Xem mẫu

  1. Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc ÑEÀ THI OLYMPIC ÑBSCL Moân: TOAÙN – Khoái 12 Baøi 1: Cho soá nguyeân n > 1 vaø soá thöïc p > 0 . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa: n 1 n  xi xi 1 khi xi chaïy khaép moïi giaù trò thöïc khoâng aâm sao cho i 1 x i 1 i  p. Baøi 2: Trong maët phaúng toïa ñoä vuoâng goùc oxy cho n veùctô : OA1 , OA2 ,, OAn , thoûa OA1  OA2    OAn  1 Chöùng minh raèng coù theå choïn ra k veùctô coù tính chaát : 1 OAi  OAi    OAi  . 1 2 k 4 Baøi 3:
  2. Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc n (1) k 1 Daõy soá (un ) , (n =1, 2, 3,....) ñöôïc xaùc ñònh bôûi un   , vôùi n=1, 2, 3, .... k 1 k Chöùng minh raèng daõy soá naøy coù giôùi haïn vaø tìm giôùi haïn ñoù. Baøi 4: Giaûi phöông trình sau : T 4  4T 3  6T 2  4T  1  0 Baøi 5: Cho tam giaùc ABC, O laø ñieåm tuøy yù trong tam giaùc. Ñaët : OA = x; OB = y; OC = z. Goïi u, v, w töông öùng laø caùc ñöôøng phaân giaùc trong caùc goùc  BOC,  COA,  AOB cuûøa caùc tam giaùc BOC, COA, AOB. Chöùng minh raèng : x  y  z  2(u  v  w) .
  3. Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc ÑAÙP AÙN Baøi 1: Ñaët : S = x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn ; p = x1 + x2 + … + xn . Giaû söû : xk = Max { x1, x2 , … , xn} n 1 n 1 k 1 n 1 k p2 S=  xi xi1 = i 1  xi xi1 + i 1  xi xi1  xk . xi + xk . xi 1  xk(p – xk)  i k i 1 i k 4 ,(Coâsi). p2 Vaäy : Max S = khi xk = xk+1 = p/2 vaø xi = 0, i = 1,…n, i  k vaø i  k + 1. 4 Baøi 2: Goïi (xi,yi) laø toïa ñoä veùctô OAi , i = 1,…,n. Ta coù: OAi  xi2  yi2  xi  yi , (1). Daáu ‘’=’’ xaõy ra khi xi = 0 hay yi = 0. n n Töø gthieát ta coù: 1  OA1  OA2    OAn   xi   yi i 1 i 1
  4. Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc n n  1   xi   y i   xi   xi   y i   y i . i 1 i 1 xi 0 xi 0 yi  0 yi  0 1 Theo nguyeân lyù Ñirichleâ seõ toàn taïi x xi  0 i  4 . Goïi OAi1 , OAi 2 ,..., OAik laàn löôït laø caùc veùctô coù hoaønh ñoä x i1, xi2, …, xik > 0. Ta coù: OAi1  OAi 2    OAik  xi1  xi 2    xik 2   yi1  yi 2    yik 2  xi1    xik   xi  1 xi 0 4 . Baøi 3: 2m m 1 1 2m 1 m 1 m 1 Ta vieát : u2 m    2 =    k 1 k k 1 2k k 1 k k 1 k k 1 k  m Maët khaùc, ta coù nhaän xeùt : vôùi x  (0,1) thì ln( x  1)  x   ln(1  x) , (1) Thaät vaäy: 1 x + Xeùt f ( x)  ln( x  1)  x  f '( x)  1   0, x  (0,1) , suy ra f(x) x 1 x 1 nghòch bieán treân (0,1)  f ( x)  f (0)  0  ln( x  1)  x , (2) 1 x + Xeùt g ( x)  ln(1  x)  x  g '( x)  1   0, x  (0,1) , suy ra g(x) 1 x 1 x nghòch bieán treân (0,1)  g ( x)  g (0)  0  x  ln(1  x) , (3) Töø (2) vaø (3) suy ra (1) ñaõ ñöôïc chöùng minh
  5. Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc 1 Aùp duïng (1) vôùi x  , ( k = 1, 2, 3, ...) , ta ñöôïc : k m m2 1 m 1 ln( )   ln( )  ln(m  2)  ln(m  1)   ln(m  1)  ln m m 1 m 1 m 1 m 1 1 Töông töï: ln(m  3)  ln(m  2)   ln(m  2)  ln(m  1) m2 1 ln( m  4)  ln( m  3)   ln( m  3)  ln( m  2) m3 .............................................. 1 ln(2m  1)  ln(2m)   ln(2m)  ln(2m  1) 2m m 1  ln(2m  1)  ln(m  1)    ln(2m)  ln m k 1 k  m 1  ln(2  )  u2 m  ln 2  lim u2m  ln 2 . m 1 m 1 Maët khaùc u2 m1  u2 m  neân lim u2 m1  lim u2 m . 2m  1 m m Suy ra lim un  ln 2 . n  Vaäy : lim un  ln 2 , n  (n=1, 2, 3, ...) Baøi 4: Phöông trình  4T (1  T 2 )  T 4  6T 2  1 (*)
  6. Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc Nhaän thaáy phöông trình (*) khoâng nhaän T   3  2 2 hay T  1 laøm nghieäm  1  T  0 2 4T (1  T 2 ) Do doù  4 neân (*)  4  1 (**) T  6T 2  1  0  T  6T 2  1    Ñaët T  tg ,     ;  \ arctg   3  2 2  ,          2 2    4  2tg   2.  1  tg 2   4tg (1  tg 2 ) (**)  4 1     1  2tg 2  1 tg   6tg   1 2  2tg   2 1  tg 2 2 1   1  tg 2         tg 4  1  4   k , (k  Z )     k. , (k  Z ) 4 16 4       So ñieàu kieän :     ;  , suy ra    k.     k  9 7    2 2 2 16 4 2 4 4 Vì k  Z neân suy ra k   2,1,0,1. 7   7  Neáu k  2 thì     T  tg  tg   16  16    3   5  Töông töï : neáu k  1,0,1 thì T  tg    , tg , tg    16  16 16   7  3  5  Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø tg  , tg , tg , tg   16 16 16 16  Baøi 5:
  7. Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc Ñaàu tieân , ta chöùng minh boå ñeà sau: ‚ Neáu        thì p, q, r , ta luoân coù: p2  q2  r 2  2  qr cos  pr cos   pq cos   ‛. Thaät vaäy : p2  q2  r 2  2  qr cos  pr cos   pq cos    sin2   cos2   p2  sin2   cos2   q2  r 2  2qr cos  2 pq cos(   )  2 pr cos    r 2   p cos     q cos    2r( p cos  )  2r( q cos  )  2( p cos  )( q cos  )  + 2 2   +  p sin     q sin    2( p sin  )(q sin  ) 2 2     r  p cos   q cos    p sin   q cos   0 . 2 2  p2  q2  r 2  2  qr cos  pr cos   pq cos   , (ñpcm). Trôû laïi baøi toaùn ñaàu baøi : Ñaët :  AOB = 2 ;  AOC = 2 ;  BOC = 2   +  +  =  Theo coâng thöùc tính ñöôøng phaân giaùc trong tam giaùc , ta coù : 2 yz cos  2 xz cos  2 xy cos  u ,v  ,w  yz xz x y AÙp duïng boå ñeà vôùi p  x , q  y , r  z ta coù : u( y  z ) v( x  z ) w( x  y ) x  y  z  2 yz .  2 xz .  2 xy . yz xz xy  yz zx x y Hay x  y  z  u.    v.    w.    2(u  v  w) , (ñpcm)  yz   xz   xy  ( theo baát ñaúng thöùc Cauchy )
  8. Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc