Xem mẫu
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
ĐỀ TỰ ÔN SỐ 03 Thời gian: 120
phút
ĐỀ BÀI
Câu 1. (2.0 điểm)Cho x, y, z >1 và thoả mãn điều kiện : xy + yz + zx ≥ 2xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
Câu 2. (2.0 điểm)Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2
y=
1 + x2 − 1 − x2 + 2
Câu 3. (2.0 điểm)
Cho 4 số bất kỳ a,b,c,d thõa mãn: a+2b=9 ; c+2d=4. CMR:
a 2 − 12a + b 2 − 8b + 52 + a 2 + c 2 + b 2 + d 2 − 2ac − 2bd + c 2 + d 2 − 4c + 8d + 20 ≥ 4 5
Câu 4. (2.0 điểm)Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: 3-x + 3-y + 3-z =1. CMR:
9x 9y 9z 3x + 3 y + 3z
y+z
+ y z+x
+ z x+ y
≥
3 +3
x
3 +3 3 +3 4
Câu 5. (2.0 điểm)
x2 y2 z2
Tìm Min của: H= + +
y+z z+x x+ y
x, y , z > 0
Trong đó: 2
x + y + y + z + z + x = 2010
2 2 2 2 2
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ TỰ ÔN SỐ 03
Câu 1. (2.0 điểm)
Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện :
xy + yz + zx ≥ 2xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
Giải:
1 1 1
Ta có: xy + yz + zx ≥ 2xyz ⇒ + + ≥2
x y z
Đặt:
x − 1 = a a , b, c > 0
1 1 1
y −1 = b ⇒ 1 1 1 ≥2⇔ ≥ 1 − + 1 −
z −1 = c a +1 + b +1 + c +1 a +1 b +1 c +1
1 b c bc
⇒ ≥ + ≥2
a +1 b +1 c +1 (b + 1)(c + 1)
1 ca 1 ab
≥2 ; ≥2
b +1 (c + 1)(a + 1) c + 1 (a + 1)(b + 1)
1 abc 1
⇒ ≥8 ⇒ abc ≤
( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) 8
1 1
⇒ ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) ≤ ⇒ MaxA =
8 8
Câu 2. (2.0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2
y=
1 + x2 − 1 − x2 + 2
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Giải:
Đặt:
a = 1 + x 2
a, b > 0 2ab + a − b
⇒ 2 ;y=
b = 1 − x 2 a + b = 2
2
a −b+ 2
t 2 = ( a − b ) 2 ≤ 12 + (−1) 2 a 2 + b 2 = 4
Coi : t = a − b ⇒ 2 − t2 + t
y=
t+2
t ∈ [ −2; 2]
t = 0 Max y = y (0) = 1
⇒ 4 ⇒ y'= 0 ⇔ ⇒
y = −t + 3 − t = −4 < −2 tlim y = −∞
→−2
t+2
Vậy hàm số đạt Max=1 và không đạt Min.
Câu 3. (2.0 điểm)
Cho 4 số bất kỳ a,b,c,d thõa mãn: a+2b=9;c+2d=4. CMR:
a 2 − 12a + b 2 − 8b + 52 + a 2 + c 2 + b 2 + d 2 − 2ac − 2bd + c 2 + d 2 − 4c + 8d + 20 ≥ 4 5
Giải:
Chọn A(a;b) và B(c;d) ta có: M(6;4) và N(2;-4) và:
A ∈ (d1 ) : x + 2 y − 9 = 0
B ∈ (d 2 ) : x + 2 y − 4 = 0
( a − 6) + ( b − 4 ) = AM
2 2
Ta có : a 2 − 12a + b 2 − 8b + 52 =
( a − c) + ( b − d ) = AB
2 2
a 2 + c 2 + b 2 + d 2 − 2ac − 2bd =
( c − 2) + ( d + 4 ) = BN
2 2
c 2 + d 2 − 4c + 8d + 20 =
Mà : AM + AB + BN ≥ MN = (6 − 2) 2 + (4 + 4) 2 = 4 5
Câu 4. (2.0 điểm)
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: 3-x + 3-y + 3-z =1. Chứng minh
rằng:
9x 9y 9z 3x + 3 y + 3z
+ + ≥
3 x + 3 y + z 3 y + 3 z + x 3 z + 3x + y 4
Giải:
Đặt:
a = 3x a , b, c > 0
b = 3 ⇒ 1 1 1 ⇔ ab + bc + ca = abc
y
c = 3 z a b c+ + =1
a2 b2 c2 a3 b3 c3
Ta có :VT = + + = 2 + 2 + 2
a + bc b + ca c + ab a + abc b + abc c + abc
3
a a3 a3
Vì : 2 = =
a + abc a 2 + ab + bc + ca ( a + b ) ( a + c )
a3 b3 c3
⇒ VT ≥ + + .
( a + b) ( a + c) ( b + c) ( b + a) ( c + a ) ( c + b)
a3 a+b a+c a3 3
Ta có : + + ≥3 3 = a
( a + b) ( a + c) 8 4 64 4
b3 3 c3 3
≥ b; ≥ c
( b + c) ( b + a) 4 ( c + a) ( c + b) 4
a+b+a+c+b+c 3 a+b+c
⇒ VT + 2 ≥ (a + b + c) ⇒ VT ≥ = VP ⇒ dpcm
8 4 4
Câu 5. (2.0 điểm)
x2 y2 z2
Tìm Min của: H= + +
y+z z+x x+ y
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
x, y , z > 0
Trong đó: 2
x + y + y + z + z + x = 2010
2 2 2 2 2
Giải:
a = x2 + y 2
a , b, c > 0
b = y2 + z2 ⇒
a + b + c = 2010
c = z +x
2 2
Theo Bunhiacopxki ta có :
x + y ≤ 2( x 2 + y 2 ); y + z ≤ 2( y 2 + z 2 ); z + x ≤ 2( z 2 + x 2 )
x2 y2 z2
⇒H ≥ + +
2( y 2 + z 2 ) 2( z 2 + x 2 ) 2( x 2 + y 2 )
a 2 − b 2 + c 2 2 a 2 + b 2 − c 2 2 −a 2 + b 2 + c 2
Và : x =
2
;y = ;z =
2 2 2
1 a 2 − b2 + c 2 a 2 + b2 − c 2 −a 2 + b2 + c 2
⇒H ≥ + +
2 2 b c a
1 2 2 1 1 1 ( a + b + c) 2
= (a + b + c ) a + b + c − 2(a + b + c) . Vì : (a + b + c ) ≥
2 2 2 2
nên :
2 2 3
1 (a + b + c) 1 1 1 1 (a + b + c)
H≥ .( a + b + c) + + − 2(a + b + c) ≥ .9 − 2(a + b + c)
2 2 3 a b c 2 2 3
a + b + c 2010 1005 2 1005 2
= = = ⇒ Min H = ⇔ x = y = z = 224450
2 2 2 2 2 2
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
nguon tai.lieu . vn
