Xem mẫu

  1. Cực trị trong đại số
  2. Ph n 1: C C TR TRONG IS : M t s d ng toán thư ng g p: ▼ D ng 1: ưa v d ng bình phương I. Phương pháp gi : ưa v d ng A2 ≥ 0, ho c A2+ c ≥ c (v I c là h ng s ) d u b ng x y ra khi A=0 II. M t s bài t p ví d : Ví d 1: Tìm giá tr l n nh t c a P = x 1 − x ( ) L i gi i: 2  1 1 1 ( ) P = x 1− x = −x + x = −  x −  + ≤  2 4 4 1 1 ng th c x y ra khi x = và x = 2 4 1 1 Do ó giá tr l n nh t c a P là t khi x = 4 4 Ví d 2: 1 Tìm giá tr c a x bi u th c có giá tr l n nh t x − 2 2x + 5 2 L i gi i: Ta có: ( ) 2 x2 − 2 2x + 5 = x − 2 +3≥ 3 1 1 ⇒ ≤ x2 − 2 2x + 5 3 1 1 Do ó, khi x = 2 thì b êu th c có giá tr l n nh t là x − 2 2x + 5 2 3 V í d 3: V I x,y không âm; tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P = x − 2 xy + 3 y − 2 x + 2004,5 L i gi i: t x = a, y = b v I a, b ≥ 0 ta có: 1
  3. P = a 2 − 2 ab + 3b 2 − 2 a + 2004, 5 = a 2 − 2 ( b + 1) a + 3b 2 + 2004,5 = a 2 − 2 ( b + 1) a + ( b + 1) + 2b 2 − 2b + 2003,5 2  1 1 = ( a − b − 1) + 2  b 2 − b +  + 2003, 5 − 2  4 2 2  1 = ( a − b − 1) + 2  b −  + 2003 ≥ 2003 2  2 2  1 Vì ( a − b − 1) ≥ 0 và  b − 2  ≥ 0 ∀ a , b  2  3 a = b +1 a= 2 P = 2003 ⇔ ⇔ 1 1 b= b= 2 2 3 1 9 1 V yP t giá tr nh nh t là 2003 khi x= và y= hay x = và y = 2 2 4 4 III. Bài t p t gi i: 1) Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P = 2 − 5 x 2 − y 2 − 4 xy + 2 x 2) Tìm giá tr nh nh t c a f ( x, y ) = x 2 − 2 xy + 6 y 2 − 12 x + 45 1 3) Cho hai s x,y tho mãn ng th c: 8 x 2 + y 2 + =4 4 x2 Xác nh x,y tích xy t giá tr nh nh t 4) Cho a là s c nh, còn x, y là nh ng s bi n thiên. Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: A = (x– 2y + 1)2 + (2x + ay +5)2 Hư ng d n gi I và áp s : 1)Max P = 3 khi (x,y) = (1, -2) 2) f ( x, y ) = ( x − y − 6 ) + 5 y 2 + 9 ≥ 9 2 3) Thêm 4 xy + 4 x 2 vào 2 v 1 1 K t qu : xy t GTNN là − khi x = ± y = ±1 2 2 9 4) A ≥ 0 khi a ≠ -4, A = khi a = -4 5 2
  4. ▼ D ng 2: s d ng mi n giá tr c a hàm s I. Phương pháp gi : Cho y = f(x) xác nh trên D y0 ∈ f ( D ) ⇔ phương trình y0 = f ( x ) có nghi m ⇔ a ≤ y0 ≤ b Khi ó min y = a, max y = b II. M t s bài t p ví d : Ví d 1: x Tìm Max và Min c a: y = x +1 2 L i gi i: T p xác nh D = R ⇒ y0 là m t giá tr c a hàm s x ⇔ phương trình y0 = có 1 nghi m x ∈ R x +1 2 ⇔ phương trình x 2 y0 + y0 = x có nghi m x ∈ R ⇔ phương trình x 2 y0 − x + y0 = 0 có nghi m x ∈ R ⇔ ∆≥0 ⇔ 1− 4 y2 ≥ 0 ⇔ y2 ≤ 4 1 1 ⇔ − ≤ y≤ 2 2 1 1 V y Min y = − , Max y = 2 2 Ví d 2: ax + b Xác inh các tham s a, b sao cho hàm s y = t giá tr l n nh t b ng x2 + 1 4, giá tr nh nh t b ng –1 L i gi i: T p xác nh D = R ax+b y0 là m t giá tr c a hàm s ⇔ phương trình y0 = có nghi m x ∈ R x2 + 1 ⇔ phương trình y0 x 2 − ax + y0 − b = 0 có nghi m x ∈ R (1) • N u y0 = 0 thì (1) ⇔ ax = -b có nghi m a=b=0 ⇔ a≠0 • N u y0 ≠ 0 thì (1) có nghi m ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ a 2 − 4( y0 − b) y0 ≥ 0 3
  5. ⇔ −4 y0 2 + 4by0 + a 2 ≥ 0 Theo y0 t giá tr l n nh t là 4, giá tr nh nh t là –1 nên phương trình −4 y0 + 4by0 + a ph I có nghi m là –1 và 4 (do -1.4 = -4 < 0) 2 2 −a 2 = −4 a = ±4 4 Theo nh lý Viet ta có : ⇔ b=3 b=3 V y v I a = 4, b = 3 ho c a = -4, b = 3 thì min y = -1, max y = 4 Ví d 3: 3 12 x( x − a )  4 Tìm giá tr l n nh t c a hàm s : y =  2  x + 36   L i gi i: Hàm s ã cho xác nh khi x ( x − a ) ≥ 0 12 x( x − a )  t z= 2  (1) thì y = z , z ≥ 0 4 3  x + 36  12 x( x − a ) z0 là m t giá tr c a hàm s (1) ⇔ phương trình z0 = có nghi m x 2 + 36 hay phương trình (12 − z0 ) x 2 − 12ax − 36 z0 = 0 có nghi m (2) • z0 =12 : (2) ⇔ ax = -36 có nghi m khi a ≠ 0 • z0 ≠ 12 : (2) có nghi m ⇔ ∆ = 36a 2 + 36 z0 (12 − z0 ) ≥ 0 ⇔ a 2 + 12 z0 − z0 2 ≥ 0 ⇔ z0 2 − 12 z0 − a 2 ≤ 0 ⇔ 6 − a 2 + 36 ≤ z0 ≤ 6 + a 2 + 36 Vì z0 ≥ 0 nên 0 ≤ z0 ≤ 6 + a 2 + 36 V y max z = 6 + a 2 + 36 ; max y = 4 (6 + a 2 + 36)3 III. Bài t p t gi i: x2 − 2x + 2 1) Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a bi u th c: y = x2 + 2x + 2 3 x + 3 + 4 1− x +1 2) Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a bi u th c: y = 4 x + 3 + 3 1− x +1 1 3) Tìm giá tr nh nh t c a hàm s : f ( x) = x + x 2 + ,x>0 x Hư ng d n gi I và áp s : 4
  6. 1) Max y = 3 + 2 2 , Min y = 3 − 2 2 2) k: −3 ≤ x ≤ 1 2t 1− t2 ϕ t x + 3 = 2. ; 1 + x = 2. v I t = tg ∈ [0;1] 1+ t 2 1+ t 2 2 7t + 12t + 9 2 Ta có y = − 2 −5t + 16 + 7 9 7 Max y y = khi x = -3; min y = khi x = 1 7 9 0 < x ≤ y0 (1) 1 y0 = x + x 2 + ⇔ 3)Tìm nghi m c a h x x>0 2 y0 x 2 − y0 2 x + 1 = 0 (2) i u ki n (2) có nghi m là y0 ≥ 2 Áp d ng Vi-et ta ch ng minh ư c x1 < x2 < y0 V y min f(x) = 2 v I x >0 ▼ Dang 3: S d ng m t s b t ng th c quen thu c ► B t ng th c Cauchy I. Ki n th c c n n m: • Cho hai s a, b ≥ 0, ta coù: a+b ≥ ab 2 D u “ =” x y ra khi ⇔ a = b • Cho n s a1, a2, … , an ≥ 0, ta có: a1 + a 2 + ... + a n n ≥ a1 a 2 ...a n n D u “=” x y ra ⇔ a1 = a2 = … = an II. M t s bài t p ví d : ◦ Bi n pháp 1: Áp d ng b t ng th c tr c ti p. Ví d 1: 1 1 1 Cho x > 0 ; y > 0 tho mãn i u ki n + = . Tìm giá tr nh nh t c a bi u x y 2 th c A = x+ y L i gi i: 5
  7. 1 1 Vì x > 0 ; y > 0 nên >0; >0; x > 0; y > 0 , theo b t Cauchy có: x y 1 1 11 1 . ≤  +  x y 2 x y   1 1 => ≤ => xy ≥ 4 xy 4 V n d ng b t Cauchy v i hai s dương x và y ta ư c A = x + y ≥ 2 x . y ≥ 2 4 = 4 ( D u “=” x y ra ⇔ x = y = 4) V y min A = 4 ( khi và ch khi x = y = 4). Nh n xét: không ph i lúc nào ta cũng có th dùng tr c ti p b t Cauchy i v i các s trong bài. Dư i ây ta s nghiên c u m t s bi n pháp bi n i m t bi u th c có th v n d ng b t Cauchy r i tìm c c tr c a nó. Bi n pháp 1 : tìm c c tr c a m t bi u th c ta tìm c c tr c a bình phương bi u th c ó. Ví d 2: Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : A = 3 x − 5 + 7 − 3 x. L i gi i: 5 7 KX : ≤ x ≤ . 3 3 A = (3x – 5) + (7- 3x) + 2 (3 x − 5).(7 − 3 x) 2 A2 ≤ 2 + ( 3x – 5 + 7 – 3x) = 4 ( d u “=” x y ra ⇔ 3x – 5 = 7 – 3x ⇔ x = 2). V y max A2 = 4 => max A = 2 ( khi và ch khi x = 2). Nh n xét: Bi u th c A ư c cho dư i d ng t ng c a hai căn th c. Hai bi u th c l y căn có t ng không i (b ng 2). Vì v y, n u ta bình phương bi u th c A thì s xu t hi n h ng t là hai l n tích c a căn th c. n ây có th v n d ng b t ng th c Cauchy. ◦ Bi n pháp 2: Nhân và chia bi u th c v i cùng m t s khác 0. Ví d 3: x−9 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = 5x L i gi i: KX : x ≥ 9 6
  8. x−9 1 x−9  .3  + 3 x − 9 + 9 x −9 ≤  = 3 2 3 3 1 A= = = 5x 5x 5x 10 x 30 x−9 (d u “ =” x y ra khi và ch khi = 3 ⇔ x = 18 ). 3 1 V y max A = ( khi và ch khi x = 18). 30 x−9 Nh n xét: Trong cách gi i trên, x – 9 ư c bi u di n thành .3 và khi vân 3 x −9 x−9 1 d ng b t Cauchy, tích .3 ư c làm tr i tr thành t ng + 3 = x có 3 3 3 d ng kx có th rút g n cho x m u, k t qu là m t h ng s . Con s 3 tìm ư c b ng cách l y căn b c hai c a 9, s 9có trong bài. Bi n pháp 3: Bi n i bi u th c ã cho thành t ng c a các bi u th c sao cho tích c a chúng là m t h ng s . 1. Tách m t h ng t thành t ng c a nhi u h ng t b ng nhau. Ví d 4 : 3 x 4 + 16 Cho x > 0, tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : A = . x3 L i gi i: 16 16 16 A = 3x + 3 = x + x + x + 3 ≥ 4.4 x.x.x. 3 x x x 16 A ≥ 4.2 = 8 ( d u “ =” x y ra khi và ch khi x = ⇔ x=2 x3 V y min A = 8 ( khi và ch khi x = 2). 16 Nh n xét: Hai s dương 3x và có tích không ph i là m t h ng s .Mu n kh 3x ư c x3 thì ph i có x3 = x.x.x do ó ta ph i bi u di n 3x = x + x + x r i dùng b t Cauchy v i 4 s dương. 2. Tách m t h ng t ch a bi n thành t ng c a m t h ng s v i m t h ng t ch a bi n sao cho h ng t này là ngh ch o c a h ng t khác có trong bi u th c ã cho ( có th sai khác m t h ng s ). Ví d 5: 9x 2 Cho 0 < x < 2, tìm giá tr nh nh t c a bi u th c A = + . 2− x x 7
  9. L i gi i: 9x 2−x A= + +1 2− x x 9x 2 − x A ≥ 2. . +1 = 2 9 +1 = 7 2− x x 9x 2− x 1 ( d u “=” x y ra ⇔ = ⇔ x = ). 2−x x 2 1 V y min A = 7 ( khi và ch khi x =). 2 ◦ Bi n pháp 4: Thêm m t h ng t vào bi u th c ã cho. Ví d 6: Cho ba s dương x, y, z tho mãn i u ki n x + y + z = 2. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : x2 y2 z2 P= + + . y+z z+x x+ y L i gi i: x2 y+ z Áp d ng b t Cauchy i v i hai s dương và ta ư c: y+z 4 x2 y+z x2 y + z x + ≥ 2. . = 2. = x y+z 4 y+z 4 2 Tương t : y2 z+x + ≥y z+x 4 z2 x+ y + ≥z x+ y 4  x2 y2 z2  x + y + z V y   y+ z z+ x x+ y+ + +  ≥ x+ y+z   2 x+ y+z 2 P ≥ (x + y + z ) − = 1 (d u “=” x y ra ⇔ x = y = z = ). 2 3 III. Bài t p t gi i: 1) Cho x + y = 15, tìm gía tr nh nh t, giá tr l n nh t c a bi u th c: B = x−4 + y −3 2) Cho x, y, z ≥ 0 tho mãn i u ki n x + y + z = a. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = xy + yz + xz. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c B = x2 + y2 + z2. 8
  10. 3) Cho x, y, z là các s dương tho mãn i u ki n x + y + z ≥ 12. Tìm giá tr x y z nh nh t c a bi u th c P = + + . y z x 4) Cho a, b, c là các s dương tho mãn i u ki n a + b + c = 1. Tìm giá tr (1 + a)(1 + b)(1 + c) nh nh t c a bi u th c A = . (1 − a)(1 − b)(1 − c) 5) Cho x, y tho mãn i u ki n x + y = 1 và x > 0. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c B = x2y3. xy yz zx 6) Tìm giá tr nh nh t c a A = + + v i x, y, z là các s dương và: z x y a) x + y + z = 1 b) x 2 + y 2 + z 2 = 1 1 1 1 7) Tìm giá tr l n nh t c a A = 3 + 3 + 3 v i a, b, c là a + b + 1 b + c + 1 c + a3 + 1 3 3 các s dương và abc = 1. 8)Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = x + y + z + xy + yz + zx bi t r ng x 2 + y 2 + z 2 = 3 . 9) Tìm giá tr nh nh t c a A = 3x + 3 y v i x + y = 4. 10) Tìm giá tr nh nh t c a A = x 4 − 4 x + 1 Hư ng d n gi i và áp s : 1. KX : x ≥ 4, y ≥ 3 B ≥ 8 ⇒ min B = 8 ( khi và ch khi x = 4, y = 11 ho c x = 12, y = 3). max B2 = 16 nên max B = 4 ( khi và ch khi x = 8, y = 7). 2 .a. xy + yz + xz ≤ x2 + y2 + z2 (áp d ng b t Cauchy cho 2 s , r i c ng l i theo v ). Suy ra: 3(xy + yz + xz) ≤ ( x + y + z )2 Hay 3A ≤ a2 b. B = x2 + y2 + z2 = ( x + y + z )2 – 2( x + y + z ) B = a2 – 2A B min ⇔ A max. 3. x 2 y 2 z 2 2x y 2 y z 2z x P2 = + + + + + . y z x z x y Áp d ng b t Cauchy cho 4 s dương: x2 x y x y x 2 .x 2 . y.z + + + z ≥ 44 = 4 x. y z z yz Còn l i: tương t C ng v v i v l i, ta ư c P2 ≥ 4(x + y + z) – (x + y + z) = 3(x + y + z) 9
  11. P2 ≥ 3.12 = 36 Min P = 6.( khi và ch khi x = y = z = 4). 4. a + b + c = 1 ⇒ 1 – a = b + c > 0. Tương t 1 – b > 0, 1 – c > 0. Có: 1 + a = 1 + (1 – b – c) = (1 – b) + (1 – c) ≥ 2 (1 − b )(1 − c ) Suy ra (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8 (1 − a ) (1 − b ) (1 − c ) 2 2 2 A≥8 V y min A = 8. 5. N u y ≤ 0 thì B ≤ 0. N u y > 0 thì x x y y y x2 y3 108 1 = x + y = + + + + ≥ 55 ⇒ x2 y3 ≤ 2 2 3 3 3 108 3125 108 hay B ≤ 3125 108 Suy ra max B = . 3125 6. Theo b t ng th c Cô-si xy yz xy yz yz zx zx xy + ≥ 2. . = 2y tương t + ≥ 2z ; + ≥ 2x z x z x x y y z 1 Suy ra 2A ≥ 2(x+y+z) = 2 ; min A = 1 v i x = y = z = 3 x2 y 2 y2 z 2 z 2 x2 b) Ta có A = 2 + 2 + 2 + 2 2 z x y Hãy ch ng t A2 ≥ 3 . 3 Min A = 3 v ix=y=z= . 3 7. D ch ng minh a 3 + b3 ≥ ab ( a + b ) v i a > 0, b > 0. Do ó: a 3 + b3 + 1 ≥ ab ( a + b ) + abc = ab(a + b + c). 1 1 1 a+b+c A≤ + + = =1 ab(a + b + c) bc(a + b + c) ca (a + b + c) abc(a + b + c) max A = 1 ⇔ a = b = c = 1 8. ◦ Tìm giá tr l n nh t: ng th c ( x + y + z ) ≤ 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ,ta ư c ( x + y + z ) ≤ 9 nên 2 2 Áp d ng b t 10
  12. x+ y+z ≤3 (1) Ta có b t ng th c xy + yz + zx ≤ x + y + z mà x + y + z 2 ≤ 3 nên 2 2 2 2 2 xy + yz + zx ≤ 3 (2) T (1) và (2) suy ra A ≤ 6 . Ta có max A = 6 ⇔ x = y = z = 1 . ◦ Tìm giá tr nh nh t : t x + y + z = m thì m 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( xy + yz + zx ) = 3 + 2 ( xy + yz + zx ) m2 − 3 m2 − 3 Do ó xy + yz + xz = . Ta có A = m + nên 2 2 2 A = m 2 + 2m − 3 = ( m + 1) − 4 ≥ −4. 2 ⇒ A ≥ −2. x + y + z = 1 min A = −2 ⇔  2 , ch ng h n x = -1, y = -1, z = 1. x + y + z = 3 2 2 9. A = 3x + 3 y ≥ 2 3x 3 y = 2 3x + y = 2 34 10. Ta có x ≤ x (x y ra d u b ng khi và ch khi x ≥ 0 ) nên −4 x ≥ −4 x . Do ó A ≥ x4 − 4 x + 1 . Áp d ng b t ng th c côsi v i b n s không âm x 4 + 1 + 1 + 1 ≥ 4 4 x 4 = 4 x ⇒ x 4 − 4 x + 1 ≥ −2. min A = −2 ⇔ x 4 = 1 và x ≥ 0 ⇔ x = 1 . ► B t ng th c Bunhiacopski: I. Ki n th c c n n m: • Cho a, b, c, d tuỳ ý, ta có (a2 + b2)(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2 D u b ng x y ra khi: ad = bc. • Cho a1, … , an và b1, … , bn tuỳ ý, ta có: (a12 + … + an2)(b12 + … + bn2) ≥ ( a1b1 + … + anbn)2 a1 a D u b ng x y ra khi: = ... = n b1 bn II. M t s bài t p ví d : Ví d 1: Tìm giá tr l n nh t c a : P = 3 x − 1 + 4 5 − x L i gi i: KX : 1 ≤ x ≤ 5 Áp d ng b t Bunhiacopski có: 11
  13. P2 ≤ ( 32 + 42)(x – 1 + 5 – x) = 100 x −1 5− x 61 Suy ra max P = 10 khi = ⇔ x= . 3 4 25 Ví d 2: 5a 4b 3c Cho a, b, c > 0. Tìm min P = + + . b+c c+a a+b L i gi i: P= 5a 4b 3c  5 4 3  +5+ +4+ + 3 − (5 + 4 + 3) = (a + b + c ) + +  − (5 + 4 + 3) b+c a+c a+b b+c a+c a+b = 1 [(a + b ) + (b + c ) + (c + a )]. 5 + 4 + 3  − (5 + 4 + 3)   2 b+c a +c a +b ≥ 1 2 ( ) 5 + 4 + 3 − (5 + 4 + 3) ( theo b t Bunhiacopski). 2 Vaäy min P = 1 2 ( ) 5 + 4 + 3 − (5 + 4 + 3) khi và ch khi 2 b+c a+c a+b 5 = 4 = 3 . T ng quát: Cho a, b, c > 0. Ch ng minh r ng: a b+c x2 + b a+c y2 + c a+b 1 ( z 2 ≥ ( xy + yz + xz ) − x 2 + y 2 + z 2 . 2 ) (c ng vào v trái (x2 + y2 +z2) r i tr i (x2 + y2 +z2), sau ó áp d ng b t Bunhicopski). Ví d 3: a + 3c c + 3b 4b Cho a, b, c > 0. Tìm min P = + + a+b b+c c+a L i gi i:  a + 3c   c + 3a   4b  P=  + 2 +  + 2 +  + 6  − 10  a+b   b+c  c+a   3a + 2b + 3c   2b + 3c + 3a   4b + 6c + 6a  P=  + +  − 10  a+b   b+c   c+a   1 1 2  P = (3a + 2b + 3c ) + +  − 10 a+b b+c c+a  1 P = [(a + b ) + (b + c ) + 2(a + c )]. + 1 + 2  (  − 10 ≥ 1 + 1 + 2 . 2 ) 2 − 10 = 6 a+b b+c c+a V y min P = 6 khi và ch khi (a + b)2 = (b + c)2 = (c + a)2 hay a = b = c. Cơ s : 12
  14. Ch n α , β , γ sao cho: a + 3c + α (a + b) = c + 3a + β (b + c) = 4b + γ (c + a ) = m(3a + 2b + 3c) . T ó suy ra α = β = 2, γ = 6, m = 2 . III. Bài t p t gi i: 1. Cho a, b, c > 0. Tìm giá tr nh nh t c a: 3b + 9c 8a + 4b a + 5b a) P= + + . a+b b+c c+a b + 3c 4a + 2b a + 5b b) Q= + + . a+b b+c c+a a + 3c 4b 8c c) R= + − . a + 2b + c a + b + 2c a + b + 3c 2. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = x 2 + y 2 bi t r ng x 2 ( x 2 + 2 y 2 − 3) + ( y 2 − 2 ) = 1. 2 3. Tìm giá tr nh nh t c a : a2 b2 c2 A= + + v i a, b, c là các s dương và a + b + c =6. b+c c+a a+b 2 1 4. Tìm giá tr nh nh t c a A = + v i 0 < x < 2. 2− x x 5. Cho a, b, c > 0 và abc = 1 1 1 1 Tìm giá tr nh nh t c a A = 3 + 3 + 3 a (b + c ) b ( a + c ) c ( a + b) Hư ng d n gi và áp s : 1. Câu a và câu b làm tương t ví d 3 Câu c không th làm như ví d 3 ư c, ta làm như sau: t a + 2b + c = x a + b + 2c = y a + b + 3c = z t ó suy ra c = z – y; b = x + y – 2y; a = 5y – x – 3z. 2 y − x 4 x + 4 z − 8 y 8z − 8 y 2 y 4x 4z 8y khi ó R = + + = −1+ + −8−8+ . x y z x y y z R i áp d ng b t ta tìm ư c min R. 2. T gi thi t suy ra (x + y 2 ) − 4 ( x 2 + y 2 ) + 3 = − x 2 ≤ 0. 2 2 Do ó A2 − 4 A + 3 ≤ 0 ⇔ ( A − 1)( A − 3) ≤ 0 ⇔ 1 ≤ A ≤ 3. min A = 1 ⇔ x = 0, y = ±1. max A = 3 ⇔ x = 0, y = ± 3. 3. 13
  15. Áp d ng b t ng th c Bunhiacópki cho 3 c p s Ta có  a  2  b  2  c  2   ( ) ( ) ( ) a+b  2 2 2   +  +   b+c + a+c +  b + c   a + c   a + b        2  a b c  ≥ b+c + a+c + a+b  b+c a+c a+b   a2 b2 c2   2 ( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) 2 ⇒ + +   b+c a+c a+b a2 b2 c2 a+b+c ⇒ + + ≥ . b+c a+c a+b 2 Suy ra min A = 3. 4. Áp d ng b t ng th c Bunhiacopski ( a 2 + b2 )( m2 + n2 ) ≥ ( am + bn )2 Ta có:  2   1   2 2  1  2 ( ) +( ) x ≥ 2 2 2 2 A =   +   2− x (2 − x) + x   2 − x   x         2− x    x     ( ) 2 ⇒ 2A ≥ 2 +1 = 3 + 2 2. 2 1 min 2 A = 3 + 2 2 ⇔ 2 − x = x ⇔ 2 1 = 2 ⇔ 2x2 = x2 − 4x + 4 2− x x (2 − x) x 2 ⇔ x 2 + 4 x + 4 = 8 ⇔ ( x + 2 ) = 8 ⇔ x = 2 2 − 2 (chú ý x > 0). 2 3 V y min A = + 2 2 ⇔ x = 2 2 − 2. 2 5. 1 1 1 t a= ,b = ,c = x y z  x, y , z > 0 thì   xyz = 1 x2 y2 z2 Khi ó A = + + y+z z+x x+ y Áp d ng b t ng th c Bunhiacopski, bi n i tương ương ta ư c: (x + y + z) 2 x+ y+z A≥ = ( y + z ) + ( z + x) + ( x + y) 2 M t khác theo BDT côsi ta có: x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3 V y 14
  16.  x y z y+ z = z+ x = x+ y 3   min A = ⇔  x = y = z 2  xyz = 1    ⇔ x = y = z = 1 ⇔ a = b = c. ► B t ng th c Bernoulli I. Ki n th c c n n m α x ≥ 1 − α + αx (1) (α ≥ 1, x > 0) D u “ =” x y ra khi x =1 II. M t s bài t p ví d : Ví d 1: Cho x, y > 0 sao cho x + y = 1. Tim giá tr nh nh t : a. P = x2 + y2 b. Q = x5 + y5 L i gi i: a. Áp d ng b t Bernoulli ta có: (2x)2 ≥ 1 – 2 + 2(2x) (2y)2 ≥ 1 – 2 + 2(2y) C ng v theo v : 4P ≥ -2 + 4(x + y) = 2 1 P≥ . 2 1 1 V y min P = khi và ch khi x = y = . 2 2 b. Áp d ng b t Bernoulli ta có: (2x)5 ≥ 1 – 5 + 5(2x) (2y)5 ≥ 1 – 5 + 5(2y) C ng v theo v ta có: 32Q ≥ -8 + 10(x + y) = 2 1 Q≥ 16 1 1 V y min Q = . Khi và ch x = y = . 16 2 T ng quát: S = xm + ym , m ≥ 1 v i x + y = 1. 15
  17. *. Theo (1), v i m i α ≥ β > 0 , ta có: α α α x β ≥ 1− + x (1’) β β 1 t t = x ⇔ tβ = x β (1’) ⇔ α α β tα ≥ 1− + t (2) β β D u “=” x y ra khi t = 1. Ví d 2: 10 10 Cho x, y > 0, sao cho x3 + y3 = 1. Tìm min P = x 3 + y 3 . L i gi i: Theo (2), ta có: ( 2x) ( ) 10 10 10 3 3 3 3 ≥ 1− + 2x 9 9 ( ) ( ) 10 10 10 3 3 3 2y 3 ≥ 1− + 2y 9 9 ( ) 10 2 10 ⇒ 3 2 3 P ≥ − + .2 ( x 3 + y 3 ) = 2 9 9 1 V yP≥ 9 2 1 1 Hay min P = 9 khi và ch khi x = y = 3 2 2 t *. T (2) thay t b i , ta ư c: t0  α  α α α −β β t α ≥ 1 −  β t 0 + .t 0 .t  (3)   β D u “=” x y ra khi t = t0 v i t0 là i m t giá tr nh nh t. Bài toán: Cho a.x β + b. y β = 1.(α ≥ β ; a, b, c, d > 0 ) Tìm min P = c.x α + d . y α 16
  18. α cx = X t α dy =Y Bài toán tr thành : Cho m.x β + n. y β = p (m,n > 0) Tìm min A = x α + y α L i gi i: Theo b t (3), ta có:  α α α α x α ≥ 1 −  x 0 + x 0 − β . x β  β   β  α α α α y α ≥ 1 −  y 0 + y 0 − β . y β  β   β α α  α α C ng l i : A ≥ 1 −  (x0 + y 0 ) + (x0 − β .x β + y 0 − β . y β ).  α α  β β Ch n (x0 , y0) tho mãn: m.x β + n. y β = p x0 − β α y α −β = 0 . m n  α α α xα −β Khi ó: A ≥ 1 −  (x 0 + y 0 ) + . 0 . p. α  β  β m  α  α α xα −β V y min A = 1 −  β ( ) α  x 0 + y 0 + . 0 . p khi và ch khi x = x0, y = y0.  β m   ▼ D ng 4: Áp d ng b t ng th c trong tam giác và phuơng pháp t a , vectơ. I. Phương pháp gi i: V i 3 i m A, B, C, b t kì trong m t ph ng ta có: AB + BC ≥ AC ( ng th c khi B n m gi a A và C). • V i hai véc tơ b t kì a và b ta có: a±b ≤ a + b . ng th c khi a và b cùng hư ng (1) • N u a = ( a1 , a2 ) và b = ( b1 + b2 ) (1) ⇔ ( a1 ± b1 ) + ( a2 ± b2 ) 2 2 ≤ a12 + a2 2 + b12 + b2 2 17
  19. a1 = k .b1 ng th c x y ra khi  (k ∈ R) a2 = k .b2 D ng toán tìm giá tr l n nh t c a hàm s : a, b ≠ 0  y= f 2 ( x ) + a2 + g 2 ( x ) + b2 v i   f ( x) ± g ( x) = k (k ∈ R)  S d ng b t ng th c tam giác: gi s f ( x) − g ( x) = k . Trong m t ph ng Oxy xét i m: M ( f ( x ) , a ) ⇒ OM = f 2 ( x ) + a 2 và N ( g ( x), − b ) ⇒ ON = g ( x) 2 + b 2 . f ( x) − g ( x) + ( a + b ) 2 = k 2 + ( a + b ) . 2 2 Ta có: MN = Vì OM + ON ≥ MN ⇔ y ≥ k 2 + ( a + b ) 2 . ng th c x y ra khi M, N, O th ng hàng ⇔ a . f ( x) + b .g ( x) = 0 . V y Min y = k 2 + ( a + b ) 2 . II. M t s bài t p ví d : Ví d 1: Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c A = a 2 + a + 1 + a 2 − a + 1, ⊥ ∀a ∈ R. L i gi i: D th y bi u th c không thay i khi thay a b i −a , do ó ch c n gi i v i a ≥ 0 . • Khi a = 0 : A = 2 . A  AB  AM = MB = 2 = 1  π • Khi a > 0 : Xét ∆ABC có: CM = a M 3  π  AMC =  3 B C Theo nh lí hàm côsi: π AC 2 = 1 + a 2 − 2.1.a.cos = a 2 + 1 − a. 3 ⇒ AC = a − a + 1. 2 Tương t BC = a 2 + a + 1 , AB = 2. Khi ó: AC + BC ≥ AB ⇒ a 2 + a + 1 + a 2 − a + 1 ≥ 2 ⇔ A ≥ 2. ng th c x y x y ra khi a = 0 . V y MinA = 2 khi a = 0. Ví d 2: Tìm giá tr nh nh t c a: y = x 2 − 2 px + 2 p 2 + x 2 − 2qx + 2q 2 . L i gi i: 18
  20. Ta có: y = ( x − p)2 + p 2 ( x − q) 2 + q 2 . Xét i m M ( x − p, p ); N ( x − q, q ). Ta có: MN = ( p − q ) 2 + ( p + q ) 2 . Vì OM + ON ≥ MN ⇔ y ≥ ( p − q )2 + ( p + q )2 . ⇒ Min y = ( p − q ) 2 + ( p + q ) 2 . p q +q p Khi M , N , O th ng hàng ⇔ q ( x − p ) + q ( x − q ) = 0 ⇔ x = . p+q Ví d 3: Tìm giá tr nh nh t c a: y = cos 2 x − 2.cos x + 5 + cos 2 x + 4.cos x + 8. L i gi i: Trong m t ph ng Oxy , xét i m M (2;1 − cos x); N (4, 3) Ta có: MN = (2, 2 + cos x) như v y y = OM + MN . Do 0 ≤ 1 − cos x ≤ 2 nên M ∈ [ AB ] v i A(2, 0) và B (2, 2) . Ta có: OM + MN ≥ ON = 42 + 32 = 5. ng th c x y ra khi O, M , N th ng hàng ⇔ 6 − 4.(1 − cos x) = 0 1 2π ⇔ cos x = − ⇔ x=± + 2 kπ . 2 3 2π V y Min y = 5 khi x = ± + 2 kπ . 3 Ví d 4: a 2 + c 2 = 1  (1) Cho 3 s th c a, b, c tho mãn h sau  b + 2b(a + c) = 6 ( 2 ) 2  Tìm giá tr nh nh t c a M = b(c − a ). L i gi i: T gi thi t ta có: 2a 2 + 2c 2 + b 2 + 2ab + 2bc = 8 b b ⇔ ( a + ) 2 + ( + c) 2 = 4 2 2 Do (1) ⇔ ( 2c ) + (−2a ) 2 = 4 2 b b Xét x(a + ; + c); y (2c; −2a ) 2 2 19