Xem mẫu
- Së GD & §T NghÖ An §Ò thi thö ®¹i häc lÇn I N¨m häc 2009 – 2010 Tr−êng THPT Phan §¨ng L−u M«n thi: To¸n; Khèi B, D Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (8 ®iÓm): C©u I (2 ®iÓm). Cho hµm sè y = (1 - x)3 . 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè ®· cho. 2. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè y = (1 - x )3, biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®ã ®i qua ®iÓm A(0; 5). C©u II (2 ®iÓm) x 2 − 4 y 2 − 8 x + 4 y + 15 = 0 1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh 2 , víi Èn x, y ∈ ℝ . x + 2 y 2 − 2 xy = 5 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh cos 3 x + 6sin x = 3 , víi Èn x ∈ ℝ . C©u III (2 ®iÓm) 1. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®−êng cong: y = x – x2 vµ y = x3 – x. 2. Cho a, b, c lµ ba sè d−¬ng tháa m·n abc = 1. Chøng minh r»ng 1 1 1 1 1 1 2 + 2+ 2 ≥ + + . a b c a b c C©u IV (2 ®iÓm) 1. Cho h×nh trô cã b¸n kÝnh ®¸y vµ chiÒu cao b»ng nhau. Mét h×nh vu«ng ABCD cã hai c¹nh AB vµ CD lÇn l−ît lµ c¸c d©y cung cña hai ®−êng trßn ®¸y, cßn c¹nh BC vµ AD kh«ng ph¶i lµ ®−êng sinh cña h×nh trô. BiÕt diÖn tÝch cña h×nh vu«ng ABCD lµ 100 m2. TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh trô vµ cosin gãc gi÷a mÆt ph¼ng chøa h×nh vu«ng vµ mÆt ph¼ng ®¸y. 2. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz, cho 3 ®iÓm A(0; 0; 2), B(0; 4; 0), C(-6; 0; 0). ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm A, song song víi ®−êng th¼ng BC vµ kho¶ng c¸ch gi÷a ®−êng th¼ng 3 22 BC vµ mÆt ph¼ng (P) b»ng . 11 PhÇn riªng (2 ®iÓm): ThÝ sinh chØ ®−îc lµm mét trong hai phÇn ( A hoÆc B) A. Theo ch−¬ng tr×nh ChuÈn C©u Va (2 ®iÓm) 1. Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho h×nh b×nh hµnh ABCD, cã giao ®iÓm cña AC vµ BD lµ I(2; 1). C¸c ®iÓm M(-1; 1), N(1; 0), P(3; -1), Q(-1; 2) lÇn l−ît thuéc c¸c ®−êng th¼ng AB, BC, CD, DA. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. 2. T×m sè phøc z tháa m·n ®ång thêi hai ®iÒu kiÖn: z − 1 z − 3i = 1; =1 z −i z+i B. Theo ch−¬ng tr×nh N©ng cao C©u Vb (2 ®iÓm) 1. Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng tr×nh lµ x − 3 y − 2 = 0 vµ hai ®iÓm ph©n biÖt A(1; 3 ), B kh«ng thuéc ®−êng th¼ng d. LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB; BiÕt r»ng kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm B ®Õn giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng AB vµ ®−êng th¼ng d b»ng hai lÇn kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm B ®Õn ®−êng th¼ng d. ( ) 2. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh log x log 2 ( 4 x − 6 ) ≤ 1 , víi Èn x lµ sè thùc. ------------------------------------ HÕt -------------------------------------- ThÝ sinh kh«ng ®−îc sö dông tµi liÖu. C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Hä vµ tªn thÝ sinh ………………………………….; Sè b¸o danh ……………..
- Së GD & §T NghÖ An ®¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm §Ò thi thö ®¹i häc lÇn I Tr−êng THPT Phan §¨ng L−u N¨m häc 2009 – 2010 M«n: To¸n; Khèi B,D Néi dung §iÓm C©u I 2.0 1. 1.0 Hµm sè cã tËp x¸c ®Þnh lµ ℝ ; y’ = -3(1 – x)2; y ' ≤ 0, ∀x ∈ ℝ; y ' = 0 ⇔ x = 1 . Do ®ã hµm sè nghÞch biÕn trªn ℝ . 0. 25 Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ; Lim y = − ∞ ; Lim y = + ∞ . 0.25 x →+∞ x →−∞ x −∞ 1 +∞ y’ - 0 - +∞ 0.25 y −∞ 0.25 2. 1.0 3 Gäi x0 lµ hoµnh ®é tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ sè y = (1 - x ) , tiÕp tuyÕn ®ã ®i qua ®iÓm A(0; 5). 0.25 NÕu x0 > 0 th× ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®ã lµ y = -3(1 – x0)2(x – x0) + (1 – x0)3. V× tiÕp tuyÕn ®ã ®i qua ®iÓm A(0; 5) nªn ta cã 5 = -3(1 – x0)2( – x0) + (1 – x0)3 (1). (1) ⇔ 2x03 – 3x02 – 4 = 0 ⇔ (x0 – 2)(2x02 + x0 + 2) = 0 ⇔ x0 = 2 (tháa m·n x0 > 0). VËy ph−¬ng 0.25 tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ hµm sè y = (1 - x )3 t¹i ®iÓm cã hoµng ®é d−¬ng lµ y = -3x + 5 V× ®å thÞ hµm sè y = (1 - x )3 ®èi xøng nhau qua trôc tung vµ ®iÓm A n»m trªn trôc tung nªn tiÕp tuyÕn cã 0.25 x0 < 0 ®èi xøng víi tiÕp tuyÕn cã x0 > 0 qua trôc tung. T¹i x0 = 0 hµm sè y = (1 - x )3 kh«ng cã ®¹o hµm nªn kh«ng cã tiÕp tuyÕn t¹i ®ã. VËy ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn tháa m·n bµi to¸n lµ y = -3x + 5 vµ y = 3x + 5. 0.25 (NÕu thÝ sinh kh«ng nªu ®−îc tr−êng hîp x0 = 0, th× vÉn cho ®iÓm)
- C©u II. 2.0 x − 4 y − 8 x + 4 y + 15 = 0 2 2 (1) 1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh 1.0 x + 2 y − 2 xy = 5 2 2 (2) x − 2 y − 3 = 0 2 (I ) x 2 − 4 y 2 − 8 x + 4 y + 15 = 0 ( x − 2 y − 3)( x + 2 y − 5 ) = 0 x + 2 y 2 − 2 xy = 5 2 ⇔ 2 ⇔ x + 2 y − 5 = 0 x + 2 y − 2 xy = 5 x + 2 y − 2 xy = 5 2 2 2 ( II ) 0.5 x + 2 y − 2 xy = 5 2 (HD: §Ó ®−a ph−¬ng tr×nh (1) vÒ PT tÝch nh− vËy TS cã thÓ bi n ñ i thành hi u hai bình phương ho c thªm bít råi ®Æt nh©n tö chung hoÆc xem (1) lµ ph−¬ng tr×nh bËc hai theo x, gi¶i x theo y råi ph©n tÝch thµnh nh©n tö ho c nhân (2) v i 3 r i c ng v i (1) r i ñưa v nhân t ) x = 2 y + 3 x = 2 y + 3 x = 1, y = −1 (I ) ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ 0.25 x + 2 y − 2 xy = 5 2 y + 6 y + 4 = 0 x = −1, y = −2 2 x = 5 − 2 y x = 5 − 2 y x = 3, y = 1 ( II ) ⇔ 2 ⇔ ⇔ . x + 2 y − 2 xy = 5 10 y − 30 y + 20 = 0 x = 1, y = 2 2 2 0.25 x = 1 x = −1 x = 3 x = 1 VËy nghiÖm cña hÖ lµ , , , y = −1 y = −2 y =1 y = 2 2. G¶i ph−¬ng tr×nh cos 3 x + 6sin x = 3 (1). 1.0 (1) ⇔ 4 cos 3 x − 3cos x + 3(2 sin x − 1) = 0 ⇔ cos x(4 cos 2 x − 3) + 3(2s inx − 1) = 0 0.25 ⇔ cos x(1 − 4 sin 2 x) + 3(2 s inx − 1) = 0 ⇔ (1 − 2sin x )( cos x + 2sin x cos x − 3) = 0 1 − 2sin x = 0 (a) 0.25 ⇔ cos x + 2sin x cos x − 3 = 0 (b) π x = + k 2π 1 6 ( a ) ⇔ sin x = ⇔ (k ∈ ℤ) 0.25 2 x = 5π + k 2π 6 (b) ⇔ cos x + sin 2 x − 3 = 0 V× cosx ≤ 1 vµ sinx ≤ 1 nªn PT (b) v« nghiÖm. π x = 6 + k 2π 0.25 VËy nghiÖm cña PT ®· cho lµ (k ∈ ℤ) . x = 5π + k 2π 6 C©u III. 2.0 1. 1.0 x = 0 Hoµnh ®é giao ®iÓm cña hai ®å thÞ lµ nghiÖm cña PT x - x = x - x ⇔ x + x – 2x = 0 ⇔ x = 1 2 3 3 2 0.25 x = −2 1 S= ∫x + x 2 − 2 x dx 3 0.25 −2 0 1 0 1 = ∫ x3 + x 2 − 2 x dx + ∫ x3 + x 2 − 2 x dx = ∫ ( x + x − 2 x ) dx + ∫(x + x 2 − 2 x ) dx 3 2 3 0.25 −2 0 −2 0 x 4 x3 0 x 4 x3 1 8 5 37 37 = + − x2 ∫ + + − x2 ∫ = + = . VËy S = (®vdt). 0.25 4 3 −2 4 3 0 3 12 12 12 2. Cho a, b, c lµ ba sè d−¬ng tháa m·n abc = 1. Chøng minh r»ng 1.0
- 1 1 1 1 1 1 2 + 2+ 2 ≥ + + (1) a b c a b c 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 Ta cã 2 + 2 ≥ = 2c; 2 + 2 ≥ = 2 a; 2 + 2 ≥ = 2b. Suy ra 2 + 2 + 2 ≥ a + b + c (2) 0.5 a b ab b c bc c a ac a b c 1 1 1 T−¬ng tù cho a, b, c ta cã a + b + c ≥ ab + bc + ca = + + (3). Tõ (2) vµ (3) Ta cã (1). a b c 0.5 C©u IV. 2.0 1. 1.0 Gäi E lµ h×nh chiÕu cña B trªn mÆt ®¸y d−íi suy ra DE lµ ®−êng kÝnh A (V× DC ⊥ CB nªn DC ⊥ CE) 0.25 Gäi b¸n kÝnh ®¸y cña h×nh trô lµ r suy ra BE = r vµ DE = 2r. V× ABCD lµ h×nh vu«ng cã diÖn tÝch b»ng 100m2 nªn DC = CB = 10 m. B Tõ tam gi¸c DCE vu«ng t¹i C vµ tam gi¸c BCE vu«ng t¹i E suy ra DE2 – DC2 = BC2 – BE2, suy ra 4r2 – 100 = 100 – r2. VËy r = 2 10 0.25 Sxq = 2 π rh = 2 π r2 = 80 π (m2) 0.25 F D V× EC ⊥ DC, BC ⊥ DC nªn gãc((EDC); (ABCD)) = gãc(EC; BD) = CE 60 15 gãc BCE. Ta cã cos BCE = = = BC 10 5 0.25 E C 2. 1.0 x = 3t Gäi d lµ ®−êng th¼ng ®i qua A vµ song song víi BC, suy ra PT ®−êng th¼ng d lµ y = 2t vµ mp(P) chøa 0.25 z = 2 ®−êng th¼ng d. Do ®ã mp(P) ®i qua ®iÓm A vµ A’(3; 2; 2). Gäi ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) lµ Ax + By + Cz + D = 0 (§K A2 + B2+C2 > 0). V× (P) ®i qua A, A’ nªn 2C + D = 0 0.25 3 A + 2 B + 2C + D = 0 4B + D 3 22 d ( BC , ( P ) ) = d ( B; ( P )) = = . 0.25 A2 + B 2 + C 2 11 2C + D = 0 Tõ ®ã ta cã hÖ 3 A + 2 B = 0 NÕu B=0 th× A=0 vµ C=0 nªn kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn. Do ®ã 75 B + 13C + 44 BD = 0 2 2 B kh¸c 0 v× vËy chän B = 3 suya A = -2, C = 3, D = -6 hoÆc A = -2, C = 225/13, D = -450/13. VËy 0.25 ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) lµ 2x – 3y – 3z + 6 = 0 hoÆc 2x – 3y – (225/13)z + 450/13 = 0. 3 22 (TS có th gi i b ng cách g i PT mp (P) ñi qua A là …, r i gi i h nP .BC = 0 và d(B, (P)) = ) 11 C©u Va (Theo ch−¬ng tr×nh ChuÈn) 2.0 1. 1.0 Gäi M’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua I, suy ra M’(5; 1) vµ M’ thuéc ®−êng th¼ng CD. Do ®ã ph−¬ng tr×nh cña ®−êng th¼ng CD lµ x – y – 4 = 0. Gäi Q’ lµ ®iÓm ®èi xøng víi Q qua I, suy ra Q’(5; 0) vµ Q’ thuéc 0.5 ®−êng th¼ng BC. Do ®ã ph−¬ng tr×nh cña ®−êng th¼ng BC lµ y = 0. Suy ra ®iÓm C(4; 0). §iÓm A ®èi xøng víi C qua I nªn A(0; 2). Do ®ã ph−¬ng tr×nh cña ®−êng th¼ng AB lµ x – y + 2 = 0. Do 0.25 ®ã täa ®é ®iÓm B(-2; 0). §−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC cã ph−¬ng tr×nh lµ x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 (§K A2 + B2 - C > 0) 0.25
- 4 B + C + 4 = 0 A = −1 V× ®−êng trßn ®i qua A, B, C nªn ta cã hÖ 8 A + C + 16 = 0 ⇔ B = 1 . VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn −4 A + C + 4 = 0 C = −8 cÇn t×m lµ x2 + y2 – 2x + 2y – 8 = 0. 2. 1.0 Gäi z = a + bi (a, b lµ sè thùc). Khi ®ã ( a − 1) + b 2 2 z −1 a − 1 + bi a − 1 + bi 0.5 =1⇔ =1⇔ =1⇔ =1⇔ a = b z −i a + (b − 1)i a + (b − 1)i a 2 + ( b − 1) 2 z − 3i a + (b − 3)i a + (b − 3)i a 2 + (b − 3)2 =1⇔ =1⇔ =1⇔ = 1 ⇔ b = 1. z +i a + (b + 1)i a + (b + 1)i a 2 + (b + 1) 2 0.5 VËy sè phøc cµn t×m lµ z = 1 + i. C©u Vb (Theo ch−¬ng tr×nh N©ng cao) 2.0 1. 1.0 Gäi M lµ giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng AB vµ ®−êng th¼ng d, H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B trªn d. 0.25 V× BM = 2 BH nªn gãc gi÷a ®−êng th¼ng AB vµ ®−êng th¼ng d b»ng 300. §−êng th¼ng AB ®i qua ®iÓm A(1; 3 ) nªn PT ®−êng th¼ng AB: m (x - 1) + n (y - 3 ) = 0 (m2 + n2 > 0) m−n 3 0.5 V× gãc gi÷a ®t AB vµ ®t d b»ng 300 nªn = cos 300 2 m2 + n2 m−n 3 3 Gi¶i = ®−îc m = 0, n = 1 hoÆc m = 3 , n = -1. 2 m2 + n2 2 0.25 VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB lµ y = 3 hoÆc 3 x - y = 0. 2. 1.0 x > 0, x ≠ 1 §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña BPT lµ x ⇔ x > log 4 7 > 1 0.25 4 − 6 > 1 ( ) Khi ®ã log x log 2 ( 4 x − 6 ) ≤ 1 ⇔ log 2 ( 4 x − 6 ) ≤ x ⇔ 4 x − 6 ≤ 2 x (*) 0.25 §Æt t = 2 , Bpt (*) trë thµnh t – t – 6 ≤ 0. Gi¶i ®−îc -2 ≤ t ≤ 3, hay -2 ≤ 2 ≤ 3 suy ra x ≤ log23. x 2 x 0.25 KÕt hîp ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh ta cã nghiÖm cña Bpt lµ log47 < x ≤ log23. 0.25 ------------HÕt------------