Xem mẫu
- Kh i chuyên Toán - Tin trư ng ĐHKHTN-ĐHQGHN Đ thi th đ i h c l n 2 năm 2008-2009 Ngày thi: 15/3/2009 • Th i gian: 180 phút. • Typeset by L TEX 2ε . A • Copyright c 2009 by Nguy n M nh Dũng. • Email: nguyendunghus@gmail.com. • Mathematical blog: http://www.mathlinks.ro/weblog.php?w=1139 1
- 1 Đ bài Câu I (2 đi m) 1) Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s −2x2 + 3x − 3 y= x−1 2) Tìm các đi m thu c (C) cách đ u hai ti m c n. Câu II (2 đi m) 1) Gi i phương trình lư ng giác √ √ 9 sin3 x − 3 cos x + sin x cos x(cosx − 3 sin x) − 6 sin x = 0 2) Tìm a đ v i m i b h phương trình sau có nghi m (a − 1)x5 + y 5 = 1 ebx + (a + 1)by 4 = a2 Câu III (2 đi m) 1) Tính th tích kh i tròn xoay nh n đư c do quay quanh tr c Oy hình ph ng h u h n đư c gi i h n b i các đư ng y 2 = x và 3y − x = 2. 2) Tính t ng sau theo n S = C2n − 3C2n + 9C2n − 27C2n + · · · + (−3)n C2n 0 2 4 6 2n Câu IV (3 đi m) 1) Trong không gian v i h t a đ Đ các vuông góc Oxyz, cho hai đư ng th ng (d1 ), (d2 ) có phương trình tham s x=1−t x = 2t d1 : y=t ; d2 : y =1−t z = −t z=t a) Vi t phương trình các m t ph ng (P ), (Q) song song v i nhau và l n lư t đi qua (d1 ), (d2 ). b) Ch ng minh r ng hai đư ng th ng (d1 ), (d2 ) chéo nhau. Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng đó. 2) G i I là tâm đư ng tròn n i ti p tam giác ABC, R và r l n lư t là bán kính đư ng tròn ngo i ti p và n i ti p tam giác đó. Ch ng minh r ng IA.IB.IC = 4Rr2 √ Câu V (1 đi m). Cho a, b, c là ba s th c dương thay đ i th a mãn đi u ki n a + b + c = 3. Tìm giá tr nh nh t c a P = a2 + ab + b2 + b2 + bc + c2 + c2 + ca + a2 2
- 2 L i gi i tóm t t Câu I. 1) Đi m c c ti u (0; 3), đi m c c đ i (2; −5). Ti m c n đ ng x = 1, ti m c n xiên y = −2x + 1. (B n đ c t v đ th ) 2) Xét đi m M (x0 ; −2x0 + 1 − x02 ) là m t đi m thu c đ th hàm s . Đi m M cách đ u hai ti m −1 c n khi và ch khi |x − 0 − 1| |2x0 − 2x0 + 1 − x02 − 1| −1 √ = √ 1 5 hay 4 4 (x0 − 1)2 = 4 ⇔ x0 = 1 ± 5 5 4 4 V y các đi m c n tìm là các đi m thu c (C) và có hoành đ x = 1 ± 5. Câu II. 1) Phương trình đã cho tương đương v i √ √ sin3 x − 3 cos x + sin x cos x(cosx − 3 sin x) = 2(3 sin x − 4 sin3 x) π ⇔ sin x − = sin 3x 3 x − π = 3x + k2π 3 π π ⇔ ⇔x= +k k, l ∈ Z. x − π = π − 3x + l2π 3 3 2 2) H đã cho có nghi m v i m i b nên khi cho b = 0 h có nghi m. Khi b = 0 h trên tương đương v i (a − 1)x5 + y 5 = 1 ⇒ a = ±1 1 = a2 1. a = 1. H trên tr thành y5 = 1 ebx + 2by 4 = 1 Cho b =1 thì h trên không có nghi m, v y lo i trư ng h p a = 1. 2. a=-1. H trên tr thành −2x5 + y 5 = 1 ebx = 1 Rõ ràng h này luôn có nghi m x = 0, y = 1. V y a = −1. Câu III. 1) Xét phương trình tương giao y 2 = 3y − 1 ⇔ y = 1, y = 2. Ta có 2 4 V =π (3y − 2)2 − y 4 dy = π(d.v.t.t) 1 5 3
- 2) Xét khai tri n 2n √ √ (1 + i 3)2n = C2n (i 3)k k k=0 √ 1 √ 3 √ 2n−1 = (C2n − 3C2n + · · · + (−3)n 2n ) + i( 32n − 3 3C2n + · · · + (−3)n−1 3C2n ) 0 2 2n M t khác, theo đ nh lí De Moirve, ta có √ 2nπ 2nπ (1 + i 3)2n = 22n (cos + i sin ) 3 3 Đ ng nh t ph n th c, ta thu đư c 2nπ S = 22n cos 3 Câu IV. 1) a) Các đư ng th ng (d1 ), (d2 ) l n lư t có vector ch phương − = (−1; 1; −1), − = (2; −1; 1), → u1 → u2 Vector − = [− , − ] = (0; 1; 1) vuông góc v i c hai vector trên. V y các m t ph ng (P ), (Q) có → n → → u1 u2 cùng vector pháp → = (0; 1; 1) suy ra phương trình c a chúng có d ng y + z + d = 0 − n • Đi m M (1; 0; 0) ∈ (d1 ) nên nó cũng thu c (P ) suy ra d = 0. V y mp (P ) có phương trình y + z = 0 • Tương t như trên ta có N (0; 1; 0) ∈ (Q) nên phương trình c a (Q) là y + z = 1 b) Vì − = k −1 ∀k = 0 nên (d1 ), (d2 ) không song song v i nhau. Vì −1 .−2 = 0 nên (d1 ), (d2 ) không → u1 → n →→ n n vuông góc v i nhau. Ta c n ch ng minh (d1 ) không c t (d2 ). 1 − t = 2t Ta có (d1 ), (d2 ) c t nhau khi và ch khi t n t i t, t sao cho t=1−t nhưng h này vô nghi m. −t = t V y (d1 ), (d2 ) chéo nhau. Kho ng cách gi a (d1 ), (d2 ) chính là kho ng cách gi a (P ) và (Q) và b ng |1| 1 dN/(P ) = √ = √ 2 2 A B C A B C 2) Ta có r = IA sin = IB sin = IC sin ⇒ r3 = IA.IB.IC. sin sin sin . 2 2 2 2 2 2 abc Do pr = = S nên 4R A B C A B C abc 2R sin A sin B sin C 16R sin sin sin cos cos cos r= = = 2 2 2 2 2 2 = 4R sin A sin B sin C 4Rp sin A + sin B + sin C A B C 2 2 2 4 cos cos cos 2 2 2 4
- A B C r r ⇒ sin sin sin = ⇒ r3 = IA.IB.IC. ⇒ IA.IB.IC = 4Rr2 . 2 2 2 4R 4R Câu V. V i m i x, y > 0 ta có √ 2 + xy = y 2 = 3 1 2 + (x − y)2 ≥ 3 x (x + y) (x + y) 4 4 2 D u đ ng th c x y ra ⇔ x = y. Áp d ng b t đ ng th c trên ta thu đư c √ 3 P ≥ [(a + b) + (b + c) + (c + a)] = 3 2 1 D u đ ng th c x y ra ⇔ a = b = c = √ . 3 5