a = 0 lo¹i x + x − a = 0 ⇔   x  x=-1;a=0 lo¹i  =y  x + 2    y = −3 − x  2  x1,2 = −3 ∓ 3    x + 3x + 3 − a = 0 ⇔   x a = 6 ∓ 3 3   =y   x + 2 kÕt luËn: víi a = 0; a = 6 ∓ 3 3 th× c¸c ph−¬ng tr×nh (1) vµ (2) cã nghiÖm chung. b)X¸c ®Þnh m ®Ó hai ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung: x2+mx+1=0 vµ x2+x+m=0 Xem c¸ch gi¶i ë vÝ dô 1, d¹ng 1. §¸p sè: m=-2. c) Chøng minh r»ng nÕu hai ph−¬ng tr×nh x2+ax+b=0 vµ x2+cx+d=0 cã nghiÖm chung th×: (b-d)2+(a-c)(ad-bc)=0 ®Æt x2=y, y ≥ 0, khi ®ã ta cÇn hÖ sau cã nghiÖm ( víi y ≥ 0)  y + ax + b = 0   y + cx + d = 0 D= c−a Dy = ad − bc Dx = b − d +)NÕu D=0 ¤ a=c, khi ®ã hÖ muèn cã nghiÖm th× b=d,do ®ã ®¼ng thøc cÇn chøng minh lµ hiÓn nhiªn.
  5. +)NÕu D π 0, ta cã  ad − bc y =  c−a  x = b−d   c−a ad − bc b−d 2 Tõ ®iÒu kiÖn y=x2 ta cã: =( ) ⇔ (b − d )2 + ( a − c)( ad − bc) = 0 c−a c−a d)X¸c ®Þnh m ®Ó hai ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung x(x-1)=m+1 (1)vµ x4+(x+1)2=m2 (2) §Æt x2=u, x+1=v fi u=(v-1)2 (3) Khi ®ã Tõ (1) vµ (2) cã: u-v=m; u2+v2=m2 XÐt hÖ ®èi xøng lo¹i 1 u − v = m u − v = m  2 ⇔ u + v = m (u + v ) + (u − v ) = 2 m 2 2 2 2 2 u − v = m u − v = m ⇔ 2 ⇔  m + (u + v ) = 2 m u + v = ± m 2 2 u + v = m u = m 1)  ⇔ u − v = m v = 0 ThÕ vµo (3) ta ®−îc m=(0-1)2=1 Víi m=1 th× hai ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung lµ x=-1. u + v = − m 2)  t−¬ng tù ta ®−îc m=-1 u − v = m Víi m=-1 ta ®−îc x=0 lµ nghiÖm chung cña (1) vµ (2). KÕt luËn: Hai ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung khi vµ chØ khi m=±1 Bµi 4. Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh x + y + z = 1 a)   2 x + 2 y − 2 xy + z = 1 2  x + y + xy = a 2 + 2 a b)  4 4  (víi a ≥ 0)  x + y = 2a 4  x + y + z = a  c)  x 2 + y 2 + z 2 = a 2  x 3 + y 3 + z 3 = a3  x + y + z = 1 a)   2 x + 2 y − 2 xy + z = 1 2 Coi z nh− tham sè, ta ®−îc hÖ ®èi xøng lo¹i I ®èi víi x vµ y x + y = 1 − z x + y = 1 − z  2 ⇔   1− z  1 − z2 1 − 2z + z2  x + y − xy =  xy = 1 − z − =  2  2 2 §iÒu kiÖn ®Ó cã nghiÖm x,y lµ
  6. 1 − 2z + z2 (1 − z )2 − 4 ≥0 2 ⇔ −(1 − z)2 ≥ 0 ⇔ z = 1 VËy nÕu z π 1 th× hÖ v« nghiÖm Víi z=1 thay vµo hÖ ta cã x=y=0 VËy hÖ chØ cã nghiÖm x=0, y=0,z=1. b)  x + y + xy = a 2 + 2 a   4 (víi a ≥ 0)  x + y = 2a 4 4  NhËn xÐt : NÕu x, y lµ nghiÖm cña hÖ th× x4 +y4 ≥ 2x2y2 hay 2a4 ≥ 2x2y2 fi xy £ a2 Do (x+y)2 £ 2(x2+y2) nªn (x+y)4 £ [2(x2+y2)]2 £ 4.2(x4+y4)=16a4  x + y ≤ 2a Khi ®ã ta cã:   xy ≤ a 2 VËy khi a ≥ 0 th× x+y+xy £ a2+2a, kÕt hîp víi ph−¬ng tr×nh ®Çu tiªn cña hÖ ta ®−îc hÖ cã nghiÖm duy nhÊt x=y=a x + y + z = a  c)  x 2 + y 2 + z 2 = a 2  x 3 + y 3 + z 3 = a3  §Æt xy+yz+zx=b xyz=c x 2 + y 2 + z 2 = a 2 − 2b ⇒ b = 0 Ta cã ®¼ng thøc x 3 + y 3 + z 3 = a( a 2 − 3b) + 3c ⇒ c = 0 Do ®ã x + y + z = a  (1) ⇔  xy + yz + zx = 0  xyz = 0  tõ ®ã hÖ cã c¸c nghiÖm lµ (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a). Bµi 6 Ph−¬ng tr×nh bËc ba vµ Ph−¬ng tr×nh bËc bèn I. Ph−¬ng tr×nh bËc ba Trong phÇn nµy sÏ nªu ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc ba tæng qu¸t. ax3 +bx2+cx+d=0 (1) D¹ng1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh khi biÕt mét nghiÖm x=x0. Theo gi¶ thiÕt x=x0 lµ mét nghiÖm nªn ax03+bx02+cx0+d=0 (1) ¤ ax3+bx2+cx+d= ax03+bx02+cx0+d ¤ a(x3-x03)+b(x2-x02)+c(x-x0)=0 ¤ (x-x0)[ax2+(ax0+b)x+ax02+bx0+c]=0 1)NÕu D =(ax0+b)2-4a(ax02+bx0+c)
  7.  x = x0   x = −( ax0 + b) ± ∆   2a *NhËn xÐt: 1)NÕu biÕt tr−íc x0 lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) th× ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph−¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt lµ:  ax0 2 + ( ax0 + b) x0 + ax0 2 + bx0 + c ≠ 0   2  ∆ = ( ax0 + b) − 4a ( ax0 + bx0 + c ) > 0 2  2) NÕu x0 lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) th× cã thÓ ph©n tÝch ax3+bx2+cx+d=(x-x0).f(x) (2) Trong ®ã f(x) lµ mét tam thøc bËc hai 3) NÕu x1;x2;x3 lµ c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) th× ta cã ph©n tÝch ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3), tõ ®ã ta cã c«ng thøc Viet cho ph−¬ng tr×nh bËc ba:  b  x1 + x2 + x3 = − a   c  x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 =  a  d  x1 x2 x3 = a  D¹ng 2.Ph−¬ng tr×nh håi quy bËc ba §ã lµ ph−¬ng tr×nh ax3+bx2+cx+d (3) víi ac3=bd3 (a ,d π 0) (4) Tõ (4) suy ra d 1) NÕu c=0 fi b=0 , khi ®ã ph−¬ng tr×nh (3) trë thµnh ax3+d=0¤ x = 3 − a d c 2) NÕu c π 0fi b π 0 vµ = ( )3 a b c §Æt = − x0 th× c=-bx0, d=-ax03 b Thay vµo ph−¬ng tr×nh (3) ta ®−îc ax3+bx2-bx0x-ax03=0 ¤ a(x3-x03)+bx(x-x0)=0 ¤ (x-x0)[ax2+(ax0+b)x+ax02]=0 c VËy x = x0 = lµ mét nghiÖm b NÕu D =(ax0+b)2-4a2x02 ≥ 0 th× ph−¬ng tr×nh cßn cã nghiÖm −( ax0 + b) ± ∆ x= 2a NhËn xÐt:NÕu ph−¬ng tr×nh bËc ba lµ håi quy th× nã lu«n cã mét nghiÖm lµ c x0 = b D¹ng 3. Ph−¬ng tr×nh cã d¹ng 4 x 3 − 3x = m víi m ≤ 1
  8. §Æt m= cosa =cos(a ±2p ) α α α Khi ®ã cos α = cos(3 ) = 4 cos3 − 3cos 3 3 3 Do ®ã ph−¬ng tr×nh cã ba nghiÖm lµ α α ± 2π x1 = cos ; x 2,3 = cos 3 3 D¹ng 4. Ph−¬ng tr×nh d¹ng 4 x 3 − 3x = m víi m > 1 Tr−íc hÕt dÔ thÊy r»ng ph−¬ng tr×nh 1 3 1 4 x 3 − 3x = (a + 3 )(*) ( a ≠ 0) 2 a 1 1 lu«n cã nghiÖm lµ x = (a + ) 2 a MÆt kh¸c ph−¬ng tr×nh 4 x − 3x = m víi m > 1 chØ cã mét nghiÖm duy nhÊt 3 ThË vËy, ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm trong [-1,1] v× nÕu tr¸i l¹i x=x0 Œ [-1,1] lµ nghiÖm th× ®Æt x= cos a . Khi ®ã 4 x 3 − 3x = cos3α ≤ 1 ≠ m (v× m > 1) Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x=x1 víi x1 > 1 Khi ®ã 4x13-3x1=m. VËy ta cã ph−¬ng tr×nh: 4x3-3x=4x13-3x1 ¤ 4(x3-x13)-3(x-x1)=0 ¤ (x-x1)[4x2+4x1x+4x12-3]=0 Cã D' =4x12-4(4x12-3)=12-12x12< 0 do x1 > 1 VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x=x1 ( chó ý r»ng mét ph−¬ng tr×nh bËc ba lu«n cã Ýt nhÊt mét nghiÖm. 1 1 §Æt m = (a3 + ) víi a3 = m ± m 2 − 1 2 a3 Khi ®ã theo (*) nghiÖm duy nhÊt x1 cña ph−¬ng tr×nh lµ: 1 1 1 x= (a + ) = ( 3 m + m 2 − 1 + 3 m − m 2 − 1 ) 2 a 2 D¹ng 5: Ph−¬ng tr×nh d¹ng: 4x3+3x=m NhËn xÐt r»ng nÕu x=x0 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt. ThËy vËy, xÐt x>x0, khi ®ã 4x3+3x>4x03+3x0=m nªn x kh«ng lµ nghiÖm T−¬ng tù víi x
  9. 1 1 1 x= (a − ) = ( 3 m + m 2 + 1 + 3 m − m 2 + 1 ) 2 a 2 D¹ng 6: D¹ng tæng qu¸t at3+bt2+ct+d=0 B»ng c¸ch chia c¶ hai vÕ cho a, ta cã thÓ coi a=1. ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng t3+at2+bt+c=0 a 1) §Æt t = y − , khi ®ã cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng: 3 a a a ( y − )3 + a( y − ) 2 + b ( y − ) + c = 0 3 3 3 ⇔ y − py = q 3 a2 2a3 ab trong ®ã p= − b; q = − + −c 3 27 3 NÕu p=0 th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt: x = 3 q p NÕu p>0.§Æt y = 2 x . 3 3 3q Khi ®ã ph−¬ng tr×nh sÏ cã d¹ng :4x3-3x=m víi m = ®ã lµ ph−¬ng tr×nh d¹ng 4. 2p p −p NÕu p
  10.  x3 = 2 y − 2 a)    y = 2x − 2 3   x3 = 3 y − 3 b)  3   y = 3x − 3   x + y + z = 0  c)  xy + yz + zx = − 3   4  1  xyz = 8  Bµi 5. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh 1 a) 4x 3 -3x= 2 1 b) 4 x 3 + 3x = 4 c)x4=4x+1