Xem mẫu
- SÔÛ GD-ÑT ÑOÀNG THAÙP KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI OLIMPIC ÑBSCL
TRÖÔØNG THPT THÒ XAÕ CAO LAÕNH NAÊM HOÏC 2005-2006
ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ MOÂN TOAÙN
Thôøi gian : 180 phuùt
----------***----------
Baøi 1: (Soá hoïc)
Tìm taát caû caùc soá töï nhieân x vaø y thoaû maõn phöông trình :
( x y )4 3361 11296320
Baøi 2: (Ñaïi soá )
Cho caùc soá x,y,z thoûa maõn: x 2 xy y 2 2 .
Tìm GTNN vaø GTLN cuûa bieåu thöùc:
A x 2 2 xy 3 y 2
Baøi 3: (Daõy soá )
Cho daõy soá thöïc ( xn ) , n=1,2,3,...xaùc ñònh bôûi
x1 2
x n1 x n 3xn 3
3 2
Tìm soá haïng toång quaùt cuûa xn
Baøi 4: (Hình hoïc phaúng)
Cho tam giaùc ABC noäi tieáp trong moät voøng troøn. Goïi AA ',BB',CC' laø ba trung tuyeán .
AA',BB',CC' laàn löôït caét voøng troøn ngoaïi tieáp taïi A1 , B1 , C1 . Tìm GTLN cuûa:
AA ' BB ' CC '
T
AA1 BB1 CC1
Baøi 5: (Hình hoïc khoâng gian)
Cho töù dieän ABCD. Giaû söû töù dieän naøy ñöôïc chia thaønh hai phaàn bôûi moät maët phaúng
song song vôùi AB vaø CD, khoaûng caùch töø maët phaúng naøy ñeán AB baèng 2 laàn khoaûng
caùch ñeán CD.Tính tyû soá theå tích cuûa hai phaàn ñoù.
-----------------Heát----------------
- Sôû GD – ÑT Ñoàng Thaùp KYØ THI HSG ÑOÀNG BAÈNG SOÂNG CÖÛU LONG
TRÖÔØNG THPT TX CAO LAÕNH NAÊM HOÏC : 2005 – 2006
*********** ***********
ÑAÙP AÙN ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ MOÂN : TOAÙN
THÔØI GIAN : 180 PHUÙT
----------*****----------
Baøi 1: (4 ñieåm)
Tìm taát caû caùc soá töï nhieân x vaø y thoaû maõn phöông trình :
( x y )4 3361 11296320
Höôùng daãn giaûi:
Nhaän thaáy x vaø y laø caùc soá nguyeân khoâng aâm vaø 11296320 23.41. 105 laø soá voâ tæ.
Phöông trình ñaõ cho coù theå vieát laïi :
( x y)2 4 xy 3361 4( x y) xy 328 105 (1) (1ñ)
Veá traùi cuûa (1) laø soá höõu tæ neân ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå phöông trình coù nghieäm nguyeân laø caû hai
veá cuûa (1) ñeàu baèng khoâng . Khi ñoù ta coù heä phöông trình:
( x y)2 4 xy 3361 0
(1ñ)
4( x y) xy 328 105 0
Ñaët : S=x+y, P=xy ta ñöôïc heä:
S 2 4P 3361 0
(2)
S P 82 105
(3)
82 .105
2
Töø (3) ta ruùt ra ñöôïc : P Thay vaøo (2) vaø thu goïn ñöôïc :
S2
S 4 3361.S 2 4.822.105 0 S2 = 1681 hoaëc S2 =1680 = 412 (1ñ)
Töø ñoù ta ñöôïc : S=41 vaø P=420.
Suy ra x, y laø nghieäm cuûa phöông trình : t2 –42t+420=0 t=20 hoaëc t=21. (1ñ)
Vaäy phöông trình coù hai nghieäm laø (20;21); (21;20).
- Baøi 2: (4 ñieåm)
Cho caùc soá x,y,z thoûa maõn: x 2 xy y 2 2 .
Tìm GTNN vaø GTLN cuûa bieåu thöùc:
A x 2 2 xy 3 y 2
Höôùng daãn giaûi:
Xeùt tröôøng hôïp y=0 thì x 2 2 vaø ta coù A=2 (0,5 ñ)
x
Xeùt tröôøng hôïp y 0 , ñaët t . Ta coù:
y
A x 2 2 xy 3 y 2 t 2 2t 3
2 2 f (t ) (0,5 ñ)
2 x xy y 2 t t 1
(2t 2)(t 2 t 1) (2t 1)(t 2 2t 3) 3t 2 4t 5
f (t )
'
2 (0,5 ñ)
(t 2 t 1) 2 (t t 1) 2
2 19 2 19
f ' (t ) 0 3t 2 4t 5 0 t1 t t 2 (0,5 ñ)
3 3
Töø ñoù ta coù baûng bieán thieân sau:
Vì lim f (t ) lim f (t ) 1 neân töø baûng bieán thieân ta suy ra: (0,5 ñ)
t t
t t1 t2 +
'
f (t) + 0 - 0 +
f(t)
f(t1) 1
f(t2)
1
38 2 19 38 2 19
Maxf (t ) f (t1 ) & min f (t ) f (t i ' ) (1 ñ)
38 7 19 38 7 19
Do ñoù: max A 2 f (t1 ) vaø minA 2f(t 2 )
76 4 19 76 4 19
Keát luaän: MaxA & min A (0,5 ñ)
38 7 19 38 7 19
- Baøi 3: (4 ñieåm)
Cho daõy soá thöïc ( xn ) , n=1,2,3,...xaùc ñònh bôûi
x1 2
x n1 x n 3xn 3
3 2
Tìm soá haïng toång quaùt cuûa xn
Höôùng daãn giaûi:
Ñaët: y n xn 1, n 1 (0,5 ñ)
y1 3
Töø daõy ( xn ) ta coù daõy ( y n ) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: (0,5 ñ)
y n1 y n 3 y n n 1
3
Xeùt phöông trình : x 2 3x 1 0 (1) .
x x2 3
Deå thaáy (1) coù hai nghieäm phaân bieät x 1, x2 vaø 1 (0,5 ñ)
x1 .x 2 1
n 1 n 1
Ta seõ chöùng minh baèng quy naïp theo n raèng: y n x1
3
x2
3
(2) n 1 (0,5 ñ)
Vôùi n=1: hieån nhieân coù (2)
k 1 k 1
Giaû söû ñaõ coù (2) vôùi n=k ( k 1). Töùc laø : y k x1
3
x2
3
Ta chöùng minh (2) cuõng ñuùng khi n=k+1. Thaät vaäy:
Ta coù:
k 1 k 1 k 1 k 1
y k 1 y k 3 y k ( x1
3 3
x2
3
) 3 3( x1
3
x2
3
)
k k k 1 k 1 k 1 k 1 k 1
x1 x2 3( x1 x2 ) 3
3 3 3
.( x1 x2
3
) 3( x1
3
x2
3
) (1 ñ)
k k
x1 x2
3 3
vì x1 .x2 1
n 1 n 1
Neân (2) ñuùng n 1. Töø ñoù ta coù: xn x1
3
x2
3
1,
3 5
deå thaáy (1) coù hai nghieäm x1, 2 (0,5 ñ)
2
3n 1 3n 1
3 5 3 5
Vaäy soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá thöïc ( xn ) laø xn
2
2
1 . (0,5 ñ)
- Baøi 4: (4 ñieåm)
Cho tam giaùc ABC noäi tieáp trong moät voøng troøn. Goïi AA',BB',CC' laø ba trung tuyeán .
AA',BB',CC' laàn löôït caét voøng troøn ngoaïi tieáp taïi A1 , B1 , C1 . Tìm GTLN cuûa:
AA ' BB ' CC '
T
AA1 BB1 CC1
A
B1
C1
B'
C'
c b
B a A' C
A1
Höôùng daãn giaûi:
AA ' A' B a2
Do ABA ' ~ CA1 A' neân AA ' . A ' A1 A ' B. A ' C (0,5 ñ)
CA ' A1 A' 4
a2
Suy ra: AA ' . AA1 AA ' ( AA ' A' A1 ) ma
2
(0,5 ñ)
4
AA ' AA '2 1 2b 2 2c 2 a 2 1 a2
Töø ñoù: . 1 . 2 (0,5 ñ)
AA1 AA ' . AA1 2 b2 c2 2 b c2
Baèng caùch tính töông töï ta ñöôïc:
AA ' BB ' CC ' 1 a2 b2 c2
3 ( 2 ) (0,5 ñ)
AA1 BB1 CC1 2 b c2 c2 a2 a2 b2
Ta coù:
a2 b2 c2 a2 b2 c2
2 2 2 1 2 1 2 1 3
b2 c2 c a2 a b2 b c2 c a2 a b2
1 1 1
(a 2 b 2 c 2 )( 2 2 2 )3
a b 2
b c 2
c a2
(a 2 b 2 ) (b 2 c 2 ) (c 2 a 2 ).( 2
1 1 1 1
2 2 )3
2 a b 2
b c 2
c a2
(0,5 ñ)
AÙp duïng bñt Cauchy ta coù:
- (a 2 b 2 ) (b 2 c 2 ) (c 2 a 2 ) 3.3 (a 2 b 2 )(b 2 c 2 )(c 2 a 2 )
1 1 1 1 1 1 (0,5 ñ)
2 2 3.3 2 . 2 . 2
a b
2 2
b c 2
c a 2
a b b c c a2
2 2
töø ñoù ta suy ra:
a2 b2 c2 9 3
2 2 3 (0,5 ñ)
b c
2 2
c a 2
a b 2
2 2
Daáu "=" xaûy ra khi a=b=c ABC ñeàu
9
Vaäy: maxT= , giaù trò naøy ñaït ñöôïc khi tam giaùc ABC ñeàu. (0,5 ñ)
4
- Baøi 5: (4 ñieåm)
Cho töù dieän ABCD. Giaû söû töù dieän naøy ñöôïc chia thaønh hai phaàn bôûi moät maët phaúng song song
vôùi AB vaø CD, khoaûng caùch töø maët phaúng naøy ñeán AB baèng 2 laàn khoaûng caùch ñeán CD.Tính tyû soá
theå tích cuûa hai phaàn ñoù.
C
N
D
L
J
P G I
E
K
B
X F
M
Y
A
Höôùng daãn giaûi:
Ta giaû söû AB vaø CD laàn löôït coù ñoä daøi laø a vaø b, khoaûng caùch hai ñöôøng thaúng cheùo nhau AB vaø CD
laø d. Goïi (P) laø maët phaúng song song vôùi hai caïnh ñoái AB vaø CD.Giaû söû (P) caét töù dieän theo thieát
dieän laø töù giaùc EFGL. Deã thaáy EFGL laø hình bình haønh.
Goïi MN laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa AB vaø CD, giao ñieåm cuûa MN vôùi (P) laø I. Maët phaúng qua I
vaø AB seõ caét maët phaúng (P) theo giao tuyeán JK // AB. Deã thaáy raèng B, J, N thaúng haøng vaø N, K, A
thaúng haøng. Ta coù hai tam giaùc JNK vaø BNA ñoàng daïng nhau, vôùi NI vaø NM laø hai ñöôøng cao cuûa
tam giaùc ñoù. Ta xeùt baøi toaùn toång quaùt hôn laø "khoaûng caùch töø maët phaúng naøy ñeán AB baèng k laàn
khoaûng caùch ñeán CD" .Töø giaû thieát ta coù:
NI 1
vôùi NM = NI + IM;
IM k
NM AB a NI IM IM a
1 1 k
NI KJ KJ NI NI KJ
a
Suy ra KJ . (0,5 ñ)
k 1
GL BJ IM k
Maët khaùc ta laïi coù . (0,5 ñ)
DC BN MN k 1
kb kd
Töø ñoù ta ñöôïc GL vaø IM . (0,5 ñ)
k 1 k 1
- Döïng JX vaø KY song song vôùi IM; vôùi X, Y naèm treân AB, suy ra caùc maët phaúng (XGL) vaø (YEF)
vuoâng goùc vôùi (P).Deã thaáy raèng khoái XGL.YEF laø laêng truï ñöùng, do ñoù:
1
V AEF.BGL V XGL.YEF V AEFY VBGLX , V XGL.YEF SYEF .JK EF .YK .JK (0,5 ñ)
2
1 kb kd a abdk 2
V XGL.YEF . . , (0,5 ñ)
2 k 1 k 1 k 1 2(k 1) 3
1 1 1
V AEFY VBGLX SYEF . AY S XGL .BX YK .EF ( AY BX )
3 3 6
1 1 kd kb a abdk 3
IM .GL( AB JK ) . (a ) (0,5 ñ)
6 6 k 1 k 1 k 1 6(k 1) 3
abdk 2 abdk 3 abdk 2
Nhö vaäy: V AEF .BGL (3 k ) . (0,5 ñ)
2(k 1) 3 6(k 1) 3 6(k 1) 3
abd (1 3k )
Chöùng minh töông töï ta ñöôïc: VCEL.DGF .
6(k 1) 3
Vaäy tæ soá theå tích cuûa hai phaàn do maët phaúng (P) chia töù dieän ABCD laø:
V AEF .BGL k 2 (k 3) V 20
. Vôùi k = 2 thì AEF .BGL (0,5 ñ)
VCEL.DGF 3k 1 VCEL.DGF 7
--------------------Heát------------------
nguon tai.lieu . vn
