Xem mẫu

  1. Trường THPT LAM KINH- Kiểm tra chất lượng ôn thi ĐH – CĐ (Lần 2) Môn: Toán (khối a), năm học 2009 – 2010 Thanh Hóa Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm) Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. m 2. Biện luận số nghiệm của phương trình x − 2 x − 2 = 2 theo tham số m. x −1 Câu II (2.0 điểm ) 1. Giải phương trình: 3 − 4 sin 2 2 x = 2 cos 2 x ( 1 + 2 sin x ) 2. Giải phương trình: log x x 2 − 14 log16 x x 3 + 40 log 4 x x = 0. 2 π 3 x sin x Câu III (1.0 điểm) Tính tích phân I = ∫ cos −π 2 x dx. 3 x −1 y z + 2 Câu IV(1.0điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: = = và mặt phẳng 2 1 −3 ( P ) : 2 x + y + z − 1 = 0 .Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P ) . Viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong (P ) . Câu V:(1.0điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;2) , B (2;0;2) . Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy ) . PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a(2.0 điểm) x2 1. Cho hàm số f ( x) = e x − sin x + − 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của f (x) và chứng minh rằng 2 f ( x) = 0 có đúng hai nghiệm.  z1 .z 2 = −5 − 5.i 2. Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức:   z1 + z 2 = −5 + 2.i 2 2 Câu VII.a(1.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC có A ( 0; 5 ) . Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là d1 : x − y + 1 = 0 ,d 2 : x − 2 y = 0. Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC. B.Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2.0 điểm) 1 x+2 1 x +1 1. Giải phương trình 3.4 + .9 = 6.4 − .9 . x x 3 4 π 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x.sin2x, y = 2x, x = 2 Câu VII.b (1.0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. Qua A dựng mặt phẳng (P ) vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P ) và hình chóp. Hết đề … Họ và tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……… …………….. ; Số báo danh:. . . . . . . . .
  2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐH – CĐ TRƯỜNG THPT LAM KINH 2010 Câu I 2 điểm a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2. • Tập xác định: Hàm số có tập xác định D = R. 0,25 x = 0 • Sự biến thiên: y' = 3 x − 6 x. Ta có y' = 0 ⇔  2 x = 2 • yCD = y ( 0 ) = 2; yCT = y ( 2 ) = −2. 0,25 • Bảng biến thiên: 0,25 x −∞ 0 2 +∞ y' + 0 − 0 + 2 +∞ y −∞ −2 • Đồ thị: 0,25 y 3 2 1 x -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 b) m Biện luận số nghiệm của phương trình x − 2 x − 2 = 2 theo tham số m. x −1 m 0,25 • Ta có x − 2 x − 2 = x − 1 ⇔ ( x − 2 x − 2 ) x − 1 = m,x ≠ 1. Do đó số nghiệm 2 2 của phương trình bằng số giao điểm của y = ( x − 2 x − 2 ) x − 1 ,( C' ) và 2 đường thẳng y = m,x ≠ 1.  f ( x ) khi x ≥ 1  0,25 • Vì y = ( x − 2 x − 2 ) x − 1 =  nên ( C' ) bao gồm: 2 − f ( x ) khi x < 1  + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x = 1. + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x = 1 qua Ox. • Đồ thị: 0,25
  3. y 3 2 1 x -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 • Dựa vào đồ thị ta có: 0,25 + m < −2 : Phương trình vô nghiệm; + m = −2 : Phương trình có 2 nghiệm kép; + −2 < m < 0 : Phương trình có 4 nghiệm phân biệt; + m ≥ 0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Câu II 2 điểm a) Giải phương trình 3 − 4 sin 2 x = 2 cos 2 x ( 1 + 2 sin x ) 2 • Biến đổi phương trình về dạng 2 sin 3 x ( 2 sin x + 1) − ( 2 sin x + 1) = 0 0,75 • Do đó nghiệm của phương trình là 0,25 π 7π π k 2π 5π k 2π x = − + k 2π ; x = + k 2π ; x = + ;x = + 6 6 18 3 18 3 b) Giải phương trình log x x − 14 log16 x x + 40 log 4 x x = 0. 2 3 2 1 1 0,25 • Điều kiện: x > 0; x ≠ 2; x ≠ ;x ≠ . 4 16 • Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho • Với x ≠ 1 . Đặt t = log x 2 và biến đổi phương trình về dạng 0,5 2 42 20 − + =0 1 − t 4t + 1 2t + 1 1 1 0,25 • Giải ra ta được t = ;t = −2 ⇒ x = 4; x = . Vậy pt có 3 nghiệm x =1; 2 2 1 x = 4; x = . 2 Câu III 1.0 điểm a) π 3 x sin x Tính tích phân I = ∫ cos −π 2 x dx. 3 • Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có 0,25
  4. π π π π 3  1  x 3 3 dx 4π 3 dx I= ∫ π xd   = −∫  cosx  cosx − π π cosx = 3 − J , với J = ∫ cosx π − 3 − − 3 3 3 • Để tính J ta đặt t = sin x. Khi đó 0,5 π 3 3 3 dx 2 dt 1 t −1 2 2− 3 J= ∫ π cosx = ∫3 1 − t 2 = − 2 ln t + 1 − 3 = − ln 2+ 3 . − − 2 3 2 4π 2− 3 0,25 • Vậy I = − ln . 3 2+ 3 Câu IV 1.0 điểm Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P ) . Viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong (P ) .  1 7 0,25 • Tìm giao điểm của d và (P) ta được A  2; ; −   2 2 ur u ur u ur ur ur u u u 0,5 • Ta có ud = ( 2;1; −3) ,nP = ( 2;1;1) ⇒ u∆ = ud ;n p  = ( 1; −2; 0 )   1 7 0,25 • Vậy phương trình đường thẳng ∆ là ∆ : x = 2 + t; y = − 2t; z = − . 2 2 Câu V 1.0 điểm Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;2) , B (2;0;2) . Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy ) . uuu uuu r r OA, OB  = ( 2; 2; −2) = 2( 11 −1) ⇒ ( OAB ) : x + y − z = 0 . ; ;   ( Oxy ) : z = 0. N ( x; y; z ) cách đều ( OAB ) và ( Oxy ) ⇔ d ( N , ( OAB ) ) = d ( N , ( Oxy ) ) x+ y−z z x + y − 3+1 z = 0 ⇔ x + y − z = ± 3z ⇔  ( ) ⇔ = 3 1  x + y + 3 − 1 z = 0.   ( ) Vậy tập hợp các điểm N là hai mặt phẳng có phương trình ( ) x + y − 3 + 1 z = 0 và x + y + 3 − 1 z = 0 . ( ) Câu VIa 2.0 điểm 1. x2 Cho hàm số f ( x) = e x − sin x + − 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của f (x ) và 2 chứng minh rằng f ( x ) = 0 có đúng hai nghiệm. • Ta có f ′( x ) = e + x − cos x. Do đó f ' ( x ) = 0 ⇔ e = − x + cos x. 0,25 x x • Hàm số y = e là hàm đồng biến; hàm số y = − x + cosx là hàm nghịch biến 0,25 x vì y' = −1 + sin x ≤ 0,∀x . Mặt khác x = 0 là nghiệm của phương trình e x = − x + cos x nên nó là nghiệm duy nhất. • Lập bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) (học sinh tự làm) ta đi đến kết 0,5
  5. luận phương trình f ( x ) = 0 có đúng hai nghiệm. • Từ bảng biến thiên ta có min f ( x ) = −2 ⇔ x = 0. x2 Cho hàm số f ( x) = e x − sin x + − 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của f (x ) và 2 chứng minh rằng f ( x ) = 0 có đúng hai nghiệm. • Ta có f ′( x ) = e + x − cos x. Do đó f ' ( x ) = 0 ⇔ e = − x + cos x. 0,25 x x 2.  z1 .z 2 = −5 − 5.i . Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức:  2  z1 + z 2 = −5 + 2.i 2 Đáp số: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i) Câu 1.0 điểm VII.a Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC có A ( 0; 5 ) . Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là d1 : x − y + 1 = 0 ,d 2 : x − 2 y = 0. Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC. • Ta có B = d1 ∩ d 2 ⇒ B ( −2; −1) ⇒ AB : 3 x − y + 5 = 0. 0,25 • Gọi A' đối xứng với A qua d1 ⇒ H ( 2; 3) , A' ( 4;1) . 0,25 • Ta có A' ∈ BC ⇒ BC : x − 3 y − 1 = 0. 0,25 • Tìm được C ( 28; 9 ) ⇒ AC : x − 7 y + 35 = 0. 0,25 Câu VI.b 2.0 điểm 1. 1 x+2 1 x +1 Giải phương trình 3.4 + .9 = 6.4 − .9 x x 3 4 9 2x 0,5 • Biến đổi phương trình đã cho về dạng 3.2 + 27.3 = 6.2 − .3 2x 2x 2x 4 3 x 2 2 0,5 • Từ đó ta thu được   = ⇔ x = log 3 2 39 2 39 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau 2. π y = x.sin2x, y = 2x, x = 2 Ta có: x.sin2x = 2x ⇔ x.sin2x – 2x = 0 ⇔ x(sin2x – 2) =0 ⇔ x = 0 Diện tích hình phẳng là: 0.5 π π S= ∫ ( x.sin 2 x − 2 x )dx = ∫ x(sin 2 x − 2)dx 2 2 0 0  du = dx 0.5 u = x  π π2 π2 π2 π Đặt  ⇒  − cos 2 x ⇔S= − + = −  dv = (sin 2 x − 2)dx  v= − 2x 4 2 4 4 4  2 (đvdt) Câu 1.0 điểm VII.b Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. Qua A dựng mặt phẳng (P ) vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P ) và hình chóp.
  6. • Học sinh tự vẽ hình 0,25 • Để dựng thiết diện, ta kẻ AC' ⊥ SC. Gọi I = AC' ∩ SO. 0,25 1 1 2 a 3 a2 3 0,5 • Kẻ B' D' // BD. Ta có S AD' C' B' = B' D' .AC' = . BD. = . 2 2 3 2 6