Xem mẫu

  1. ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000 MÔN : TOÁN (Bảng A) Ngày thi thứ nhất Bài 1 : Cho c là một số thực dương . Dãy số {x n }, n = 0,1,2,…., được xây dựng theo cách sau : x n1 = c  c  xn (n=0,1,2,….) nếu các biểu thức dưới căn là không âm . Tìm tất cả các giá trị của c đề với mọi giá trị ban đầu x 0  (0,c) dãy {x n } được xác định với mọi giá trị n và tồn tại giới hạn hữu hạn lim x n khi n  . Bài 2 : Trên mặt phẳng cho trước hai đường tròn (O 1 ,r 1 ) và (O 2 ,r 2 ). Trên đường tròn (O 1 ,r 1 ) lấy một điểm M 1 và trên đường tròn (O 2 ,r 2 ) lấy một điểm M 2 sao cho đường thẳng O 1 M 1 cắt đường thẳng O 2 M 2 tại một điểm Q. Cho M 1 chuyển động trên đường tròn (O 1 ,r 1 ) , M 2 chuyển động trên đường tròn (O 2 ,r 2 ) cùng theo chiều kim đồng hồ và với vận tốc góc như nhau . 1/ Tìm quĩ tích trung điểm đoạn thẳng M 1 M 2 . 2/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác M 1 QM 2 luôn đi qua một điểm cố định . Bài 3 : Cho đa thức : P(x) = x 3 + 153x 2 - 111x + 38 1/ Chứng minh rằng trong đoạn [1;3 2000 ] tồn tại ít nhất 9 số nguyên dương a sao cho P(a) chia hết cho 3 2000 2/ Hỏi trong đoạn [1;3 2000 ] có tất cả bao nhiêu số nguyên dương a mà P(a) chia hết cho 3 2000 ? --------------------
  2. ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000 MÔN : TOÁN (Bảng A) Ngày thi thứ hai Bài 4 : Cho trước góc α với 02 đa thức P n (x) chia hết cho g(x) Bài 5 : Tìm tất cả các số tự nhiên n>3 sao cho tồn tại n điểm trong không gian thoả mãn đồng thời các các tính chất sau đây : a/ Không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng . b/ Không có bốn điểm nào trong chúng cùng nằm trên một đường tròn c/ Tất các các đường trong đi qua ba điểm trong chúng đểu có bán kính bằng nhau. Bài 6 : Với mỗi đa thức hệ số thực P(x) , kí hiệu A P là tập hợp các số thực x sao cho P(x) = 0 . Tìm số phần tử nhiều nhất có thể có của A P khi P(x) thuộc tập hợp các đa thức có hệ số thực với bậc ít nhất là 1 và thoả mãn đẳng thức : P(x 2 - 1) = P(x).P(-x) với mọi giá trị thực x --------------------
  3. ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000 MÔN : TOÁN (Bảng B) Ngày thi thứ nhất Bài 1 : Cho số thực c >2 . Dãy số (x n ) , n=0,1,2,…, được xây dựng theo cách sau : x 0 = c , x n1 = c  c  xn (n=0,1,2,…) nếu các biểu thức dưới căn là không âm. Chứng minh rằng dãy (x n ) được xác định với mọi giá trị n và tồn tại giới hạn hữu hạn limx n khi n   Bài 2 : Trên mặt phẳng cho trước hai đường tròn (O 1 ,r 1 ) và (O 2 ,r 2 ). Trên đường tròn (O 1 ,r 1 ) lấy một điểm M 1 và trên đường tròn (O 2 ,r 2 ) lấy một điểm M 2 sao cho đường thẳng O 1 M 1 cắt đường thẳng O 2 M 2 tại một điểm Q. Cho M 1 chuyển động trên đường tròn (O 1 ,r 1 ) , M 2 chuyển động trên đường tròn (O 2 ,r 2 ) cùng theo chiều kim đồng hồ và với vận tốc góc như nhau . 1/ Tìm quĩ tích trung điểm đoạn thẳng M 1 M 2 . 2/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác M 1 QM 2 luôn đi qua một điểm cố định . Bài 3 : Cho đa thức : P(x) = x 3 - 9x 2 + 24x – 27 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n luôn tồn tại một số nguyên dương a n sao cho P(a n ) chia hết cho 3 n . -----------------------------
  4. ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000 MÔN : TOÁN (Bảng B) Ngày thi thứ hai Bài 4 : Cho trước góc α với 0
  5. với mọi số thực x. -----------------------------
  6. ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001 MÔN : TOÁN (Bảng A) Ngày thi thứ nhất Bài 1 : Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau tại hai điểm A, B và P 1 P 2 là một tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó (P 1  (O 1 ), P 2  (O 2 )). Gọi M 1 và M 2 tương ứng là hình chiếu vuông góc của P 1 và P 2 trên đường thẳng O 1 O 2 . Đường thẳng AM 1 cắt (O 1 ) tại điểm thứ hai N 1 , đường thẳng AM 2 cắt (O 2 ) tại điểm thứ hai N 2 . Hãy chứng minh N 1 ,B,N 2 thẳng hàng . Bài 2 : Cho số nguyên dương n và cho hai số nguyên nguyên tố cùng nhau a, n n b lớn hơn 1. Giả sử p, q là hai ước lẻ lớn hơn 1 của a 6 + b 6 . Hãy tìm số dư trong phép chia p 6 + q 6 cho 6.(12) n . n n Bài 3 : Với mỗi cặp số thực (a, b), xét dãy số {x n }, n N, được xác định bởi: x 0 = a và x n1 = x n + b.sinx n với mọi n  N. 1/ Cho b = 1 . Chứng minh rằng với mọi số thực a, dãy {x n } có giới hạn hữu hạn khi n   . Hãy tính giới hạn đó theo a. 2/ Chứng minh rằng với mỗi số thực b>2 cho trước, tồn tại số thực a sao cho dãy {x n } tương ứng không có giới hạn hữu hạn khi n   . ( N là tập hợp các số tự nhiên) -----------------------------
  7. ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001 MÔN : TOÁN (Bảng A) Ngày thi thứ hai Bài 4 : Xét các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện sau :  1  2  z  min{x 2 , y 3}   x  z 3  6   y 3  z 10  2 5   Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 1 2 3 P(x,y,z) = 2  2  2 x y z 2x Bài 5 : Cho hàm số g(x) = . Hãy tìm tất cả các hàm số f(x) xác định , 1 x2 liên tục trên khoảng (-1;1) và thoả mãn hệ thức : (1 - x 2 ).f(g(x)) = (1 + x 2 ) 2 .f(x) với mọi x  (-1;1). Bài 6 : Cho số nguyên n  1. Xét hoán vị (a 1 ,a 2 ,…,a 2n ) của 2n số nguyên dương đầu tiên sao cho các số |a i 1 - a i |, i = 1,2,….,2n – 1, đôi một khác nhau . Chứng minh rằng a 1 - a 2n = n khi và chỉ khi 1  a 2k  n với mọi k = 1,2,…,n. -----------------------------
  8. ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002 MÔN : TOÁN (Bảng B) Ngày thi thứ nhất Bài 1 : Trong mắt phẳng cho hai đường tròn cố định (O,R 1 ) và (O,R 2 ) có R 1 >R 2 . Một hình thang ABCD (AB//CD) thay đổi sao cho bốn đỉnh A,B,C,D nằm trên đường tròn (O,R 1 ) và giao điểm của hai đường chéo AC,BD nằm trên đường tron (O,R 2 ). Tìm quỹ tích giao điểm P của hai đường thẳng AD và BC . Bài 2 : Hãy tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên tập hợp số thực R và thoả mãn hệ thức : f(y – f(x)) = f(x 2002 - y) – 2001y.f(x) với mọi số thực x, y. Bài 3 : Cho tập hợp S gồm tất cả các số nguyên trong đoạn [1;2002]. Gọi T là tập hợp gồm tất cả các tập hợp con không rỗng của S . Với mỗi tập hợp X thuộc T , kí hiệu m(X) là trung bình cộng của tất cả các số thuộc X . Đặt : m=  m( X ) |T | ở đây tổng lấy theo tất cả các tập hợp X thuộc T . Hãy tính giá trị của m. (|T| kí hiệu số phần tử của tập hợp T) ----------------------------------
  9. ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002 MÔN : TOÁN (Bảng B) Ngày thi thứ hai Bài 4 : Cho a, b, c là ba số thực tuỳ ý . Chứng minh rằng : 3 6(a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 )≤ 27abc + 10(a 2 + b 2 + c 2 ) 2 Hỏi dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? Bài 5 : Xét phương trình : 1 1 1 1 1 + + +…+ +…+ =0 2x x 1 x4 xk 2 x  n2 trong đó n là tham số nguyên dương . 1/ Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu trên có duy nhất nghiệm trong khoảng (0;1) ; kí hiệu nghiệm đó là x n . 2/ Chứng minh rằng dãy số (x n ) có giới hạn hữu hạn khi n   Bài 6 : Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn điều kiện : C n n = (2n) k 2 trong đó k là số các ước nguyên tố của C n n .2 (C 2 n kí hiệu số tổ hợp chập n của tập hợp có 2n phần tử) n ----------------------------------
  10. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003 MÔN: TOÁN (Bảng A) Ngày thi : 12/3/2003 Bài 1 : Cho hàm số f xác định trên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và thoả mãn điều kiện : f(cotgx) = sin2x + cos2x với mọi x thuộc khoảng (0;  ). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : g(x) = f(x).f(1-x) trên đoạn [-1;1] Bài 2 : Trong mặt phẳng , cho hai đường tròn cố định (O 1 ) và (O 2 ) tiếp xúc với nhau tại điểm M , và bán kính của đường tròn (O 2 ) lớn hơn bán kính của đường tròn (O 1 ). Xét điểm A nằm trên đường tròn (O 2 ) sao cho 3 điểm O 1 ,O 2 ,A không thẳng hàng . Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O 1 ) (B và C là các tiếp điểm) . Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn (O 2 ),tương ứng, tại E và F . Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O 2 ) . Chứng minh rằng điểm D di động trên một đường thẳng cố định , khi A di động trên đường tròn (O 2 ) sao cho ba điểm O 1 ,O 2 ,A không thẳng hàng . ( (O) kí hiệu đường tròn tâm O) Bài 3 : Với mỗi số nguyên n>1 , kí hiệu s n là số các hoàn vị (a 1 ,a 2 ,….,a n ) của n số nguyên dương đầu tiên , mà mỗi hoán vị (a 1 ,a 2 ,…., a n ) đều có tính chất 1  |a k - k|  2 với mọi k = 1,2,3,…,n. Chứng minh rằng : 1,75.s n1 < s n < 2.s n1 với mọi số nguyên n >6 ------------------------------------------------
  11. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003 MÔN: TOÁN (Bảng A) Ngày thi : 13/3/2003 Bài 4 : Hãy tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho hệ phương trình : (x+1) 2 + y 12 = (x+2) 2 + y 2 = … = (x+k) 2 + y k = … = (x+n) 2 + y n 2 2 2 có nghiệm nguyên (x,y 1 ,y 2 ,….,y n ) Bài 5 : Cho hai đa thức : P(x) = 4x 3 - 2x 2 - 15x + 9 và Q(x) = 12x 3 + 6x 2 - 7x + 1 1/ Chứng minh rằng mỗi đa thức đã cho đều có ba nghiệm thực phân biệt 2/ Kí hiệu α và β tương ứng là nghiệm lớn nhất của P(x) và Q(x) . Chứng minh rằng: α 2 + 3β 2 = 4 Bài 6 : Cho tập hợp F gồm tất cả các hàm số f : R   R  thoả mãn điều kiện: f(3x)  f(f(2x)) + x với mọi số thực dương x. Hãy tìm số thực α lớn nhất sao cho với mọi hàm số f thuộc tập hợp F ta đều có : f(x)  α với mọi số thực dương x. ( R  kí hiệu tập hợp các số thực dương). --------------------------------------