Xem mẫu

  1. TRƯỜNG THCS VINH QUANG ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG Tổ: Tự nhiên Môn: TOÁN - Lớp 9 Đề số 1 Thời gian 90 phút (Không kể giao đề) Câu 1: (2 điểm) Các biểu thức sau có thể âm được không? Có thể bằng 0 được không? A = 4x4 – 4x3 + x2 B = 2x2 – 2x + 1 Câu 2: (2 điểm) Cho hai số có tổng bằng và hiệu bằng tìm tích hai số ấy? Câu 3: (2 điểm) Cho A = . a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A> -6 Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là hình chiếu của H trên AB, N là hình chiếu của H trên AC. a) Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC b) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMHN có diện tích lớn nhất? Biết BC = a (Không đổi). Câu 5: (1 điểm) Một người đo chiều cao AB bằng cách ngắm từ C (Hình vẽ). Tính độ dài AB biết CH = 1,5m, = 450, = 150. TRƯỜNG THCS VINH QUANG ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG Tổ: Tự nhiên Môn: TOÁN - Lớp 9 Đề số 2 Thời gian 90 phút (Không kể giao đề) Câu 1: (1 điểm) Tìm chỗ sai trong bài toán Ngụy biện sau: a2 – 2ab +b2 = b2 – 2ab + a2  (a – b)2 = (b – a)2  a–b=b–a  2a = 2b  a=b Câu 2: (2 điểm) Cho hai số không âm a và b. Gọi trung bình nhân của hai số là . Chứng minh rằng trung bình cộng của hai số không nhỏ hơn trung bình nhân? (BĐT CôSi) x + x 2 - 4x x - x 2 - 4x Câu 3: (3 điểm) Cho biểu thức A = 2 - 2 . x - x - 4x x + x - 4x a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng = = . Câu 5: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AB = a, AD = b (a>b), = α < 900. Các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành một tứ giác. a) Tứ giác đó là hình gì? b) Tính diện tích tứ giác đó theo a, b, α.
  2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 1 Câu Đáp án Điể m 1 A = 4x4 – 4x3 + x2 = x2(4x2- 4x + 1) = x2(2x-1)2 1 1a A = x2(2x-1)2≥ 0 ∀ x∈ R A = 0 ⇔ 2x - 1 = 0 ⇔ x = 1b B = 2x2 – 2x + 1 = x2 + x2 - 2x + 1 = x2 + (x - 1)2 > 0 ∀ x∈ R 1 2 Gọi hai số là a và b ta có a + b = và a - b = 0,5 Vậy a = = ; b = = ⇒ a.b = . = = = 1 1 0,5 3 A = . Điều kiện 0 < x ≠ 1 3a Rút gọn: 1 Đặt = a ta có A= . = . = = = = -2a Vậy A = -2 3b A = -6 ⇔ x = 1 1 A > -6 ⇔ < 3 ⇔ x < 9 Vậy để A > - 6 thì 4 0,5 H 4a Trong tam giác vuông AHB ta có: 0,5 AM.AB = AH2 (1) Trong tam giác vuông AHC ta có: AN.AC = AH2 (2) 0,5 Từ (1)&(2) ⇒ AM.AB = AN.AC 4b SAMHN = AM.AN = . = = 0,5 Gọi I là trung điểm của BC ta có: AH ≤ AI = = nên SAMHN ≤ = Do đó Max SAMHN = ⇔ H ≡ I ⇔ ∆ABC vuông cân tại A 0,5 0,5 5
  3. Ta có: KC = KB.Cotg 150 = 1,5.3,732 = 5,6 (m). 1 KA = KC = 5,6 (m). AB = KA + KB = 5,6 + 1,5 = 7,1 (m) TRƯỜNG THCS VINH QUANG ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG Tổ: Tự nhiên Môn: TOÁN - Lớp 9 Đề số 2 Thời gian 90 phút (Không kể giao đề) Câu 1: (1 điểm) Tìm chỗ sai trong bài toán Ngụy biện sau: a2 – 2ab +b2 = b2 – 2ab + a2  (a – b)2 = (b – a)2  a–b=b–a  2a = 2b  a=b
  4. Câu 2: (2 điểm) Cho hai số không âm a và b. Gọi trung bình nhân của hai số là . Chứng minh rằng trung bình cộng của hai số không nhỏ hơn trung bình nhân? (BĐT CôSi) x + x 2 - 4x x - x 2 - 4x Câu 3: (3 điểm) Cho biểu thức A = - . x - x 2 - 4x x + x 2 - 4x a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng = = . Câu 5: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AB = a, AD = b (a>b), = α < 900. Các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành một tứ giác. a) Tứ giác đó là hình gì? b) Tính diện tích tứ giác đó theo a, b, α. Câu Đáp án Điể m 1 Sai lầm trong bài là:  (a – b)2 = (b – a)2 0.5  = Vì thế không thể suy ra a-b = b-a 0.5 2 Ta có BĐT: = (1) Với a ≥ 0; b ≥ 0 0.5 (1) ⇔ 2≥ ab ⇔ ≥ ab ⇔ a2+2ab+b2≥ 4ab ⇔ a2- 2ab + b2≥ 0⇔(a+b)2≥ 0 (Đúng với mọi a, b) Đẳng thức xảy ra khi a = b. 0.5 0.5 0.5
  5. 3 x + x 2 - 4x x - x 2 - 4x A= - x - x 2 - 4x x + x 2 - 4x 3a Điều kiện để A có nghĩa: 0.25 * x -4x≥ 0⇔x(x-4)≥ 0⇔ ⇔ ⇔ x≥ 4 (1) 2 * Xét x2 = 2 ⇔ x2 = x2 - 4x ⇔ 4x = 0 ⇔ x = 0 Do đó với x≠0 thì x≠ ± (2) 0.25 (1)(2) ⇒ với x≥ 4 thì A có nghĩa. 0.25 0.25 3b Rút gọn: 1 A= = = 3c Giải Bpt: < 1 ⇔ x2-4x-5
  6.  EFGH có 4 góc vuông vậy  EFGH là hình chữ nhật. 5b  DMBN là h.b.h, HD = HM, FB = FN nên HF//MB 1 HF = MB = AB - AM = a-b Tương tự EG//AD. Tính được: = = α, EI = = Kẻ EK ⊥ HF ta có EK = EI.sinα = Do đó S EFGH = 2S∆EFH = HF.EK = (a-b)2.sinα