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  1. SÔÛ GIAÙO DUÏC ÑAØO TAÏO HAÄU GIANG ÑEÀ THI HS GIỎI ÑBSCL MOÂN TOAÙN (ĐỀ NGHỊ) BAØI 1 (soá hoïc ) Cho a, b  Z . Chöùng minh raèng : Neáu 24a2 + 1 = b2 thì moät vaø chæ moät trong caùc soá a vaø b chia heát cho 5. BAØI 2 (Ñaïi soá) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá : f(x) = 20x144 – 1.x120 + 2006, xIR. BAØI 3 (Hình hoïc phaúng) Cho tam giaùc ABC. Treân caïnh AB laáy ñieåm M di ñoäng, treân caïnh AC laáy ñieåm N di ñoäng sao cho 1 1 1   (khoâng ñoåi). AM AN l Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng MN ñi qua moät ñieåm coá ñònh. BAØI 4 (Hình hoïc khoâng gian) Trong maët phaúng (P) cho tam giaùc ABC nhoïn. Treân ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) taïi A laáy ñieåm S di ñoäng, goïi K vaø H laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa B leân AC vaø SC, ñöôøng thaúng l ñi qua K vaø H caét ñöôøng thaúng d taïi N. Ñònh ñieåm S treân d sao cho ñoaïn SN ngaén nhaát.
  2. BAØI 5 (daõy soá) f (1). f (3)... f (2n  1) Cho daõy un nN vaø un  * , n  1; 2;3;... f (2). f (4)... f (2n) Trong ñoù : f(n) = (n2 + n + 1)2 + 1 2 Chöùng minh raèng : lim n un  n  2 ÑAÙP AÙN Baøi 1 : a  5  Neáu  , b  5 khi ñoù töø ñaúng thöùc : 24a2 + 1 = b2  1 = b2 - 24a2 chia heát cho 5 => 1 chia heát cho 5, voâ lyù.  a  5 (a,5)  1  Neáu     b  5 (b,5)  1 Khi ñoù : a4  1 (mod 5) (Ñònh lyù Fermat)
  3. b4  1 (mod 5) => a4 - b4  0 (mod 5)  a 2  b 2  0 (mod 5)  2 2  a  b  0 (mod 5) - Xeùt a2 + b2  0 (mod 5) Töø ñaúng thöùc 24a 2 + 1 = b2 Û 25a 2 + 1 = (a 2 + b2 )5 Þ (25a 2 + 1) 5 voâ lyù. - Xeùt a2 - b2  0 (mod 5) Töø ñaúng thöùc 24a 2 + 1 = b2 Û 23a 2 + 1 = (b2 - a 2 )5 Þ (23a 2 + 1) 5  23a 2 + 1  0(mod5) , voâ lyù. (Vì do (a,5)=1 => a  ± 1 ; ± 2 (mod 5))  a2  1 ; 4 (mod 5) => 23a2 + 1  3 hoaëc 4 (mod 5) Vaäy Neáu a,b  Z thoûa ñaúng thöùc 24a2 + 1 = b2 thì moät vaø chæ moät trong caùc soá a vaø b seõ chia heát cho 5. BAØI 2 f(x) = 20x144 – 1.x120 + 2006 1 1 1 = 2.x144 + 2.x144 +...+2.x144 + 5 6 + 5 6 - x120 + 2006 - 4 6 2 .12 2 .12 2 .12 10 soá haïng 12 soá haïng
  4. 1  1  f ( x)  1212 210.x10.144 .  x120   2006  4 6   2 .12  10 12 2 .12 (Cosi)  1  1 f ( x)  x120  x120   2006  4 6   2006  4 6  2 .12  2 .12 1 1  f ( x)  2006  4 6  2.x144  5 6 2 .12 2 .12 1 1  x144   x   24 (do x  R ) 246 24 BAØI 3 : Keû ñöôøng phaân giaùc trong cuûa BAÂC laø At. Do A,B,C coá ñònh => At coá ñònh. Goïi I laø giao ñieåm cuûa At vôùi MN. Ta coù : SAMN = SAMI + SANI 1 1 A 1 A  AM . AN .sin A  AM . AIsin  AN . AI sin 2 2 2 2 2  A 1 1 1 1  2  cos  .    (khoâng ñoåi)  2  AI AM AN l A  AI  2l cos (khoâng ñoåi) 2 => I coá ñònh vaø I  MN Vaäy ñöôøng thaúng MN qua 1 ñieåûm coá ñònh I. BAØI 4 :
  5. Trong SCN coù AC laø ñöôøng cao thöù nhaát. SC  BK  Maët khaùc ta coù :   SC  ( BHK ) SC  BH   SC  KH  NH laø ñöôøng cao thöù hai => K laø tröïc taâm cuûa SCN. Ta coù AN AK D ANK  D ACS Þ = Û AS . AN = AK . AC AC AS (khoâng ñoåi) Vì SN  SA  AN  2 SA. AN  2 AK. AC (khoâng ñoåi)  SN min  2 AK . AC  SA  AN  AK . AC Vaäy ñieåm S naèm treân d (coá ñònh) caùch A (coá ñònh) baèng : SA  AK .AC BAØI 5 : Ta coù : f (n)  (n 2  n  1) 2  1 2  (n 2  1)  n   1     n 2  1  2n  n 2  1  n 2  1 2   n 2  1 n 2  2n  2  f (2i - 1) (4i - 4i + 2)(4i + 1) (2i - 1) + 1 2 2 2 Khi ñoù : = = f (2i) (4i 2 + 4i + 2)(4i 2 + 1) (2i + 1)2 + 1
  6. f (1). f (3)... f (2n  1)  un  f (2). f (4)... f (2n) 1  1 32  1 52  1 ...  2n  1  1 2  2   2  un  3  1 5  1 7  1 ...  2n  1  1  2n  1  1 2 2 2 2 2   1  un  2 2n  2n  1 1 n2 2  lim n un  lim n  lim  n  n  2n  2n  1 2 n  2n  2n  1 2 2 -----------------------
  7. SÔÛ GIAÙO DUÏC  ÑAØO TAÏO KIEÂN GIANG Tröôøng THPT Chuyeân Huyønh Maãn Ñaït KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI KHU VÖÏC ÑBSCL NAÊM HOÏC 2005_2006 ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ MOÂN : TOAÙN ( Thôøi gian: 180 phuùt ) BAØI 1: (4 ñieåm) Cho 6 soá thöïc a, b, c, m, n, p thoûa maõn : a2 + b2 + c2 = 1 vaø m + n + p = 5. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa : A = a.m + b.n + c.p + m.n + n.p + p.m BAØI 2: (4 ñieåm) Giaûi phöông trình nghieäm nguyeân sau : 2 x + 3y = z2 BAØI 3: (4 ñieåm)  x0  m  m  0   Cho daõy soá  xn  :  xn 12  20062 . Tìm lim xn  2 xn  , n  N, n  1 n   xn 1 BAØI 4: (4 ñieåm) Cho ñöôøng thaúng (d) vaø hai ñieåm A, B khoâng thuoäc (d); AB khoâng vuoâng goùc vôùi (d). Baèng thöôùc vaø compa haõy döïng M naèm treân (d) sao cho: MA MA a. ñaït giaù trò nhoû nhaát b. ñaït giaù trò lôùn nhaát MB MB BAØI 5: (4 ñieåm) Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ caïnh a. Goïi I laø taâm cuûa maët BCC’B’ vaø  laø ñöôøng thaúng qua D vaø I. Ñoaïn MN thay ñoåi coù trung ñieåm K luoân thuoäc ñöôøng thaúng  , M  ( BCC ' B '), N  ( A ' B ' C ' D ') . Tìm giaù trò beù nhaát cuûa ñoaïn MN. HEÁT
  8. SÔÛ GIAÙO DUÏC  ÑAØO TAÏO KIEÂN GIANG Tröôøng THPT Chuyeân Huyønh Maãn Ñaït KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI KHU VÖÏC ÑBSCL NAÊM HOÏC 2005_2006 ÑAÙP AÙN ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ MOÂN : TOAÙN BAØI 1: Cho 6 soá thöïc a, b, c, m, n, p thoûa maõn : a2 + b2 + c2 = 1 vaø m + n + p = 5. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa : A = a.m + b.n + c.p + m.n + n.p + p.m Caùch 1: Trong khoâng gian Oxyz , xeùt maët caàu (C) taâm O baùn kính R = 1: x2+ y2 + z2 = 1 vaø maët phaúng (P): x + y +z – 5= 0 ( (P) khoâng caét ( C ) Xeùt M(a ; b ; c) vaø N(m ; n ; p). Töø giaû thieát ta coù M  (C) , N  (P) . (0.5ñ) 0 I M MN 2   m  a    n  b    p  c  2 2 2 H N  a  b  c  m  n  p  2  am  bn  cp  2 2 2 2 2 2 P  1   m  n  p   2  mn  np  pm   2  am  bn  cp  (0.5ñ) 2 Neân MN  26  2 A 2 (0.25ñ) Qua O döïng ñöôøng thaúng (d) vuoâng goùc vôùi (P). Ñöôøng thaúng naøy caét maët caàu taïi I,J 1 1 1 5 5 5 caét (P) taïi H (I naèm giöõa O vaø H). Deã thaáy: I ( ; ; ) vaø H ( ; ; ) . (0.5ñ) 3 3 3 3 3 3 5 Ta coù MN  IH = OH – OI = dO/(P) – 1 = 1 . (0.5ñ) 3 2  5  Suy ra MN 2  IH 2  26  2 A    1 (0.5ñ)  3  5 50 10 25 5 25  5 3  2A  26 - (  1)2 =   A    (0.5ñ) 3 3 3 3 3 3  1  M I a  b  c   3 Daáu “=” ñaït ñöôïc khi  hay  (0.5ñ) N  H m  n  p  5   3 25  5 3 Vaäy Max A = (0.25ñ) 3 Caùch 2: Aùp duïng BÑT Bunhiacopxki ta coù : a.m + b.n + c.p  (a2  b2  c2 )(m2  n2  p2 )  m2  n2  p2  A = a.m + b.n + c.p + m.n + m.p + n.p  m.n + m.p + n.p + m2  n2  p2 Ñaët : m.n + n.p + p.m = t.
  9. 1 25 25 Ta coù : m.n + m.p + n.p  (m  n  p)2 = hay t  3 3 3 m2 + n2 + p2 = (m + n + p)2 – 2(m.n + n.p + p.m) = 25 – 2t Vaäy A  25  2t  t = f(t) 1 25  25  Ta coù : f’(t) = 1 -  0 ,t  . Suy ra f(t) laø haøm taêng treân  ;  25  2t 3  3 25 25 5 25  5 3  A  f (t )  f ( )    3 3 3 3  5 m  n  p  3  25  5 3 Daáu “=” xaûy ra khi  . Vaäy Max A = a  b  c  1 3   3 Caùch 3: Ta coù 2A=2(am+bn+cp) + 2mn +2 np +2 pm = 2 ( am+bn+cp)+m(n+p)+n(m+p)+p(n+m) = 2 ( am+bn+cp)+m(5-m)+n(5-n)+p(5-p) = 2 ( am+bn+cp) + 5.5 – ( m2 +n2 +p2) . Do ñoù 2A = 2 ( am+bn+cp) + 25 - ( m2 +n2 +p2) . (1 ) Maët khaùc Theo baát ñaúng thöùc BCS ta coù : ( am+bn+cp)  (a 2  b2  c 2 )(m2  n2  p 2 )  (m2  n2  p 2 ) Thay vaøo ( 1 ) : 2 A  2 (m2  n2  p 2 )  25  (m2  n2  p 2 ) (2 ) a b c daáu “=” xaåy ra khi   (*). m n p 5 Ñaët t  (m2  n2  p 2 ) thì theo BCS ta coù t  . Daáu baèng xaåy ra khi m=n=p (**). 3 Thay vaøo (2) ta ñöôïc : 2 A  f (t )  t 2  2t  25 (3 )  5  Xeùt haøm f (t )  t 2  2t  25 treân  ;   ta coù f(t) luoân giaûm  3  5 50  10 3 vaäy f(t) f ( )  . 3 3 5 50  10 3 25  5 3 Thay vaøo (3) suy ra 2 A  f ( )  A 3 3 3 5 Daáu baèng xaåy ra khi t  (***). 3 1 5 Keát hôïp (*) , (**) , (***) ta coù daáu baèng xaåy ra khi a  b  c  vaø m=n=p = . 3 3 25  5 3 1 5 Vaäy Max A = khi a  b  c  vaø m=n=p = . 3 3 3 Caùch 4: Khoâng maát tính toång quaùt giaø söû : a  b  c vaø m  n  p . Theo baát ñaúng thöùc treâböseùp ta coù : am  bn  cp a  b  c m  n  p 5  .  (a  b  c) ( 1) . 3 3 3 3
  10. 5 3 Maø theo BCS ta coù a  b  c  3. a 2  b2  c2  3 . Thay vaøo (1) ta coù am  bn  cp  3 (2) Maët khaùc ta coù : 2(mn  np  pm)  (m  n  p)2  (m2  n2  p 2 )  25  (m2  n2  p2 ) ( 3) 1 25 Deã thaáy (m2  n2  p 2 )  (m  n  p)2  . Thay vaøo (3) ta coù : 3 3 1 25 25 mn  np  pm  (25  )  ( 4) 2 3 3 5 3 25 25  5 3 Töø (2 ) vaø ( 4 ) Ta coù A    . Daáu baèng xaåy ra khi vaø chæ khi 3 3 3 1 5 25  5 3 abc vaø m  n  p  . Vaäy Max A = . 3 3 3
  11. BAØI 2: (4 ñieåm) Giaûi phöông trình nghieäm nguyeân sau : 2 x + 3y = z2 (1) LÔØI GIAÛI: + x,y  0 vaø x, y khoâng ñoàng thôøi baèng 0. + neáu (x0 ; y0 ; z0) laø moät nghieäm cuûa (1) thì (x 0 ; y0; - z0) cuõng laø moät nghieäm cuûa (1). Do ñoù ta chæ caàn giaûi (1) vôùi ñieàu kieän z > 0. (0.25ñ) * Neáu x = 0, khi ñoù y  1 (1)  1 + 3y = z2  3y = (z – 1).(z + 1) (2) (0.25ñ) ((z - 1) , (z + 1)) = 1 Ta coù  maø 3y laø soá leû neân UCLN[(z – 1) , (z + 1)] = 1 (0.25ñ) ((z - 1) , (z + 1)) = 2 z  1  1 y  1 Vaäy (2)    (0.5ñ) z  1  3 z  2 y * Neáu y = 0, khi ñoù x  1 (1)  2x + 1 = z2  2x = (z – 1).(z + 1) (0.25ñ) Maët khaùc (z – 1), (z + 1) laø hai soá nguyeân cuøng tính chaün leû ((z - 1) , (z + 1)) = 1 vaø  neân : (0.25ñ) ((z - 1) , (z + 1)) = 2 z  1  2  x  3 (3)  z  1  2x 1   (0.5ñ) x  2 z  3  z2  1(mod 3)  * Caû hai soá x, y  1 , khi ñoù töø (1) suy ra: (z ; 2) = (z ; 3) = 1  2 z  1(mod 4)  Töø (1) suy ra : 2x  z2  1(mod 3)  x  2k ,k  N* (0.25ñ) k y 2 Luùc naøy (1) trôû thaønh : 4 + 3 = z . Suy ra : 3  z  1(mod 4)  y  2q, q  N* (0.25ñ) y 2 (1)  4k + 9q = z2  9q = z2 – 4k  9q = (z – 2k)(z + 2k) (4) k k Vì (z ; 2) = 1 neân ((z – 2 ) ; (z + 2 )) = 1. Töø ñieàu naøy ta coù : z  2k  1  2.2k  9q  1 (* )  (4)    (0.5ñ) z  2  9 z  2  1 k q k   Ta coù (*)  2.2k = (3q – 1).(3q + 1) (**) Ta cuõng coù : ((3q – 1) ; (3q + 1)) = 2 3q  1  2   k 2  2  2 k  2 x  4 neân (**)   q  q  hay  (0.5ñ) 3  1  2 3  1  2 q  1 y  2 k k   (x;y;z)  ( 4 ; 2 ;  5) Vaäy (1) coù caùc nghieäm nguyeân : (x;y;z)  (3 ; 0 ;  3)  (0.25ñ) (x;y;z)  (0 ; 1 ;  2) 
  12. BAØI 3: (4 ñieåm)  x0  m  m  0   Cho daõy soá  xn  :  x 2  20062 . Tìm lim xn  2 xn  n 1 , n  N, n  1 n   xn 1 Caùch 1: 1 20062  +Töø giaû thieát ta coù : xn   xn1   (0.25ñ) 2 xn 1  +Ta coù : 1 20062   x0    2006   2 x1  2006 2  x0  x0  2.2006.x0  20062 2 x0  2006 21    m  2006   = 2   2  m  2006  x1  2006 1   x0  20062    2006 x0  2.2006.x0  20062 x0  2006     2  x0  (0.5ñ) 2n xn  2006  m  2006  +Döï ñoaùn : =  (0.25ñ) xn  2006  m  2006  +Chöùng minh quy naïp :  n=1 , meänh ñeà ñuùng (0.25ñ)  Giaû söû meänh ñeà ñuùng vôùi n=k . Ta coù : 2k xk  2006  m  2006  =  (0.25ñ) xk  2006  m  2006   Caàn chöùng minh meänh ñeà ñuùng vôùi n=k+1. 1 20062  xk    2006 xk 1  2006 2 xk  xk  2.2006.xk  20062 2 Thaät vaäy, = = 2 xk 1  2006 1  20062  xk  2.2006.xk  20062  xk    2006 2 xk  2  xk  2006  2  x  2006    k  (0.5d)  xk  2006   xk  2006  2 2k 1 2  2k   m  2006  =   =  m  2006  (0.5ñ)      m  2006   m  2006      2n 2n x  2006  m  2006   m  2006  + Vaäy ta coù : n =  maø lim   =0 ( xn  2006  m  2006  n  m  2006  do m>0) (0.5ñ) xn  2006 Neân lim =0 (0.25ñ) . n xn  2006 xn  2006 2006 1  yn  Ñaët yn   xn  (0.25ñ) xn  2006 1  yn maø lim yn=0 => lim xn=2006 (0.5d) n n
  13. Caùch 2: x 2 n 1  20062 Nhaän xeùt vì x0 > 0 vaø xn  (*) neân xn> 0 n  . Vaäy (xn) laø daõy bò 2 xn 1 chaën döôùi.(1)  Xeùt xn  2006 . Ta coù :  x  2006 2 xn  2006  n 1  0 n   , n  1  xn  2006 (n   , n  1) . 2 xn 1 20062  x 2 n1  Xeùt xn  xn1 . Ta coù xn  xn1  0 n   , n  2 vì 2 xn1 xn  2006 (n   , n  1) . Vaäy xn  xn1 (n   , n  2) . Ta coù : n   , n  1 (xn) laø daõy giaûm.(2) Töø (1) vaø (2) daõy soá coù giôùi haïn. Goïi lim xn =y , y  0 vì xn luoân döông , laáy giôùi n y  2006 2 2 haïn hai veá cuûa (*)ta coù : y   y  2006 2y
  14. BAØI 4: (4 ñieåm) A * Goïi O laø giao ñieåm cuûa (d) vaø ñöôøng thaúng trung tröïc cuûa AB (vì (d) khoâng vuoâng goùc vôùi I AB neân O toàn taïi). Döïng ñöôøng troøn taâm O, baùn kính OA. Ñöôøng troøn naøy caét (d) taïi I vaø J. O Khoâng maát toång quaùt giaû söû : M IA JA B J  (  IA.JB  JA.IB (1) ). Ta seõ chöùng IB JB IA MA JA minh :   (0.5ñ) IB MB JB        AI  k.AJ  1  k  Ñaët MI  k.MJ  AM   AI  AJ (0.25ñ) 1 k 1 k 1 k  1   1  k      1       Ñaët  . Khi ñoù :      . Töông töï : BM  .BI  .BJ (0.25ñ)    k AM  .AI  .AJ   1 k  Ta coù:     AM2 = ( .AI  .AJ)2= 2 .AI 2  2 .AJ2  2AI.AJ  2 .AI 2  2 .AJ2   (Vì AI  AJ do ñoù AI.AJ =0) (0.5ñ) Töông töï : BM2 = 2 .BI 2  2 .BJ2 MA 2  2 .AI 2  2 .AJ2   (*) (0.5ñ) MB2  2 .BI 2  2 .BJ2 IA MA IA2 MA2 Ta coù  ù 2   IA2 ( 2 .IB 2  2 .JB 2 )  IB 2 ( 2 .IA2  2 .JA2 ) IB MB IB MB 2  2 IA 2 .JB2  2 JA 2 .IB2 (ñuùng do (1))   0 IA 2 MA 2 Vaäy (*) ñuùng hay 2  . Daáu “=” xaûy ra khi  IA 2 JA 2 (0.75ñ) IB MB2    IB2 JB2  Ta coù: * 0 MI IA 2 JA 2 2 2 2 2 2 * 2  2 keát hôïp vôùi IA + JA = IJ = IB + JB suy ra IA = IB vaø JA = JB (voâ lyù vì IB JB luùc naøy (d) laø trung tröïc cuûa AB) (0.5ñ) MA Vaäy ñaït giaù trò lôùn nhaát khi M  I. MB MA Töông töï ñaït giaù trò nhoû nhaát khi M  J. (0.25ñ) MB A * Döïng I, J: + Döïng BL  (d) , AK  (d) + I laø giao ñieåm cuûa ñöôøng troøn taâm O, baùn kính OA vôùi (d) sao cho L naèm giöõa I vaø K; J laø giao ñieåm coøn laïi. IA2 IK .IJ IK    1 IK  IL I L K J IB 2 IL.IJ IL ( 2 ) (0.5ñ) JA JI .JK JK    1 JK  JL JB 2 JL.IJ JL B
  15. BAØI 5: (4 ñieåm) Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ caïnh a. Goïi I laø taâm cuûa maët BCC’B’ vaø  laø ñöôøng thaúng qua D vaø I. Ñoaïn MN thay ñoåi coù trung ñieåm K luoân thuoäc ñöôøng thaúng  , M  ( BCC ' B '), N  ( A ' B ' C ' D ') . Tìm giaù trò beù nhaát cuûa ñoaïn MN. LÔØI GIAÛI: MN * Goïi M’ laø hình chieáu cuûa M leân B’C’   MM ' N vuoâng taïi M’  M’K = (0.5ñ) 2 Neân MN beù nhaát  M’K beù nhaát  M’K laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa  vaø B’C’. (0.75ñ) * Goïi J = DI  A’B’  B’C’ // (JAD) ( vì B’C’ // AD) Do ñoù khoaûng caùch giöõa B’C’ vaø  chính laø khoaûng caùch giöõa B’C’ vaø(JAD) (0.5ñ) Goïi P = JA  BB’ Ta coù (PB’J)  (JAD) theo giao tuyeán PJ. Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa B’ leân PJ  B’H  (JAD)  B’H laøø khoaûng caùch giöõa B’C’ vaø(JAD) (0.5ñ) * Maët khaùc: do B’I laø ñöôøng trung bình trong  JA ' D  B’ laø trung ñieåm A’J vaøB’P laø ñöôøng a trung bình trong  JA ' A  B’J= a vaø B’P = (0.75ñ) 2 1 1 1 * Trong  JB ' P vuoâng taïi B’ ta coù: 2  2  B'H B'P B'J2 a 5  M’K = B’H = (0.5ñ) 5 2a 5 Vaäy giaù trò beù nhaát cuûa MN = (0.5ñ) 5 HEÁT