Xem mẫu

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> ĐỀ THI MÔN: TOÁN<br /> (Dành cho học sinh THPT Chuyên)<br /> Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề<br /> <br /> Câu 1 (3,0 điểm).<br /> <br /> <br /> <br /> 1. Giải hệ phương trình <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> <br />   x  3 y  3 x  y <br /> x 2 y<br /> 1<br /> 1<br /> <br />  2  y 2  x2 <br /> x 2 y<br /> <br />  x, y  <br /> <br /> 2. Tìm tất cả các giá trị của a, b sao cho phương trình x 3  ax 2  bx  3a  0 có các<br /> nghiệm đều là các số nguyên dương.<br /> Câu 2 (2,0 điểm). Giả sử a, b, c, d là các số nguyên sao cho a  b  c  d là số nguyên lẻ và<br /> chia hết a 2  b 2  c 2  d 2 . Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n đều có<br /> a  b  c  d chia hết a n  b n  c n  d n .<br /> Câu 3 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng cho tam giác ABC không cân ngoại tiếp đường tròn<br /> tâm I. Lấy E và F lần lượt trên các đường thẳng AC và AB sao cho CB  CE  BF ,<br /> đồng thời chúng nằm về cùng một phía với A đối với đường thẳng BC. Các đường<br /> thẳng BE và CF cắt nhau tại G.<br /> 1. Chứng minh rằng bốn điểm C, E, I và G cùng nằm trên một đường tròn.<br /> 2. Trên đường thẳng qua G và song song với AC lấy điểm H sao cho HG  AF đồng<br /> thời H khác phía với C đối với đường thẳng BG.<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Chứng minh rằng EHG  ·CAB.<br /> Câu 4 (1,0 điểm). Ký hiệu å để chỉ tập hợp các số thực khác 0. Tìm tất cả các hàm số f<br /> xác định trên å , nhận giá trị thực và thỏa mãn<br /> <br /> 1<br /> y<br /> 1<br /> x<br /> <br /> xf  x    yf ( y )   yf  y    xf ( x)  x, y  0<br /> y<br /> x<br /> x<br /> y<br /> <br /> <br /> <br /> Câu 5 (1,0 điểm). Một số nguyên dương được gọi là dễ thương nếu trong biểu diễn thập<br /> phân của nó không có chứa chữ số 0 và tổng bình phương các chữ số của nó là một số<br /> chính phương.<br /> 1. Tìm số dễ thương lớn nhất có hai chữ số.<br /> 2. Hỏi có hay không số dễ thương có 2013 chữ số?<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> ĐÁP ÁN<br /> I. LƯU Ý CHUNG:<br /> - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học<br /> sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.<br /> - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.<br /> - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với<br /> phần đó.<br /> II. ĐÁP ÁN:<br /> Câu<br /> 1(3đ<br /> )<br /> <br /> Điể<br /> m<br /> <br /> Nội dung trình bày<br /> 1.1 (1,5 điểm)<br /> Điều kiện x, y  0<br /> Đặt<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> x  a  0, y  b  0; viết hệ đã cho về dạng<br /> 1 1<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br />  a  2b   a  3b  3a  b <br /> <br /> <br />  1  1  2  b4  a4 <br />  a 2b<br /> <br /> <br /> (1)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> (2)<br /> <br /> 2<br />  a 4  10a 2b 2  5b 4  a5  10a 3b 2  5ab 4  2<br /> a<br /> 1<br /> (2)-(1) thu được  5a 4  10a 2b 2  b 4  5a 4b  10a 2b3  b5  1<br /> b<br /> <br /> (1)+(2) thu được<br /> <br /> (3)<br /> (4)<br /> <br /> Từ (3) và (4) thu được ( a  b )5  3 và ( a  b )5  1 .<br /> 5<br /> <br /> Từ đó, tìm được a <br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 5<br /> 3 1<br /> 3 1<br /> và b <br /> .<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> ( 5 3  1)2<br /> ( 5 3  1)2<br /> ,y<br /> Và do đó, tìm được x <br /> 4<br /> 4<br /> <br /> 1.2 (1,5 điểm)<br /> Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm nguyên dương      . Khi đó, theo<br /> định lý Vietta,       a,       b và   3a và do đó<br /> <br />    <br /> (1)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 3<br /> <br />  3  3  3      3   3  3 2  9 (2).<br /> <br /> Nếu   3 thì   3 và<br /> <br /> <br /> 3<br /> <br />  3       <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> , mâu thuẫn với (1). Vậy<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1   3<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> 2<br /> Với   3 : khi đó   3,  3  3  3  3   3.3  9    1   1  4. Từ đó<br /> 0,25<br />     3  a  9, b  27.<br /> Với   2 :   2,  2  3 2   3  3.2 2  9   2  3 2   3   21. Giải phương<br /> trình này với chú ý     2 ta được  ;    12; 2  ,  5;3 . Với<br />   12,   2  a  16, b  52 . Với   5,   3  a  10, b  31.<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Với   1:   1,  2  3 2   3   3.12  9   2  3  2   3  12, vô lí<br /> Vậy tất cả các cặp số  a; b    9;27  ,  16;52  ,  10;31 .<br /> 2(2đ<br /> )<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> + Chứng minh được nhận xét: “Với a,b,x,y,z,t là các số nguyên sao cho a  b là<br /> ước của x  y và là ước của z  t thì a  b | xz  yt ”<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> + Mặt khác, do ( a  c ) 2  (b  d ) 2  ( a  b  c  d )(a  b  c  d )  ( a  b  c  d ) nên suy<br /> ra<br /> a  b  c  d | a 2  b 2  c 2  d 2  2( ac  bd ) .<br /> Từ đó, do giả thiết nên thu được a  b  c  d | ac  bd<br /> (1)<br /> + Ta sẽ chứng minh kết luận của bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học.<br /> Với n  1, 2 : thì kết luận hiển nhiên đúng.<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Giả sử khẳng định đúng tới n, tức là a  b  c  d | a n  b n  c n  d n với n  , n  2<br /> Ta cần chứng minh a  b  c  d | a n 1  b n 1  c n 1  d n 1<br /> (2)<br /> Thật vậy, do a  b  c  d | (a  c )  (b  d ) và nhận xét ở trên suy ra a  b  c  d là<br /> ước của<br /> ( a  c )( a n  c n )  (b  d )(b n  d n )  a n 1  b n 1  c n 1  d n 1  ac( a n 1  c n 1 )  bd (b n 1  d n 1 )<br /> <br /> Nhưng, do (1), giả thiết quy nạp và nhận xét ở trên suy ra<br /> a  b  c  d | ac( a n 1  c n 1 )  (bd (b n 1  d n 1 )<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Vậy suy ra a  b  c  d là ước của<br /> ( a  c)( a n  c n )  bd (b n  d n )  ac( a n 1  c n 1 )  bd (b n 1  d n 1 )  a n 1  b n 1  c n 1  d n 1<br /> <br /> 3(3đ<br /> )<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> (2) được chứng minh.<br /> Từ đó, theo nguyên lý quy nạp, suy ra a  b  c  d | a n  b n  c n  d n với mọi số<br /> nguyên dương n.<br /> 3.1 (2,0 điểm)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> H<br /> F<br /> <br /> G<br /> <br /> A<br /> E<br /> N<br /> <br /> M<br /> I<br /> <br /> C<br /> <br /> B<br /> <br /> Không mất tính tổng quát, xét trường hợp AB  BC  CA, các trường hợp khác xét<br /> tương tự. Khi đó, E nằm trên đoạn CA, F nằm trên tia đối của tia AB, … (hình vẽ)<br /> <br /> Từ giả thiết, suy ra F đối xứng với C qua phân giác trong của góc ABC . Do đó<br /> CFA  CFB  900 <br /> <br /> ABC<br /> CAB  BCA<br /> ABC<br />  900 <br /> và AIC  1800 <br /> . Suy<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> ra tứ giác AFCI nội tiếp.<br /> BCA<br /> CAB<br />  IAC  IFC  ICF<br /> và<br /> 2<br /> 2<br /> BCA<br /> CAB<br /> CAB<br /> )  CAB <br />  IBE <br /> Do EBA  BEC  CAB  (900 <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Từ đó AFI  ACI <br /> <br /> Hơn nữa, do tính đối xứng nên IEB  IBE  900  MGC  MCG  ICG suy<br /> ra tứ giác CIEG nội tiếp.<br /> 3.2 (1,0 điểm)<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> BCA<br />  AFI<br /> 0,25<br /> 2<br /> Hơn nữa, do IAB  IEB nên GEI  FAI suy ra GEI đồng dạng FAI<br /> EG EG AF<br /> HG AF AI<br /> 0,25<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Suy ra<br /> BI<br /> EI<br /> AI<br /> GE GE BI<br /> BCA<br />  AIB suy ra HGE đồng dạng AIB<br /> Nhưng HGE  AEB  900 <br /> 0,25<br /> 2<br /> CAB<br /> Từ đó EHG  BAI <br /> 0,25<br /> 2<br /> Chú ý. Nếu không có sự giả sử AB  BC  CA để có được thứ tự các điểm như trên hình<br /> <br /> Do tứ giác CIEG nội tiếp, nên EGI  ECI <br /> <br /> 4(1đ<br /> <br /> vẽ, thì yêu cầu phải sử dụng góc định hướng trong chứng minh ở cả hai phần (với cách<br /> giải như trên); trong trường hợp thí sinh không sử dụng góc định hướng, cũng không có<br /> sự giả sử về thứ tự của các cạnh, đề nghị giám khảo trừ đi 0,5 điểm cho cả hai phần.<br /> Đặt f ( x)  x  g ( x) , phương trình hàm đã cho được viết lại về dạng<br /> 0,25<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> 1<br /> 1<br /> xg ( x  )  yg ( y )  yg ( y  )  xg ( x ) x, y  0<br /> y<br /> x<br /> <br /> )<br /> <br /> (1)<br /> <br /> 1<br /> x<br /> <br /> Cho y  1 thu được xg ( x  1)  g (1)  g (1  )  xg ( x) x  0<br /> <br /> (2)<br /> <br /> 1<br /> , ta được<br /> x<br /> 1 1<br /> 1 1<br /> 1<br /> 1<br /> g (  1)  g (1)  g (1  x)  g ( )  g (1  )  xg ( x  1)  g ( )  xg (1) x  0 (3)<br /> x x<br /> x x<br /> x<br /> x<br /> 1<br /> Từ (2) và (3) suy ra xg ( x )  g ( )  ( x  1) g (1) x  0<br /> (4)<br /> x<br /> Trong (1), cho y  1 , bằng lập luận tương tự, cũng được<br /> <br /> Trong (2), thay x bởi<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1<br /> xg ( x)  g ( )   g (1)( x  1) n  0<br /> (5)<br /> x<br /> Từ (4) và (5) suy ra 2 xg ( x)  ( g (1)  g (1)) x  ( g (1)  g (1) x  0 hay<br /> b<br /> b<br /> x  0 , ở đây a, b là hai hằng số. Suy ra f ( x)  a   x x  0<br /> x<br /> x<br /> b<br /> Thử lại ta thấy f ( x)  a   x x  0 thỏa mãn phương trình đã cho.<br /> x<br /> g ( x)  a <br /> <br /> 5(1đ<br /> )<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 5.1 (0,5 điểm)<br /> Giả sử số dễ thương có hai chữ số lớn nhất là ab,1  a, b  9 . Theo giả thiết ta có<br /> a 2  b 2  c 2 là số chính phương. Nếu a, b đều không chia hết cho 3 thì<br /> <br /> a 2  b 2  2  mod 3 , vô lý vì a 2  b 2 là số chính phương suy ra ab  0  mod 3 .<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> +) Nếu a  9  81  b 2  c 2  c 2  b2  81 không có nghiệm nguyên dương với<br /> 1b  9<br /> <br /> +) Nếu a  8  b 3  b  3;6;9 , thử trực tiếp ta thấy b  6 thỏa mãn. Vậy số dễ<br /> thương lớn nhất có 2 chữ số là 86.<br /> 5.2 (0,5 điểm)<br /> 2<br /> Xét số A  222211...1 . Khi đó 22  22  22  22  1 ...12  2025  452 suy ra<br /> <br />  <br /> <br /> 2009 so1<br /> <br /> 2009 so12<br /> <br /> A  222211...1 là số dễ thương.<br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2009 so1<br /> <br /> ------------------Hết------------------<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />