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  1. SÔÛ GIAÙO DUÏC–ÑAØO TAÏO LONG AN KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI TRÖÔØNG THPT LEÂ QUYÙ ÑOÂN ÑOÀNG BAÈNG SOÂNG CÖÛU LONG NAÊM HOÏC : 2005 – 2006 ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ MOÂN TOAÙN Thôøi gian : 180 phuùt ___________________________________________________________________________ Baøi 1 : (Ñaïi soá) Cho caùc soá thöïc x, y thoûa phöông trình x(x-1) + y(y-1) = xy Tìm giaù trò nhoû nhaát vaø giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc x 2 + y2 + xy. Baøi 2 : (Löôïng giaùc) Cho ABC laø tam giaùc coù ba goùc nhoïn . Chöùng minh raèng : tgA tgB tgC 3  3  3 1 tg B tg C tg A Baøi 3 : (Giaûi tích) Daõy soá x n  ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : xn x1  3 ; xn  1  3  ( n = 1, 2, 3, ….). xn  1 2 Chöùng minh raèng daõy soá ( x n ) coù giôùi haïn höõu haïn khi n   vaø tìm giôùi haïn cuûa noù. Baøi 4 : (Hình hoïc phaúng) Cho tam giaùc ABC vaø M laø trung ñieåm cuûa BC , moät ñöôøng troøn baát kì qua A caét caùc tia AB, AC, AM theo thöù töï taïi E, F, K. Chöùng minh raèng : AB.AE + AC.AF = 2AK.AM Baøi 5 : (Hình hoïc khoâng gian) Cho töù dieän ABCD coù BAC  CAD  DAB  60 0 . Chöùng minh raèng : AB 2  AC 2  AD 2  8R 2 trong ñoù R laø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD. ( Kí hieäu BAC laø goùc BAC )
  2. SÔÛ GIAÙO DUÏC–ÑAØO TAÏO LONG AN KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI TRÖÔØNG THPT LEÂ QUYÙ ÑOÂN ÑOÀNG BAÈNG SOÂNG CÖÛU LONG Naêm hoïc : 2005 – 2006 ÑAÙP AÙN MOÂN TOAÙN Baøi 1 : (Ñaïi soá) Cho caùc soá thöïc x, y thoûa phöông trình x(x-1) + y(y-1) = xy Tìm giaù trò nhoû nhaát vaø giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc x 2 + y2 + xy. -------------------- 2 2 Ñaët a = x + y + xy . Töø ñieàu kieän cuûa x, y ta suy ra: x + y + 2xy = a ( 0,5 ñieåm)  x  y  2 xy  a Goïi a laø moät giaù trò cuûa bieåu thöùc x2 + y2 + xy thì heä pt:  2 phaûi coù nghieäm.  x  y 2  xy  a ( 0,5 ñieåm) S  2 P  a Ñaët: S = x+ y, P = xy (S2  4P) , heä phöông trình trôû thaønh :  2 ( 0,5 ñieåm) S  P  a  S  2P  a   2 ( 0,5 ñieåm) 4 P  (4a  1) P  a  a  0 2 Heä pt coù nghieämkhi vaø chæ khi phöông trình : a f(P) = 4P2 -(4a+1)P+a2-a= 0 coù nghieäm thoûa P  ( 0,5 ñieåm) 3   0  a    a Ñieàu naøy töông ñöông vôùi : f    0   f    0 ( 0,5 ñieåm) 3  3  4a  1  a  8  3  a  12a 2  24a  1  0    0  a 2  12a  0 ( 0,5 ñieåm) 9  4a  1  a  8  3  0  a  12 ( 0,5 ñieåm) 2 2 2 2 Keát luaän : Max (x + y + xy ) = 12 vaø Min (x + y + xy ) = 0 Baøi 2 : (Löôïng giaùc) Cho ABC laø tam giaùc coù ba goùc nhoïn . Chöùng minh raèng : tgA tgB tgC 3  3  3 1 tg B tg C tg A ---------------------------------- Do tam giaùc ABC nhoïn neân tgA > 0 ,tgB > 0 , tgC > 0. Vieát laïi baát ñaúng thöùc : cot g 3 B cot g 3C cot g 3 A   1 ( 0,5 ñieåm ) cot gA cot gB cot gC
  3. Aùp duïng baát ñaúng thöùc Coâsi : cot g 3 B  cot gA. cot gB  2 cot g 2 B ( 0,5 ñieåm ) cot gA cot g 3C  cot gB. cot gC  2 cot g 2 C cot gB cot g 3 A  cot gC. cot gA  2 cot g 2 A ( 0,5 ñieåm ) cot gC Suy ra : cot g 3 B cot g 3C cot g 3 A    cot g 2 A  cot g 2 B  cot g 2 C cot gA cot gB cot gC  1  (cot gA  cot gB) 2  (cot gB  cot gC ) 2  (cot gC  cot gA) 2 2  ( 0,5 ñieåm ) 3 3 3  cot g 2 A  cot g 2 B  cot g 2 C  cot gA  cot gB  cot gC  cot g B cot g C cot g A 1    2 cot gA cot gB cot gC 3 ( 0,5 ñieåm ) Maët khaùc : (cot gA  cot gB  cot gC )  3 , vì baát ñaúng thöùc naøy töông ñöông vôùi: 2 cotg2A+cotg2B+cotg2C +2(cotgA.cotgB+cotgB.cotgC+cotgC.cotgA)  3 ( 0,5 ñieåm )  (cot gA  cot gB) 2  (cot gB  cot gC ) 2  (cot gC  cot gA) 2  0 . ( 0,5 ñieåm ) Töø ñoù suy ra : cot g 3 B cot g 3C cot g 3 A   1 ( 0,5 ñieåm ) cot gA cot gB cot gC Baøi 3 : (Giaûi tích) Daõy soá x n  ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : xn x1  3 ; xn  1  3  ( n = 1, 2, 3, ….). xn  1 2 Chöùng minh raèng daõy soá ( x n ) coù giôùi haïn höõu haïn khi n   vaø tìm giôùi haïn cuûa noù. -----------------------------------------------------  Töø caùch xaùc ñònh daêy soá, suy ra xn  3 , n  1 x Giaû söû daõy coù giôùi haïn laø a thì a laø nghieäm cuûa phöông trình : x  3  (1) ( x  3 ) x2 1 (0,5 ñieåm) 1   Ñaët : sin    0     , phöông trình (1) trôû thaønh : sin   cos   3 sin  . cos   0 x  2 (0,5 ñieåm) Ñaët : t  sin   cos  ( t  2 ) , ta ñöôïc phöông trình : 3t  2t  3  0  t   3 2 (0,5 ñieåm)
  4. 1  1  sin   cos    sin 2    sin     1  3  3 3.( 5  1) Suy ra : .Vaäy : a  3.(1  5 ) 2  sin   6 (0,5 ñieåm) x 1  Xeùt haøm soá f ( x)  3  ( x  3 ) coù f ' ( x)  x 1 2  x  1 2 3 (0,5 ñieåm) Aùp duïng ñònh lí Lagrange : xn1  a  f ( xn )  f (a)  f ' (c) . x  a vôùi c naèmgiöõa xn vaø a. 1 2 2 Vì c  3  f ' (c)   . Do ñoù : x n 1  a  . xn  a 0,5 ñieåm)  c  1 2 3 4 4 n 1 n 1  2  2 Suy ra : 0  x n  a       4  . x1  a , vaø do lim  4  . x1  a  0 0,5 ñieåm)     3.( 5  1) Do ñoù : lim xn  a  (0,5 ñieåm) 2 Baøi 4 : (Hình hoïc phaúng) Cho tam giaùc ABC vaø M laø trung ñieåm cuûa BC , moät ñöôø ng troøn baát kì qua A caét caùc tia AB, AC, AM theo thöù töï taïi E, F, K. Chöùng minh raèng : AB.AE + AC.AF = 2AK.AM -------------------------------------------------------------------- A Goïi AD laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn thì : AE  ED , AF  FD , AK  KD (0,5 ñieåm) Ta coù : AB  AC  2 AM (0,5 ñieåm) E F  AD. ( AB  AC )  2 AM . AD (0,5 ñieåm) K  AD. AB  AD. AC  2 AM . AD (0,5 ñieåm) B C  AE. AB  AF . AC  2 AM . AK (0,5 ñieåm) M (Coâng thöùc chieáu)  AE. AB cos 0  AF . AC cos 0  2 AK . AM cos 0 (0,5 ñieåm)  AE. AB cos 0  AF . AC cos 0  2 AK . AM cos 0 (0,5 ñieåm)  AE. AB  AF . AC  2 AK . AM (0,5 ñieåm) Baøi 5 : (Hình hoïc khoâng gian) Cho töù dieän ABCD coù BAC  CAD  DAB  60 0 . Chöùng minh raèng : AB 2  AC 2  AD 2  8R 2 trong ñoù R laø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD. ( Kí hieäu BAC laø goùc BAC )
  5. ------------------------------------------------------------------------------- Goïi G laø troïng taâm vaø O laø taâm maët caàu ngoaïi teáp töù dieän ABCD thì : GA  GB  GC  GD  0  OA  OB  OC  OD  4OG ( 0,5 ñieåm )   OA2  OB 2  OC 2  OD 2  2 OA.OB  OA.OC  OA.OD  OB.OC.  OB.OD  OC.OD (0,5ñ)  16OG 2  AB 2  AC 2  AD 2  BC 2  CD 2  DB2  16R 2  16OG2 ( 0,5 ñieåm ) 2 2  2 2 2  Maët khaùc : BC  CD  DB  2 AB  AC  AD   AB. AC  AC. AD  AD. AB  2 ( Ñònh lí haøm soá cosin ) ( 0,5 ñieåm )  2 2   3 AB  AC  AD   AB. AC  AC. AD  AD. AB   16R  16OG  16R 2 2 2 2 ( 0,5 ñieåm )  2 2    2 AB  AC  AD  AB  AC  AD  AB. AC  AC. AD  AD. AB  16R 2 2 2 2 2  (0,5 ñieåm)  2   2 AB  AC  AD  16R ( Vì AB  AC  AD  AB. AC  AC. AD  AD. AB  0 2 2 2 2 2 2 (0,5 ñieåm)  AB  AC  AD  8R 2 2 2 2 (0,5 ñieåm)
  6. SÔÛ GIAÙO DUÏC–ÑAØO TAÏO LONG AN KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI TRÖÔØNG THPT LEÂ QUYÙ ÑOÂN ÑOÀNG BAÈNG SOÂNG CÖÛU LONG NAÊM HOÏC : 2005 – 2006 ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ MOÂN TOAÙN Thôøi gian : 180 phuùt ___________________________________________________________________________ Baøi 1 : (Ñaïi soá) Cho caùc soá thöïc x, y thoûa phöông trình x(x-1) + y(y-1) = xy Tìm giaù trò nhoû nhaát vaø giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc x 2 + y2 + xy. Baøi 2 : (Löôïng giaùc) Cho ABC laø tam giaùc coù ba goùc nhoïn . Chöùng minh raèng : tgA tgB tgC 3  3  3 1 tg B tg C tg A Baøi 3 : (Giaûi tích) Daõy soá x n  ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : xn x1  3 ; xn  1  3  ( n = 1, 2, 3, ….). xn  1 2 Chöùng minh raèng daõy soá ( x n ) coù giôùi haïn höõu haïn khi n   vaø tìm giôùi haïn cuûa noù. Baøi 4 : (Hình hoïc phaúng) Cho tam giaùc ABC vaø M laø trung ñieåm cuûa BC , moät ñöôøng troøn baát kì qua A caét caùc tia AB, AC, AM theo thöù töï taïi E, F, K. Chöùng minh raèng : AB.AE + AC.AF = 2AK.AM Baøi 5 : (Hình hoïc khoâng gian) Cho töù dieän ABCD coù BAC  CAD  DAB  60 0 . Chöùng minh raèng : AB 2  AC 2  AD 2  8R 2 trong ñoù R laø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD. ( Kí hieäu BAC laø goùc BAC )
  7. SÔÛ GIAÙO DUÏC–ÑAØO TAÏO LONG AN KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI TRÖÔØNG THPT LEÂ QUYÙ ÑOÂN ÑOÀNG BAÈNG SOÂNG CÖÛU LONG Naêm hoïc : 2005 – 2006 ÑAÙP AÙN MOÂN TOAÙN Baøi 1 : (Ñaïi soá) Cho caùc soá thöïc x, y thoûa phöông trình x(x-1) + y(y-1) = xy Tìm giaù trò nhoû nhaát vaø giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc x 2 + y2 + xy. -------------------- 2 2 Ñaët a = x + y + xy . Töø ñieàu kieän cuûa x, y ta suy ra: x + y + 2xy = a ( 0,5 ñieåm)  x  y  2 xy  a Goïi a laø moät giaù trò cuûa bieåu thöùc x2 + y2 + xy thì heä pt:  2 phaûi coù nghieäm.  x  y 2  xy  a ( 0,5 ñieåm) S  2 P  a Ñaët: S = x+ y, P = xy (S2  4P) , heä phöông trình trôû thaønh :  2 ( 0,5 ñieåm) S  P  a  S  2P  a   2 ( 0,5 ñieåm) 4 P  (4a  1) P  a  a  0 2 Heä pt coù nghieämkhi vaø chæ khi phöông trình : a f(P) = 4P2 -(4a+1)P+a2-a= 0 coù nghieäm thoûa P  ( 0,5 ñieåm) 3   0  a    a Ñieàu naøy töông ñöông vôùi : f    0   f    0 ( 0,5 ñieåm) 3  3  4a  1  a  8  3  a  12a 2  24a  1  0    0  a 2  12a  0 ( 0,5 ñieåm) 9  4a  1  a  8  3  0  a  12 ( 0,5 ñieåm) 2 2 2 2 Keát luaän : Max (x + y + xy ) = 12 vaø Min (x + y + xy ) = 0 Baøi 2 : (Löôïng giaùc) Cho ABC laø tam giaùc coù ba goùc nhoïn . Chöùng minh raèng : tgA tgB tgC 3  3  3 1 tg B tg C tg A ---------------------------------- Do tam giaùc ABC nhoïn neân tgA > 0 ,tgB > 0 , tgC > 0. Vieát laïi baát ñaúng thöùc : cot g 3 B cot g 3C cot g 3 A   1 ( 0,5 ñieåm ) cot gA cot gB cot gC
  8. Aùp duïng baát ñaúng thöùc Coâsi : cot g 3 B  cot gA. cot gB  2 cot g 2 B ( 0,5 ñieåm ) cot gA cot g 3C  cot gB. cot gC  2 cot g 2 C cot gB cot g 3 A  cot gC. cot gA  2 cot g 2 A ( 0,5 ñieåm ) cot gC Suy ra : cot g 3 B cot g 3C cot g 3 A    cot g 2 A  cot g 2 B  cot g 2 C cot gA cot gB cot gC  1  (cot gA  cot gB) 2  (cot gB  cot gC ) 2  (cot gC  cot gA) 2 2  ( 0,5 ñieåm ) 3 3 3  cot g 2 A  cot g 2 B  cot g 2 C  cot gA  cot gB  cot gC  cot g B cot g C cot g A 1    2 cot gA cot gB cot gC 3 ( 0,5 ñieåm ) Maët khaùc : (cot gA  cot gB  cot gC )  3 , vì baát ñaúng thöùc naøy töông ñöông vôùi: 2 cotg2A+cotg2B+cotg2C +2(cotgA.cotgB+cotgB.cotgC+cotgC.cotgA)  3 ( 0,5 ñieåm )  (cot gA  cot gB) 2  (cot gB  cot gC ) 2  (cot gC  cot gA) 2  0 . ( 0,5 ñieåm ) Töø ñoù suy ra : cot g 3 B cot g 3C cot g 3 A   1 ( 0,5 ñieåm ) cot gA cot gB cot gC Baøi 3 : (Giaûi tích) Daõy soá x n  ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : xn x1  3 ; xn  1  3  ( n = 1, 2, 3, ….). xn  1 2 Chöùng minh raèng daõy soá ( x n ) coù giôùi haïn höõu haïn khi n   vaø tìm giôùi haïn cuûa noù. -----------------------------------------------------  Töø caùch xaùc ñònh daêy soá, suy ra xn  3 , n  1 x Giaû söû daõy coù giôùi haïn laø a thì a laø nghieäm cuûa phöông trình : x  3  (1) ( x  3 ) x2 1 (0,5 ñieåm) 1   Ñaët : sin    0     , phöông trình (1) trôû thaønh : sin   cos   3 sin  . cos   0 x  2 (0,5 ñieåm) Ñaët : t  sin   cos  ( t  2 ) , ta ñöôïc phöông trình : 3t  2t  3  0  t   3 2 (0,5 ñieåm)
  9. 1  1  sin   cos    sin 2    sin     1  3  3 3.( 5  1) Suy ra : .Vaäy : a  3.(1  5 ) 2  sin   6 (0,5 ñieåm) x 1  Xeùt haøm soá f ( x)  3  ( x  3 ) coù f ' ( x)  x 1 2  x  1 2 3 (0,5 ñieåm) Aùp duïng ñònh lí Lagrange : xn1  a  f ( xn )  f (a)  f ' (c) . x  a vôùi c naèmgiöõa xn vaø a. 1 2 2 Vì c  3  f ' (c)   . Do ñoù : x n 1  a  . xn  a 0,5 ñieåm)  c  1 2 3 4 4 n 1 n 1  2  2 Suy ra : 0  x n  a       4  . x1  a , vaø do lim  4  . x1  a  0 0,5 ñieåm)     3.( 5  1) Do ñoù : lim xn  a  (0,5 ñieåm) 2 Baøi 4 : (Hình hoïc phaúng) Cho tam giaùc ABC vaø M laø trung ñieåm cuûa BC , moät ñöôø ng troøn baát kì qua A caét caùc tia AB, AC, AM theo thöù töï taïi E, F, K. Chöùng minh raèng : AB.AE + AC.AF = 2AK.AM -------------------------------------------------------------------- A Goïi AD laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn thì : AE  ED , AF  FD , AK  KD (0,5 ñieåm) Ta coù : AB  AC  2 AM (0,5 ñieåm) E F  AD. ( AB  AC )  2 AM . AD (0,5 ñieåm) K  AD. AB  AD. AC  2 AM . AD (0,5 ñieåm) B C  AE. AB  AF . AC  2 AM . AK (0,5 ñieåm) M (Coâng thöùc chieáu)  AE. AB cos 0  AF . AC cos 0  2 AK . AM cos 0 (0,5 ñieåm)  AE. AB cos 0  AF . AC cos 0  2 AK . AM cos 0 (0,5 ñieåm)  AE. AB  AF . AC  2 AK . AM (0,5 ñieåm) Baøi 5 : (Hình hoïc khoâng gian) Cho töù dieän ABCD coù BAC  CAD  DAB  60 0 . Chöùng minh raèng : AB 2  AC 2  AD 2  8R 2 trong ñoù R laø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD. ( Kí hieäu BAC laø goùc BAC )
  10. ------------------------------------------------------------------------------- Goïi G laø troïng taâm vaø O laø taâm maët caàu ngoaïi teáp töù dieän ABCD thì : GA  GB  GC  GD  0  OA  OB  OC  OD  4OG ( 0,5 ñieåm )   OA2  OB 2  OC 2  OD 2  2 OA.OB  OA.OC  OA.OD  OB.OC.  OB.OD  OC.OD (0,5ñ)  16OG 2  AB 2  AC 2  AD 2  BC 2  CD 2  DB2  16R 2  16OG2 ( 0,5 ñieåm ) 2 2  2 2 2  Maët khaùc : BC  CD  DB  2 AB  AC  AD   AB. AC  AC. AD  AD. AB  2 ( Ñònh lí haøm soá cosin ) ( 0,5 ñieåm )  2 2   3 AB  AC  AD   AB. AC  AC. AD  AD. AB   16R  16OG  16R 2 2 2 2 ( 0,5 ñieåm )  2 2    2 AB  AC  AD  AB  AC  AD  AB. AC  AC. AD  AD. AB  16R 2 2 2 2 2  (0,5 ñieåm)  2   2 AB  AC  AD  16R ( Vì AB  AC  AD  AB. AC  AC. AD  AD. AB  0 2 2 2 2 2 2 (0,5 ñieåm)  AB  AC  AD  8R 2 2 2 2 (0,5 ñieåm)