Xem mẫu
- Đ IS (CƠ S )
Tài li u ôn thi cao h c năm 2005
Phiên b n đã ch nh s a
TS. Tr n Huyên
Ngày 18 tháng 3 năm 2005
Bài 8. Các Bài Toán Ki m Tra Vành
Và Vành Con
Cũng như k năng ki m tra nhóm, k năng ki m tra vành là m t trong nh ng k năng cơ
b n luôn có m t trong các đ thi đ i s cơ s .
Trên cơ s k th a các tri th c v nhóm ta có th đ nh nghĩa khái ni m vành như sau :
Đ nh nghĩa : Vành là m t nhóm c ng giao hoán (X; +) đư c trang b thêm m t phép
toán nhân có tính chât k t h p:
∀x, y, z ∈ X : (xy)z = x(yz)
và có tính ch t phân ph i đ i v i phép c ng
∀x, y, z ∈ X : x(y + z) = xy + xz và (y + z)x = yx + zx
Như v y :
Vành là m t t p X = ø trên đó đã xác đ nh đư c hai phép toán hai ngôi : m t kí hi u theo l i
c ng, còn l i kí hi u theo l i nhân th a :
1. (X; +) là nhóm giao hoán.
2. Phép nhân trong X có tính ch t k t h p.
3. Phép nhân phân ph i đ i v i phép c ng.
Mu n ki m tra m t t p X cho trư c v i các phép toán đã cho là m t vành, hi n nhiên là
chúng ta s ph i l n lư t ki m tra các đi u ki n đ nh nghĩa đã đưa ra trên.
1. Ví d 1:
Ch ng minh r ng t p Mn các ma tr n th c vuông c p n là m t vành v i hai phép toán
c ng và nhân ma tr n.
Gi i
Hi n nhiên t ng hay tích c a hai ma tr n th c vuông c p n l i là m t ma tr n th c
vuông c p n nên các phép c ng, nhân ma tr n là các phép toán hai ngôi trên Mn . Theo
1
- lý thuy t nhóm ta đã có (Mn ;+) là nhóm c ng giao hoán. Theo đ i s tuy n tính ta bi t
phép nhân các ma tr n có tính ch t k t h p và có tính ch t phân ph i đ i v i phép c ng
ma tr n. V y theo đ nh nghĩa : (Mn ; + ; .) là m t vành.
Nh n xét :
Khi ki m tra vành X đòi h i trư c h t ph i ki m tra (X;+) là nhóm giao hoán, n u đi u
đó đã đư c ki m tra trong ph n nhóm thì ta có th không c n ph i ki m tra l i mà ch
nh c r ng đi u đó đã đư c ki m tra trư c đây trong lí thuy t nhóm r i. Cũng như
bên nhóm n u như m t đòi h i nào đó trong đ nh nghĩa vành (ch ng h n tính ch t k t
h p c a phép nhân...) n u đã đư c đ m b o b i k t qu c a m t chuyên ngành nào đó
(ch ng h n đ i s tuy n tính, s h c,...) thì ta cũng ch c n nói l i r ng đi u đó đã có
theo chuyên ngành đó mà không c n vi t bi u th c ki m tra chi ti t.
Ta nh n xét r ng phép c ng trong vành đã có đ các tính ch t thông d ng : k t h p,
giao hoán, có đơn v , t n t i ph n t đ i cho m i ph n t ; trong lúc đó phép nhân ch
đòi h i thêm duy nh t tính ch t k t h p. T c là có th b sung thêm cho phép nhân các
tính ch t thông d ng còn l i.
Khi phép nhân trong vành X có tính ch t giao hoán ta g i vành X là vành giao hoán.
Khi phép nhân trong vành X có thêm đơn v (kí hi u 1 hay e) ta g i vành X là vành có
đơn v .
Vành (Mn ; +; .) ki m tra ví d 1 là vành có đơn v (đơn v c a Mn là ma tr n đơn v
E) tuy nhiên không là vành giao hoán.
2. Ví d 2 :
Cho X là vành, Z là vành các s nguyên. Trên t p
X × Z = {(x, n) : x ∈ X, n ∈ Z}
ta xác đ nh các phép toán :
(x1 , n1 ) + (x2 , n2 ) = (x1 + x2 , n1 + n2 )
(x1 , n1 )(x2 , n2 ) = (x1 x2 + n1 x2 + n2 x1 , n1 n2 )
Ch ng minh X × Z là vành có đơn v . Vành này có giao hoán không. V i di u ki n nào
cho X thì X × Z giao hoán?
Gi i :
Theo cách xác đ nh phép toán c ng trong X × Z (là phép c ng theo t ng thành ph n !)
ta th y (X × Z, +) là tích Decac c a hai nhóm c ng giao hoán (X, +) và (Z, +) nên theo
lí thuy t nhóm ta có (X × Z, +) là nhóm c ng giao hoán. V y ta còn ph i ki m tra phép
nhân k t h p, và phép nhân phân ph i v i phép c ng. Th t v y :
∀(x1 , n1 ), (x2 , n2 ), (x3 , n3 ) ∈ X × Z :
• [(x1 , n1 )(x2 , n2 )](x3 , n3 ) = (x1 x2 + n1 x2 + n2 x1 , n1 n2 )(x3 , n3 )
= (x1 x2 x3 + n1 x2 x3 + n2 x1 x3 + x1 x2 n3 + n3 n1 x2 + n3 n2 x1 + n1 n2 x3 , n1 n2 n3 )
= (x1 , n1 )(x2 x3 + n2 x3 + n3 x2 , n2 n3 )
= (x1 , n1 )[(x2 , n2 )(x3 , n3 )] (1)
2
- • (x1 , n1 )[(x2 , n2 ) + (x3 , n3 )] = (x1 , n1 )[(x2 + x3 , n2 + n3 )]
= (x1 x2 + x1 x3 + n1 x2 + n1 x3 + +n2 x1 + n3 x1 , n1 n2 + n1 n3 )
= (x1 x2 + n1 x2 + n2 x1 , n1 n2 ) + (x1 x3 + n1 x3 + n3 x1 , n1 n3 )
= (x1 , n1 )(x2 , n2 ) + (x1 , n1 )(x3 , n3 ) (2)
• [(x2 , n2 ) + (x3 , n3 )](x1 , n1 ) = [(x2 + x3 , n2 + n3 )(x1 , n1 )]
= (x2 x1 + x3 x1 + n1 x2 + n1 x3 + n2 x1 + n3 x1 , n2 n1 + n3 n1 )
= (x2 x1 + n1 x2 + n2 x1 , n2 n1 ) + (x3 x1 + n1 x3 + n3 x1 , n3 n1 )
= (x2 , n2 )(x1 , n1 ) + (x3 , n3 )(x1 , n1 ) (3)
Các h th c (1) cho ta phép nhân k t h p, còn các h th c (2) và (3) cho ta tính phân
ph i c a phép nhân đ i v i phép c ng. V y (X × Z; +, .) là m t vành.
Đơn v trong X là c p (0,1) vì
∀(x, n) ∈ X × Z :
(x, n)(0, 1) = (x.0 + n.0 + 1.x, n.1) = (x, n)
(0, 1)(x, n) = (0.x + 1.x + n.0, 1.n) = (x, n)
N u vành X không giao hoán, t c t n t i x, y ∈ X mà xy = yx. Khi đó xét hai c p
(x, 1), (y, 1) ∈ X × Z ta có:
(x, 1)(y, 1) = (xy + x + y, 1) = (yx + x + y, 1) = (y, 1)(x, 1)
t c vành X × Z không giao hoán.
N u vành X giao hoán, khi đó
∀(x1 , n1 ), (x2 , n2 ) ∈ X × Z ta có :
(x1 , n1 )(x2 , n2 ) = (x1 x2 + n1 x2 + n2 x1 , n1 n2 )
= (x2 x1 + n2 x1 + n1 x2 , n2 n1 )
= (x2 , n2 )(x1 , n1 )
t c X × Z là vành giao hoán.
Như v y X × Z là vành giao hoán ⇔ X là vành giao hoán.
Khái ni m vành con c a m t vành cho trư c X dư c đ nh nghĩa m t cách tương t khái
ni m nhóm con c a m t nhóm. Đó là t p ø = A ⊂ X, n đ nh đ i v i hai phép toán c ng
và nhân trong X, đ ng th i A cùng v i hai phép toán c m sinh t nó là m t vành. Khi
đó ta vi t : A ⊂ Tuy nhiên, cũng như trong lý thuy t nhóm, đ ki m tra m t vành con
vX
ta s s d ng tiêu chu n v vành con đư c phát bi u như sau :
Tiêu chu n vành con : Cho vành X, b ph n A = ø c a X là m t vành con c a X
⇔ ∀x, y ∈ A thì x − y ∈ A và xy ∈ A Nói v n t t ø = A ⊂ ⇔ A n đ nh đ i v i phép
vX
tr và phép nhân.
3. Ví d 3 :
cho X là vành. Ta g i tâm c a vành X, t p
Z(X) = {a ∈ X : ax = xa, ∀x ∈ X}
(a) Ch ng minh Z(X) là vành con c a vành X
3
- (b) Tìm Z(Mn ) v i Mn là vành các ma tr n th c vuông c p m.
Gi i :
(a) Ta ki m tra A ⊂ theo tiêu chu n vành con.
vX
ax = xa
Th t vây, ∀a, b ∈ Z(X) ⇒
bx = xb ∀x ∈ X
Do đó :
(a − b)x = ax − bx = xa − xb = x(a − b)
(ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = x(ab)
Vy:
a − b ∈ Z(X) và ab ∈ Z(X). Đó là đi u ph i ch ng minh.
(b) ∀i, j ∈ {1, 2, . . . , n} g i Eij là ma tr n mà các ph n t trên đư ng chéo chính và t i
v trí ij là b ng 1, còn các ph n t còn l i là b ng 0. N u ma tr n A ⊂ Z(Mn ) thì
AEij = Eij A, ∀i, j(i = j). T c n u A = (akl )m×n thì :
. . . a1j + a1i . . .
... ... ...
AEij = . . . aij + aii . . . ← dòng i
... ... ...
. . . anj + ani . . .
↑
c tj
... ... ... ... ...
= ai1 + aj1 . . . aij + ajj . . . ain + ajn ← dòng i
... ... ... ... ...
↑
c tj
= Eij A (∗)
(Th t ra AEij có đư c t A b ng cách c ng c t i vào c t j và Eij A có đư c là t A
b ng cách c ng dòng j vào dòng i). Vì hai ma tr n b ng nhau ⇔ các ph n t tương
ng b ng nhau nên t h th c (*) ta rút ra :aki = 0 n u k = i và aii = ajj .
Các k t lu n trên là đúng cho m i c p ij : i = j. T đó suy ra : aii = a ∈ R, ∀i và
aij = 0 n u i = j. V y : A = aE.
Hi n nhiên r ng m i ma tr n aE, a ∈ R đ u giao hoán đư c v i b t kì ma tr n
X ∈ Mn V y :
Z(Mn ) = {aE : a ∈ R}.
Chú ý : Cũng tương t như trong nhóm, đôi khi đ ki m tra m t t p h p X = ø
v i hai phép toán đã cho là m t vành trong trư ng h p t p X là b ph n c a m t
vành đã bi t và phép toán trên X chính là các phép toán c m sinh, thay cho vi c
ki m tra tr c ti p ta có th ki m tra X là vành con c a vành đã bi t theo tiêu chu n
vành con.
4
- 4. Ví d 4 :
M t ma tr n vuông A = (aij )m×n g i là ma tr n tam giác n u aij = 0 khi i > j. Ch ng
T
minh r ng t p Mn các ma tr n tam giác l p thành m t vành đ i v i phép c ng và nhân
ma tr n.
Gi i :
T
Theo chú ý trên ta ch vi c ch ng minh Mn ⊂ n vM
T T
hi n nhiên Mn = ø vì E ∈ Mn
T
∀A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mn :
A − B = C = (cij ) v i cij = aij + bij
N u i > j thì aij = 0 = bij ⇒ cij = 0 t c C là ma tr n tam giác.
T
V y : A − B ∈ Mn
AB = C = (cij ) v i cij = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ain bnj
N u i > j thì cij = [ai1 b1j + . . . + aij bjj ] + [a1j+1 bj+1j + . . . + a1n bnj ]
T
v i ai1 = . . . = aij = 0 và bj+1j = . . . = bnj = 0 ⇒ cij = 0 t c A.B ∈ Mn .
T T
V y theo tiêu chu n vành con : Mn ⊂ n t c Mn là vành.
vM
5
- Bài T p
1. Cho X là m t nhóm c ng giao hoán. G i End(X) l t p t t c các t đ ng c u f : X → X
; trong End(X) ta đ nh nghĩa các phép toán sau
Phép c ng : ∀f, g ∈ End(X) thì f + g : X → X mà ∀x ∈ X : (f + g)(x) = f (x) + g(x)
Phép nhân : f g : X → X mà ∀x ∈ X : f g(x) = f [g(x)]
(a) Ch ng minh End(X) là vành có đơn v v i hai phép c ng và nhân trên.
(b) Cho A là nhóm con c a X. G i N(A) t p t t c các đ ng c u f ∈ End(X) mà
f (A) = 0. Ch ng minh N (A) ⊂ End(X).
(c) V i m i s nguyên n ∈ Z ta xác đ nh ánh x
ϕn : X → X mà ∀x ∈ X : ϕn (x) = nx.
Ch ng minh r ng ϕn là t đ ng c u và H = {ϕn : n ∈ Z} là vành con giao hoán có
đơn v c a End(X). Có th kh ng đ nh r ng H = Z(End(X)) không, trong đó vành
bên ph i đ ng th c là tâm c a vành End(X).
2. Cho các t p ma tr n vuông c p n sau :
c
(a) Mn = {A = (aij )m×n : ai1 = 0, ∀i = 1, 2, . . . , n}
F
(b) Mn = {A = (aij )m×n : ai1 = 0 = a1j , ∀i, j = 1, 2, . . . , n}
Ch ng minh r ng các t p h p trên đ u là vành v i hai phép toán c ng và nhân các ma
tr n.
3. CHo Z là nhóm c ng các s nguyên. Ch ng minh vành các t đ ng c u c a Z, End(Z),
là m t vành giao hoán có đơn v , có tính ch t là tích hai ph n t khác 0 là khác 0.
4. Cho X = Z × Z là tích Decac c a nhóm c ng các s nguyên Z v i chính nó. Ch ng
minh vành các t đ ng c u nhóm End(Z × Z) là vành không giao hoán. Tìm tâm c a
End(Z × Z).
6
nguon tai.lieu . vn
