Xem mẫu
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
BTVN NGÀY 05-05
(Giải các phương trình lượng giác sau)
1/ 4sin 3 x − 1 = 3sin x − 3cos3 x
2 / sin 3 x + ( 3 − 2)cos3 x = 1
3 / 4sin 3 x + 3cos3 x − 3sin x − sin 2 x cos x = 0
4 / 2sin 5 x + 3cos3 x + sin 3x = 0
5 / 2sin 4 x + 3cos 2 x + 16sin 3 x cos x − 5 = 0
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
HDG CÁC BTVN
• BTVN NGÀY 05-05:
1/ 4sin 3 x − 1 = 3sin x − 3cos3x
1 3 1
⇔ sin 3 x − 3cos3x = −1 ⇔ sin 3x − cos3x = −
2 2 2
π k 2π
x= +
π π 18 3
⇔ sin 3x − = sin − ⇔
3 6 x = π + k 2π
2 3
2 / sin 3 x + ( 3 − 2)cos3 x = 1
3x 2t ( 3 − 2)(1 − t 2 )
Coi : t = tan ⇒ + = 1 ⇔ ( 3 − 1)t 2 − 2t + (3 − 3) = 0
2 1+ t 2
1+ t 2
3x π k 2π
tan =1 x= +
t = 1 2 6 3
⇔ ⇔ ⇔
t = 3 tan 3 x = 3 x = 2π + k 2π
2
9 3
3 / 4sin 3 x + 3cos3 x − 3sin x − sin 2 x cos x = 0(1)
* Xét sinx = 0 ⇒ 3cos3 x = ±3 ≠ 0
(1) ⇔ 4 + 3cot 3 x − 3(cot 2 x + 1) − cot x = 0
cot x = 1
π
x = + kπ
1 4
⇔ cot x = − ⇔
3 x = ± π + kπ
1
3
cot x =
3
Page 2 of 10
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
4 / 2sin 5 x + 3cos3 x + sin 3 x = 0
3 1
3cos3x + sin 3 x = −2sin 5 x ⇔ − cos3 x − sin 3 x = sin 5 x
2 2
5π π
⇔ cos + 3x = sin 5 x = cos( − 5 x)
6 2
5π π π kπ
6 + 3 x = − 5 x + k 2π x=− +
2 24 4
⇔ ⇔
5π + 3 x = 5 x − π + k 2π x = 2π − kπ
6
2
3
5 / 2sin 4 x + 3cos 2 x + 16sin 3 x cos x − 5 = 0
⇔ 2sin 4 x + 3cos 2 x + 8sin 2 x.sin 2 x − 5 = 0
1 − cos2 x
⇔ 2sin 4 x + 3cos 2 x + 8sin 2 x. −5 = 0
2
⇔ 2sin 4 x + 3cos 2 x + 4sin 2 x − 2sin 4 x − 5 = 0
3 4
⇔ 3cos 2 x + 4sin 2 x = 5 ⇔ cos 2 x + sin 2 x = 1
5 5
3
cos α =
α 5
⇔ Cos(2 x − α ) = 1 ⇒ x = + kπ ;(k ∈ ¢ );
2 sin α = 4
5
Page 3 of 10
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
• BTVN NGÀY 06-05
1/ Sinx − 4sin 3 x + cos x = 0(1)
⇔ Nê ' u : cos x = 0 ⇒ Sinx − 4sin 3 x = ±3 ≠ 0
(1) ⇔ t anx(1 + tan 2 x) − 4 tan 3 x + 1 + tan 2 x = 0
t = t anx t = t anx
π
⇔ 3 2 ⇔ ⇔ t anx = 1 ⇔ x = + kπ
( t − 1) ( 3t + 2t + 1) = 0
2
−3t + t + t + 1 = 0 4
2 / tan x sin 2 x − 2sin 2 x = 3 ( cos2 x + sin x cos x )
Chia VT , VP cho cos 2 x ta có :
tan 3 x − 2 tan 2 x=3
( cos x − sin
2 2
x + sin x cos x )
cos 2 x
t anx = t
⇔ tan 3 x − 2 tan 2 x = 3 ( 1 − tan 2 x + t anx ) ⇔ 3 2
t + t − 3t − 3 = 0
π
t anx = t x = − + kπ
t anx = −1 4
⇔ ⇔ ⇔
( t + 1) ( t − 3) = 0 x = ± π + kπ
2
t anx = ± 3
3
3 / Sin 2 x + 2 tan x = 3
Chia VT , VP cho cos 2 x ta có :
t = tan x
2 tan x + 2 tan x(tan 2 x + 1) = 3(tan 2 x + 1) ⇔ 3
2t − 3t + 4t − 3 = 0
2
t = tan x
π
⇔ ⇔ t anx = 1 ⇔ x = + kπ
( t − 1) ( 2t − t + 3) = 0
2
4
Page 4 of 10
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
4 / Cos 2 x − 3 sin 2 x = 1 + sin 2 x
Chia VT , VP cho cos 2 x ta có :
t = t anx
1 − 2 3 t anx = 2 tan x + 1 ⇔ 2
2
2t + 2 3t = 0
t anx = 0 kπ
⇔ ⇔x= π
t anx = − 3 − + kπ
3
5 / 3cos 4 x − 4sin 2 x cos 2 x + sin 4 x = 0
Chia VT , VP cho cos 4 x ta có :
t = t anx
3 − 4 tan x + tan x = 0 ⇔ 4
2 4
t − 4t + 3 = 0
2
π
x = ± + kπ
tan x = 1
2
4
⇔ 2 ⇔
tan x = 3 x = ± π + kπ
3
• BTVN NGÀY 07-05
1/ Sinx − cos x + 7 sin 2 x = 1
Coi : t = s inx − cos x;( t ≤ 2)
s inx − cos x = 1
⇒ t + 7(1 − t ) = 1 ⇔ 7t − t − 6 = 0 ⇔
2 2
s inx − cos x = 6
7
π
x = + k 2π
π 1 2
sin x − 4 = x = π + k 2π
2 3 2
⇔ ⇔ π ;sin α = −
π 3 2 x = α + + k 2π 7
sin x − = − 4
4 7 π
x = − α + k 2π
4
Page 5 of 10
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
π
2 / Sin 2 x + 2 sin x − = 1
4
Coi : t = s inx − cos x;( t ≤ 2)
π
x = + k 2π
4
t = 0 π 0 π
⇒ 1− t + t = 1 ⇔
2
⇔ 2 sin x − = ⇔ x = + k 2π
t = 1 4 1 2
x = π + k 2π
3 / Tìm m cho PT : Sin 2 x + 4(cos x − s inx) = m có ng 0
Coi : t = cos x − s inx;( t ≤ 2) ⇒ 1 − t 2 + 4t = m
⇔ m = f (t ) = −t 2 + 4t + 1 ⇒ f '(t ) = −2t + 4 > 0; ∀ t ≤ 2
⇒ f (− 2) ≤ m ≤ f ( 2) ⇔ −4 2 − 1 ≤ m ≤ 4 2 − 1
4 / Cos2 x + 5 = 2(2 − cos x)(s inx − cos x)
Cos2 x + 5 = 4(s inx − cos x) − sin 2 x + cos2 x + 1
⇔ 4((s inx − cos x) − sin 2 x − 4 = 0
Coi : t = s inx − cos x;( t ≤ 2) ⇒ 4t − (t 2 − 1) − 4 = 0 ⇔ t 2 − 4t + 3 = 0
π
π π 1 + k 2π
⇔ 2 sin x − = 1 ⇔ sin x − = ⇔ x=2
4 4 2
π + k 2π
5 / Sin3 x + cos3 x = 2(sin 5 x + cos5 x)
⇔ Sin3 x ( 1 − 2sin 2 x ) + cos3 x ( 2 cos 2 x − 1) = 0
⇔ cos2 x ( s inx − cos x ) ( sin 2 x − sin x cos x + cos 2 x ) = 0
π kπ
⇔ cos2 x = 0 ⇔ x = +
4 2
Page 6 of 10
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
• BTVN NGÀY 08-05
1
1/ 2 cos 2 x − 8cos x + 7 = (1)
cos x
π
DK : x ≠ + kπ
2
cos x = 1 ⇒ x = k 2π
t = cos x(t ≠)
(1) ⇔ 3 ⇔ ;k ∈¢
4t − 8t + 5t − 1 = 0
2 cos x = 1 ⇒ x = ± π + k 2π
2 3
2 / 4 cos 2 x + 3 tan 2 x − 4 3 cos x + 2 3 t anx + 4 = 0(2)
π
DK : x ≠ + kπ
2
( ) +( )
2 2
(2) ⇔ 2 cos x − 3 3 t anx + 1 = 0
3 π
cos x = ⇒ x = ± + k 2π
2 6 π
⇔ ⇔ x = − + k 2π ( k ∈ ¢ )
1 π 6
t anx = − ⇒ x = − + kπ
3 6
3/ 3 − cos x − cos x + 1 = 2
⇔ 3 − cos x = cos x + 1 + 2 ⇔ 4 cos x + 1 = −2(cos x + 1)
−2(cos x + 1) ≤ 0; ∀x
Do : ⇒ cos x + 1 = 0 ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π ( k ∈ ¢ )
4 cos x + 1; ∀x
Page 7 of 10
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
π π
4 / S in 3 x − cos3 x = cos2 x.tan x + .tan x −
4 4
( s inx- cos x ) ( 1 + sin x cos x ) = −cos2 x ⇔ ( s inx- cos x ) ( 1 + sin x cos x + s inx + cos x ) = 0
π π
s inx- cos x = 0 ⇒ sin x − = 0 ⇔ x = + kπ
4 4
⇔ t = s inx + cos x( t ≤ 2)
1 + sin x cos x + s inx + cos x = 0 ⇔ t 2 − 1
t + + 1 = 0 ⇔ t 2 + 2t + 1 = 0 ⇔ t = −1
2
π
x = + kπ
π 4
x = + kπ
4 π
⇔ ⇔ x = − + k 2π ; ( k ∈ ¢ )
sin x + π = − 1 2
x = π + k 2π
4 2
π 2π 1
5 / Cos 2 x + + Cos 2 x + = (s inx + 1)
3 3 2
1
( ) 1
( 1
)
2 2
⇔ cos x − 3 s inx + cos x + 3 s inx = (s inx + 1)
4 4 2
x = k 2π
s inx = 0
1 1 π
⇔ ( 1 + 2sin x ) = (s inx + 1) ⇔ 2sin x − sin x = 0 ⇔
2 2
1 ⇔ x = + k 2π ; k ∈ ¢
2 2 s inx = 6
2 5π
x = + k 2π
6
• BTVN NGÀY 10-05
Page 8 of 10
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Bài 1:
Tìm các nghiệm thuộc khoảng (2π/5; 6π/7) của phương trình:
3 sin 7 x − cos 7 x = 2
Giải:
5π k 2π
x= +
3 1 2 π π 84 7
PT ⇔ sin 7 x − cos7 x = ⇔ sin 7 x − = sin ⇔ ;(k ∈ ¢ )
2 2 2 6 4 x = 11π k 2π
+
84 7
5π k 2π 2π 5π k 2π 6π 2 5 2k 6 5
*Khi : x = + ⇒ < + < ⇔ − < < −
84 7 5 84 7 7 5 84 7 7 84
53π
⇔ k = 2 ⇔ x1 =
84
11π k 2π 2π 11π k 2π 6π 2 11 2k 6 11
*Khi : x = + ⇒ < + < ⇔ − < < −
84 7 5 84 7 7 5 84 7 7 84
35π 59π
⇔ k = 1, 2 ⇔ x2 = ; x3 =
84 84
Bài 2:
Tìm các nghiệm thuộc khoảng (π/2; 3π) của phương trình:
5π 7π
sin 2 x + − 3cos x − = 1 + 2sin x
2 2
Giải:
π π
PT ⇔ Sin 2 x + 2π + − 3cos x + − 4π = 1 + 2sin x
2 2
⇔ cos2 x + 3sin x = 1 + 2sin x ⇔ 1 − 2sin 2 x = 1 − s inx
Page 9 of 10
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
s inx = 0 ⇒ x = kπ
π
x = + k 2π
⇔ 2sin x − s inx = 0 ⇔
2
1 6
s inx = 2 ⇒
x = 5π + k 2π
6
π 13π 5π 17π
⇔ Do x ∈ ( ;3π ) ⇒ x1 = π ; x2 = 2π ; x3 = ; x4 = ; x5 =
2 6 6 6
Bài 3:
Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm thuộc khoảng (-π;7π/3):
s inx + m cos x = m
Giải:
cos x = 1 x = 0 và x = 2π
PT ⇔ s inx = m(1 − cos x) ⇔ s inx ⇔
m = m = s inx (*)
1 − cos x 1 − cos x
Vậy để phương trình ban đầu có 4 nghiệm thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt
thuộc khoảng (-π;7π/3).
Nhưng số nghiệm của (*)thuộc khoảng (-π;7π/3) lại chính là số giao điểm của
đường thẳng y=m với đồ thị (C) có phương trình:
s inx 7π
y= trên D = −π ;
1 − cos x 3
cos x − 1
Xét hàm : y ' = < 0 ∀x ∈ D
( 1 − cos x )
2
Dựa vào bảng biến thiên ta có: m ≥ 3; m ≤ 0 PT có 4 ng0
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Page 10 of 10
nguon tai.lieu . vn
