Xem mẫu
- ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000
MÔN : TOÁN (Bảng A)
Ngày thi thứ nhất
Bài 1 : Cho c là một số thực dương . Dãy số {x n }, n = 0,1,2,…., được xây
dựng theo cách sau :
x n1 = c c xn
(n=0,1,2,….) nếu các biểu thức dưới căn là không âm .
Tìm tất cả các giá trị của c đề với mọi giá trị ban đầu x 0 (0,c) dãy
{x n } được xác định với mọi giá trị n và tồn tại giới hạn hữu hạn lim x n khi
n .
Bài 2 : Trên mặt phẳng cho trước hai đường tròn (O 1 ,r 1 ) và (O 2 ,r 2 ). Trên
đường tròn (O 1 ,r 1 ) lấy một điểm M 1 và trên đường tròn (O 2 ,r 2 ) lấy một
điểm M 2 sao cho đường thẳng O 1 M 1 cắt đường thẳng O 2 M 2 tại một điểm
Q. Cho M 1 chuyển động trên đường tròn (O 1 ,r 1 ) , M 2 chuyển động trên
đường tròn (O 2 ,r 2 ) cùng theo chiều kim đồng hồ và với vận tốc góc như
nhau .
1/ Tìm quĩ tích trung điểm đoạn thẳng M 1 M 2 .
2/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác M 1 QM 2 luôn đi
qua một điểm cố định .
Bài 3 : Cho đa thức :
P(x) = x 3 + 153x 2 - 111x + 38
1/ Chứng minh rằng trong đoạn [1;3 2000 ] tồn tại ít nhất 9 số nguyên
dương a sao cho P(a) chia hết cho 3 2000
2/ Hỏi trong đoạn [1;3 2000 ] có tất cả bao nhiêu số nguyên dương a mà
P(a) chia hết cho 3 2000 ?
--------------------
- ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000
MÔN : TOÁN (Bảng A)
Ngày thi thứ hai
Bài 4 : Cho trước góc α với 02 đa thức P n (x) chia hết cho g(x)
Bài 5 : Tìm tất cả các số tự nhiên n>3 sao cho tồn tại n điểm trong không
gian thoả mãn đồng thời các các tính chất sau đây :
a/ Không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng .
b/ Không có bốn điểm nào trong chúng cùng nằm trên một đường tròn
c/ Tất các các đường trong đi qua ba điểm trong chúng đểu có bán
kính bằng nhau.
Bài 6 : Với mỗi đa thức hệ số thực P(x) , kí hiệu A P là tập hợp các số thực
x sao cho P(x) = 0 .
Tìm số phần tử nhiều nhất có thể có của A P khi P(x) thuộc tập hợp
các đa thức có hệ số thực với bậc ít nhất là 1 và thoả mãn đẳng thức :
P(x 2 - 1) = P(x).P(-x)
với mọi giá trị thực x
--------------------
- ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000
MÔN : TOÁN (Bảng B)
Ngày thi thứ nhất
Bài 1 : Cho số thực c >2 . Dãy số (x n ) , n=0,1,2,…, được xây dựng theo
cách sau :
x 0 = c , x n1 = c c xn (n=0,1,2,…)
nếu các biểu thức dưới căn là không âm.
Chứng minh rằng dãy (x n ) được xác định với mọi giá trị n và tồn tại
giới hạn hữu hạn limx n khi n
Bài 2 : Trên mặt phẳng cho trước hai đường tròn (O 1 ,r 1 ) và (O 2 ,r 2 ). Trên
đường tròn (O 1 ,r 1 ) lấy một điểm M 1 và trên đường tròn (O 2 ,r 2 ) lấy một
điểm M 2 sao cho đường thẳng O 1 M 1 cắt đường thẳng O 2 M 2 tại một điểm
Q. Cho M 1 chuyển động trên đường tròn (O 1 ,r 1 ) , M 2 chuyển động trên
đường tròn (O 2 ,r 2 ) cùng theo chiều kim đồng hồ và với vận tốc góc như
nhau .
1/ Tìm quĩ tích trung điểm đoạn thẳng M 1 M 2 .
2/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác M 1 QM 2 luôn đi
qua một điểm cố định .
Bài 3 : Cho đa thức :
P(x) = x 3 - 9x 2 + 24x – 27
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n luôn tồn tại một số
nguyên dương a n sao cho P(a n ) chia hết cho 3 n .
-----------------------------
- ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000
MÔN : TOÁN (Bảng B)
Ngày thi thứ hai
Bài 4 : Cho trước góc α với 0
- với mọi số thực x.
-----------------------------
- ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001
MÔN : TOÁN (Bảng A)
Ngày thi thứ nhất
Bài 1 : Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau tại hai
điểm A, B và P 1 P 2 là một tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó (P 1 (O 1 ),
P 2 (O 2 )). Gọi M 1 và M 2 tương ứng là hình chiếu vuông góc của P 1 và P 2
trên đường thẳng O 1 O 2 . Đường thẳng AM 1 cắt (O 1 ) tại điểm thứ hai N 1 ,
đường thẳng AM 2 cắt (O 2 ) tại điểm thứ hai N 2 . Hãy chứng minh N 1 ,B,N 2
thẳng hàng .
Bài 2 : Cho số nguyên dương n và cho hai số nguyên nguyên tố cùng nhau a,
n n
b lớn hơn 1. Giả sử p, q là hai ước lẻ lớn hơn 1 của a 6 + b 6 .
Hãy tìm số dư trong phép chia p 6 + q 6 cho 6.(12) n .
n n
Bài 3 : Với mỗi cặp số thực (a, b), xét dãy số {x n }, n N, được xác định
bởi:
x 0 = a và x n1 = x n + b.sinx n với mọi n N.
1/ Cho b = 1 . Chứng minh rằng với mọi số thực a, dãy {x n } có giới
hạn hữu hạn khi n . Hãy tính giới hạn đó theo a.
2/ Chứng minh rằng với mỗi số thực b>2 cho trước, tồn tại số thực a
sao cho dãy {x n } tương ứng không có giới hạn hữu hạn khi n .
( N là tập hợp các số tự nhiên)
-----------------------------
- ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001
MÔN : TOÁN (Bảng A)
Ngày thi thứ hai
Bài 4 : Xét các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện sau :
1
2 z min{x 2 , y 3}
x z 3 6
y 3 z 10 2 5
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
1 2 3
P(x,y,z) = 2
2 2
x y z
2x
Bài 5 : Cho hàm số g(x) = . Hãy tìm tất cả các hàm số f(x) xác định ,
1 x2
liên tục trên khoảng (-1;1) và thoả mãn hệ thức :
(1 - x 2 ).f(g(x)) = (1 + x 2 ) 2 .f(x)
với mọi x (-1;1).
Bài 6 : Cho số nguyên n 1. Xét hoán vị (a 1 ,a 2 ,…,a 2n ) của 2n số nguyên
dương đầu tiên sao cho các số |a i 1 - a i |, i = 1,2,….,2n – 1, đôi một khác
nhau . Chứng minh rằng a 1 - a 2n = n khi và chỉ khi 1 a 2k n với mọi k =
1,2,…,n.
-----------------------------
- ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002
MÔN : TOÁN (Bảng B)
Ngày thi thứ nhất
Bài 1 : Trong mắt phẳng cho hai đường tròn cố định (O,R 1 ) và (O,R 2 ) có
R 1 >R 2 . Một hình thang ABCD (AB//CD) thay đổi sao cho bốn đỉnh
A,B,C,D nằm trên đường tròn (O,R 1 ) và giao điểm của hai đường chéo
AC,BD nằm trên đường tron (O,R 2 ). Tìm quỹ tích giao điểm P của hai
đường thẳng AD và BC .
Bài 2 : Hãy tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên tập hợp số thực R và
thoả mãn hệ thức :
f(y – f(x)) = f(x 2002 - y) – 2001y.f(x)
với mọi số thực x, y.
Bài 3 : Cho tập hợp S gồm tất cả các số nguyên trong đoạn [1;2002]. Gọi T
là tập hợp gồm tất cả các tập hợp con không rỗng của S . Với mỗi tập hợp X
thuộc T , kí hiệu m(X) là trung bình cộng của tất cả các số thuộc X . Đặt :
m= m( X )
|T |
ở đây tổng lấy theo tất cả các tập hợp X thuộc T .
Hãy tính giá trị của m.
(|T| kí hiệu số phần tử của tập hợp T)
----------------------------------
- ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002
MÔN : TOÁN (Bảng B)
Ngày thi thứ hai
Bài 4 : Cho a, b, c là ba số thực tuỳ ý . Chứng minh rằng :
3
6(a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 )≤ 27abc + 10(a 2 + b 2 + c 2 ) 2
Hỏi dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 5 : Xét phương trình :
1 1 1 1 1
+ + +…+ +…+ =0
2x x 1 x4 xk 2
x n2
trong đó n là tham số nguyên dương .
1/ Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu
trên có duy nhất nghiệm trong khoảng (0;1) ; kí hiệu nghiệm đó là x n .
2/ Chứng minh rằng dãy số (x n ) có giới hạn hữu hạn khi n
Bài 6 : Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn điều kiện :
C n n = (2n) k
2
trong đó k là số các ước nguyên tố của C n n .2
(C 2 n kí hiệu số tổ hợp chập n của tập hợp có 2n phần tử)
n
----------------------------------
- ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003
MÔN: TOÁN (Bảng A)
Ngày thi : 12/3/2003
Bài 1 : Cho hàm số f xác định trên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và
thoả mãn điều kiện :
f(cotgx) = sin2x + cos2x
với mọi x thuộc khoảng (0; ).
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số :
g(x) = f(x).f(1-x)
trên đoạn [-1;1]
Bài 2 : Trong mặt phẳng , cho hai đường tròn cố định (O 1 ) và (O 2 ) tiếp xúc
với nhau tại điểm M , và bán kính của đường tròn (O 2 ) lớn hơn bán kính của
đường tròn (O 1 ). Xét điểm A nằm trên đường tròn (O 2 ) sao cho 3 điểm
O 1 ,O 2 ,A không thẳng hàng . Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường
tròn (O 1 ) (B và C là các tiếp điểm) . Các đường thẳng MB và MC cắt lại
đường tròn (O 2 ),tương ứng, tại E và F . Gọi D là giao điểm của đường thẳng
EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O 2 ) . Chứng minh rằng điểm D di
động trên một đường thẳng cố định , khi A di động trên đường tròn (O 2 ) sao
cho ba điểm O 1 ,O 2 ,A không thẳng hàng .
( (O) kí hiệu đường tròn tâm O)
Bài 3 : Với mỗi số nguyên n>1 , kí hiệu s n là số các hoàn vị (a 1 ,a 2 ,….,a n )
của n số nguyên dương đầu tiên , mà mỗi hoán vị (a 1 ,a 2 ,…., a n ) đều có tính
chất 1 |a k - k| 2 với mọi k = 1,2,3,…,n.
Chứng minh rằng : 1,75.s n1 < s n < 2.s n1 với mọi số nguyên n >6
------------------------------------------------
- ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003
MÔN: TOÁN (Bảng A)
Ngày thi : 13/3/2003
Bài 4 : Hãy tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho hệ phương trình :
(x+1) 2 + y 12 = (x+2) 2 + y 2 = … = (x+k) 2 + y k = … = (x+n) 2 + y n
2
2 2
có nghiệm nguyên (x,y 1 ,y 2 ,….,y n )
Bài 5 : Cho hai đa thức :
P(x) = 4x 3 - 2x 2 - 15x + 9
và Q(x) = 12x 3 + 6x 2 - 7x + 1
1/ Chứng minh rằng mỗi đa thức đã cho đều có ba nghiệm thực phân biệt
2/ Kí hiệu α và β tương ứng là nghiệm lớn nhất của P(x) và Q(x) . Chứng
minh rằng: α 2 + 3β 2 = 4
Bài 6 : Cho tập hợp F gồm tất cả các hàm số f : R R thoả mãn điều
kiện:
f(3x) f(f(2x)) + x
với mọi số thực dương x.
Hãy tìm số thực α lớn nhất sao cho với mọi hàm số f thuộc tập hợp F
ta đều có :
f(x) α
với mọi số thực dương x.
( R kí hiệu tập hợp các số thực dương).
--------------------------------------
