Xem mẫu

  1. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 1 - Soạn cho lớp LTĐH I. ĐẠO HÀM 1) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số: |x | a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) = tại x0 = 0. x+1 2) Cho hàm số y = f(x) = x3−3x2+1, có đồ thị (C). a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) ≤ 0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ bằng 3. 3) Cho (C) : y = f(x) = x4x2. a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : 1. Tại điểm có hồnh độ bằng 2 . 2. Tại điểm có tung độ bằng 3. 3. Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007 1 4. Biết tiếp tuyến vuông góc với d2 : y = x − 10. 24 4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) = x22x3 đi qua M1(5;3). 5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y=f(x)=x3 –3x+1 kẻ từ M(3;1). 4 6) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x2+ đi qua A(0;3). x−1 x −1 7) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x)= đi qua H(1;1). x+1 8) Tìm đạo hàm các hàm số x3 − 2x ax2 + bx+ c a) y = ( x3 – 3x + 2 ) ( x4 + x2 – 1 ) b) y = 2 c) y = x + x+1 px+ q 9) Tìm đạo hàm các hàm số : a) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5 b) y = sin2 (cos 3x) c) y = ln3 x d) y = esinx f) y = ax +2x+1 (0< a ≠ 1) 2 e) y = e4x + 5 10) Tìm đạo hàm các hàm số : a) y= ln ( x + 1+ x2 ) b) y = log3 ( x2 – sin x ) x c) y = e – ln ( sin x) d) y = tg ( 2x+3) x e) y = tg2x . sinx f) y = tg 2 2 2 g) y = cotg ( 5x + x – 2 ) h) y = cotg x + cotg2x 11) Tính đạo hàm của hàm số x3 neáu < 0 x f(x) =  2 x neáu ≥ 0 x tại điểm x0 = 0 12) Tìm đạo hàm cấp n ( n nguyên dương) của các hàm số sau : a) y = lnx b) y = e Kx c) y = sin x d) y = cos x e) y = ln (x2 + x – 2 ) Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  2. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 2 - Soạn cho lớp LTĐH 13) Chứng minh rằng : 5 a) Với y= 3 + ( x ≠ 0), ta có xy’ + y = 3 x b) Với y = x sin x, ta có : xy – 2 ( y’ – sin x ) +xy” = 0 c) Với y = ( x +1 ) ex ta có : y’ – y = ex d) Với y= e sin x ta có : y’ cos x – ysin x – y” = 0 1 e) Với y = ln ta có xy’ + 1 = ey 1+ x 14) Chứng minh các đẳng thức đạo hàm: sin3 x + cos x3 a) Cho hàm số y = . Chứng minh rằng: y’' = y 1− sinx. cosx x b) Cho y = ln(sinx) . Chứng minh rằng : y’+y’’sinx+tg = 0 2 c) Cho y = e4x+2ex. Chứng minh rằng : y’’’13y’12y = 0 x− 3 d) Cho y = . Chứng minh rằng : 2(y’)2 = (y1)y’’ x+ 4 1 e) Cho y = − cotg3x + cotgx+ x + 3 + 7 . Chứng minh rằng: y’ = cotg4x 3 cos x 2 π π 15) Cho f(x) = . Chứng minh rằng : f ( ) − 3f '( ) = 3 1+ sin x 2 4 4 x2 ' 1 1 16) Cho f(x) = x.e− 2 . Chứng minh rằng : 2f ( ) = 3f ( ) 2 2 17) Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng: a) f(x) = cos x +sin x + x. b) f(x) = (x2+2x3)ex c) f(x) = sinx.ex d) f(x) = 3 sinx − cos + x x / 1 3 2 18) Giải bất phương trình f (x) < 0 với f(x) = x x + π . 3 1 19) Cho các hàm số f(x) = sin4x + cos4x; g(x) = cos4x 4 Chứng minh rằng : f ’(x) = g’(x), ∀x∈R 20) Tìm vi phân của mỗi hàm số sau tại điểm đã chỉ ra: π π a) f(x) = ln (sinx) tại x0 = . b) f(x) = x. cosx tại x0 = 4 3 21) Tìm vi phân của mỗi hàm số: sinx a) f(x) = x2 + 1 b) f(x) = x.lnx. c) f(x) = . x 22) Biết rằng ln 781 = 6,6606 , hãy tính gần đúng ln 782. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  3. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 3 - Soạn cho lớp LTĐH II.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 3 23) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+ + 5 . x 24) Xét tính đơn điệu của hàm số a) y = f(x) = x33x2+1. b) y = f(x) = 2x2x4. x− 3 x2 − 4x + 4 c) y = f(x) = . d) y = f(x) = . x+ 2 1− x e) y = f(x) = x+2sinx trên (π ; π). f) y = f(x) = xlnx. g) y = f(x) = 3 x2 (x − 5) . h) y= f(x) = x3−3x2. x2 − 3x + 3 i) y = f(x)= . j) y= f(x) = x4−2x2. x−1 k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2π]. 25) Cho hàm số y = f(x) = x33(m+1)x2+3(m+1)x+1. Định m để hàm số : a) Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó. Kq:1 ≤ m ≤ 0 4 b) Nghịch biến trên khoảng (1;0). Kq: m ≤ − 3 1 c) Đồng biến trên khoảng (2;+∞ ). Kq: m ≤ 3 mx− 1 26) Định m∈Z để hàm số y = f(x) = đồng biến trên các khoảng xác định của x− m nó. Kq: m = 0 mx2 + 6x − 2 27) Định m để hàm số y = f(x) = nghịch biến trên nửa khoảng [1;+∞). x+ 2 14 Kq: m ≤ − 5 28) Chứng minh rằng : ex > 1+ x , ∀x > 0. 29) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (trên từng khoảng xác định) của nó : x2 − x − 1 a) y = x3−3x2+3x+2. b) y = . x−1 x−1 c) y = . 2x + 1 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  4. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 4 - Soạn cho lớp LTĐH x 3 30) Tìm m để hàm số y = − ( m − 1) x2 − ( m − 7) x : 3 a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó. b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+∞) x2 − 2mx+ m + 2 31) Tìm m để hàm số : y = luôn đồng biến trên từng khoảng xác x− m định của nó. 2x2 + (1− m)x + m + 1 32) Tìm m để hàm số : y = luôn đồng biến trên khoảng (1;+∞). x− m Kq: m ≤ 3 − 2 2 33) Tìm m để hàm số y = x .(mx)m đồng biến trên khoảng (1;2). Kq: m≥ 3 2 34) Chứng minh rằng : x2 a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx >1 , với x > 0 . 2 II. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU 35) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 1: 3 ln x a) y = x3.b) y = 3x + + 5. c) y = x.ex. d) y = . x x 36) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 2: ex a) y = sin2x với x∈[0; π ] b) y = x2lnx. c) y = . x 37) Xác định tham số m để hàm số y=x3−3mx2+(m2−1)x+2 đạt cực đại tại x=2. ( Đề thi TNTHPT 2004−2005) Kết quả : m=11 38) Định m để hàm số y = f(x) = x33x2+3mx+3m+4 a.Không có cực trị. Kết quả : m ≥ 1 b.Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m
  5. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 5 - Soạn cho lớp LTĐH 1 3 2 2 41) Cho hàm số y = f(x) = x mx +(m m+1)x+1. Có giá trị nào của m để hàm số đạt 3 cực tiểu tại x = 1 không? Hd và kq : Sử dụng đkc,đkđ. Không 1 3 2 42) Cho hàm số y = f(x) = x mx +(m+2)x1. Xác định m để hàm số: 3 a) Có cực trị. Kết quả: m 2 b) Có hai cực trị trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m > 2 c) Có cực trị trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m 2 43) Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = x4+2mx22m+1. Hd và kq : y’=4x(x2m)  m ≤ 0: 1 cực đại x = 0  m > 0: 2 cực đại x= ± m và 1 cực tiểu x = 0 x2 − x + m 44) Định m để đồ thị (C) của hàm số y = f(x) = có hai điểm cực trị nằm x+1 1 khác phía so với Ox. Kết quả : m > 4 45) Định m để hàm số y = f(x) = x36x2+3(m+2)xm6 có 2 cực trị và hai giá trị cực trị 17 cùng dấu. Kết quả : −
  6. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 6 - Soạn cho lớp LTĐH III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 52) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x22x+3. Kq: Min f(x) = f(1) = 2 R 53) Tìm giá trị lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x22x+3 trên [0;3]. Kq: Min f(x)=f(1)=2 và Max f(x)=f(3)=6. [ 0;3] [0;3] x2 − 4x + 4 54) Tìm giá trị lớùn nhất của hàm số y = f(x) = với x 0. Kết quả: Min y=f(1)= −3 ( 0;± ∞) x 62) Tìm GTLN, GTNN y=x–5+ 4− x2 . Kết quả: Max y = f ( 2) = 2 2 − 5 ; Min y = f (−2) = −7 [ −2;2] [ −2;2]  1  63) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x3+3x2−1 trên đoạn − ;1  2  Max y = f (1) = 4 Min y = f (0) = −1 Kết quả: [ −1;1] ; [ −1;1] 2 2 64) Tìm GTLN, GTNN của: a) y = x4-2x2+3. Kết quả: Min y=f(± 1)=2; Không có Max y R R b) y = x4+4x2+5. Kết quả: Min y=f(0)=5; Không có Max y R R 2 2 sinx − 1 7 c) y = . Kết quả: Min y= − ; Max y=1 cosx + 2 R 3 R Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  7. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 7 - Soạn cho lớp LTĐH x + 3x + 3 2 1 d) y = . Kết quả: Min y= ; Max y=3 x2 + x + 1 3 R R 3x + 1 9 65) Cho hàm số y = 2 . Chứng minh rằng : − ≤ y ≤ 1 x + x+ 2 7 x cosα − 2x + cosα 2 66) Cho hàm số y = α ∈ ( 0; π) . Chứng minh rằng : −1≤ y ≤ 1 x2 − 2x cosα + 1 Hướng dẫn:y’=0 ⇔ 2sin2α . x2−2sin2α =0 ⇔ x=−1 V x=1. Tiệm cận ngang: y=1 Dựa vào bảng biến thiên kết luận −1≤ y ≤ 1. 67) Định x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất : 1 y =f(x)= lg2x + 2 lg x + 2 Hướng dẫn và kết quả : Txđ: (0; +∞ ) . Đặt t= lg2x, t≥ 0, ⇒ hàm số 1 y=g(t)=t+ xác định trên [0; +∞), dùng đạo hàm đưa đến y’=0 ⇔ t+ 2 t=−3 ∉[0; +∞ ) V t=−1 ∉[0; +∞ ) ⇒ hàm số y=g(t) đồng biến trên 1 1 [0;+∞ ) ⇒ Min g(t) = g(0) = [ 0;+ ∞) ⇒ Min f(x) = f(1) = ( 0;+ ∞) 2 2 4 3 68) Tìm giá trị LN và giá trị NN của hàm số y=2sinx− sin x trên đoạn [0;π] 3 (Đề thi TNTH PT 2003−2004) Kết quả: Max f(x)=f(π /4)= f(3π /4)= 2 2 ; Min f(x)=f(0)=f(π )=0 [ 0;π ] [ 0;π ] 3 IV. TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 69) Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số : x2 − x + 4 a) y = f(x) = x46x2+1 b) y = f(x) = x 70) Định m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x33(m1)x2+m2x3 nhận I(1;1) làm điểm uốn. Kết quả: m = 2 . 71) Định m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x46mx2+ 3 a) Có hai điểm uốn. Kết quả: m > 0 b) Không có điểm uốn. Kết quả: m ≤ 0 2x + 1 72) Chứng minh rằng đồ thị (C): y = 2 có 3 điểm uốn thẳng hàng. Viết x + x+1 phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn này. Hướng dẫn và kết quả: 1 −→ 1 −→ (C) có 3 điểm uốn A(2;1), B( ;0), C(1;1). AB = AC ⇒ A, B, C thẳng hàng. 2 2 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  8. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 8 - Soạn cho lớp LTĐH yC − yA 2 Đường thẳng d qua A, B, C qua C(1;1) có hệ số góc k = = nên có xC − xA 3 2 2 1 phương trình : y = k(x-xC)+yC = (x-1)+1⇔ y= x + . 3 3 3 73) Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) =  23x+2 x Kết quả: Lõm trên các khoảng (∞;1) và (2; +∞). Lồi trên khoảng (1;2). Điểm uốn : I1(1;0) và I2(2;0) 74) a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax 3+bx2+cx+d (a≠ 0) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau thì điểm uốn của (C) nằm trên Ox. b) Tìm m để (C m):y = x33mx2+2m(m4)x+9m2m cắt trục hồnh tại 3 điểm cách đều nhau (có hồnh độ lập thành một cấp số cộng). Hướng dẫn và kết quả: a) Cho y = 0⇔ ax3+bx2+cx+d = 0 có 3 nghiệm x1, x2, x3, lập thành cấp số cộng ⇒ b b 2x2= x1+x3 ⇒ 3x2 = x1+x2+x3 = − ⇒ x2 = − . Vậy điểm uốn I(x2;0)∈Ox. a 3a b) Tìm I(m;m2m). Điều kiện cần : I∈Ox ⇒ m2m = 0 ⇒ m = 0 V m = 1. Điều kiện đủ : Chọn m = 1. 75) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) : x2 − x + 4 a) y=x3−3x2+2. b) y = . x+ 2 76) Chứng minh rằng đồ thị của các hàm số sau có phần lồi, lõm nhưng không có điểm uốn: x+1 1 a) y = . b) y = x + . x− 2 x 77) Tìm tham số để: a) (Cm) : y=x3−3x2+3mx+3m+4 nhận I(1;2) làm điểm uốn. b) (Ca,b) : y=ax3+bx2+x+1 nhận I(1;2) làm điểm uốn. c) Biện luận theo m số điểm uốn của (Cm) :y=x4+mx2+m−2 . 78) Tìm m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x33x29x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có hồnh độ lập thành cấp số cộng. Kết quả : m = 11. 79) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thị (C) : y=x33x29x+1 tại ba điểm phân biệt A, B, C và AB = BC. Hướng dẫn và kết quả : • Lập phương trình hồnh độ giao điểm : ax+b = x33x29x+1⇔ f(x) = x33x2(a+9)x+1b = 0.(1) • Điều kiện cần: Điểm uốn của đồ thị hàm số (1) là I(1;ab10)∈Ox ⇒ ab10 = 0 ⇒ a+b = 10. • Điều kiện đủ : a+b = 10 ⇒ f(x) = (x1).g(x) = 0 với ∆ g = 2 − b > 0 g(x) = x22x+b1. YCBT ⇔  ⇔ b
  9. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 9 - Soạn cho lớp LTĐH a+ b = −10 Kết luận :  b < 2 x+1 80) Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thị (C):y= . x2 + 1 1 3 Kq:y = x + 4 4 81) Tìm m để (Cm):y = x33mx2+2m(m4)x+9m2m có điểm uốn : a) Nằm trên đường thẳng (d) : y = x. Kết quả : m = 0 V m = 2 . b) Đối xứng với M(3;6) qua gốc tọa độ O. Kết quả : m= 3 . c) Đối xứng với N(5;20) qua Ox. Kết quả : m= 5 . d) Đối xứng với P(7;42) qua Oy. Kết quả : m= 7 . V. TIỆM CẬN 82)Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số : 2x2 − 1 a) y = 2 . Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2 x − 3x + 2 x2 − x + 1 b) y = . Kết quả: x = 2 và y = x x+ 2 83) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số : 2 a) y = 1+ e− x . Kết quả: y = 1 b) y = x2 + x + 1 . Kết quả: y = ± 1 x 84) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = x2 + 1 .Kết quả: y = ± x 85) Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số: y = 3 3x2 − x3 . Kết quả : y = x+1. x + ( m + 1) x + m + m 2 2 2 86) Cho (Cm ) : y = . x+1 a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thị (Cm). b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị (Cm) đi qua I(1;2). x+ 2 87)Tìm trên đồ thị (C):y = điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm x+1 cận là nhỏ nhất. x2 + 3x − 1 88) Lấy một điểm bất kỳ M∈(C):y = f(x) = . Chứng minh rằng tích các x− 2 9 khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi. Kq: d1.d2= . 2 VI. KHẢO SÁT HÀM SỐ 89) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: a) y = x3-3x+1 b) y = 3x2-x3 c) y = x3+3x−4 d) y = (1-x)3 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  10. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 10 - Soạn cho lớp LTĐH x 4 1 e) y = − x2 + f) y = x4+x2-2. 2 2 g) y=2x2−x4-1 h) y=x4-1 x+1 2x i) y = j) y = x−1 x+ 2 x2 4 k) y = l) y = x − 1− x−1 x+ 2 (x − 2)2 1 m) y = n) y = − x − 2 + 1− x x+ 2 VII.CÁC BÀI TỐN LIÊN HỆ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 90) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị: x2 − 6x + 3 2m+ 3 a) (C): y = và d: y = x−m. Hd: Lý luận x= ≠ −2 x+ 2 8− m x+1 b) (H): y = và d: y= −2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hồnh độ x−1 giao điểm. 91) A.Vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3+3x2−2 B.Biện luận bằng đồ thị (C) số nghiệm của pt: x3+3x2−(m−2) = 0 1 92) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y= x+3 và tiếp 4 xúc với đồ thị (C) hàm số y= −x3+3x2−4x+2. 93) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x 3+3x2+1 biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O. 94) Dùng đồ thị (C): y = x3−3x2+1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3−3x2 − 9x+1−m = 0. 95) Cho parabol (P): y=x2−2x+2 và đường thẳng d: y=2x+m. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P). c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn AB. x+1 96) Cho hàm số y = , có đồ thi (H). x−1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (H). b) Cho đường thẳng d: y= −2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N. Tìm tập hợp trung điểm I của MN. 97) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số y=f(x)=x3−3x2+1 nhận điểm uốn của nó làm tâm đối xứng. 98) Cho hàm số y = x4−4x3−2x2+12x−1. a) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số có trục đối xứng. b) Tìm các giao điểm của (C) với trục Ox. Hướng dẫn và kết quả: Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  11. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 11 - Soạn cho lớp LTĐH a)Dự đốn trục đối xứng của đồ thị (C) : Tìm đến y(3) và cho y(3) = 0 , tìm được nghiệm x=1 cũng là nghiệm của y’=0. Từ đó chứng minh x=1 là trục đối xứng của (C). b) Cho Y= 0, tìm được X= ± 4 ± 10 ⇒ y=0 và x =1 ± 4 ± 10 . x−3 99) Chứng minh rằng (C): y = có hai trục đối xứng. x+1 Hướng dẫn và kết quả: Tâm đối xứng là I(−1;1). Suy luận có hai đường phân giác y=−x và y = x+2 của các góc tạo bởi 2 tiệm cận là trục đ ối xứng c ủa (C). Chứng minh hai đường thẳng này là hai trục đối xứng của (C). x− 2 100) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C): y = . Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy x+ 2 suy ra đồ thị của các hàm số: x− 2 x− 2 a) (C1): y = f1(x) = b) (C2): y = f2(x) = x+ 2 x+ 2 x −2 x− 2 c) (C3): y = f3(x) = d) (C4): |y| = f4(x) = x +2 x+ 2 x− 2 x− 2 e) (C5): y = f5(x) = x + 2 f) (C6): |y| = f6(x) = x+ 2 101) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = f(x) = x3−3x2+2. b) Từ đồ thị (C), suy ra đồ thị (C’): y = g(x) = | x| 3−3x2 +2. Từ đó biện luận theo m số nghiệm của phương trình: | x| 3−3x2 +1 − m = 0. 102) Chứng tỏ rằng (Cm): y=x2+(2m+1)x+m2−1 (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Xác định phương trình đường thẳng đó. Lời giải 1: 1. Dự đốn đường thẳng cố định: Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm+x2+x−1−y=0, phương trình này có ∆= (x)2−1.(x2+x−1−y)=0 ⇔ −x+1+y=0 ⇔ y= x−1 là đường thẳng cố định. Cách 2: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm=−x2−x+1+y (2) Lấy đạo hàm 2 vế theo m: 2m+2x=0 ⇔ m=−x, thay trở lại (2):y=x−1 là đường thẳng cố định. 2. Chứng tỏ (Cm) tiếp xúc với đường thẳng cố định: ( Bắt đầu lời giải) Phương trình hồnh độ giao điểm của (Cm) và d:y=x−1 là: x2+(2m+1)x+m2−1=x−1 ⇔ x2+2mx+m2=0 ⇔ (x+m)2=0 ⇔ x=−m (nghiệm kép) Vậy (Cm) luôn tiếp xúc d:y=x−1. Chú ý: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường tiếp xúc nhau ⇔ phương trình hồnh độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm kép” . Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện tiếp xúc. Lời giải 2: Gọi d: y=ax+b là đường thẳng cố định. d tiếp xúc (Cm) khi và chỉ khi phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm kép với mọi m: x2+(2m+1)x+m2−1= ax+b⇔ x2+(2m+1−a) x+m2−b−1=0 có nghiệm kép với ∀ m Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  12. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 12 - Soạn cho lớp LTĐH ⇔ ∆ =(2m+1−a) −4.1(m −b−1)=0 với ∀ m⇔−4(a−1)m+(a−1)2+4b+4=0 với ∀ m 2 2 a − 1 = 0 a = 1 ⇔ ⇔ . (a-1) + 4b+ 4 = 0 b = −1 2 Vậy d:y=x−1 là đường thẳng cố định mà (Cm) luôn tiếp xúc. (3m+ 1)x − m2 + m 103) Chứng tỏ rằng (Cm): y= (1), m ≠ 0 luôn tiếp xúc với hai x+ m đường thẳng cố định. Xác định phương trình hai đường thẳng đó. 1. Dự đốn các đường thẳng cố định: Biến đổi (1) về phương trình bậc hai ẩn m: m2+(y−1−3x)m+(y−1)x=0 (2), đặt t=y−1 ta có phương trình: m2+(t−3x)m+tx=0(3) Phương trình (3) có ∆=0 ⇔ (t−3x)2−4tx=0 ⇔ t2−10xt+9x2=0⇔ t=9xV t=x. Thay t=y−1,suy ra hai đường thẳng d1:y=9x+1, d2:y=x+1 cố định tiếp xúc (Cm) 2. Chứng tỏ (Cm) tiếp xúc với d1, và tiếp xúc d2: ( Bắt đầu lời giải) • d1:y=9x+1 tiếp xúc (Cm) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:  (3m+ 1 x − m2 + m )  = 9x + 1  x+ m m  ⇔ (3x+m)2=0 ⇔ x= −  4m2 3 =9   (x + m) 2 m Vậy d1:y=9x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hồnh độ x= − (m ≠ 0). 3 • Tương tự : d2:y=x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hồnh độ x= m (m ≠ 0). 104) Chứng tỏ rằng (Cm): y=mx3−3(m+1)x2+x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định. Hướng dẫn giải: Tìm được (Cm) đi qua hai điểm cố định A(0;1) và B(3;−23) và tiếp tuyến của (Cm) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp tuyến cố định. 105) Chứng tỏ rằng (dm): y=(m+1)x+m2−m luôn tiếp xúc với một parabol cố định. 1 3 1 Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp 1, dự đốn (P):y= − x2 + x − là parabol cố 4 2 4 định và chứng tỏ (dm) tiếp xúc (P) tại x=1−2m. VIII.TÍCH PHÂN x + x− 3 2 106) Cho f(x)= , tìm A, B và C sao cho: (x − 1 3 ) A B C f(x)= + + . Kq: A= -1; B=3 và C=1 (x − 1)3 (x − 1)2 x − 1 x2 + x − 3 2) Từ đó tính ∫ (x − 1)3 dx x3 + x − 2 107) Tính ∫ (x − 2)3 dx Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  13. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 13 - Soạn cho lớp LTĐH (2x − 3)dx 108) Tính ∫x 2 − 3x + 2 3x dx 2 109) Tính ∫ 3 x −1 110) Tìm A, B , C để sinx−cosx+1= A(sinx+2cosx+3)+B(cosx−2sinx) +C 1 3 8 Kq: A= − ; B= − và C= 5 5 5 111) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: Hàm số Kết quả Hàm số Kết quả x+1 x 1 a) y= 2 x( + 1) +C c) y= tgx−cotgx+C x 3 sin2 x. cos x 2 x cos2x sinx+cosx+C b) y=2 sin2 x−sinx+C d) y= 2 cosx + sinx 112) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)= x3−x2+2x−1 biết rằng F(0) = 4. x 4 x3 2 Kết quả: F(x) = − +x −x+4 4 3 113) Tính đạo hàm của F(x) = x. l nx-x , rồi suy ra nguyên hàm của f(x)= l nx. Kết quả: F(x) = x. l nx-x+C x+1 A B 114) Tìm A và B sao cho với mọi x≠ 1 và x≠ 2 , ta có: = + x2 − 3x + 2 x − 2 x − 1 x+1 Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) = 2 x − 3x + 2 3 x− 2 Kết quả: A=3; B= −2. F(x) = 3 l nx−2− l n + C= l n 2 x−1 +C (x − 1 2 ) 115) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả a) ∫ cotgx.dx l nsinx+C 1 l n l n x+C d) ∫ dx −cotgx−x+C x. ln x ∫ cotg x.dx 1 2 cosx+ 3 2 b) − e) ∫ e e +C 2 cosx+3 1 3 .sinxdx 2 c) ∫ sin x. cosxdx sin x+C 2 3 dx x f) ∫ sinx l ntg  2 +C 116) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả π x2 + 2 2 a) ∫ 1 3 − 2cotg2 x 11 3 − 15 3 dx 2x2 e) ∫ dx 1 π cos x 2 3 12 4 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  14. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 14 - Soạn cho lớp LTĐH π 3 x + 4x 2 3+ 2− 2 b) ∫ dx 1− sin3 x 4 x 4 f) ∫ dx 2 1 2 π sin2 x 6 c) ∫ | x − 1| dx 2 4− π π 1 −2 2 π 4 4 ∫ g) sin2 x cosxdx 3 ∫ 0 d) tg2 xdx 0 117) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả 1 π dx ln2 2 a) ∫ sinx 2 ln2 0 x+1 g) ∫ 1+ 3cosxdx 3 2 dx 1 0 b) ∫ π 3 1 (2x − 1)2 cos x 2 3 1 h) ∫ .dx 2 π sin x 2 4x + 2 1 c) ∫ dx 2ln3 6 0 x + x+1 2 π π ln 2 2 sinx + cosx ln( 3 +1) 4 i) ∫ .dx sinx − cosx ∫ d) tgxdx 0 π 3 5 1 0 ln 2 ex dx ln j) ∫ (2x − 1 x − x + 1.dx ) 2 e) ∫ x 4 0 e +3 1 0 π 2 e ln2 x 3 2 k) ∫ dx 3 x ∫ f) cos x.dx 3 1 0 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  15. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 15 - Soạn cho lớp LTĐH Giáo trình Giải tích 12 - Trang 16 - Soạn cho lớp LTĐH 118) Chứng minh rằng: 3π π 4 dx π 11 a) ≤ 4 ∫ 3 − 2sin2 x ≤ 2 π b) 54 2 ≤ ∫ ( x + 7 + 11− x )dx≤ 108 −7 4 119) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả π 4 1 a) ∫ sin2x.dx 0 2 e 1 + ln x 2 b) ∫ 1 x dx 3 (2 2 − 1) π 3 sin 3 xdx 1 c) ∫ cos 2 x 0 2 π 4 3π − 8 ∫ d) tg4 xdx 0 12 π 2 4 dx e) ∫ 3 π sin 4 x 4 1 3 ∫ 1 − xdx 4 3 f) 0 1 1 (2 2 − 1) g) ∫ x x + 1 dx 3 2 0 π 1 dx 3 3 h) ∫x 0 2 + x+1 1 2( e + 1 − 2) e x dx k) ∫ 0 1 + ex π 3 2 4 ∫ l) sinx cosxdx 3 0 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  16. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 16 - Soạn cho lớp LTĐH 120) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả 2 dx π m) ∫ Nhân tử số và mẫu số cho x.Kq: 2x x −1 2 12 3 9π n) ∫ 9 − x dx 2 −3 2 1 dx π o) ∫ 6 0 4− x 2 1 π p) ∫ x 1− x2 dx x=sint. Kq: 2 16 0 3 1 q) ∫ x2 + 1 dx 3+ ln(2 + 3) 2 0 1 1 − x2 3 3− π r) ∫ x2 dx 3 1 2 2e TS+ex−ex.Kq:l n 1 dx s) ∫ e+ 1 0 1+ ex π 2 dx 1 t) ∫ 1+ cosx 0 π 1 u) sinxdx 3 ∫ cos2 x 0 π π 2 sinx 4 v) ∫ 1+ cos x dx 0 2 1 ln4 x e 5 w) ∫ x dx 1 121) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả 1 e e2 + 1 a) ∫ xe 2x dx c) ∫ ln xdx 1 0 4 1 π π 2 π 4 xdx π ∫ b) ( x − 1) cos xdx 0 2 −2 d) ∫ cos2 x 0 4 − ln 2 Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  17. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 17 - Soạn cho lớp LTĐH π 1 1 π ∫ h) x ln(1 + x )dx 2 2 ln2− e) ∫ x sin x.cos xdx 0 8 0 2 π e2 − 1 i) ∫ (e + x )sin xdx +π e cos x e−2 ∫ (lnx) dx e 2 f) 0 1 π π 1 π e2 + 1 ∫ ln(1+ x 2 g) 2 )dx ln2−2+ j) ∫e x 2 sin xdx 0 2 0 122) Chứng minh rằng: π π 2 2 π −t a) ∫ f (sinx)dx =∫ f (cosx)dx 0 0 Hd: x= 2 b b b) ∫ f (x)dx = ∫ f (b − x)dx 0 0 Hd: x=b−t a 2 1a ∫ x f (x )dx = 2∫ xf(x)dx (a>0) 3 2 c) Hd: t=x2 0 0 π π 2 2 π −t d) ∫ f (tgx)dx =∫ f (cotgx)dx 0 0 Hd: x= 2 π π π x.sinx ∫ 1+ cos x dx 2 e) ∫ xf(sinx)dx = π∫ f (sinx)dx . Áp dụng, tính: 0 0 0 2 π Hướng dẫn: Lần 1, đặt x=π −t. Lần 2, để tính ∫ f (sinx)dx ta đặt x= π +s và kết π 2 2 π π x.sinx π2 sinx quả bài 118a). Tính 0 0 ∫ 1+ cos x dx = π ∫ 1+ cos x dx , đặt t=cosx, kq: 2 4 2 123) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số chẵn,liên tục trên đoạn [−a;a] (a>0) a a thì: ∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx. Hd: t=−x −a 0 124) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ, liên tục trên đoạn [−a;a] (a>0) thì: a ∫ f(x)dx =0. Hd: t=−x −a π 8 ∫x sin7 xdx=0 . Áp dụng bài 124). 6 125) Chứng minh rằng: π − 8 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  18. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 18 - Soạn cho lớp LTĐH 1 1 ∫e dx =2∫ ecosx dx. Áp dụng bài 123). cosx 126) Chứng minh rằng: −1 0 x −x 127) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ thì: ∫ f (t)dt = ∫ f (t)dt . Hd: t=−x a −a a 128) Chứng minh rằng ∫ sinx.f (cosx)dx =0 . Áp dụng bài 124) −a a a ∫ cosx.f (x )dx =2∫ cosx.f (x )dx . Áp dụng bài 123). 2 2 129) Chứng minh rằng −a 0 1 1 ∫x (1− x)n dx = ∫ xn (1− x)m dx . Hd:x=1−t m 130) Chứng minh rằng 0 0 131) Tính các tích phân sau: Tích phân Kết quả 2 a) ∫ ln(x + x + 1)dx 2 Hs lẻ: 0 −2 π 2 x + sinx π (1+ 3) b) ∫ dx 6 π 1+ cos x 6 15 ln 2 2 ln x − c) ∫ dx 256 64 1 x 5 ln 2 e ln d) ∫ x.e dx −x 2 0 e 2(e − 1) e) ∫ | ln x | dx e 1 e e ln 1 x 3 2 f) ∫ dx 0 x +1 2 π 6 2 7 g) ∫ 1- cosx.sinxdx 6 0 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  19. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 19 - Soạn cho lớp LTĐH Tích phân Kết quả ln 3 e dxx 2 −1 h) ∫0 (e + 1) x 3 0 3 4 − ∫ x(e + 3 x + 1)dx 2x k) 4e2 7 −1 π 4 x 1 π ( − ln 2) l) ∫ 1+ cos2x dx 0 4 2 π 1− 2sin2 x 4 ln 2 m) ∫ 1+ sin2x dx 0 2 3 1 5 dx ln n) ∫ x x2 + 4 4 3 5 2 1 15 ∫x 3 o) 1- x2 dx 0 ln 5 20 e2x p) ln 2 ∫ ex − 1 dx 3 2 1 q) ∫ | x - x |dx 2 1 0 u=x2, dv=?. 1 2 r) ∫ x e dx 3 x 2 1 2 0 (e + 3) e x2 + 1 4 s) ∫ .lnxdx l x 1 132) Cho In = ∫ x e .dx (n∈ N) n x 0 a) Tìm hệ thức liên hệ giữa In và In−1 (n≥1) 1 ∫ x e .dx . 3 x b) Áp dụng tính I3 = Kết quả: 6−2e 0 π 4 ∫ 133) Cho In = tgn x.dx (n∈ N ) 0 π a) Chứng minh rằng In > In+1. Hd: In>In+1,∀x∈(0; ) 4 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa In+2 và In. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  20. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 20 - Soạn cho lớp LTĐH π 4 1 1 ∫ Hướng dẫn: In+2 = tgn x( − 1 dx ⇒In + In+2= ). . 0 cos x 2 n+1 π 134) Tính In = ∫ cos x. cosnx.dx(nỴ N ) n 0 u = cos x n 1 1 π Hướng dẫn: đặt  , tìm được In= In−1=…= n−1 I1= n . dv = cosnxdx . 2 2 2 π 2 ∫ 135) Tính In = cos x.dx (nỴ N ) n 0 u = cos −1 x n n− 1 Hướng dẫn: đặt  , tìm được In= In−2. dv = cosx.dx n Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận : 1.3....( − 1) π n • n=2k ( n chẵn): In= 2.4...n . 2 2.4....( − 1) n • n=2k+1 ( n lẻ): In= 3.5...n π 2 ∫ 136) Cho In = sinn x.dx (nỴ N ) 0 n+ 1 a) Chứng minh rằng In+2 = In. n+ 2 b) Chứng minh rằng f(n) = (n+1).In.In+1 là hàm hằng. c) Tính In. Hướng dẫn: u = sinn+1 x a) Đặt  dv = sinx.dx π b) Chứng minh f(n+1)=f(n)⇒ f(n)=…=f(0)= 2 c) Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận : 1.3....( k − 1) π 2 • n=2k ( n chẵn): I2k= 2.4...2k . 2 2.4...2k • n=2k+1 ( n lẻ): I2k+1= 3.5...(2k + 1) 1 137)a) Tính I0 = ∫ (2x − 1).e x − x2 .dx , Kết quả: a= 0 0 1 b) Chứng minh rằng In = ∫ (2x − 1 2n+1 2 ) .ex− x .dx =0 Hd: b) Truy hồi. 0 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều