Xem mẫu

  1. Đ d b đ i h c môn toán năm 2008 & • Th i gian làm bài: 180 phút. • Typeset by L TEX. A • Copyright c 2009 by Nguy n M nh Dũng, THPT chuyên Toán, ĐHKHTN-ĐHQG Hà N i. Đ ngh các tác gi khi s d ng tài li u này nên ghi rõ ngu n, không s d ng trong m c đích thương m i. • Email: nguyendunghus@gmail.com. • Mathematical blog: http://nguyendungtn.tk 1
  2. Đ THI TUY N SINH Đ I H C, CAO Đ NG NĂM 2008 Đ D B 1 MÔN TOÁN KH I A PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH Câu I (2 đi m) Cho hàm s y = x3 + 3mx2 + (m + 1)x + 1 (1), m là tham s th c 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = −1. 2. Tìm các giá tr c a m đ ti p tuy n c a đ th hàm s (1) t i đi m có hoành đ x = −1 đi qua đi m A(1; 2). Câu II (2 đi m) 1. Gi i phương trình tan x = cot x + 4 cos2 2x. √ √ (2x − 1)2 2. Gi i phương trình 2x + 1 + 3 − 2x = . 2 Câu III (2 đi m) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai đư ng th ng x−3 y−3 z−3 5x − 6y − 6z + 13 = 0 d1 : = = ; d2 : 2 2 1 x − 6y + 6z − 7 = 0 1. Ch ng minh r ng d1 và d2 c t nhau. 2. G i I là giao đi m c a d1 và d2√Tìm t a đ các di m A, B l n lư t thu c d1 , d2 sao cho tam giác IAB . 41 cân t i I và có di n tích b ng . 42 Câu IV (2 đi m) 3 xdx 1. Tính tích phân I= √ . 1 3 2x + 2 2 π 2. Gi i phương trình esin(x− 4 ) = tan x. PH N RIÊNG — THÍ SINH CH ĐƯ C LÀM 1 TRONG 2 CÂU : V.a HO C V.b Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 đi m) 1. Cho t p h p E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}. H i có bao nhiêu s t nhiên ch n g m 4 ch s khác nhau đư c thành l p t các ch s c a E. 2. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC v i đư ng cao k t đ nh B và đư ng phân giác trong c a góc A l n lư t có phương trình là 3x + 4y + 10 = 0 và x − y + 1 = 0; đi m M (0; 2) thu c √ đư ng th ng AB đ ng th i cách C m t kho ng b ng 2. Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC. Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 đi m) 2x + 3 1. Gi i phương trình log 1 log2 ≥ 0. 3 x+1 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân t i đ nh B, BA = BC = 2a, hình chi u vuông góc c a S trên m t ph ng đáy (ABC) là trung đi m c a AB và SE = 2a. G i I, J l n lư t là trung đi m c a EC, SC; M là đi m di đ ng trên tia đ i c a tia BA sao cho ECM = α(α < 90o ) và H là hình chi u vuông góc c a S trên M C. Tính th tích c a kh i t di n EHIJ theo a, α và tìm α đ th tích đó l n nh t. 2
  3. Đ THI TUY N SINH Đ I H C, CAO Đ NG NĂM 2008 Đ D B 2 MÔN TOÁN KH I A PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH Câu I (2 đi m) Cho hàm s y = x4 − 8x2 + 7 (1), 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1). 2. Tìm các giá tr th c c a tham s m đ đư ng th ng y = mx − 9 ti p xúc v i đ th hàm s (1). Câu II (2 đi m) √ π π 2 1. Gi i phương trình sin 2x − = sin x − + . 4 4 2 1 3x 2. Gi i b t phương trình 2 +1> √ . 1−x 1 − x2 Câu III (2 đi m) x−3 Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P ) : 2x + 3y − 3z + 1 = 0, đư ng th ng d1 : = 2 y z+5 = và 3 đi m A(4; 0; 3), B(−1; −1; 3), C(3; 2; 6). 9 1 1. Vi t phương trình m t c u (S) đi qua 3 đi m A, B, C và có tâm thu c mp(P ). 2. Vi t phương trình m t ph ng (Q) ch a đư ng th ng d và c t m t c u (S) thưo 1 đư ng tròn có bán kính l n nh t. Câu IV (2 đi m) π 2 sin 2xdx 1. Tính tích phân I= . 0 3 + 4 sin x − cos 2x 2. Ch ng minh r ng phương trình 4x (4x2 + 1) = 1 có đúng 3 nghi m th c phân bi t. PH N RIÊNG — THÍ SINH CH ĐƯ C LÀM 1 TRONG 2 CÂU : V.a HO C V.b Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 đi m) 1. Tìm h s c a s h ng ch a x5 trong khai tri n nh th c Newton c a (1+3x)2n , bi t r ng A3 +2A2 = 100 n n (n là s nguyên dương) 2. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đư ng tròn (C) : x2 + y 2 = 1. Tìm các giá tr th c c a m đ trên đư ng th ng y = m t n t i đúng 2 đi m mà t m i đi m có th k đư c hai ti p tuy n v i (C) sao cho góc gi a hai ti p tuy n đó b ng 60o . Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 đi m) 1 6 1. Gi i phương trình 3+ = logx 9x − x . log3 x 2. Cho hình chóp S.ABC mà m i m t bên là m t tam giác vuông, SA = SB = SC = a. G i M, N, E l n lư t là trung đi m c a các c nh AB, AC, BC; D là đi m đ i x ng c a S qua E; I là giao đi m c a đư ng th ng AD v i m t ph ng (SM N ). Ch ng minh r ng AD ⊥ SI và tính theo a th tích c a kh i t di n M BSI. 3
  4. Đ THI TUY N SINH Đ I H C, CAO Đ NG NĂM 2008 Đ D B 1 MÔN TOÁN KH I B PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH Câu I (2 đi m) Cho hàm s y = x3 − 3x2 − 3m(m + 2)x − 1 (1), m là tham s th c 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 0. 2. Tìm các giá tr c a m đ hàm s (1) có hai c c tr cùng d u. Câu II (2 đi m) π π 1 1. Gi i phương trình 2 sin x + − sin 2x − = . 3 6 2 √ √ √ √ 2. Gi i phương trình 10x + 1 + 3x − 5 = 9x + 4 + 2x − 2. Câu III (2 đi m) x−3 y z+5 Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho đư ng th ng d1 : = = và 2 đi m A(5; 4; 3), B(6; 7; 2). 2 9 1 1. Vi t phương trình đư ng th ng d2 qua 2 đi m A, B. Ch ng minh r ng hai đư ng th ng d1 và d2 chéo nhau. 2. Tìm đi m C thu c d1 sao cho tam giác ABC có di n tích nh nh t. Tính giá tr nh nh t đó. Câu IV (2 đi m) 2 x+1 1. Tính tích phân I= √ dx. 0 4x + 1 yz 2. Cho 3 s dương x, y, z th a mãn h th c x + y + z = . Ch ng minh r ng 3x √ 2 3−3 x≤ (y + z) 6 PH N RIÊNG — THÍ SINH CH ĐƯ C LÀM 1 TRONG 2 CÂU : V.a HO C V.b Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 đi m) A3 + Cn n 3 1. Cho s nguyên n th a mãn đ ng th c = 35 (n ≥ 3). Tính t ng (n − 1)(n − 2) S = 22 Cn − 32 Cn + · · · + (−1)n n2 Cn 2 3 n √ 2. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC v i AB = 5, C(−1; −1), đư ng th ng AB có phương trình x + 2y − 3 = 0 và tr ng tâm c a tam giác ABC thu c đư ng th ng x + y − 2 = 0. Hãy tìm t a đ các đ nh A và B. Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 đi m) 1. Gi i phương trình 2 log2 2x + 2 + log 1 9x − 1 = 1. 2 √ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình vuông c nh b ng a, SA = a 3 và SA vuông góc v i m t ph ng đáy. Tính theo a th tích kh i t di n SACD và tính cosin c a góc gi a hai đư ng th ng SB, AC. 4
  5. Đ THI TUY N SINH Đ I H C, CAO Đ NG NĂM 2008 Đ D B 2 MÔN TOÁN KH I B PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH Câu I (2 đi m) x2 + (3m − 2)x + 1 − 2m Cho hàm s y = (1), m là tham s th c x+2 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 1. 2. Tìm các giá tr c a m đ hàm s (1) đ ng bi n trên t ng kho ng xác đ nh c a nó. Câu II (2 đi m) x 1. Gi i phương trình 3 sin x + cos 2x + sin 2x = 4 sin x cos2 . 2 √ √ x − 1 − y = 8 − x3 2. Gi i h phương trình 4 (x − 1) = y Câu III (2 đi m) Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho 3 đi m A(1; 0; −1), B(2; 3; −1), C(1; 3; 1) và đư ng th ng d : x−y+1=0 x+y+z =4 1. Tìm t a đ đi m D thu c đư ng th ng d sao cho th tích c a kh i t di n ABCD b ng 1. 2. Vi t phương trình tham s c a đư ng th ng đi qua tr c tâm H c a tam giác ABC và vuông góc v i m t ph ng (ABC). Câu IV (2 đi m) 1 x3 dx 1. Tính tích phân I= √ . 0 4 − x2 2. Cho s nguyên n(n ≥ 2) và 2 s th c không âm x, y. Ch ng minh r ng √ n n x + y n ≥ n+1 xn+1 + y n+1 PH N RIÊNG — THÍ SINH CH ĐƯ C LÀM 1 TRONG 2 CÂU : V.a HO C V.b Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 đi m) 1. Ch ng minh r ng v i n là s nguyên dương 2n Cn 0 2n−1 Cn 1 20 C n n 3n+1 − 1 + + ... + = n+1 n 1 2 (n + 1) 2. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho 2 đi m A(3; 0), B(0; 4). Ch ng minh r ng đư ng tròn n i ti p tam giác OAB ti p xúc v i đư ng tròn đi qua trung đi m các c nh c a tam giác OAB. Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 đi m) 1. Gi i b t phương trình 32x+1 − 22x+1 − 5.6x ≤ 0. 2. Cho t di n ABCD có các m t ABC và ABD là các tam giác đ u c nh a, các m t ACD và BCD vuông góc v i nhau. hãy tính theo a th tích kh i t di n ABCD và tính s đo c a góc gi a hai đư ng th ng AD, BC. 5
  6. Đ THI TUY N SINH Đ I H C, CAO Đ NG NĂM 2008 Đ D B 1 MÔN TOÁN KH I D PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH Câu I (2 đi m) 3x + 1 Cho hàm s y = (1). x+1 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1). 2. Tính di n tích c a tam giác t o b i các tr c t a đ và ti p tuy n v i đ th hàm s (1) t i đi m M (−2; 5). Câu II (2 đi m) 1. Gi i phương trình 4(sin4 x + cos4 x) + cos 4x + sin 2x = 0. √ 2. Gi i b t phương trình (x + 1)(x − 3) −x2 + 2x + 3 < 2 − (x − 1)2 Câu III (2 đi m) Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho m t ph ng (α) : 2x − y + 2z + 1 = 0 và đư ng th ng x−1 y−1 z d: = = 1 2 −2 1. Tìm t a đ giao đi m c a d v i (α); tính sin c a góc gi a d và (α). 2. Vi t phương trình m t c u có tâm thu c d ti p xúc v i hai m t ph ng (α) và Oxy. Câu IV (2 đi m) 1 x 1. Tính tích phân I= xe2x − √ dx. 0 4 − x2 π 2. Cho các s th c x, y th a mãn 0 ≤ x, y ≤ . Ch ng minh r ng cos x + cos y ≤ 1 + cos(xy) 3 PH N RIÊNG — THÍ SINH CH ĐƯ C LÀM 1 TRONG 2 CÂU : V.a HO C V.b Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 đi m) 1. Ch ng minh r ng v i n là s nguyên dương n.2n .Cn + (n − 1)2n−1 c1 + . . . + 2Cn = 2n.3n−1 n n n−1 2. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đư ng tròn (C) : (x − 4)2 + y 2 = 4 và đi m E(4; 1). Tìm t a đ đi m M trên tr c tung sao cho t M k đư c hai ti p tuy n M A, M B đ n đư ng tròn (C) v i A, B là các ti p đi m sao cho đư ng th ng AB qua E. Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 đi m) 2 2 1. Gi i b t phương trình 22x −4x−2 − 16.22x−x −1 − 2 ≤ 0. 2. Cho t di n ABCD và các đi m M, N, P l n lư t thu c các c nh BC, BD, AC sao cho BC = AQ 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN . M t ph ng (M N P ) c t AD t i Q. Tính t s và t s th AD tích hai ph n c a kh i t di n ABCD đư c phân chia b i m t ph ng (M N P ). 6