Xem mẫu
- Kh i chuyên Toán - Tin trư ng ĐHKHTN-ĐHQGHN
Đ thi th đ i h c l n 2 năm 2008-2009
Ngày thi: 15/3/2009
• Th i gian: 180 phút.
• Typeset by L TEX 2ε .
A
• Copyright c 2009 by Nguy n M nh Dũng.
• Email: nguyendunghus@gmail.com.
• Mathematical blog: http://www.mathlinks.ro/weblog.php?w=1139
1
- 1 Đ bài
Câu I (2 đi m)
1) Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s
−2x2 + 3x − 3
y=
x−1
2) Tìm các đi m thu c (C) cách đ u hai ti m c n.
Câu II (2 đi m)
1) Gi i phương trình lư ng giác
√ √
9 sin3 x − 3 cos x + sin x cos x(cosx − 3 sin x) − 6 sin x = 0
2) Tìm a đ v i m i b h phương trình sau có nghi m
(a − 1)x5 + y 5 = 1
ebx + (a + 1)by 4 = a2
Câu III (2 đi m)
1) Tính th tích kh i tròn xoay nh n đư c do quay quanh tr c Oy hình ph ng h u h n đư c gi i
h n b i các đư ng y 2 = x và 3y − x = 2.
2) Tính t ng sau theo n
S = C2n − 3C2n + 9C2n − 27C2n + · · · + (−3)n C2n
0 2 4 6 2n
Câu IV (3 đi m)
1) Trong không gian v i h t a đ Đ các vuông góc Oxyz, cho hai đư ng th ng (d1 ), (d2 ) có
phương trình tham s
x=1−t x = 2t
d1 : y=t ; d2 : y =1−t
z = −t z=t
a) Vi t phương trình các m t ph ng (P ), (Q) song song v i nhau và l n lư t đi qua (d1 ), (d2 ).
b) Ch ng minh r ng hai đư ng th ng (d1 ), (d2 ) chéo nhau. Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng
đó.
2) G i I là tâm đư ng tròn n i ti p tam giác ABC, R và r l n lư t là bán kính đư ng tròn ngo i
ti p và n i ti p tam giác đó. Ch ng minh r ng
IA.IB.IC = 4Rr2
√
Câu V (1 đi m). Cho a, b, c là ba s th c dương thay đ i th a mãn đi u ki n a + b + c = 3.
Tìm giá tr nh nh t c a
P = a2 + ab + b2 + b2 + bc + c2 + c2 + ca + a2
2
- 2 L i gi i tóm t t
Câu I.
1) Đi m c c ti u (0; 3), đi m c c đ i (2; −5). Ti m c n đ ng x = 1, ti m c n xiên y = −2x + 1.
(B n đ c t v đ th )
2) Xét đi m M (x0 ; −2x0 + 1 − x02 ) là m t đi m thu c đ th hàm s . Đi m M cách đ u hai ti m
−1
c n khi và ch khi
|x − 0 − 1| |2x0 − 2x0 + 1 − x02 − 1|
−1
√ = √
1 5
hay
4 4
(x0 − 1)2 =
4
⇔ x0 = 1 ±
5 5
4 4
V y các đi m c n tìm là các đi m thu c (C) và có hoành đ x = 1 ± 5.
Câu II.
1) Phương trình đã cho tương đương v i
√ √
sin3 x − 3 cos x + sin x cos x(cosx − 3 sin x) = 2(3 sin x − 4 sin3 x)
π
⇔ sin x − = sin 3x
3
x − π = 3x + k2π
3
π π
⇔ ⇔x= +k k, l ∈ Z.
x − π = π − 3x + l2π
3 3 2
2) H đã cho có nghi m v i m i b nên khi cho b = 0 h có nghi m. Khi b = 0 h trên tương đương
v i
(a − 1)x5 + y 5 = 1
⇒ a = ±1
1 = a2
1. a = 1. H trên tr thành
y5 = 1
ebx + 2by 4 = 1
Cho b =1 thì h trên không có nghi m, v y lo i trư ng h p a = 1.
2. a=-1. H trên tr thành
−2x5 + y 5 = 1
ebx = 1
Rõ ràng h này luôn có nghi m x = 0, y = 1.
V y a = −1.
Câu III.
1) Xét phương trình tương giao y 2 = 3y − 1 ⇔ y = 1, y = 2. Ta có
2
4
V =π (3y − 2)2 − y 4 dy = π(d.v.t.t)
1 5
3
- 2) Xét khai tri n
2n
√ √
(1 + i 3)2n = C2n (i 3)k
k
k=0
√ 1 √ 3 √ 2n−1
= (C2n − 3C2n + · · · + (−3)n 2n ) + i( 32n − 3 3C2n + · · · + (−3)n−1 3C2n )
0 2
2n
M t khác, theo đ nh lí De Moirve, ta có
√ 2nπ 2nπ
(1 + i 3)2n = 22n (cos + i sin )
3 3
Đ ng nh t ph n th c, ta thu đư c
2nπ
S = 22n cos
3
Câu IV.
1) a) Các đư ng th ng (d1 ), (d2 ) l n lư t có vector ch phương
− = (−1; 1; −1), − = (2; −1; 1),
→
u1 →
u2
Vector − = [− , − ] = (0; 1; 1) vuông góc v i c hai vector trên. V y các m t ph ng (P ), (Q) có
→
n → →
u1 u2
cùng vector pháp → = (0; 1; 1) suy ra phương trình c a chúng có d ng y + z + d = 0
−
n
• Đi m M (1; 0; 0) ∈ (d1 ) nên nó cũng thu c (P ) suy ra d = 0.
V y mp (P ) có phương trình y + z = 0
• Tương t như trên ta có N (0; 1; 0) ∈ (Q) nên phương trình c a (Q) là y + z = 1
b) Vì − = k −1 ∀k = 0 nên (d1 ), (d2 ) không song song v i nhau. Vì −1 .−2 = 0 nên (d1 ), (d2 ) không
→
u1 →
n →→
n n
vuông góc v i nhau. Ta c n ch ng minh (d1 ) không c t (d2 ).
1 − t = 2t
Ta có (d1 ), (d2 ) c t nhau khi và ch khi t n t i t, t sao cho t=1−t nhưng h này vô nghi m.
−t = t
V y (d1 ), (d2 ) chéo nhau.
Kho ng cách gi a (d1 ), (d2 ) chính là kho ng cách gi a (P ) và (Q) và b ng
|1| 1
dN/(P ) = √ = √
2 2
A B C A B C
2) Ta có r = IA sin = IB sin = IC sin ⇒ r3 = IA.IB.IC. sin sin sin .
2 2 2 2 2 2
abc
Do pr = = S nên
4R
A B C A B C
abc 2R sin A sin B sin C 16R sin sin sin cos cos cos
r= = = 2 2 2 2 2 2 = 4R sin A sin B sin C
4Rp sin A + sin B + sin C A B C 2 2 2
4 cos cos cos
2 2 2
4
- A B C r r
⇒ sin sin sin = ⇒ r3 = IA.IB.IC. ⇒ IA.IB.IC = 4Rr2 .
2 2 2 4R 4R
Câu V. V i m i x, y > 0 ta có
√
2 + xy = y 2 =
3 1
2 + (x − y)2 ≥
3
x (x + y) (x + y)
4 4 2
D u đ ng th c x y ra ⇔ x = y.
Áp d ng b t đ ng th c trên ta thu đư c
√
3
P ≥ [(a + b) + (b + c) + (c + a)] = 3
2
1
D u đ ng th c x y ra ⇔ a = b = c = √ .
3
5
nguon tai.lieu . vn
