Xem mẫu

  1. Thi thử Đại học 2009 Môn Toán THI THỬ ĐẠI HỌC 2009 MÔN TOÁN Đề thi số 2 Thời gian làm bài: 180 phút A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x3 3x 2 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. m b) Biện luận số nghiệm của phương trình x 2 2x 2 theo tham số m. x 1 Câu II (2 điểm) a) Giải phương trình 3 4 sin 2 2 x 2 cos 2 x 1 2 sin x b) Giải phương trình log x x 2 14 log16 x x3 40 log 4 x x 0. 2 Câu III ( 2 điểm) 3 x sin x a) Tính tích phân I dx. cos 2 x 3 x2 b) Cho hàm số f ( x) ex sin x 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của f (x) và chứng minh rằng 2 f ( x) 0 có đúng hai nghiệm. x 1 y z 2 Câu IV (2 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: và mặt phẳng 2 1 3 ( P) : 2 x y z 1 0 a) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P ) . Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong (P ) . b) Viết phương trình mặt phẳng (Q ) chứa d sao cho khoảng cách từ điểm I (1,0,0) tới (Q ) bằng 2 . 3 B. PHẦN DÀNH RIÊNG CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH Câu Va (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình cơ bản a) Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có A 0; 5 . Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là d1 : x y 1 0,d 2 : x 2 y 0. Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC. 60 3 b) Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển 2 3 . Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 1
  2. Thi thử Đại học 2009 Môn Toán Câu Vb (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình nâng cao 1 x 2 1 x1 a) Giải phương trình 3.4 x .9 6 .4 x .9 . 3 4 b) Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. Qua A dựng mặt phẳng (P ) vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P ) và hình chóp. ĐÁP ÁN Câu I 2 điểm a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x3 3x 2 2. Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R. 0,25 x 0 Sự biến thiên: y' 3x 2 6 x. Ta có y' 0 x 2 yCD y 0 2; yCT y 2 2. 0,25 Bảng biến thiên: 0,25 x 0 2 y' 0 0 2 y 2 Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình 0,25 b) m Biện luận số nghiệm của phương trình x 2 2x 2 theo tham số m. x 1 m 0,25 Ta có x 2 2 x 2 x2 2x 2 x 1 m,x 1. Do đó số nghiệm x 1 của phương trình bằng số giao điểm của y x 2 2 x 2 x 1 , C' và đường thẳng y m,x 1. f x khi x 1 0,25 Vì y x2 2x 2 x 1 nên C' bao gồm: f x khi x 1 + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x 1. + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x 1 qua Ox. Học sinh tự vẽ hình 0,25 Dựa vào đồ thị ta có: 0,25 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 2
  3. Thi thử Đại học 2009 Môn Toán +m 2 : Phương trình vô nghiệm; +m 2 : Phương trình có 2 nghiệm kép; + 2 m 0 : Phương trình có 4 nghiệm phân biệt; + m 0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 0,25 Câu II 2 điểm a) Giải phương trình 3 4 sin 2 2 x 2 cos 2 x 1 2 sin x Biến đổi phương trình về dạng 2 sin 3 x 2 sin x 1 2 sin x 1 0 0,75 Do đó nghiệm của phương trình là 0,25 7 k2 5 k2 x k2 ; x k2 ; x ;x 6 6 18 3 18 3 b) Giải phương trình log x x 2 14 log16 x x3 40 log 4 x x 0. 2 1 1 0,25 Điều kiện: x 0; x;x .2; x 4 16 Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho Với x 1 . Đặt t log x 2 và biến đổi phương trình về dạng 0,5 422 20 0 1 t 4t 1 2t 1 1 1 0,25 Giải ra ta được t ;t 2 x 4; x . Vậy pt có 3 nghiệm x =1; 2 2 1 x 4; x . 2 Câu III a) 3 x sin x Tính tích phân I dx. cos 2 x 3 Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có 0,25 3 3 3 1 x 3 dx 4 dx I xd J , với J cosx cosx cosx 3 cosx 3 3 3 3 Để tính J ta đặt t sin x. Khi đó 0,5 3 3 3 2 dx dt 1 t 1 2 2 3 J ln ln . cosx 3 1 t2 2 t 1 3 2 3 3 2 2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 3
  4. Thi thử Đại học 2009 Môn Toán 4 2 3 0,25 Vậy I ln . 3 2 3 b) x2 Cho hàm số f ( x) ex sin x 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của f (x) và chứng 2 minh rằng f ( x) 0 có đúng hai nghiệm. Ta có f ( x ) e x x cos x. Do đó f ' x 0 ex x cos x. 0,25 Hàm số y e x là hàm đồng biến; hàm số y x cosx là hàm nghịch biến 0,25 vì y' 1 sin x 0 , x . Mặt khác x 0 là nghiệm của phương trình ex x cos x nên nó là nghiệm duy nhất. Lập bảng biến thiên của hàm số y f x (học sinh tự làm) ta đi đến kết 0,5 luận phương trình f ( x) 0 có đúng hai nghiệm. Từ bảng biến thiên ta có min f x 2 x 0. Câu IV a) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P ) . Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong (P ) . 1 7 0,25 Tìm giao điểm của d và (P) ta được A 2; ; 2 2 Ta có ud 2;1; 3 ,nP 2;1;1 u ud ;n p 1; 2; 0 0,5 1 7 0,25 Vậy phương trình đường thẳng là :x 2 t; y 2t; z . 2 2 b) 2 Viết (Q ) chứa d sao cho khoảng cách từ điểm I (1,0,0) tới (Q ) bằng . 3 x 2y 1 0 0,25 Chuyển d về dạng tổng quát d : 3y z 2 0 Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d có dạng 0,25 2 2 m x 2y 1 n 3y z 2 0,m n 0 mx 2m 3n y nz m 2n 0 2 0,5 d I; Q Q1 : x y z 1 0, Q2 : 7 x y 5 z 3 0. 3 Câu VIa a) Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có A 0; 5 . Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là d1 : x y 1 0,d 2 : x 2 y 0. Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 4
  5. Thi thử Đại học 2009 Môn Toán Ta có B d1 d2 B 2; 1 AB : 3x y 5 0. 0,25 Gọi A' đối xứng với A qua d1 H 2; 3 , A' 4;1 . 0,25 Ta có A' BC BC : x 3 y 1 0. 0,25 Tìm được C 28; 9 AC : x 7 y 35 0. 0,25 b) 3 60 Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển 2 3 . 3 60 60 k 60 k k 0,5 Ta có 2 3 C60 2 2 33 . k 0 60 k 2 k 2 0,5 Để là số hữu tỷ thì k 6. Mặt khác 0 k 60 nên có 11 k 3 số như vậy. Câu Vb a) 1 x 1 x Giải phương trình 3.4 x .9 2 6 .4 x .9 1 3 4 9 2x 0,5 Biến đổi phương trình đã cho về dạng 3.22 x 27.32 x 6.22 x .3 4 x 3 2 2 0,5 Từ đó ta thu được x log 3 2 39 2 39 b) Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. Qua A dựng mặt phẳng (P ) vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P ) và hình chóp. Học sinh tự vẽ hình 0,25 Để dựng thiết diện, ta kẻ AC' SC. Gọi I AC' SO. 0,25 1 1 2 a 3 a2 3 0,5 Kẻ B' D' // BD. Ta có S AD' C' B' B' D' .AC' . BD. . 2 2 3 2 6 Nguồn: Hocmai.vn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 5