Xem mẫu
- Đ I S CƠ B N
(ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C)
Bài 10. Không gian vectơ
PGS TS M Vinh Quang
Ngày 18 tháng 3 năm 2005
1 Các khái ni m cơ b n
1.1 Đ nh nghĩa không gian vectơ
Ký hi u R là t p các s th c, V là t p tùy ý khác ∅. V g i là không gian vectơ (trên R)
(m i ph n t c a V g i là m t vectơ) n u trong V có 2 phép toán:
• Phép c ng 2 vectơ, t c là v i m i c p vectơ α, β ∈ V xác đ nh đư c m t vectơ t ng
α+β ∈V.
• Phép nhân vô hư ng m t s v i m t vectơ, t c là v i m i a ∈ R và vectơ α ∈ V xác đ nh
đư c m t vectơ tích aα ∈ V .
Ngoài ra, phép c ng và phép nhân trên ph i th a mãn 8 đi u ki n sau:
1. Phép c ng k t h p; v i m i α, β, γ ∈ V :
(α + β) + γ = α + (β + γ)
2. Phép c ng giao hoán, v i m i α, β ∈ V :
α+β =β+α
3. Phép c ng có vectơ-không, t n t i vectơ O ∈ V (vectơ-không) có tính ch t:
α+O =O+α=α v i m i α∈V
4. Có vectơ đ i, v i m i vectơ α ∈ V , t n t i vectơ −α ∈ V (vectơ đ i c a α) có tính ch t:
α + (−α) = (−α) + α = O
5. Phép nhân phân ph i v i phép c ng, v i m i a ∈ R và các vectơ α, β ∈ V :
a(α + β) = aα + aβ
6. Phép nhân phân ph i v i phép c ng, v i m i s th c a, b ∈ R, m i vectơ α ∈ V :
(a + b)α = aα + bα
7. Phép nhân k t h p. V i m i a, b ∈ R, v i m i vectơ α ∈ V :
(ab)α = a(bα)
1
- 8. 1.α = α v i m i vectơ α ∈ V
Như v y, đ ki m tra t p h p V cùng v i 2 phép toán c ng và nhân vô hư ng có ph i là
không gian vectơ hay không, ta ph i ki m tra xem chúng có th a mãn 8 đi u ki n trên hay
không. B n đ c có th d dàng t ki m tra các ví d sau.
1.2 Các ví d v không gian vectơ
1. V = Rn = {(a1 , a2 , . . . , an )|ai ∈ R} v i:
- Phép c ng: α = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn , β = (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn :
α + β = (a1 + b1 , . . . , an + bn ) ∈ Rn
- Phép nhân vô hư ng: v i m i a ∈ R, a.α = a(a1 , . . . , an ) = (aa1 , . . . , aan )
thì V là m t không gian vectơ.
2. V = Mm×n (R) - t p các ma tr n c p m × n v i h s th c - v i phép c ng là phép c ng 2
ma tr n, phép nhân vô hư ng là phép nhân m t s th c v i m t ma tr n, là m t không
gian vectơ.
3. R[x] - t p các đa th c v i h s th c - v i phép c ng là phép c ng hai đa th c, phép nhân
vô hư ng là phép nhân m t s v i m t đa th c, là không gian vectơ.
4. R+ là t p các s th c dương. Trong R+ ta đ nh nghĩa phép c ng và phép nhân vô hư ng.
- Phép c ng: v i m i α, β ∈ R+ , α ⊕ β = αβ
- Phép nhân vô hư ng: v i m i a ∈ R, α ∈ R+ : a ∗ α = αa
Khi đó, (R+ , ⊕, ∗) là m t không gian vectơ v i vectơ-không là 1, vectơ đ i c a vectơ α là
1
vectơ
α
1.3 Các tính ch t cơ b n
1. Vectơ O và vectơ đ i (−α) là duy nh t.
2. Phép c ng có lu t gi n ư c: v i m i α, β, γ ∈ V , n u α + β = α + γ thì β = γ
3. 0.α = O, v i m i α ∈ V ,
a.O = O, v i m i a ∈ R,
(−1).α = −α v i m i α ∈ V
4. N u a.α = O thì a = 0 ho c α = O
5. N u α = O thì aα = bα ⇔ a = b
6. (−a)α = a(−α) = −(aα) v i m i a ∈ R, α ∈ V
2
- 2 Đ c l p tuy n tính, ph thu c tuy n tính
2.1 Các khái ni m cơ b n
Cho V là không gian vectơ, α1 , . . . , αn là m t h vectơ c a V .
• H vectơ α1 , α2 , . . . , αn g i là h vectơ ph thu c tuy n tính (PTTT) n u t n t i các s
th c a1 , a2 , . . . , an không đ ng th i b ng 0 sao cho
a1 α1 + · · · + an αn = O
t c là phương trình vectơ x1 α1 + · · · + xn αn = O có nghi m khác (0, . . . , 0)
• H vectơ α1 , α2 , . . . , αn g i là h vectơ đ c l p tuy n tính (ĐLTT) n u nó không ph thu c
tuy n tính, nói cách khác h α1 , α2 , . . . , αn ĐLTT khi và ch khi: n u a1 α1 +· · ·+an αn = O
v i ai ∈ R thì ai = 0 v i m i i, t c là phương trình vectơ x1 α1 + · · · + xn αn = O có
nghi m duy nh t là (0, . . . , 0)
Ví d . Trong R4 cho h vectơ α1 = (1, 0, 1, 1), α2 = (0, 1, 2, 3), α3 = (1, 2, 3, 4). H trên
ĐLTT hay PTTT?
Gi i. Xét h phương trình vectơ
x1 α1 + x2 α2 + x3 α3 = O
x1 + x3 = 0
x2 + 2x3 = 0
⇔
x1 + 2x2 + 3x3 = 0
x1 + 3x2 + 3x3 = 0
1 0 1
0 1 2
Ma tr n các h s c a h trên là A = 1 2 3
1 3 4
D th y rank A = 3 nên h trên có nghi m duy nh t (0, 0, 0). V y h vectơ trên đ c l p
tuy n tính.
Nh n xét. Đ xét h m vectơ α1 , α2 , . . . , αm ĐLTT hay PTTT trong Rn , ta l p ma tr n A
v i các c t là các vectơ α1 , α2 , . . . , αm r i tìm rank A. N u rank A = m (s vectơ) thì h ĐLTT,
n u rank A < m thì h PTTT.
• Vectơ β ∈ V g i là bi u th tuy n tính (BTTT) đư c qua h vectơ α1 , α2 , . . . , αn n u t n
t i các s a1 , a2 , . . . , an ∈ R sao cho β = a1 α1 + a2 α2 + · · · + an αn (t c là phương trình
vectơ x1 α1 + x2 α2 + · · · + xn αn = β có nghi m)
2.2 Các tính ch t cơ b n
1. H ch c vectơ-không luôn PTTT.
2. H g m 1 vectơ PTTT khi và ch khi vectơ đó b ng O, h g m 2 vectơ PTTT khi và ch
khi 2 vectơ đó t l .
3. N u m t h ĐLTT thì m i h con c a nó cũng ĐLTT.
4. H vectơ α1 , . . . , αn PTTT khi và ch khi có m t vectơ trong h bi u th tuy n tính đư c
qua các vectơ còn l i c a h .
5. N u h α1 , . . . , αn ĐLTT thì h vectơ α1 , . . . , αn , β ĐLTT khi và ch khi β không bi u th
tuy n tính đư c qua h α1 , α2 , . . . , αn .
3
- 3 H ng c a m t h vectơ
3.1 H vectơ tương đương
Trong không gian vectơ V cho hai h vectơ:
(α) α1 , α2 , . . . , αm
(β) β1 , β2 , . . . , βn
Ta nói h (α) bi u th tuy n tính đư c qua h (β) n u m i vectơ c a h (α) đ u bi u th
tuy n tính đư c qua h (β).
Ta nói h (α) tương đương v i h (β) (ký hi u (α) ∼ (β)) n u h (α) bi u th tuy n tính
đư c qua h (β) và ngư c l i.
T đ nh nghĩa, ta có ngay quan h ∼ là m t quan h tương đương.
3.2 H con đ c l p tuy n tính t i đ i c a m t h vectơ
Trong không gian vectơ V cho h vectơ (α) α1 , α2 , . . . , αm . H con αi1 , αi2 , . . . , αik c a h
(α) g i là h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a h (α) n u αi1 , αi2 , . . . , αik đ c l p tuy n tính
và m i vectơ αi c a h (α) đ u bi u th tuy n tính đư c qua h con αi1 , αi2 , . . . , αik
T đ nh nghĩa, ta có ngay h con đ c l p tuy n tính c a m t h vectơ tương đương v i h
vectơ đó.
3.3 B đ cơ b n v s đ c l p tuy n tính
Trong không gian vectơ V cho hai h vectơ
(α) α1 , α2 , . . . , αm
(β) β1 , β2 , . . . , βn
N u h (α) đ c l p tuy n tính và bi u th tuy n tính đư c qua h (β) thì m ≤ n, và ta có
th thay m vectơ c a h (β) b ng các vectơ α1 , α2 , . . . , αm c a h (α) đ đư c h m i tương
đương v i h (β).
T b đ cơ b n, ta có ngay hai h vectơ ĐLTT tương đương thì có s vectơ b ng nhau.
3.4 H ng c a h vectơ
Trong không gian vectơ V , cho h vectơ (α) α1 , α2 , . . . , αm
H (α) có th có nhi u h con đ c l p tuy n tính t i đ i khác nhau. Tuy nhiên t t c các
h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a h (α) đ u tương đương v i nhau (vì chúng cùng tương
đương v i h (α)). Do đó, theo b đ cơ b n, t t c các h con đ c l p tuy n tính t i đ i đ u
có s vectơ b ng nhau. S đó g i là h ng c a h vectơ α1 , α2 , . . . , αm ; ký hi u rank{α1 , . . . , αm }
Như v y ta có
rank{α1 , α2 , . . . , αm } = S vectơ c a h con đ c l p tuy n tính c a h α1 , α2 , . . . , αm
3.5 Cách tìm h ng, h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a m t h
vectơ
Trong Rn cho h vectơ
α1 = (a11 , a12 , . . . , a1n )
α2 = (a21 , a22 , . . . , a2n )
...................................
4
- αm = (am1 , am2 , . . . , amn )
Đ tìm h ng, h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a c a h α1 , α2 , . . . , αm ta làm như sau:
• L p ma tr n A là ma tr n dòng c a các vectơ α1 , α2 , . . . , αm
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
A= .
. .. .
. . .
. . .
.
am1 am2 . . . amn
• B ng các phép bi n đ i sơ c p trên dòng, đưa ma tr n A v d ng b c thang. Khi đó:
rank{α1 , α2 , . . . , αm } = rank A
H con đ c l p tuy n tính t i đ i c a h α1 , α2 , . . . , αm bao g m các vectơ ng v i các
dòng khác không c a ma tr n b c thang.
Ví d . Trong R5 cho h vectơ
α1 = (3, 2, 0, 1, 4)
α2 = (4, 1, 0, 2, 3)
α3 = (3, 1, −1, 0, 1)
α4 = (1, 0, 1, 2, 2)
Tìm m t h con đ c l p tuy n tính và h ng c a h vectơ trên.
Gi i
3 2 0 1 4 1 1 0 1 2 2 4
4 1 0 2 3 2 4 1 0 2 3
2
A= 3 1 −1 0 1 3 −→ 3
1 −1 0 1 3
1 0 1 2 2 4 3 2 0 1 4 1
1 0 1 2 2 4 1 0 1 2 2 4
0 1 −4 −6 −5 2 0 1 −4 −6 −5 2
−→ 0 1 −4 −6 −5 3
−→
0 0 5 7 8 1
0 2 −3 −5 −2 1 0 0 0 0 0 3
rank A = 3
Do đó, rank{α1 , α2 , α3 , α4 } = 3
H con đ c l p tuy n tính t i đ i c a h α1 , α2 , α3 , α4 là {α1 , α2 , α4 }.
5
- Bài t p
1. Xét xem R2 có là không gian vectơ hay không? v i phép c ng và phép nhân vô hư ng
sau:
(a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + b1 , a2 + b2 )
a(a1 , a2 ) = (aa1 , 0)
2. Ch ng minh r ng m t không gian vectơ ho c ch có m t vectơ, ho c có vô s vectơ.
3. Xét s đ c l p tuy n tính và ph thu c tuy n tính. Tìm h ng và h con đ c l p tuy n
tính t i đ i c a các h sau:
(a) α1 = (1, 0, −1, 0), α2 = (1, 2, 1, 1), α3 = (3, 2, 3, 2), α4 = (1, 1, 2, 1)
(b) α1 = (1, 0, 0, −1), α2 = (2, 1, 1, 0), α3 = (1, 1, 1, 1), α4 = (1, 2, 3, 4), α5 = (0, 1, 2, 3)
4. Cho h vectơ α1 , α2 , . . . , αm ĐLTT trong không gian vectơ V . Ch ng minh:
(a) H vectơ β1 = α1 , β2 = α1 + α2 , . . . , βm = α1 + α2 + · · · + αm cũng ĐLTT.
(b) H vectơ
γ1 = a11 α1 + a12 α2 + · · · + a1m αm
γ2 = a21 α1 + a22 α2 + · · · + a2m αm
....................................................
γm = am1 α1 + am2 α2 + · · · + amm αm
đ c l p tuy n tính khi và ch khi det A = 0, trong đó
a11 a12 . . . a1m
a21 a22 . . . a2m
A= .
. .
. .. .
.
. . . .
am1 am2 . . . amm
5. H vectơ α1 , . . . , αm bi u th tuy n tính đư c qua h vectơ β1 , β2 , . . . , βn . Ch ng minh
r ng:
rank{α1 , . . . , αm } ≤ rank{β1 , β2 , . . . , βm }
6. Cho hai h vectơ cùng h ng. H đ u bi u th tuy n tính đư c qua h sau. Ch ng minh
hai h vectơ đã cho tương đương.
7. Trong R4 cho h vectơ:
u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (2, 3, −1, 0), u3 = (−1, −1, 1, 1)
Tìm đi u ki n c n và đ đ vectơ u = (x1 , x2 , x3 , x4 ) bi u th tuy n tính đư c qua h
u1 , u2 , u3 .
6
nguon tai.lieu . vn
