Xem mẫu
- LOPLUYENTHI.COM ð THI TH ð I H C L N 5 NĂM 2010
TVE MÔN THI: TOÁN
Th i gian làm bài 180 phút (không k th i gian giao ñ )
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH
2x − 3
Câu I (2 ñi m) Cho hàm s y = có ñ th (C).
x−2
1. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s (C)
2. Tìm trên (C) nh ng ñi m M sao cho ti p tuy n t i M c a (C) c t hai ti m c n c a (C) t i A, B
sao cho AB ng n nh t.
Câu II (2 ñi m)
1. Gi i phương trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0
2. Gi i phương trình: x2 – 4x - 3 = x + 5
Câu III (1 ñi m) Tính tích phân:
√
√1
Câu IV (1 ñi m)
Kh i chóp tam giác SABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân ñ nh C và SA vuông góc v i m t
ph ng (ABC), SC = a. Hãy tìm góc gi a hai m t ph ng (SCB) và (ABC) ñ th tích kh i chóp l n nh t.
Câu V (1 ñi m)
1 1 1 1 1 1
Cho x, y, z là các s dương th a mãn + + = 4 . CMR: + + ≤1
x y z 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z
PH N T CH N: Thí sinh ch n m t trong hai ph n A ho c B
A. Theo chương trình Chu n
Câu VI.a.( 2 ñi m )
1. Tam giác cân ABC có ñáy BC n m trên ñư ng th ng : 2x – 5y + 1 = 0, c nh bên AB n m trên
ñư ng th ng : 12x – y – 23 = 0 . Vi t phương trình ñư ng th ng AC bi t r ng nó ñi qua ñi m (3;1)
2. Trong không gian v i h t a ñ ðêcác vuông góc Oxyz cho mp(P):
x – 2y + z – 2 = 0 và hai ñư ng th ng :
x = 1 + 2t
x +1 3 − y z + 2
(d) = = và (d’) y = 2 + t
1 −1 2 z = 1 + t
Vi t phương trình tham s c a ñư ng th ng ( ∆ ) n m trong m t ph ng (P) và c t c hai ñư ng
th ng (d) và (d’). CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính kho ng cách gi a chúng.
Câu VIIa . ( 1 ñi m )
Tính t ng : S = C5 C5 + C1 C7 + C5 C3 + C5C7 + C5 C1 + C5C7
0
7 5
4 2
7
3 2 4
7
5 0
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b.( 2 ñi m )
1. Vi t phương trình ti p tuy n chung c a hai ñư ng tròn :
(C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25
2. Trong không gian v i h t a ñ ðêcác vuông góc Oxyz cho hai ñư ng th ng:
x = t x = t
(d) y = 1 + 2t và (d’) y = −1 − 2t
z = 4 + 5t z = −3t
a. CMR hai ñư ng th ng (d) và (d’) c t nhau.
b. Vi t phương trình chính t c c a c p ñư ng th ng phân giác c a góc t o b i (d) và (d’).
Câu VIIb.( 1 ñi m )
Gi i phương trình : 2log5 ( x +3) = x
----------------------------- H t -----------------------------
LUY N THI ð I H C LOPLUYENTHI.COM
- ®¸p ¸n ®Ò thi thö ®¹i häc lÇn 2 n¨m häc 2009 - 2010
M«n thi: to¸n
Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò
C©u Néi dung §iÓm
2x − 3
Hµm sè y = cã :
x−2
- TX§: D = R \ {2}
- Sù biÕn thiªn: 0,25
+ ) Giíi h¹n : Lim y = 2 . Do ®ã §THS nhËn ®−êng th¼ng y = 2 lµm TCN
x →∞
, lim y = −∞; lim y = +∞ . Do ®ã §THS nhËn ®−êng th¼ng x = 2 lµm TC§
x →2− x → 2+
+) B¶ng biÕn thiªn:
1 0,25
Ta cã : y’ = − < 0 ∀x ∈ D
( x − 2)
2
2
x −∞ +∞
y’ - -
0,25
2 +∞
1 y
1.25® 2
−∞
I Hµm sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng ( −∞;2 ) vµ hµm sè kh«ng cã cùc trÞ
2.0® - §å thÞ
8
3 0,5
+ Giao ®iÓm víi trôc tung : (0 ; ) 6
2
+ Giao ®iÓm víi trôc hoµnh : 4
A(3/2; 0)
2
- §THS nhËn ®iÓm (2; 2)
lµm t©m ®èi xøng
-5 5 10
-2
-4
1 1
L y ñi m M m; 2 + ∈ ( C ) . Ta có : y ' ( m ) = − .
m−2 ( m − 2)
2
Ti p tuy n (d) t i M có phương trình :
2 1 1
2 (
0,75ñ y=− x − m) + 2 + 0,25ñ
( m − 2) m−2
2
Giao ñi m c a (d) v i ti m c n ñ ng là : A 2; 2 +
m−2 0,25ñ
LUY N THI ð I H C LOPLUYENTHI.COM
- Giao ñi m c a (d) v i ti m c n ngang là : B(2m – 2 ; 2)
1
Ta có : AB2 = 4 ( m − 2 ) + ≥ 8 . D u “=” x y ra khi và ch khi
2
( m − 2)
2
1 m = 3
( m − 2) = ⇔
2
( m − 2) m = 1
2
0,25ñ
V y ñi m M c n tìm có t a ñ là : (3; 3); (1; 1)
Phương trình ñã cho tương ñương v i :
2(tanx + 1 – sinx) + 3(cotx + 1 – cosx) = 0
sin x cosx 0,25
⇔ 2 + 1 − sin x + + 1 − cosx = 0
cosx sin x
2 ( sin x + cosx − cosx.sin x ) 3 ( sin x + cosx − cosx.sin x )
⇔ + =0
cosx sin x 0,25
2 3
⇔ + ( cosx + sin x − cosx.sin x ) = 0
cosx sin x 0,5
2 3 −3
1 • Xét + = 0 ⇔ tan x = = tan α ⇔ x = α + k π
1,0® cosx sin x 2
• Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 . ð t t = sinx + cosx
v i t ∈ − 2; 2 . Khi ñó phương trình tr thành:
t −1
2
t− = 0 ⇔ t 2 − 2t − 1 = 0 ⇔ t = 1 − 2
2
π π 1− 2
Suy ra : 2cos x − = 1 − 2 ⇔ cos x − = = cosβ
4 4 2
II π
⇔ x = ± β + k 2π
2,0® 4
x - 4x + 3 = x + 5 (1)
2
0,25
TX§ : D = [ −5; +∞)
(1) ⇔ ( x − 2 ) −7 = x+5
2
®Æt y - 2 = x + 5 , y ≥ 2 ⇒ ( y − 2 ) = x + 5
2
Ta cã hÖ :
( x − 2 )2 = y + 5 ( x − 2 )2 = y + 5
0,25
( y − 2 ) = x + 5 ⇔ ( x − y )( x + y + 3) = 0
2
2
1,0® y ≥ 2
y ≥ 2
( x − 2 )2 = y + 5
x − y = 0
5 + 29
⇔ ( x − 2 )2 = y + 5 ⇔ x =
2 0,5
x = −1
x + y + 3 = 0
y ≥ 2
t2 −1 t2 +1
x2 +1 ⇒ x2 +1 = ( t − x ) ⇒ x = ⇒ dx =
2
III ð tt=x+ dt 0,5
1® 2t 2t 2
1.0®
ð i c n : Khi x = -1 thì t = 2 − 1 và khi x = 1 thì t = 2 + 1 .
LUY N THI ð I H C LOPLUYENTHI.COM
- Do ñó :
2 +1 2 +1
1 t2 +1 1 1 1 2
I=
2 ∫ t 2 ( t + 1) dt = 2 ∫ 2− +
t
dt
t t +1
0,5
2 −1 2 −1
1 1 2 +1
= − − ln t + 2 ln t + 1 | =1
2 t
2 −1
G i ϕ là góc gi a hai mp (SCB) và (ABC) .
0,25
Ta có : ϕ = SCA ; BC = AC = a.cos ϕ ; SA = a.sin ϕ
V y
VSABC = .SABC .SA = .AC.BC.SA = a 3 sin ϕ.cos 2 ϕ = a 3 sin ϕ (1 − sin 2 ϕ )
1 1 1 1
3 6 6 6
3
Xét hàm s : f(x) = x – x trên kho ng ( 0; 1)
1
Ta có : f’(x) = 1 – 3x2 . f ' ( x ) = 0 ⇔ x = ±
3
0,5
T ñó ta th y trên kho ng (0;1) hàm s
IV f(x) liên t c và có m t ñi m c c tr là ñi m S
2® 1.0® c c ñ i, nên t i ñó hàm s ñ t GTLN
1 2
hay Max f ( x ) = f =
x∈( 0;1)
3 3 3
a3
V y MaxVSABC = , ñ t ñư c khi
9 3
1 1
sin ϕ = hay ϕ = arc sin A
B
3 3
π ϕ
(v i 0 < ϕ< )
2 C
1 1 1 1 1 1 1 1
+Ta có : ≤ .( + ); ≤ ( + );
2x + y + z 4 2 x y + z x + 2 y + z 4 2 y x + z
1 1 1 1
≤ ( + )
x + y + 2z 4 2z y + x
1 1 1 1
+ L i có : ≤ ( + );
1.0® x+y 4 x y
V 1®
1 1 1 1
≤ ( + );
y+z 4 y z
1 1 1 1
≤ ( + );
x+z 4 x z
c ng các BðT này ta ñư c ñpcm.
ðư ng th ng AC ñi qua ñi m (3 ; 1) nên có phương trình :
a(x – 3) + b( y – 1) = 0 (a2 + b2 ≠ 0). Góc c a nó t o v i BC b ng góc c a 0,25
AB t o v i BC nên:
2a − 5b 2.12 + 5.1
= 0,25
VIa 2 +5 . a +b
2 2 2 2
2 + 52 . 12 2 + 12
2
2® 1
2a − 5b
⇔ 5 ( 2a − 5b ) = 29 ( a 2 + b 2 )
1® 29
⇔ =
2
a +b
2 2
5
0,25
LUY N THI ð I H C LOPLUYENTHI.COM
- a = −12b
⇔ 9a + 100ab – 96b = 0 ⇒
2 2
a = 8 b
9
Nghi m a = -12b cho ta ñư ng th ng song song v i AB ( vì ñi m ( 3 ; 1) 0,25
không thu c AB) nên không ph i là c nh tam giác .
V y còn l i : 9a = 8b hay a = 8 và b = 9
Phương trình c n tìm là : 8x + 9y – 33 = 0
M t ph ng (P) c t (d) t i ñi m A(10 ; 14 ; 20) và c t (d’) t i ñi m B(9 ; 6 ; 5) 0,25
ðư ng th ng c n tìm ñi qua A, B nên có phương trình:
x = 9 − t
y = 6 − 8t 0,25
z = 5 − 15t
v
+ ðư ng th ng (d) ñi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP u (1;1; 2 )
uu
r
+ ðư ng th ng (d’) ñi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP u ' ( 2;1;1)
2
1® Ta có :
uuuuu r
• MM ' = ( 2; −1;3)
( )
uuuuu r uu
r r 0,25
• MM ' u, u ' = ( 2; −1;3) 1 1 ; 1 1 ; 1 1 = −8 ≠ 0
1
2 2
2 2 1
Do ñó (d) và (d’) chéo nhau .(ðpcm)
Khi ñó :
uuuuu r uu
r r
MM ' u, u '
d ( ( d ) , ( d ') ) =
8
r uur =
u, u ' 11 0,25
Ch n khai tri n : .0,25
( x + 1) = C + C x + C x + L + C x
5 0 1 2 2 5 5
5 5 5 5
( x + 1) = C0 + C17 x + C7 x 2 + L + C7 x 7 = C0 + C17 x + C7 x 2 + L + C5 x 5 + L
7 2 2
7 7 7 7
H s c a x5 trong khai tri n c a (x + 1)5.(x + 1)7 là: 0,25
VIIa 1ñ
C5 C5 + C1 C7 + C5 C3 + C3C7 + C5 C1 + C5C0
0
7 5
4 2
7 5
2 4
7 5 7
0,25
M t khác : (x + 1) .(x + 1) = (x + 1)12 và h s c a x5 trong khai tri n c a
5 7
(x + 1)12 là : C12
5
T ñó ta có : C5 C5 + C1 C7 + C5 C3 + C3C7 + C5 C1 + C5C0 = C12 = 792
0
7 5
4 2
7 5
2 4
7 5 7
5
0,25
LUY N THI ð I H C LOPLUYENTHI.COM
- ðư ng tròn (C1) có tâm I1(5 ; -12) bán kính R1 = 15 , ðư ng tròn (C2) có
tâm I2(1 ; 2) bán kính R1 = 5 . N u ñư ng th ng Ax + By + C = 0 0,25
(A2 + B2 ≠ 0) là ti p tuy n chung c a (C1) và (C2) thì kho ng cách t I1 và I2
ñ n ñư ng th ng ñó l n lư t b ng R1 và R2 , t c là :
5A − 12B + C
= 15 (1)
A 2 + B2 0,25
A + 2B + C = 5 2
A 2 + B2 ( )
T (1) và (2) ta suy ra : | 5A – 12B + C | = 3| A + 2B + C |
1 Hay 5A – 12B + C = ± 3(A + 2B + C)
1ñ TH1 : 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) ⇒ C = A – 9B thay vào (2) : 0,25
|2A – 7B | = 5 A + B ⇒ 21A + 28AB − 24B = 0
2 2 2 2
−14 ± 10 7
⇒A= B
21
N u ta ch n B= 21 thì s ñư c A = - 14 ±10 7 , C = −203 ± 10 7
V y có hai ti p tuy n :
(- 14 ±10 7 )x + 21y −203 ± 10 7 = 0
−4A + 3B
TH2 : 5A – 12B + C = -3(A + 2B + C) ⇒ C = , thay vào (2) ta
2
ñư c : 96A2 + 28AB + 51B2 = 0 . Phương trình này vô nghi m . 0,25
v
VIb a) + ðư ng th ng (d) ñi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP u (1; 2;5 )
2ñ uu
r
+ ðư ng th ng (d’) ñi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP u ' (1; −2; −3)
1 3
Nh n th y (d) và (d’) có m t ñi m chung là I − ;0; hay (d) và (d’) c t
2 2
nhau . (ðPCM)
r
r u uu 15
r 15 15
b) Ta l y v = uu .u ' =
r 7 ; −2 7 ; −3 7 .
u'
r r r 15 15 15
Ta ñ t : a = u + v = 1 +
;2 − 2 ;5 − 3
7 7 7
2 r r r
1® 15 15 15
b = u − v = 1 −
;2 + 2 ;5 + 3
7 7 7
Khi ñó, hai ñư ng phân giác c n tìm là hai ñư ng th ng ñi qua I và l n lư t
r r
nh n hai véctơ a, b làm VTCP và chúng có phương trình là :
1 15 1 15
x = − + 1 +
t
x = − + 1 −
t
2 7 2 7
15 15
y = 2 − 2
t
và y = 2 + 2
t
7 7
z = 3 + 5 − 3 15 t
z = 3 + 5 + 3 15 t
2
7
2
7
LUY N THI ð I H C LOPLUYENTHI.COM
- ðK : x > 0
PT ñã cho tương ñương v i : log5( x + 3) = log2x (1) 0,25
ð t t = log2x, suy ra x = 2t
t t
( 2 ) ⇔ log 5 ( 2 + 3) = t ⇔ 2 + 3 = 5 ⇔ + 3 = 1 (2)
t t t2
1
0,25
3 5
t t
2 1
Xét hàm s : f(t) = + 3
VIIb 1® 3 5
t t
2 1 0,25
f'(t) = ln 0, 4 + 3 ln 0, 2 < 0, ∀t ∈ R
3 5
Suy ra f(t) ngh ch bi n trên R
L i có : f(1) = 1 nên PT (2) có nghi m duy nh t t = 1 hay log2x = 1 hay x =2
0,25
V y nghi m c a PT ñã cho là : x = 2
LUY N THI ð I H C LOPLUYENTHI.COM
nguon tai.lieu . vn
