Xem mẫu

  1. KHAI THÁC KHÁI NI M ð TH HÀM S L I, LÕM ð ðÁNH GIÁ B T ð NG TH C I. LÝ DO CH N ð TÀI ng d ng hàm l i ñ ñánh giá b t ñ ng th c (BðT) ñã ñư c khai thác nhi u và ñ i di n cho ng d ng ñó là BðT Jensen. Khái ni m hàm l i trong chương trình SGK cũ và m i (bài ñ c thêm) ñư c ñ nh nghĩa d a vào v trí n m trên, n m dư i c a ti p tuy n v i ñ th hàm s . Trong ñ nh nghĩa ñó, ñã cho ta m t tính ch t hình h c c a ti p tuy n. ðó là: ta có th ñánh giá f (x ) thông qua m t bi u th c b c nh t c a x . V n d ng tính ch t này, ta có th tìm ñư c l i gi i ñơn gi n cho m t s bài toán ch ng minh BðT. Hơn n a thông qua ñó ñ chúng ta th y ñư c vi c d y cho HS B n ch t c a các khái ni m Toán h c r t quan tr ng trong phát tri n tư duy cho h c sinh. ðó là lí do mà tôi ch n ñ tài “Khai thác khái ni m ñ th hàm s l i, lõm ñ ñánh giá BðT” II. TH C TR NG TRƯ C KHI TH C HI N CÁC GI I PHÁP C A ð TÀI: 1. Thu n l i: V i s ñ i m i phương pháp d y h c trung h c ph thông l y h c sinh làm trung tâm và t o s h ng thú trong h c t p. H c sinh ch ñ ng chi m lĩnh tri th c. Do ñó, vi c d y cho h c sinh n m ñư c b n ch t c a m t khái ni m Toán h c h t s c quan tr ng 2. Khó khăn: Khi d y khái ni m Toán h c giáo viên chưa chú tr ng nhi u vào vi c d y cho h c sinh n m ñư c b n ch t c a khái ni m mà ch y u t p trung vào vi c kh o sát các ñ i tư ng có thu c v khái ni m ñó hay không?. Do ñó h c sinh Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 1
  2. cũng ít quan tâm ñ n b n ch t c u khái ni m ñã h c nên m t ph n nào ñó h n ch vi c phát tri n tư duy cũng như s h ng thú trong h c t p. III. N I DUNG ð TÀI 1. Cơ s lí thuy t. a. ð nh nghĩa: Cho hàm s y = f (x ) liên t c [a; b ] và có ñ th là (C). Khi ñó ta có hai ñi m A(a; f (a )), B(b; f (b)) n m trên ñ th (C). i) ð th (C) g i là l i trên (a; b) n u ti p tuy n t i m i ñi m n m trên cung AB luôn n m phía trên ñ th (C). ii) ð th (C) g i là lõm trên (a; b) n u ti p tuy n t i m i ñi m n m trên cung AB luôn n m phía dư i ñ th (C). y _ y _ a _ b _ x _ x _ 1 _ a b _ ð th hàm s l i ð th hàm lõm b. D u hi u ñ th l i ð nh lí 1: Cho hàm s y = f (x ) có ñ o hàm c p hai liên t c trên (a; b ) * N u f ''(x ) > 0 ∀x ∈ (a; b ) thì ñ th hàm s lõm trên (a; b) * N u f ''(x ) < 0 ∀x ∈ (a; b ) thì ñ th hàm s l i trên (a; b ) c. ng d ng T hình nh tr c quan c a ñ nh nghĩa cho ta m t phương pháp gi i các bài toán BðT và c c tr sau : ð nh lí 2: (B t ñ ng th c ti p tuy n) Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 2
  3. Cho hàm s y = f (x ) liên t c và có ñ o hàm ñ n c p hai trên [a;b] . i) N u f ''(x ) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b ] thì f (x ) ≥ f '(x 0 )(x − x 0 ) + f (x 0 ) ∀x 0 ∈ [a; b ] ii) N u f ''(x ) ≤ 0 ∀x ∈ [a; b ] thì f (x ) ≤ f '(x 0 )(x − x 0 ) + f (x 0 ) ∀x 0 ∈ [a; b ] ð ng th c trong hai B t ñ ng th c trên x y ra ⇔ x = x 0 . Ta có th ch ng minh ñ nh lí trên như sau i) Xét hàm s g(x ) = f (x ) − f '(x 0 )(x − x 0 ) − f (x 0 ) , x ∈ [a; b ] Ta có : g '(x ) = f '(x ) − f '(x 0 ) ⇒ g ''(x ) = f ''(x ) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b ] ⇒ g '(x ) = 0 ⇔ x = x 0 và g '(x ) ñ i d u t − sang + khi x qua x 0 nên ta có : g(x ) ≥ g(x 0 ) = 0 ∀x ∈ [a; b ] . ii) Ch ng minh tương t . ð nh lí 3: (B t ñ ng th c cát tuy n) Cho hàm s y = f (x ) liên t c và có ñ o hàm ñ n c p hai trên [a;b] . f (a ) − f (b) i) N u f ''(x ) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b ] thì f (x ) ≥ (x − a ) + f (a ) ∀x 0 ∈ [a; b ] a −b f (a ) − f (b) ii) N u f ''(x ) ≤ 0 ∀x ∈ [a; b ] thì f (x ) ≤ (x − a ) + f (a ) ∀x 0 ∈ [a; b ] . a −b ð ng th c trong các BðT trên có khi và ch khi x = a ho c x = b . 2. N i dung, bi n pháp th c hi n gi i pháp c a ñ tài: Ví d 1: Cho các s th c dương a, b, c th a a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng a b c 3 + + ≤ . 2 2 2 10 a +1 b +1 c +1 x Gi i: Xét hàm s f (x ) = v i x ∈ (0;1) . 2 x +1 1 3x Ta có: f '(x ) = ⇒ f ''(x ) = − < 0 ∀x ∈ (0;1) 2 3 2 5 (x + 1) (x + 1) 1 1 1 Nên ta có: f (a ) ≤ f '( )(a − ) + f ( ) 3 3 3 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 3
  4. 1 1 1 f (b) ≤ f '( )(b − ) + f ( ) 3 3 3 1 1 1 f (c) ≤ f '( )(c − ) + f ( ) 3 3 3 1 Suy ra : f (a ) + f (b) + f (c) ≤ f '   (a + b + c − 1) + 3 f ( ) = 1 3 3 3 10 1 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = . 3 Ví d 2 : Cho các s th c dương a, b, c th a : a 2 + b2 + c2 = 3 . Ch ng minh 1 1 1 + + ≥ 1. 1 + 8a 1 + 8b 1 + 8b Gi i : 1 Xét hàm s : f (x ) = , 0 < a ≤ 3 . Ta có : 1 + 8a 4 48 1 f '(x ) = − ⇒ f "(x ) = >0 ∀x ∈ (− ; 3] 8 (1 + 8x )3 (1 + 8x )5 Nên ta có : f (a ) ≥ f '(1)(a − 1) + f (1) f (b ) ≥ f '(1)(b − 1) + f (1) f (c) ≥ f '(1)(c − 1) + f (1) ⇒ f (a ) + f (b ) + f (c ) ≥ f '(1)(a + b + c − 3) + 3 f (1) (*) M t khác : (a + b + c)2 ≤ 3(a 2 + b 2 + c2 ) = 9 4 ⇒ −3 ≤ a + b + c ≤ 3 ⇒ a + b + c − 3 ≤ 0 và f '(1) = − < 0 nên t (*) 27 Ta suy ra : f (a ) + f (b) + f (c) ≥ 3 f (1) = 1 . Nh n xét : D u hi u giúp chúng ta nh n ra phương pháp trên là BðT c n ch ng minh có d ng f (a1 ) + f (a2 ) + ... + f (an ) ≥ k ho c f (a1 ) + f (a2 ) + ... + f (an ) ≤ k , trong ñó ai (i = 1,.., n ) là các s th c cho trư c. Trong m t s trư ng h p BðT chưa có d ng trên, ta ph i th c hi n m t s phép bi n ñ i m i ñưa v d ng trên.Chúng ta c n chú ý m t s d u hi u sau. Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 4
  5. • N u BðT có d ng f (a1 ).f (a2 )...f (an ) ≥ k thì ta l y loganepe hai v • N u BðT c n ch ng minh ñ ng b c thì ta có th chu n hóa. Tùy thu c vào t ng bài toán mà ta l a ch n cách chu n hóa phù h p. Ví d 3 : Cho các s th c dương a, b, c th a : a + b + c = 3 . Tìm GTLN c a bi u th c : b c a       P =  a + 1 + a 2  b + 1 + b2   c + 1 + c 2  .       Gi i :     Ta có : ln P = b ln(a + 1 + a 2 ) + c ln b + 1 + b2  + a ln c + 1 + c 2        Xét hàm s : f (x ) = ln  x + 1 + x 2  , 0 < x < 1 . Ta có :   1 −x f '(x ) = ⇒ f ''(x ) = 0 th a x + y + z = 1 . Tìm GTNN c a bi u th c P = x −y + y −z + z −x . Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 5
  6. 3 Gi i : Áp d ng BðT Cô si, ta có : P ≥ 3 y x .y z .z x ð t A = x y .y z .z x ⇒ ln A = y ln x + z ln y + x ln z . Vì hàm s f (t ) = ln t có 1 f ''(t ) = −
  7. 2 2 2 f (c) ≥ f '( )(c − ) + f ( ) 3 3 3 C ng ba BðT trên ta có : f (a ) + f (b) + f (c) ≥ f '( ) (a + b + c − 2 ) + 3 f ( ) = 33 . 2 2 4 3 3 9 4 2 V y GTNN c a P = 33 ñ t ñư c ⇔ a = b = c = . 9 3 Ví d 6 : Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh r ng : 1+ 3 1 1 1 (a 2 + b2 + c2 )( + + ) ≥ a + b + c + a 2 + b 2 + c 2 . 3 3 a b c (Trích ñ thi Albania 2002) L i gi i. Vì BðT ñã cho thu n nh t nên ta ch c n ch ng minh Bñt ñúng v i m i s th c dương a,b,c th a mãn a 2 + b2 + c2 = 1 , khi ñó bñt c n ch ng minh tr thành: f (a ) + f (b) + f (c) ≥ 1 trong ñó: 1+ 3 1 f (x ) = . − x v i 0 < x < 1 . D th y hàm s f có f ''(x ) > 0 ∀x ∈ (0;1) 3 3 x Nên theo BðT ti p tuy n ta có :  1   1  f (a ) + f (b) + f (c) ≥ f '    (a + b + c − 3) + 3 f     .   3  3   1  f '   0 i = 1, 2,..., n và ∑ ai ≤n i =1 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 7
  8. n ai 1 Ta c n ch ng minh : ∏ ≤ (1). i =1 1 + ai2 2 n x 1 Xét hàm s f (x ) = , x > 0 có f '(x ) = ⇒ f ''(x ) < 0 ∀x > 0 . 2 2 3 1+x (1 + x ) 1 1 1 ⇒ f (x ) ≤ f '(1)(x − 1) + f (1) = (x − 1) + = (x + 1) . 3 2 2 2 2 n  n   ∑ (ai + 1)  n ai n 1 n 1  i =1  2n 1 ⇒∏ = ∏ f (ai ) ≤ ∏ (ai + 1) ≤   ≤ = n  n  i =1 1 + ai2 i =1 8n i =1 8 8n 2n     ð ng th c x y ra ⇔ a1 = a2 = ... = an = 1 ⇔ tan x1 = tan x2 = ... = tan xn = 1 π ⇔ x1 = x 2 = ... = xn = . 4 Nh n xét : Qua các ví d trên, ta có ñư c k t qu t ng quát sau ð nh lí 4 : Cho hàm s y = f (x ) có ñ o hàm c p hai trên a;b  và n s a1, a2,..., an   n n m trong ño n a;b  th a mãn :   ∑ ai = k, na ≤ k ≤ nb . i =1 n k • N u f ''(x ) > 0 ∀x ∈ a;b  thì ta có :   ∑ f (ai ) ≥ nf (n ) i =1 n 1 k • N u f ''(x ) < 0 ∀x ∈ a;b  thì ta có :   ∑ f (ai ) ≤ n f (n ) . i =1 2π Ví d 8. Cho tam giác ABC có m t góc không nh hơn . Ch ng minh r ng : 3 A B C tan + tan + tan ≥ 4 − 3 . 2 2 2 L i gi i. Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 8
  9. 2π π Không m t tính t ng quát, ta gi s A ≥ > B ≥C ⇒C ≤ . 3 6  π  π Hàm s f (x ) = tan x , x ∈  0;  có f ''(x ) > 0 ∀x ∈  0;  . Áp d ng BðT ti p tuy n, ta 3   3   có A π A π π f ( ) ≥ f '( )( − ) + f ( ) 2 3 2 3 3 B π B π π f ( ) ≥ f '( )( − ) + f ( ) 2 12 2 12 12 C π C π π f ( ) ≥ f '( )( − ) + f ( ) . 2 12 2 12 12 A B  C   π π   A 2π  π A + B +C π  ⇒ f + f + f   ≥  f '( ) − f '( )  −  + f '( )  −  2 2 2  3 12   2 3  12  2 2 π  π  + f   + 2f   3  12  π  π  A π A + B +C π Do f '   − f '   > 0; − ≥ 0 và = nên ta có : 3  12  2 3 2 2 A B  C  π  π  f   + f   + f   ≥ f   + 2f   = 4 − 3 ñpcm. 2 2 2 3  12  2π π ð ng th c x y ra ⇔ A = ;B = C = và các hoán v . 3 6 3 Ví d 9. Cho các s th c không âm a,b, c th a max {a, b, c} ≥ và a + b + c = 1 . Tìm 4 GTNN c a bi u th c : P = 3 1 + 3a 2 + 3 1 + 3b2 + 3 1 + 3c 2 . L i gi i. 3 1 Không m t tính t ng quát, ta gi s a = max {a, b, c} ⇒ a ≥ , c ≤ . 4 8 Xét hàm s f (x ) = 3 1 + 3x 2 , x ∈ ( 0;1) có f '(x ) = 2x 3 (1 + 3x 2 )2 2 − 2x 2 ⇒ f ''(x ) = > 0 ∀x ∈ (0;1) . Áp d ng BðT ti p tuy n, ta có : 3 2 5 (1 + 3x ) Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 9
  10. 3 3 3 1 1 1 1 1 1 f (a ) ≥ f '( )(a − ) + f ( ) ; f (b) ≥ f '( )(b − ) + f ( ) ; f (c) ≥ f '( )(c − ) + f ( ) 4 4 4 8 8 8 8 8 8 3  3 1  3 3 1 3 1 172 + 23 67 ⇒ f (a ) + f (b) + f (c) ≥  f '( ) − f '( ) (x − ) + f ( ) + 2 f ( ) ≥ f ( ) + 2 f ( ) = .  4 8  4 4 8 4 8 4 3 1 ð ng th c x y ra ⇔ a = ;b = c = và các hoán v . 4 8 3 172 + 23 67 V y min P = . 4 Nh n xét : Trong m t s trư ng h p ñ th hàm s y = f (x ) có kho ng l i, lõm trên a; b  nhưng ta v n có ñư c ñánh giá : f (x ) ≥ f '(x 0 )(x − x 0 ) + f (x 0 ) ,x 0 ∈ (a; b) . Ch ng   h n các b n xem ñ th minh h a dư i ñây. y _ a x _ _ x0 O b Ví d 10: Cho a, b, c ∈ ℝ và a + b + c = 6 . Ch ng minh r ng : a 4 + b 4 + c 4 ≥ 2(a 3 + b 3 + c 3 ) . L i gi i: BðT ñã cho ⇔ (a 4 − 2a 3 ) + (b 4 − 2b 3 ) + (c 4 − 2c 3 ) ≥ 0 ⇔ f (a ) + f (b) + f (c) ≥ 0 Trong ñó f (x ) = x 4 − 2x 3 . Ta th y f ''(x ) = 12x 2 − 12x nên ñ th hàm s f có kho ng l i và kho ng lõm do ñó ta không th áp d ng BðT ti p tuy n ñư c. Tuy nhiên ta Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 10
  11. v n có th ñánh giá ñư c f (x ) qua ti p tuy n c a nó t i ñi m có hoành ñ x = 2 (vì ñ ng th c x y ra khi a = b = c = 2 ) Ta có ti p tuy n c a ñ th hàm s t i y = f (x ) ñi m có hoành ñ x = 2 là: y = 8x − 16 . f (x ) − (8x − 16) = x 4 − 2x 3 − 8x + 16 = (x − 2)2 (x 2 − 2x + 4) ≥ 0 ∀x ∈ ℝ . ⇒ f (a ) + f (b ) + f (c ) ≥ 8(a + b + c) − 48 = 0 (ñpcm). Chú ý. Vì y = 8x − 16 là ti p tuy n c a ñ th hàm s f (x ) = x 4 − 2x 3 t i ñi m có hoành ñ x = 2 nên ta có s phân tích: f ( x ) − ( 8x − 16 ) = (x − 2 ) g (x ) v i k ≥ 2 và k g (2) ≠ 0 . 3 Ví d 11: Cho a, b, c ≥ − và a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng: 4 a b c 9 + + ≤ . ( Vô ñ ch Toán Ba Lan 1996) a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 10 L i gi i. 1 Ta th y ñ ng th c x y ra khi a = b = c = và Bñt ñã cho có d ng: 3 9 x 3 5 f (a ) + f (b) + f (c) ≤ trong ñó f (x ) = v i x ∈ [− ; ] . 10 x2 + 1 4 2 1 36x + 3 Ti p tuy n c a ñ th hàm s y = f (x ) t i ñi m có hoành ñ x = là : y = . 3 50 36x + 3 36x + 3 x (3x − 1)2 (4x + 3) 3 5 Ta có: − f (x ) = − = ≥ 0 ∀x ∈ [ − ; ] 50 50 2 2 4 2 x +1 50(x + 1) a b c 36(a + b + c) + 9 9 V y: + + ≤ = ñpcm. a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 50 10 Ví d 12 : Cho các s th c a, b, c > 0 tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh : a b c 9 + + ≥ . 1 + bc 1 + ac 1 + ab 10 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 11
  12. L i gi i. Ta có : b +c 2 1−a 2 a +c 2 1−b 2 b +a 2 1−c 2 bc ≤ ( ) =( ) ; ca ≤ ( ) =( ) ; ab ≤ ( ) =( ) nên 2 2 2 2 2 2 a b c 4a 4b 4c + + ≥ + + = f (a ) + f (b) + f (c) . 1 + bc 1 + ac 1 + ab a 2 − 2a + 5 b 2 − 2b + 5 c 2 − 2c + 5 1 (Nh n xét : ð ng th c x y ra khi a = b = c = và ti p tuy n c a ñ th hàm 3 4x 1 99x − 3 s f (x ) = t i ñi m có hoành ñ x = là : y = ) x 2 − 2x + 5 3 100 4x 99x − 3 (3x − 1)2 (15 − 11x ) M t khác: − = ≥ 0 ∀x ∈ (0;1) x 2 − 2x + 5 100 2 100(x − 2x + 5) 4a 4b 4c 99(a + b + c) − 9 9 ⇒ + + ≥ = ñpcm. a 2 − 2a + 5 b 2 − 2b + 5 c 2 − 2c + 5 100 10 Ví d 13. Cho a, b, c là ñ dài ba c nh tam giác. Ch ng minh r ng : 1 1 1 9  1 1 1  + + + ≥ 4 + + . a b c a +b +c a + b b + c c + a  L i gi i. Không làm m t tính t ng quát ta gi s a + b + c = 1 , khi ñó Bñt ñã cho tr 5a − 1 5a − 1 5c − 1 thành + + ≤ 9. 2 2 2 a −a b −b c −c 1 Vì a,b,c là ñ dài ba c nh tam giác và a + b + c = 1 suy ra a, b, c ∈ (0; ) . 2 5a − 1 (3a − 1)2 (2a − 1) 1 Ta có : − (18a − 3) = ≤ 0 ∀a ∈ (0; ) a − a2 a − a2 2 5a − 1 1 ⇒ ≤ 18a − 3 ∀a ∈ (0; ) . a − a2 2 Ta cũng có hai Bñt tương t . C ng các Bñt này l i v i nhau ta có: 5a − 1 5a − 1 5c − 1 + + ≤ 18(a + b + c) − 9 = 9 (ñpcm). 2 2 2 a −a b −b c −c Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 12
  13. 1 ð ng th c x y ra khi a = b = c = . 3 Ví d 14. Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh r ng : (b + c − a )2 (c + a − b)2 (a + b − c)2 3 + + ≥ . (b + c)2 + a 2 (c + a )2 + b 2 (a + b)2 + c 2 5 (Olympic Toán Nh t B n 1997) L i gi i . Vì Bñt c n ch ng minh là thu n nh t nên ta ch c n ch ng minh Bñt ñúng v i m i s th c dương a, b, c th a mãn a + b + c = 1 . Khi ñó Bñt ñã cho tr thành: (1 − 2a )2 (1 − 2b)2 (1 − 2c)2 3 + + ≥ (1 − a )2 + a 2 (1 − b)2 + b2 (1 − c)2 + c 2 5 4a 2 − 4a + 1 4b2 − 4b + 1 4c 2 − 4c + 1 3 ⇔ + + ≥ 2a 2 − 2a + 1 2b2 − 2b + 1 2c 2 − 2c + 1 5 1 1 1 27 ⇔ + + ≤ 2 2 2 5 2a − 2a + 1 2b − 2b + 1 2c − 2c + 1 27 ⇔ f (a ) + f (b) + f (c) ≤ . 5 1 Trong ñó f (x ) = v i x ∈ (0;1) . 2x 2 − 2x + 1 1 54x + 27 Ti p tuy n c a ñ th hàm s y = f (x ) t i ñi m có hoành ñ x = là : y = 3 25 54x + 27 2(54x 3 − 27x 2 + 1) 2(3x − 1)2 (6x + 1) Ta có: − f (x ) = = ≥ 0 ∀x ∈ (0;1) 25 2 2 25(2x − 2x + 1) 25(2x − 2x + 1) 54(a + b + c) + 81 27 ⇒ f (a ) + f (b) + f (c) ≤ = ñpcm. 25 5 Trong các ví d trên ta ch xét các BðT ñ i x ng ba bi n và ñ ng th c x y ra khi các bi n b ng nhau. Ph n ti p theo ta s ñi xét m t s BðT không ñ i x ng ho c BðT ñ i x ng nhưng ñ ng th c x y ra khi có ít nh t hai bi n không b ng nhau. Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 13
  14. Ví d 15: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng: 10(a 3 + b 3 + c 3 ) − 9(a 5 + b 5 + c 5 ) ≥ 1 (Trung Qu c 2005). L i gi i: Gi s a ≥ b ≥ c . Xét hàm s f (x ) = 10x 3 − 9x 4 , x ∈ (0;1) có f '(x ) = 30x 2 − 45x 4 ⇒ f ''(x ) = 60x − 180x 3 1 ⇒ f ''(x ) = 0 ⇔ x = x 0 = ñ ng th i f ''(x ) > 0 ∀x ∈ (0; x 0 ) và f ''(x ) < 0 ∀x ∈ (x 0 ;1) . 3 • N u a < x 0 . Áp d ng BðT ti p tuy n ,ta có: 1 1 1 f (a ) ≥ f '    a −  + f   3 3 3 1 1 1 f (b) ≥ f '   b −  + f  3 3 3 1 1 1 f (c) ≥ f '    c −  + f   3 3 3 1 1 ( ⇒ f (a ) + f (b) + f (c) ≥ f '   a + b + c − 1 + 3 f )   = 1. 3 3 • N u a > x 0 . Áp d ng BðT ti p tuy n và cát tuy n ta có: f (1) − f (x 0 ) f (a ) ≥ 1 − x0 (a − 1) + f (1) > f (1) = 1 . ( )( ) f (b) ≥ f ' 0 b − 0 + f 0 = 0 () ( )( ) f (c) ≥ f ' 0 c − 0 + f 0 = 0 () ⇒ f (a ) + f (b) + f (c) > 1 . Ví d 16: Cho ∆ABC nh n. Tìm GTLN c a bi u th c: F = sin A. sin2 B. sin2 C . L i gi i: Ta có : ln F = ln sin A + 2 ln sin B + 3 ln sin C π 1  π Xét hàm s f (x ) = ln sin x, x ∈ (0; ) ⇒ f '(x ) = cot x ⇒ f ''(x ) = − ∀x ∈  0;  2 sin2 x  2 Áp d ng BðT ti p tuy n v i ∆MNP nh n, ta có : Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 14
  15. ( ) ( f (A) ≤ f '(M ) A − M + f (M ) = A − M cot M + ln sin M ) ( ) ( f (B ) ≤ f '(N ) B − N + f (N ) = B − N cot N + ln sin N ) ( ) ( ) f (C ) ≤ f '(P ) C − P + f (P ) = C − P cot P + ln sin P ⇒ tan M .f (A) + tan N .f (B ) + tan P .f (C ) ≥ tan M ln sin M + tan N . ln sin N + tan P . ln sin P Ch n ba góc M , N , P sao cho : tan M tan N tan P = = = k ⇒ tan M = k ; tan N = 2k ; tan P = 3k 1 2 3 M t khác : tan M + tan N + tan P = tan M . tan N . tan P tan M 1 2 3 ⇒ 6k = 6k 3 ⇒ k = 1 ⇒ sin M = = ; sin N = ; sin P = 1 + tan2 M 2 5 10 1 2 3 27 ⇒ f (A) + f (B ) + f (C ) ≤ ln + 2 ln + 3 ln = ln 2 5 10 25 5 27 ⇒F ≤ . ð ng th c x y ra ⇔ A = M ; B = N ;C = P . 25 5 27 V y GTLN c a F = . 25 5 Nh n xét : T cách gi i trên, ta có ñư c cách gi i cho bài toán t ng quát sau : Cho ∆ABC nh n. Tìm GTLN c a E = sinm A. sinn B. sin p C , v i m, n, p là nh ng s th c dương. (Xem ph n bài t p) Ví d 17 : Cho tam giác ABC nh n. Tìm GTNN c a bi u th c : F = tan A + 2 tan B + 3 tan C . L i gi i : (D a theo l i gi i c a 2M)  π Xét hàm s f (x ) = tan x, x ∈  0;  , có f '(x ) = 1 + tan2 x  2  π ⇒ f ''(x ) = 2 tan x (1 + tan2 x ) > 0, ∀x ∈  0;  .  2 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 15
  16. Áp d ng BðT ti p tuy n v i ∆MNP nh n, ta có : 1 f (A) ≥ f '(M )(A − M ) + f (M ) = (A − M ) + tan M 2 cos M 1 ⇒ cos2 M .f (A) ≥ sin 2M + A − M 2 1 1 Tương t : cos2 N .f (B ) ≥ sin 2N + B − N ; cos2 P .f (C ) ≥ sin 2P + C − P 2 2 sin 2M + sin 2N + sin 2P ⇒ cos2 M .f (A) + cos2 N .f (B ) + cos2 P .f (C ) ≥ . 2 Ta ch n các góc M , N , P sao cho : cos M = k > 0; cos N = 2k ; cos P = 3k Vì M , N , P là ba góc c a tam giác nên ta có ñ ng th c : cos2 M + cos2 N + cos2 P + 2 cos M . cos N . cos P = 1 ⇒ (1 + 2 + 3)k + 2 6k 3 = 1 ⇒ k là nghi m dương c a phương trình : 2 6x 3 + (1 + 2 + 3)x − 1 = 0 (1). ⇒ sin 2M = 2 1 − cos2 M . cos M = 2k 1 − k 2 ; sin 2N = 2k 2(1 − 2k 2 ); sin 2P = 2k 3(1 − 3k 2 ) sin 2M + sin 2N + sin 2P 1 − k 2 + 2(1 − 2k 2 ) + 3(1 − 3k 2 ) ⇒F ≥ = . 2k 2 k 1 − k 2 + 2(1 − 2k 2 ) + 3(1 − 3k 2 ) V y GTNN c a F = ñ t ñư c khi k A = M ; B = N ;C = P V i M , N , P là ba góc c a tam giác nh n ñư c xác ñ nh b i : cos M = k > 0; cos N = 2k ; cos P = 3k , trong ñó k là nghi m dương duy nh t c a PT (1). Nh n xét : Tương t cách làm trên, ta cũng tìm ñư c giá tr nh nh t c a bi u th c F = m. tan A + n. tan B + p. tan C , trong ñó m, n, p là các s th c dương và A, B, C là ba góc c a tam giác nh n (Xem ph n bài t p). Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 16
  17. Ví d 18: Cho x , y, z > 0 th a x + y + z = 1 . Tìm GTNN c a : 4 P = x 3 + 1 + y2 + 1 + z 4 . L i gi i: Ta có các hàm s f (t ) = t 3 ; g(t ) = 1 + t 2 ; h(t ) = 4 1 + t 4 , t ∈ (0;1) là nh ng hàm s có ñ o hàm c p hai dương trên kho ng (0;1) . Nên v i a, b, c > 0 th a a + b + c = 1 áp d ng BðT ti p tuy n, ta có: f (x ) ≥ f '(a )(x − a ) + f (a ) ; h(y ) ≥ h '(b )(y − b) + h(b) ; g (z ) ≥ g '(c )(z − c) + g(c)      2 k 3a = k a =   3  b   k Ta ch n a, b, c sao cho f '(a ) = g '(b) = h '(c) = k ⇔  =k ⇔ b = (1)  1 + b2  1 − k2    c3 c = 3 k =k 4 4 3  4  (1 + c )   1 − k3k 3 k k k Do a + b + c = 1 ⇔ + + = 1 (2). 3 2 4 3 1−k 1−k k D th y phương trình (2) luôn có nghi m trong kho ng (0;1) . k 3k 1 1 ⇒ P = f (x ) + g(y ) + h(z ) ≥ f (a ) + h(b) + g(c) = + + 9 4 1 − k2 1 − k3k ð ng th c x y ra ⇔ x = a; y = b; z = c . k 3k 1 1 V y min P = + + v i k là nghi m n m trong (0;1) c a (2). 9 2 4 3 1−k 1−k k Ví d 19. (BðT Jensen). Cho hàm s y = f (x ) liên t c và có ñ o hàm c p hai trên (a; b ) và n s th c dương α1, α2 ,..., αn có t ng b ng 1.  n n  a) N u f ''(x ) > 0 ∀x ∈ (a; b) thì ta có: ∑ αi f (xi ) ≥ f  ∑ αi xi    i =1  i =1  Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 17
  18. v i ∀xi ∈ (a; b ) i = 1, n . ð ng th c có khi x1 = x2 = .. = xn .  n n  b) N u f ''(x ) < 0 ∀x ∈ (a; b) thì ta có: ∑ αi f (xi ) ≤ f  ∑ αi xi    i =1  i =1  v i ∀xi ∈ (a; b ) i = 1, n . ð ng th c có khi x1 = x2 = .. = xn . L i gi i. a) ð t y = α1a1 + α2a2 + ... + αnan ⇒ y ∈ (a;b) . Vì f ''(x ) > 0 nên áp d ng BðT ti p tuy n, ta có: ( ) f (ai ) ≥ f '(y ) ai − y + f (y ) ∀i = 1,2,.., n ( ) ⇒ αi f (ai ) ≥ f '(y ) αiai − αi y + αi f (y ) ∀i = 1,2,.., n n n  n n  ⇒ ∑ αi f (ai ) ≥ f '(y )∑ (αiai − αi y ) + f (y )∑ αi = f (y ) = f  ∑ αiai  .   i =1 i =1 i =1  i =1  b) Ch ng minh tương t . Ví d 20. (2M) Cho hai b s th c dương x1, x2,..., xn và a1, a2,..., an th a mãn: n n n n ∏ xi i ≥ ∏ ai i a a ∑ xi = ∑ ai . Ch ng minh r ng: . i =1 i =1 i =1 i =1 L i gi i. n n BðT c n ch ng minh ⇔ ∑ ai ln xi ≥ ∑ ai ln ai . i =1 i =1 Hàm s f (x ) = ln x là hàm l i, nên áp d ng BðT ti p tuy n ta có: 1 f (xi ) ≤ f '(ai )(xi − ai ) + f (ai ) = (xi − ai ) + f (ai ) ai n n n n ⇒ ai f (xi ) ≤ xi − ai + ai f (ai ) ⇒ ∑ ai f (xi ) ≤ ∑ (xi − ai ) + ∑ ai f (ai ) = ∑ ai f (ai ) i =1 i =1 i =1 i =1 n n ⇒ ∑ ai ln xi ≤ ∑ ai ln ai ñpcm. i =1 i =1 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 18
  19. Chú ý: ði u thú v là BðT Cô si l i là m t h qu c a bài toán trên. Th t v y: n ∑ xi Cho a1 = a2 = ... = an = i =1 . Khi ñó BðT ñã cho tr thành: n n  n   ∑ xi  n n  1  ∏ xi ≤ ∏ ai =  i =n  ( do a1 = a2 = ... = an ) i =1 i =1       n ∑ xi n ⇒ i =1 ≥ n ∏ xi ñây chính là BðT Cô Si cho n s . n i =1 Bài t p áp d ng b +c c +a a +b 1 1 1 1. Cho a, b, c > 0. Ch ng minh: + + ≥ + + a2 b2 c2 a b c 2. Cho a, b, c > 0 th a a + b + c ≥ 3 . Ch ng minh r ng: 1 1 1 + + ≤1 2 2 2 a +b +c b +c +a c +a +b 1 1 1 27 3. Cho x , y, z ≤ 1 th a x + y + z = 1 . Ch ng minh r ng: + + ≤ 1 + x2 1 + y2 1 + z2 10  1 4. Cho các s th c a1, a2 ,..., an ∈  0;  và a1 + a2 + ... + an = 1 . Ch ng minh  2 1  1   1  ( ) n  − 1   − 1  ...  a a  a − 1 ≥ n − 1 .   1  2   n  π 5. Cho a, b, c, d ∈ (0; ) và a + b + c + d = π . Ch ng minh 2 2 sin a − 1 2 sin b − 1 2 sin c − 1 2 sin d − 1 + + + ≥ 0. cos a cos b cos c cos d Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 19
  20. n 6. Cho n s th c dương tho mãn: ∑ xi = n . Cmr: i =1 x1 xn 1 1 + ... + ≤ + ... + ( New Zealand 1998). 2 1 + x1 2 1 + xn 1 + x1 1 + xn 7. Cho tam giác ABC . Tìm GTNN c a bi u th c π A A π B B π C C P = tan2 ( ) cot + tan2 ( − ) cot + tan2 ( − )cot . − 4 4 4 4 4 4 4 4 4 8. Cho tam giác ABC . Ch ng minh r ng A B C cos cos cos 3≤ 2 + 2 + 2 < 2. A B C 1 + sin 1 + sin 1 + sin 2 2 2 9. Cho tam giác ABC nh n và m, n, k > 0 . Tìm: 1) Giá tr l n nh t c a F = sinm A. sinn B sink C . 2) Giá tr nh nh t c a F = m tan A + n tan B + k tan C 1 10. Cho n s th c không âm a1, a2 ,..., an có t ng b ng 1. Ch ng minh: n a1a2 ...an ≤ n (BðT Cauchy). 11. Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh: (2a + b + c)2 (2b + c + a )2 (2c + a + b)2 + + ≤ 8 (M - 2003 ). 2 2 2 2 2 2 2a + (b + c) 2b + (c + a ) 2c + (a + b) 12. Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh: b +c c +a a +b a b c + + ≥ 4( + + ). a b c b +c c +a a +b a b c 9 13. Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh: + + ≥ . (b + c)2 (c + a )2 (a + b)2 4(a + b + c) 14. Cho a, b, c > 0 và a 2 + b2 + c2 = 1 . Ch ng minh : 1 1 1 ( + + ) − (a + b + c) ≥ 2 3 . a b c xyz (x + y + z + x 2 + y 2 + z 2 ) 3+ 3 15. Cho x , y, z > 0 . Ch ng minh: ≤ .( H ng Kông (x 2 + y 2 + z 2 )(xy + yz + zx ) 9 1997) IV. K T QU • H c sinh h ng thú và chú ý hơn khi h c các khái ni m Toán h c. Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 20