Xem mẫu

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC<br /> TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2<br /> <br /> KÌ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12<br /> ĐỀ THI MÔN TOÁN<br /> NĂM HỌC 2017 - 2018<br /> Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.<br /> Đề thi gồm: 01Trang.<br /> <br /> Câu 1 (2,0 điểm).<br /> 1. Cho hàm số y <br /> <br /> x 1<br /> có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những<br /> x 1<br /> <br /> điểm thuộc (C) mà khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng  : x  y  3  0 bằng<br /> <br /> 2.<br /> <br /> 2. Cho hàm số y  x4  2mx2  2m  m4 (C). Tìm m để đồ thị (C) của hàm số có ba điểm cực<br /> trị tạo thành một tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính nhỏ nhất.<br /> 3<br /> <br /> 2 y  y  2 x 1  x  3 1  x<br /> Câu 2 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình sau: <br /> 2<br /> <br />  2 y 1  y  4  x  4<br /> <br /> Câu 3 (1,0 điểm). Cho đa giác lồi (H) có 22 cạnh. G i<br /> <br /> là t p h p các tam giác có ba đ nh là ba<br /> <br /> đ nh của (H). Ch n ng u nhi n 2 tam giác trong . T nh ác suất để ch n đư c 1 tam giác có 1 cạnh<br /> là cạnh của đa giác (H) và 1 tam giác kh ng có cạnh nào là cạnh của đa giác (H).<br /> Câu 4 (1,0 điểm).<br /> Hai ô tô ở hai vị trí A và B cách nhau 5 km, xuất phát cùng một<br /> <br /> B1<br /> <br /> A<br /> <br /> B<br /> <br /> lúc, e đi từ A đi theo hướng AA1 vuông góc với AB với v n tốc<br /> d<br /> <br /> 6 km/h, e đi từ B đi đến A với v n tốc 7 km/h. ác định thời<br /> điểm tính từ khi xuất phát đến khi xe đi từ B đến A mà khoảng<br /> <br /> A1<br /> <br /> cách d giữa hai xe là lớn nhất?<br /> Câu 5 (1,0 điểm). Tìm giá trị của m để bất phương trình sau đúng với m i x   4;6 :<br />  x2  2 x  24  2 x  x 2  m<br /> <br /> Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng O y, cho đường tròn  I  có hai đường kính AB và MN với<br /> <br /> <br /> <br /> A(1;3), B(3; 1) . Tiếp tuyến của I tại B cắt các đường thẳng AM và AN lần lư t tại E và F .<br /> <br /> Tìm t a độ trực tâm H của MEF sao cho H nằm tr n đường thẳng d : x  y  6  0 và có hoành độ<br /> dương.<br /> Câu 7 (2,0 điểm). Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vu ng tại A và B ;<br /> AB  BC  4a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vu ng góc với mặt phẳng  ABCD  .<br /> G i H là trung điểm của AB , biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SHD  bằng a 10 . T nh thể<br /> t ch khối chóp S.HBCD và cosin của góc giữa hai đường thẳng SC và HD .<br /> Câu 8 (1,0 điểm). ét các số thực a, b, c thỏa m n a  b  c  3 và a 2  b2  c2  27<br /> Tìm giá trị lớn nhất của biểu th c: P  a 4  b4  c 4  ab  a 2  b 2   ac  a 2  c 2   bc b 2  c 2  .<br /> ..................HẾT...................<br /> Thí sinh không được sử dụng tài liệu, Giám thị không giải thích gì thêm<br /> H và t n th sinh:............................................................ Số báo danh:............................................<br /> <br /> SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC<br /> TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2<br /> <br /> Câu<br /> 1.1<br /> (1,0đ)<br /> <br /> Cho hàm số y <br /> <br /> x 1<br /> x 1<br /> <br /> ĐÁP ÁN ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI<br /> KHỐI 12<br /> ĐỀ THI MÔN TOÁN<br /> NĂM HỌC 2017 - 2018.<br /> Nội dung<br /> đ<br /> <br /> h (C). Vi<br /> <br /> ph<br /> <br /> (C)<br /> <br /> i nh ng điểm huộ (C) mà ho ng<br /> ng 2 .<br /> : x  y 3  0<br /> <br /> Điểm<br /> ng<br /> h<br /> <br /> nh i p u n<br /> điểm đ đ n đ<br /> <br /> đ<br /> <br /> h<br /> <br /> ng h ng<br /> <br /> a 1<br /> )  (C ); a  1<br /> a 1<br /> a 1<br /> a<br /> 3<br /> a 1<br /> Từ giả thiết ta có d ( M , )  2 <br />  2<br /> 2<br />  a 2  3a  4  2 a  1<br /> T Đ: D <br /> <br /> \ 1 . G i điểm M (a;<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  a 2  5a  6  0<br />  2<br /> a  a  2  0<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> a  2<br /> <br /> a  3<br /> Với a  2  M (2;3) . Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại<br /> Với a  3  M (3;2) . Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại<br /> 1<br /> 7<br /> y  x<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 1.2<br /> (1,0đ)<br /> <br /> là y  2 x  7 0,25<br /> là<br /> 0,25<br /> <br /> 1<br /> 7<br /> V y các phương trình tiếp tuyến của (C) cần tìm là: y  2 x  7; y   x <br /> 2<br /> 2<br /> Cho hàm số y  x4  2mx2  2m  m4 (C). Tìm m để đ th (C) c a hàm số có ba<br /> điểm cực tr t o thành một tam giác nội ti p đ<br /> nhất.<br /> <br /> ng tròn có bán kính nhỏ<br /> <br /> T p ác định D <br /> <br /> x  0<br /> Ta có: y '  4 x3  4mx , y '  0   2<br /> x  m<br /> Hàm số có 3 điểm cực trị khi và ch khi m  0<br /> T a độ các điểm cực trị là:<br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br />  <br /> <br /> A 0; m4  2m , B  m ; m4  m2  2m ,C<br /> <br /> m ; m 4  m 2  2m<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> <br /> <br /> Tam giác ABC cân tại A . G i H là trung điểm của BC ta có<br /> H 0; m4  m2  2m<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Suy ra SABC  m2 m<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> G i R là bán k nh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có:<br /> A<br /> A<br /> BH AH<br /> BC.AH<br /> AB 2<br /> BC  2 R sin A  4 R sin cos  4 R<br /> .<br />  2R<br /> R<br /> 2<br /> 2<br /> AB AB<br /> 2 AH<br /> AB2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> m4  m 1  2 1  1  2 1<br /> 1  33 1<br />  m    m <br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> m 2<br /> 2m 2m  2 4<br /> 2m<br /> 1<br /> 1<br /> m<br /> Dấu bằng ảy ra khi m2 <br /> 3<br /> 2m<br /> 2<br /> Suy ra R <br /> <br /> V y m<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> Câu 2<br /> (1,0đ) Gi i hệ ph<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2 y  y  2 x 1  x  3 1  x 1<br /> nh s u: <br /> 2<br /> <br />  2 y  1  y  4  x  4  2<br /> <br /> ng<br /> <br /> Điều kiện Đ: 4  x  1, y <br /> Phương trình<br /> <br /> 1  2y<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 3<br /> <br /> y2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 1  x  x 1  x  1  x  2y  y  2<br /> <br /> ét hàm số f  t   2t 3  t là hàm đồng biến tr n<br /> Thay vào (2) ta có<br /> <br /> <br /> <br /> 1 x<br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 1  x  3<br /> <br /> do đó từ (3) ta có y  1  x<br /> <br /> 3  2x  1  x  x  4  4<br /> <br /> ét hàm số g  x   3  2 x  1  x  x  4 là hàm li n tục và nghịch biến tr n<br /> <br />  4;1 và có g  3  4<br /> Do v y hệ phương trình có nghiệm duy nhất là  x; y    3;2 <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Câu 3 Cho đ gi<br /> i (H) 22 nh. G i<br /> à ph p<br /> m gi<br /> đ nh à<br /> (1,0đ)<br /> đ nh<br /> (H). Ch n ng u nhi n 2 m gi<br /> ong , nh<br /> suấ để h n<br /> đ<br /> 1 m gi<br /> 1 nh à nh<br /> đ gi (H) à 1 m gi<br /> h ng<br /> nh nào à nh<br /> đ gi (H).<br /> Đa giác lồi (H) có 22 cạnh n n có 22 đ nh.<br /> Số tam giác có 3 đ nh là ba đ nh của đa giác (H) là C322  1540.<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Số phần t của kh ng gian m u  là n()  C  1185030<br /> Số tam giác có một cạnh là cạnh của đa (H) là 22.18 396<br /> Số tam giác có hai cạnh là cạnh của đa (H) là 22<br /> Số tam giác kh ng có cạnh nào là cạnh của đa (H) là: 1540 - 396 - 22 = 1122<br /> 2<br /> 1540<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> G i A là biến cố hai tam giác đư c ch n có một tam giác có 1 cạnh là cạnh của<br /> (H) và 1 tam giác kh ng có cạnh nào là cạnh của (H)<br /> 1<br /> Số phần t của A là n(A)  C1396 .C1122<br /> 1<br /> n(A) C1396 .C1122<br /> 748<br /> <br /> <br /> ác suất của biến cố A là p(A) <br /> n() 1185030 1995<br /> <br /> Câu 4<br /> (1,0đ)<br /> <br /> Hai ô tô ở hai vị trí A và B cách nhau 5km, xuất<br /> phát cùng một lúc, e đi từ A đi theo hướng AA1<br /> vuông góc với AB với v n tốc 6 km/h, e đi từ B<br /> đi đến A với v n tốc 7 km/h. ác định thời điểm<br /> <br /> 0,25<br /> B1<br /> <br /> A<br /> d<br /> <br /> A1<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> B<br /> <br /> mà khoảng cách d giữa hai xe là lớn nhất?<br /> <br /> Tại thời điểm t ( 0  t <br /> <br /> 5<br /> ) sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai xe là d .<br /> 7<br /> <br /> Ta có: d 2  AB12  AA12   5<br />   BB1   AA12    5  7t   6t <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Xét hàm f  t    5  7t   6t 2 với 0  t <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> 5<br /> 7<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất khi t  0<br /> V y khoảng cách giữa hai e lớn nhất tại thời điểm uất phát t  0  h <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Câu 5 Tìm giá trị của m để bất phương trình sau đúng với m i x   4;6 :<br /> (1,0 đ)<br />  x2  2 x  24  2 x  x 2  m<br /> <br /> Điều kiện ác định D   4;6<br /> Bất phương trình   x 2  2 x   x 2  2 x  24  m<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Đặt t   x 2  2 x  24 do x   4;6 nên t   0;5<br /> Bất phương trình có dạng: t 2  t  24  m<br /> ét hàm số f  t   t 2  t  24 trên  0;5 ta có Max f  t   f  5  6<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> V y để bất phương trình sau đúng với m i x   4;6 khi và ch khi m  6<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0;5<br /> <br /> Câu 6.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vu ng tại A và B;<br /> (2,0 đ) AB  BC  4a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vu ng góc với mặt<br /> phẳng (ABCD). G i H là trung điểm của AB, biết khoảng cách từ C đến mặt<br /> phẳng (SHD) bằng a 10 . T nh thể t ch khối chóp S.HBCD và cosin của góc giữa<br /> hai đường thẳng SC và HD.<br /> <br /> S<br /> <br /> A<br /> <br /> D<br /> K<br /> M<br /> <br /> H<br /> <br /> E<br /> <br /> B<br /> <br /> C<br /> <br /> N<br /> <br /> Tam giác SAB cân n n  SH  AB<br /> SAB)  ( ABCD)<br /> <br /> <br /> ( SAB)  ( ABCD)  AB   SH  ( ABCD)<br /> <br /> SH  AB<br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> CK  HD, K  HD mà SH  ( ABCD)  SH  CK<br /> Do đó CK  (SHD)  d (C,(SHD))  CK  a 10<br /> T nh đư c CH  a 20  HK  a 10  CK . Do đó tam giác CH vu ng cân tại<br /> K<br /> Nên KHC  45  DHC  45  tan DHC  1<br /> Tam giác ABH vu ng tại B nên tan BHC  2<br /> tan BHC  tan CHD<br /> tan BHD  tan( BHC  CHD) <br />  3<br /> 1  tan BHC.tan CHD<br /> AD<br /> à BHD  AHD  180 . Do đó tan AHD  3 <br />  3  AD  6a<br /> AH<br /> ( AD  BC ). AB<br /> Ta có S ABCD <br />  20a 2<br /> 2<br /> SHBCD  S ABCD  S AHD  20a 2  6a 2  14a 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1<br /> 28a 3<br /> V y VS .HBCD  SH .S HBCD <br /> 3<br /> 3<br /> Tam giác SHC vu ng tại H n n SC  a 32<br /> G i M  AC  HD; E  BC  HD<br /> hi đó AEBD là hình bình hành n n EB  AD  4a  EC  10a<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> AD AM<br /> 6a 3<br /> 3<br /> 3<br /> 3<br /> 3a 2<br /> <br /> <br />   AM  MC  AC  .a 32 <br /> EC MC 10a 5<br /> 5<br /> 8<br /> 8<br /> 2<br /> Trong mặt phẳng (ABCD), k CN//HD với N thuộc đường AB<br /> Do đó góc giữa SC và HD là góc giữa CN và SC<br /> AD//EC nên<br /> <br /> 3<br /> 5<br /> <br /> 10<br /> 4<br /> a  BN  a.<br /> 3<br /> 3<br /> 208<br /> 4 10<br /> a; CN  BN 2  BC 2 <br /> a.<br /> Ta có: SN  SH 2  HN 2 <br /> 3<br /> 3<br /> <br /> Ta có: AH  HN  HN <br /> <br /> p dụng định l C sin trong tam giác SCN , ta có<br /> SC 2  CN 2  SN 2<br /> 5<br /> cos SCN <br /> <br /> .<br /> 2SC.CN<br /> 4<br /> <br /> cos(SC , HD)  cos(CN , SC )  cos SCN<br /> V y cos( SC , HD)  cos SCN <br /> <br /> 5<br /> .<br /> 4<br /> <br /> Câu 7 Trong mặt phẳng O y, cho đường tròn I có hai đường kính AB và MN với<br /> <br /> (1,0 đ)<br /> A(1;3), B(3; 1) . Tiếp tuyến của  I  tại B cắt các đường thẳng AM và AN lần<br /> lư t tại E và F . Tìm t a độ trực tâm H của MEF sao cho H nằm tr n đường<br /> thẳng d : x  y  6  0 và có hoành độ dương.<br /> <br /> 0,25<br /> <br />