Xem mẫu

  1. SÔÛ GIAÙO DUÏC & ÑAØO TAÏO ANGIANG COÄNG HOAØ XAÕ HOÄI CHUÛ NGHÓA VIEÄT NAM Tröôøng THPT Chuyeân Thoaïi Ngoïc Haàu Ñoäc laäp – Töï do – Haïnh phuùc --------------------------------- ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI OLYMPIC ÑOÀNG BAÈNG SOÂNG CÖÛU LONG Naêm hoïc 2005 – 2006 Moân TOAÙN ( Thôøi gian laøm baøi : 180 phuùt ) Baøi 1 : ( 4 ñieåm ) Haõy tìm taát caû nhöõng ña thöùc P(x) sao cho thoaû maõn ñaúng thöùc sau : x P(x – 1) = (x – 26) P(x) Baøi 2 : ( 4 ñieåm ) Tìm taát caû caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : x3 + (x + 1)3 + ... + (x + 7)3 = y3 (1) Baøi 3 : ( 4 ñieåm )   u0  1 Cho soá a > 2 vaø daõy soá (u n) xaùc ñònh bôûi : u1  a   u   un  2  u 2 (n  1)  n 1  un 1   2  n  Chöùng minh raèng : vôùi moïi k  N 1 1 1    u0 u1 u2 1 uk  1 2  2  a  a2  4 
  2. Baøi 4 : ( 4 ñieåm ) Cho hình bình haønh ABCD coù AB = a , AD = 1 , BAD   , tam giaùc ˆ ABD coù taát caû caùc goùc ñeàu nhoïn . Haõy chöùng minh raèng caùc hình troøn baùn kính baèng 1 coù taâm laàn löôït laø A , B , C , D seõ phuû kín hình bình haønh naøy neáu : cos   3 sin   a Baøi 5 : ( 4 ñieåm ) Goïi r vaø R laàn löôït laø baùn kính cuûa hình caàu noäi tieáp vaø ngoaïi tieáp moät hình choùp R töù giaùc ñeàu . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa tæ soá r ------------------------------------------------ Baøi 1 : ( 4 ñieåm ) Haõy tìm taát caû nhöõng ña thöùc P(x) sao cho thoaû maõn ñaúng thöùc sau : x P(x – 1) = (x – 26) P(x) Ñaùp aùn Cho P(x) laø ña thöùc thoaû ñieàu kieän baøi toaùn . Hieån nhieân noù chia heát cho x . Nghóa laø : P(x) = x P1(x) , ôû ñaây P1(x) laø moät ña thöùc . (0,5ñ)
  3. Khi ñoù , P(x – 1) = (x – 1) P1(x – 1) , nghóa laø : x (x – 1) P1(x – 1) = x P(x – 1) = (x – 26) P(x) (0,5ñ) Töø ñaây suy ra P(x) chia heát cho caû (x – 1) , nghóa laø P(x) = x (x – 1) P2(x) (0,5ñ) Töø ñaây ta laïi nhaän ñöôïc : P(x – 1) = (x – 1) (x – 2) P2(x – 1) (0,5ñ) Hoaëc laø x (x – 1) (x – 2) P2(x – 1) = (x – 26) . P(x) (0,5ñ) Töø ñaây ta suy ra P(x) chia heát cho (x – 2) . Tieáp tuïc theo tinh thaàn ñoù , cuoái cuøng ta nhaän ñöôïc : P(x) = x (x – 1) (x – 2) ... (x – 25) . P26(x) (0,5ñ) Khi ñoù , töø ñieàu kieän baøi toaùn suy ra : x (x – 1) (x – 2) ....(x – 26) . P26(x – 1) = (x – 26) x (x – 1)...(x – 25) . P26(x) Suy ra : P26(x – 1) = P26(x) (0,5ñ) Vaø vaäy P26(x) = c ( c : haèng soá ) Vaäy P(x) = c . x (x – 1) (x – 2) ... (x – 25) (0,5ñ)
  4. Kieåm tra laïi ta thaáy nhaän . ------------------------------------------------- Baøi 2 : ( 4 ñieåm ) Tìm taát caû caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : x3 + (x + 1)3 + ... + (x + 7)3 = y3 (1) Ñaùp aùn Ñaët P(x) = x3 + (x + 1)3 + ... + (x + 7)3 = 8x3 + 84x2 + 420x + 784 Xeùt x  0 , ta coù : (2x + 7)3 = 8x3 + 84x2 + 294x + 343 < P(x) < 8x 3 + 120x2 + 600x + 1000 = (2x + 10)3 (0,5ñ)  2x + 7 < y < 2x + 10  y = 2x + 8 hoaëc y = 2x + 9 (0,5ñ) Vì caû hai phöông trình : P(x) – (2x + 8)3 = 0  – 12x2 + 36x + 272 = 0 P(x) – (2x + 9)3 = 0  – 24x2 – 66x + 55 = 0 ñeàu khoâng coù nghieäm nguyeân . Vaäy phöông trình ñaõ cho khoâng coù nghieäm nguyeân vôùi x0 (0,5ñ) Laïi coù P(– x – 7) = – P(x) . Vaäy (x ; y) laø nghieäm cuûa (1)  (– x – 7 ; y) cuõng laø nghieäm . (0,5ñ) Do ñoù khoâng toàn taïi nghieäm vôùi x  – 7 . Vaäy neáu (x ; y) laø nghieäm thì ta phaûi coù -6  x  -1 (0,5ñ)
  5. Vôùi -3  x  -1 , ta coù : P(-1) = 440 khoâng phaûi laø soá laäp phöông , P(-2) = 216 = 63 , P(-3) = 64 = 43  (-2 ; 6) vaø (-3 ; 4) laø caùc nghieäm vôùi -3  x  -1 (0,5ñ) Do tính chaát P(– 7 – x) = – P(x)  (-5 ; -6) vaø (-4 ; -4) laø nghieäm cuûa (1) vôùi -6  x  -1 (0,5ñ) Vaäy caùc nghieäm cuûa (1) laø : (-2 ; 6) , (-3 ; 4) , (-4 ; -4) , (-5 ; -6) (0,5ñ) ------------------------------------------------- Baøi 3 : ( 4 ñieåm )   u0  1 Cho soá a > 2 vaø daõy soá (u n) xaùc ñònh bôûi : u1  a   u   un  2  u 2 (n  1)  n 1  un 1   2  n  Chöùng minh raèng : vôùi moïi k  N 1 1 1    u0 u1 u2 1 uk  1 2  2  a  a2  4  Ñaùp aùn 1 a > 2   b  R ,b  0 : a  b  b (0,5ñ)
  6. u0  1 1 u1  a  b  b  u12   1 2  1  1  1 u2   2  2  u1    b    2   b     b 2  2  b    b  b  b  b  u0    (0,25ñ)  u2   1  2   1  1  1 u3   2  2  u2    b2  2   2  u2   b 4  4  b 2  2  b   2  b    b  b  b  u1    (0,25ñ) Töông töï :  u2   k 1 1  k  2 1   2 1  1 uk   k 1  2  uk 1   b 2  2k 1  b 2  2k  2  b  b2  b  b   b      2  uk  2  b (0,25ñ) Do ñoù : 1 1 1 1    k  u0 u1 u2 u 1 2 2  a  a2  4   (1) b 2 1 1  k 2  1 2 b  b3  2  2  b  1  b  1   4    b  1 (b 2  1)(b 4  1) (b  1) (b2  1) 2  b  k b   (0,5ñ) b 2 1 k b b3 1  1 2  2  2  1 b  1 (b  1)(b  1) (b  1) (b2  1) 4 k b (0,5ñ) k b2 b4 b2  2  2  2  1 b  1 (b  1)(b4  1) (b  1) (b2  1) k (0,5ñ)  1   1 1   1 1   1  2   2  2    2  2  (b  1) (b2k 1  1) (b  1) (b2k  1)  
  7. (0,5ñ) 1  1  1 (2) (b  1) (b 2  1) k 2 (0,5ñ) (2) ñuùng vôùi moïi k  N vaø moïi b > 0 . Vaäy (1) ñuùng vôùi moïi k  N vaø a > 2 (0,25ñ) ------------------------------------------------- Baøi 4 : ( 4 ñieåm ) Cho hình bình haønh ABCD coù AB = a , AD = 1 , BAD   , tam giaùc ˆ ABD coù taát caû caùc goùc ñeàu nhoïn . Haõy chöùng minh raèng caùc hình troøn baùn kính baèng 1 coù taâm laàn löôït laø A , B , C , D seõ phuû kín hình bình haønh naøy neáu : cos   3 sin   a . Ñaùp aùn  Böôùc 1 : * Boå ñeà : Goïi O laø taâm vaø R laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  ABC . Khi ñoù , caùc hình troøn taâm A , B , C vôùi baùn kính x seõ phuû kín  ABC  x  R . (1ñ) * Chöùng minh boå ñeà : 1) Ñieàu kieän caàn : A Caùc hình troøn taâm A ,B ,C baùn kính x phuû kín  ABC  caùc hình troøn naøy phaûi phuû O  x  R (0,25ñ)
  8. I K (hình veõ 0,25ñ) O B C J 2) Ñieàu kieän ñuû : Ñaûo laïi , giaû söû x  R vôùi (O ,R) laø ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  ABC . Ta xeùt caùc voøng troøn taâm A ,B ,C coù baùn kính R . Khi ñoù , goïi I ,J ,K laàn löôït laø hình chieáu cuûa O xuoáng AB , BC , CA thì hình troøn taâm A baùn kính R seõ phuû kín töù giaùc OIAK . Töông töï hình troøn taâm B , C baùn kính R laàn löôït phuû kín töù giaùc OIBJ , OJCK . Do ñoù caùc hình troøn taâm A ,B ,C baùn kính R phuû kín  ABC . (0,25ñ) Theo giaû thieát ta coù x  R neân hieån nhieân caùc hình troøn taâm A , B,C baùn kính x phuû kín  ABC . Ñieàu kieän ñuû ñöôïc chöùng minh . (0,25ñ)  Böôùc 2 : Chöùng minh baøi toaùn : B C Caùc hình troøn taâm A ,B ,C ,D baùn kính baèng 1 phuû H kín hình bình haønh ABCD  3 hình troøn taâm A ,B ,D
  9. a baùn kính baèng 1 phuû kín  ABD (0,5ñ)  1 (hình veõ 0,25ñ) A D Goïi R laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  ABD , aùp duïng boå ñeà treân ta coù ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå 3 hình troøn ñôn vò taâm A ,B ,D phuû kín  ABD laø : 1  R (0,5ñ) Ta coù : BD = 2R sin  (ñònh lyù haøm soá sin) BD2 = a2 + 1 – 2a cos  (ñònh lyù haøm soá cosin) neân 4R2 sin2  = a2 + 1 – 2a cos  (0,25ñ) Do ñoù 4 sin2   a2 + 1 – 2a cos  (vì 1  R) 2 2 2  3 sin   a + 1 – 2a cos  + cos  – 1 2 2 2  3 sin   a – 2a cos  + cos  (0,25ñ)  3 sin   a  cos  , (do  ABD nhoïn neân coù AB > AH = cos   a > cos  )  3 sin   a – cos   cos  + 3 sin   a (ñpcm) (0,25ñ) -------------------------------------------------------------------- Baøi 5 : ( 4 ñieåm ) Goïi r vaø R laàn löôït laø baùn kính cuûa hình caàu noäi tieáp vaø ngoaïi tieáp hình choùp moät
  10. R töù giaùc ñeàu . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa tæ soá . r Ñaùp aùn A Giaû söû hình choùp ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy 2a ñöôøng cao SO = h caïnh beân SC = SO2  OC 2  h2  2a 2 1 ( OC = AC  a 2 ) 2 D C M O N A B R cuõng laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  SAC SC SC SC 2 h 2  2a 2 R   (vì SA = SC)  R 2sin A 2. SO 2.SD 2h SA (1ñ) r cuõng laø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp  SMN vôùi M ,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD ,BC dt (SMN )  r p dt (  SMN) = ½ MN . SO = ah p = ½ (MN + SM + SN) = a  a 2  h2
  11.  r  ah a h a 2 2  a h  a 2  h2  a  (1ñ) 2 h 2  R 2a 2  h 2 a Suy ra :   r 2a ( a 2  h 2  a )  2  2  1   h   1    a    2 R h Ñaët k  0 , x     0 , ta ñöôïc : r a 2 x k 2 ( 1  x  1) (1ñ)  x  2  2k  2k 1  x  ( x  2  2k ) 2  4k 2 (1  x) 2 2  x + 4 (1 + k – k ) x + 8k + 4 = 0 (1) (1) coù nghieäm x khi  ’ = 4k2 (k2 – 2k – 1)  0  k  2 1 . Do ñoù : Min    2  1 R   r (1ñ) -------------------------------------------------