Xem mẫu
- Trung tâm BDVH & LTĐH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010
THÀNH ĐẠT Môn thi: TOÁN – Khối A–B–D–V
Đề số 2 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
1 3 8
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x - x2 - 3x + (1)
3 3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
tam giác OAB cân tại O (O là gốc toạ độ).
Câu II (2 điểm):
1
1) Giải phương trình: (1 - 4 sin 2 x ) sin 3 x =
2
p
2) Giải phương trình: x 2 - 3 x + 1 = - tan x2 + x2 + 1
6
2
5
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I= ò (x + x 2 ) 4 - x 2 dx
-2
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc 60 0 . Gọi M là điểm đối
xứng với C qua D, N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của
hai phần đó.
Câu V (1 điểm): Cho x, y, z là các số dương thoả mãn x 2 + y 2 + z2 = 1 . Chứng minh:
x y z 3 3
P= + + ³
y 2 + z2 z2 + x 2 x2 + y2 2
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y + 2)2 = 9 và đường thẳng d:
x + y + m = 0 . Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới
đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông (B, C là hai tiếp điểm).
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q):
x + y + z = 0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2.
n
Câu VII.a (1 điểm): Tìm hệ số của x 8 trong khai triển nhị thức Niu–tơn của ( x 2 + 2 ) , biết:
An - 8Cn + C1 = 49 (n Î N, n > 3).
3 2
n
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x - y - 1 = 0 và hai đường tròn có phương trình:
(C1): ( x - 3)2 + ( y + 4)2 = 8 , (C2): ( x + 5)2 + ( y - 4)2 = 32
Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2).
x y-2 z
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng D: = = và mặt phẳng (P):
1 2 2
x - y + z - 5 = 0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với đường thẳng D
một góc 450 .
ìlg2 x = lg2 y + lg2 ( xy )
ï
Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: í 2
ïlg ( x - y ) + lg x .lg y = 0
î
============================
Trần Sĩ Tùng
- Hướng dẫn:
I. PHẦN CHUNG
Câu I: 2) Giả sử phương trình đường thẳng d: y = m.
1 3 8
PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x - x 2 - 3 x + = m Û x 3 - 3 x 2 - 9 x + 8 - 3m = 0 (1)
3 3
Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho DOAB cân tại O thì (1) phải có x1, – x1, x2 (x1, –x1 là hoành độ của A,
B) Þ x1, x2 là các nghiệm của phương trình: ( x 2 - x1 )( x - x2 ) = 0 Û x 3 - x2 x 2 - x1 x + x1 x2 = 0 (2)
2 2 2
ì x2 = 3 ì x1 = ±3
ï 2 19
Đồng nhất (1) và (2) ta được: í x1 = 9 Û ï x2 = 3 . Kết luận: d: y = -
ï .
ï x 2 x = 8 - 3m í 3
î 1 2 ïm = - 19
ï
î 3
Câu II: 1) Nhận xét: cosx = 0 không phải là nghiệm của PT. Nhân 2 vế của PT với cosx, ta được:
æp ö
PT Û 2sin 3 x (4 cos3 x - 3cos x ) = cos x Û 2sin 3 x .cos3 x = cos x Û sin 6 x = sin ç - x÷
è2 ø
p k 2p p k 2p
Û x= + Ú x= +
14 7 10 5
3
2) PT Û x 2 - 3 x + 1 = - x 4 + x 2 + 1 (1)
3
Chú ý: x 4 + x 2 + 1 = ( x 2 + x + 1)( x 2 - x + 1) , x 2 - 3 x + 1 = 2( x 2 - x + 1) - ( x 2 + x + 1)
3
Do đó: (1) Û 2( x 2 - x + 1) - ( x 2 + x + 1) = - ( x 2 + x + 1)( x 2 - x + 1) .
3
2
+ x +1 = ( + x +1)
2 2 x2 - x + 1
Chia 2 vế cho x x và đặt t = ,t>0
x2 + x +1
é -3
êt =
- 2 x 2 + (1 - x 2 ) + (1 - x 2 ) 3 2 2
³ 2 x (1 - x 2 )2 Û 3 2 x 2 (1 - x 2 )2 £
3 3
2 x 3 3 2 x 3 3 2
Û x (1 - x 2 ) £ Û ³ x Û ³ x (1)
3 3 1 - x2 2 y 2 + z2 2
y 3 3 2 z 3 3 2
· Tương tự ta có: ³ y (2), ³ z (3)
z2 + x 2 2 x 2 + y2 2
x y z 3 3 2 3 3
· Từ (1), (2), (3) Þ + + ³ ( x + y 2 + z2 ) =
y 2 + z2 z2 + x 2 x2 + y2 2 2
3
Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = .
3
II. PHẦN TỰ CHỌN
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: 1) (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3. Vì các tiếp tuyến AB, AC vuông góc nên ABIC là hình vuông có cạnh
bằng 3 Þ IA = 3 2 . Giả sử A(x; –x – m) Î d.
IA2 = 18 Û ( x - 1)2 + (- m - x + 2)2 = 18 Û 2 x 2 - 2(3 - m) x + m 2 - 4m - 13 = 0 (1)
ém = 7
Để chỉ có duy nhất một điểm A thì (1) có 1 nghiệm duy nhất Û D¢ = -m 2 + 2m + 35 = 0 Û ê .
ë m = -5
2) PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax + By + Cz = 0 (với A2 + B 2 + C 2 ¹ 0 ).
· Vì (P) ^ (Q) nên: 1. A + 1.B + 1.C = 0 Û C = - A - B (1)
A + 2B - C
· d ( M ,( P )) = 2 Û = 2 Û ( A + 2 B - C )2 = 2( A2 + B2 + C 2 ) (2)
2 2 2
A +B +C
2 (3) éB = 0
Từ (1) và (2) ta được: 8 AB + 5B = 0 Û ê
ë8 A + 5B = 0 (4)
· Từ (3): B = 0 Þ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): x - z = 0
· Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 Þ C = 3 Þ (P): 5 x - 8 y + 3z = 0 .
8n(n - 1)
Câu VII.a: Ta có: An - 8Cn + C1 = 49 Û n(n - 1)(n - 2) -
3 2
n + n = 49 Û n3 - 7n 2 + 7n - 49 = 0 Û n = 7 .
2
7
( x 2 + 2)n = ( x 2 + 2)7 = å C7 x 2(7-k ) 2k . Số hạng chứa
k
x 8 Û 2(7 - k ) = 8 Û k = 3.
k =0
Þ Hệ số của x là:8
C7 .23
3
= 280 .
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1) Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2).
Giả sử I(a; a – 1) Î d. (C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên II1 = R + R1, II2 = R + R2 Þ II1 – R1 = II2 – R2
Û (a - 3)2 + (a + 3)2 - 2 2 = (a - 5)2 + (a + 5)2 - 4 2 Û a = 0 Þ I(0; –1), R = 2
Þ Phương trình (C): x 2 + ( y + 1)2 = 2 .
r r r r
2) Gọi ud , uD , nP lần lượt là các VTCP của d, D và VTPT của (P). Giả sử ud = (a; b; c ) (a2 + b2 + c 2 ¹ 0) .
r r
· Vì d Ì (P) nên ud ^ nP Þ a - b + c = 0 Û b = a + c (1)
(· )
· d , D = 450 Û
a + 2 b + 2c
=
2
Û 2(a + 2 b + c )2 = 9(a 2 + b2 + c 2 ) (2)
2
3 a +b +c 2 2 2
éc = 0
Từ (1) và (2) ta được: 14c2 + 30 ac = 0 Û ê
ë15a + 7c = 0
· Với c = 0: chọn a = b = 1 Þ PTTS của d: { x = 3 + t; y = -1 - t; z = 1
· Với 15a + 7c = 0: chọn a = 7, c = –15, b = –8 Þ PTTS của d: { x = 3 + 7t; y = -1 - 8t; z = 1 - 15t .
Trần Sĩ Tùng
- Câu VII.b: Điều kiện: x > y > 0.
ìlg2 x = lg2 y + (lg x + lg y )2
ï ìlg y (lg x + lg y ) = 0
Hệ PT Û í Û í 2
2
ïlg ( x - y) + lg x.lg y = 0
î îlg ( x - y ) + lg x .lg y = 0
ìlg y = 0 ìlg x + lg y = 0
Û í 2 (1) hoặc í 2 (2)
îlg ( x - y ) = 0 îlg ( x - y ) + lg x .lg y = 0
ìy = 1 ìx = 2
· (1) Û í Ûí .
î x -y =1 îy = 1
ì 1 ì 1
ïy = ì 1 ìx = 2
ïy = x
ï ï x ïy = ï
· (2) Û í Ûí
æ 2 ö
Û í x Û íy = 1
ïlg2 æ x - 1 ö + lg x.lg 1 = 0
ç ÷ ïlg2 ç x - 1 ÷ = lg2 x ï x2 = 2 ï
ï è xø x ï è x ø î î 2
î î
æ 1 ö
Kết luận: Hệ có nghiệm: (2; 1) và ç 2; ÷.
è 2ø
=====================
Trần Sĩ Tùng
nguon tai.lieu . vn
