Xem mẫu
- Đ I S CƠ B N
(ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C)
Bài 11. Cơ S , S Chi u
C a Không Gian Vectơ
PGS TS M Vinh Quang
Ngày 27 tháng 3 năm 2005
1. Cơ s
Cho V là không gian vectơ, α1 , α2 , . . . , αn là m t h vectơ c a V .
H vectơ α1 , α2 , . . . , αn g i là h sinh c a V n u m i vectơ β ∈ V đ u bi u th tuy n
tính đư c qua h α1 , α2 , . . . , αn .
H vectơ α1 , α2 , . . . , αn g i là m t cơ s c a không gian vectơ V n u nó là h sinh c a
V và là h đ c l p tuy n tính.
T đ nh nghĩa, hai cơ s b t kỳ c a V đ u tương đương và đ c l p tuy n tính. Do đó,
theo đ nh lý cơ b n chúng có s vectơ b ng nhau. S đó g i là s chi u V , ký hi u là
dimV . V y theo đ nh nghĩa:
dimV = s vectơ c a m t cơ s b t kỳ c a V
Không gian vectơ có cơ s g m h u h n vectơ g i là không gian vectơ h u h n chi u.
Không gian vectơ khác không, không có cơ s g m h u h n vvectơ g i là không gian
vectơ vô h n chi u. Đ i s tuy n tính ch y u xét các không gian vectơ h u h n chi u.
2. Các ví d
Ví d 1. Không gian Rn , xét các vectơ:
e1 = (1, 0, ..., 0)
e2 = (0, 1, ..., 0)
....................
e3 = (0, 0, ..., 1)
D dàng ki m tra e1 , e2 , . . . , en là cơ s c a Rn , g i là cơ s chính t c c a Rn và ta có
dimRn = n
Ví d 2. Trong không gian vectơ các ma tr n c p m × n h s th c Mm×n (R).
1
- Ta xét h vectơ {Eij }, trong đó:
.
.
0 . 0
1≤i≤m
Eij = . . . 1 . . . . . . ← hàng i,
. 1≤j≤n
0 .
. 0
↑
c tj
là cơ s c a Mm×n (R) và do đó ta có dimMm×n (R) = mn
Ví d 3. Rn [x] là t p các đa th c v i h s th c có b c ≤ n v i các phép toán thông
thư ng là m t không gian vectơ. H vectơ 1, x, x2 , . . . , xn là m t cơ s c a Rn [x] và ta có
dimRn [x] = n + 1
3. Tính ch t cơ b n c a không gian vectơ h u h n chi u
Cho V là không gian vectơ h u h n chi u, dimV = n. Khi đó:
(a) M i h vectơ có nhi u hơn n vectơ đ u ph thu c tuy n tính
(b) M i h có n vectơ đ c l p tuy n tính đ u là cơ s c a V
(c) M i h có n vectơ là h sinh c a V đ u là cơ s c a V
(d) M i h đ c l p tuy n tính, có k vectơ đ u có th b sung têm n − k vectơ đ đư c
cơ s c a V
Chú ý r ng t tính ch t (b), (c) n u bi t dimV = n thì đ ch ng minh m t h n vectơ là
cơ s c a V ta ch c n ch ng minh h đó là h đ c l p tuy n tính ho c h đó là h sinh.
4. T a đ c a vectơ trong cơ s .
(a) Đ nh nghĩa
Cho V là không gian vectơ n chi u (dimV = n) α1 , α2 , . . . , αn là cơ s c a V .
V i x ∈ V , khi đó x vi t đư c duy nh t dư i d ng:
x = a1 α1 + a2 α2 + . . . + an αn , ai ∈ R
B s (a1 , a2 , . . . , an ) g i là t a đ c a x trong cơ s (α), ký hi u:
x/
(α) = (a1 , a2 , ..., an )
Ho c:
a1
a2
[x]/
(α) =
.
.
.
an
(b) Ma tr n đ i cơ s , công th c đ i t a đ
Trong không gian vectơ V cho 2 cơ s :
α1 , α2 , . . . , αn (α)
β1 , β2 , . . . , βn (β)
2
- Khi đó, các vectơ β1 , β2 , . . . , βn vi t đư c duy nh t dư i d ng:
β1 =
a11 α1 + a12 α2 + . . . + an1 αn
β2 = a21 α1 + a22 α2 + . . . + an2 αn
... ...
... ... ... ... ... ... ...
βn = an1 α1 + a2n α2 + . . . + ann αn
Ma tr n các h s chuy nv:
a11 a21 . . . an1
a12 a22 . . . a2n
Tαβ = .
. .. .
.. .
. . ..
a1n a2n . . . ann
g i là ma tr n đ i cơ s t (α) sang (β)
−1
T đ nh nghĩa, ta có ngay Tαβ là ma tr n kh ngh ch và Tαβ = Tαβ
(c) Công th c đ i t a đ
Cho V là không gian vectơ, x ∈ V , và các cơ s c a V là:
α1 , α2 , . . . , αn (α)
β1 , β2 , . . . , βn (β)
Gi s :
x/ x/ = (y1 , y2 , ..., yn )
(α) = (x1 , x2 , ..., xn ) , (β)
Khi đó ta có:
x1 y1
x2 y2
= Tαβ
.
. .
.
. .
xn yn
hay vi t m t cách ng n g n: [x]/(α) = Tαβ [x]/(β)
Công th c trên cho phép tính t a đ c a vectơ x trong cơ s (α) theo t a đ c a
vectơ x trong cơ s (β).
5. M t s ví d
Ví d 1. Trong R3 cho 2 cơ s :
α1 = (1, 1, 1), α2 = (−1, 2, 1), α3 = (1, 3, 2) (α)
β1 = (1, 0, 1), β2 = (1, 1, 0), β3 = (0, 1, 1) (β)
(a) Tìm ma tr n đ i cơ s t (α) sang (β).
(b) Vi t công th c tính t a đ c a vectơ x trong cơ s (α) theo t a đ c a x trong cơ
s (β).
Gi i:
3
- (a) Gi s :
β1 = a1 α1 + a2 α2 + a3 α3 (1)
β2 = b1 α1 + b2 α2 + b3 α3 (2)
β3 = c1 α1 + c2 α2 + c3 α3 (3)
Khi đó theo đ nh nghĩa
a1 b 1 c 1
Tαβ = a2 b2 c2
a3 b 3 c 3
Đ tìm ai , bi , ci ta ph i gi i các phương trình vectơ (1), (2), (3).
a1 − a2 + a3 = 1
Phương trình (1) tương đương v i h : a1 + 2a2 + 3a3 = 0
a1 + a2 + 2a3 = 1
b1 − b2 + b3 = 1
Phương trình (2) tương đương v i h : b1 + 2b2 + 3b3 = 1
b1 + b2 + 2b3 = 0
c1 − c2 + c3 = 0
Phương trình (3) tương đương v i h : c1 + 2c2 + 3c3 = 1
c1 + c2 + 2c3 = 1
Đ gi i 3 h trên, ta dùng phương pháp Gauss. Ma tr n các h s m r ng:
1 −1 1 1 1 0 1 −1 1 1 1 0
1 2 3 0 1 1 → 0 3 2 −1 0 1
1 1 2 1 0 1 0 2 1 0 −1 1
1 −1 1 1 1 0
→ 0 1 1 −1 1 0
0 0 −1 2 −3 1
H 1) a3 = −2, a2 = −1 − a3 = 1, a 1 = a2 − a3 + 1 = 4
H 2) b3 = 3, b2 = 1 − b3 = −2, b1 = b2 − b3 + 1 = −4
H 3) c3 = −1, c2 = −c3 = 1, c1 = c2 − c3 = 2
V y ma tr n đ i s t (α) sang (β) là:
cơ
4 −4 2
Tαβ = 1 −2 1
−2 3 −1
(b) Gi s
x/ x/ = (y1 , y2 , y3 )
(α) = (x1 , x2 , x3 ) , (β)
Công th c tính t a đ c a vectơ x trong cơ s (α) theo t a đ c a x trong cơ s (β)
là:
x1 4 −4 2 y1
x2 = 1 −2 1 y2
x3 −2 3 −1 y3
hay
x1 = 4y1 − 4y2 + 2y3
x2 = y1 − 2y2 + y3
x3 = −2y1 + 3y2 − y3
4
- Ví d 2.
Trong Rn [x] cho 2 cơ s :
u1 = 1, u2 = x, u3 = x2 , . . . , un+1 = xn (U )
2 n
v1 = 1, v2 = x − a, v3 = (x − a) , . . . , vn+1 = (x − a) (V )
trong đó a là h ng s .
(a) Tìm ma tr n đ i cơ s t (U ) sang (V )
(b) Tìm ma tr n đ i cơ s t (V ) sang (U )
Gi i
(a) Ta có:
vk+1 = (x − a)k = Ck (−a)k + Ck (−a)k−1 x + . . . + Ck xk
0 1 k
= Ck (−a)k u1 + Ck (−a)k−1 u2 + . . . + Ck uk+1 + 0uk+2 + . . . + 0un+1
0 1 k
l n lư t cho k = 0, 1, . . . , n ta có:
0 0
C0 C1 (−a) . . . Ck (−a)k
0
. . . Cn (−a)n
0
1
0 C1 . . . Ck (−a)k−1
1
. . . Cn (−a)n−1
1
. . ... . .
...
.
. .
. .
. .
.
.
. .
. .
. .
.
. . ... . ... .
TU V =
. . ... .
. . Ck ... .
. . k .
. . .
.
. .
. ... 0 ... .
.
.
. .
. ... .
. . .
. . . .. .
.
n
0 0 ... 0 ... Cn
(b) Ta có
uk+1 = xk = [(x − a) + a]k = Ck ak + Ck ak−1 x + . . . + Ck xk
0 1 k
= Ck ak v1 + Ck ak−1 v2 + . . . + Ck vk+1 + 0vk+2 + . . . + 0vn+1
0 1 k
l n lư t cho k = 0, 1, . . . , n ta có:
0 0
C0 C1 a . . . Ck ak
0
. . . Cn an
0
1
0 C1 . . . Ck ak−1
1
. . . Cn an−1
1
. . ... . .
...
.
. .
. .
. .
.
.
. .
. .
. .
.
. . ... . ... .
TU V =
.
. .
. ... . .
Ck .. .
. . k .
. . .
.
. .
. ... 0 ... .
.
.
. .
. ... .
. . .
. . . .. .
.
n
0 0 ... 0 ... Cn
5
- BÀI T P
1. Trong R3 [x] cho các vectơ:
u1 = x3 + 2x2 + x + 1
u2 = 2x3 + x2 − x + 1
u3 = 3x3 + 3x2 − x + 2
Tìm đi u ki n đ vectơ u = ax3 + bx2 + cx + d bi u th tuy n tính đư c qua h u1 , u2 , u3 .
2. Trong R3 cho các h vectơ:
u1 = (1, 2, 1), u2 = (2, −2, 1), u3 = (3, 2, 2) (U )
v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 0, 0) (V )
(a) Ch ng minh r ng (U ), (V ) là các cơ s c a R
(b) Tìm các ma tr n đ i cơ s t (U ) sang (V ) và t (V ) sang (U )
3. Trong R2 cho các cơ s (α), (β), (γ)
Bi t:
1 1 3 1
Tαβ = , Tγβ =
2 1 2 1
và cơ s (γ): γ1 = (1, 1), γ2 = (1, 0)
Tìm cơ s (α)
4. Cho R+ là t p các s th c dương. Trong R+ ta đ nh nghĩa 2 phép toán
∀x, y ∈ R+ x ⊕ y = xy
+ +
∀a ∈ R , x ∈ R a × x = xa
+
Bi t r ng (R , ⊕, ∗) là không gian vectơ. Tìm cơ s , s chi u c a không gian đó
a −b
5. V = sao cho a, b ∈ R
b a
Bi t r ng V cùng v i phép c ng hai ma tr n và phép nhân 1 s v i 1 ma tr n là m t
không gian vectơ. Tìm cơ s và s chi u c a V .
1
1
Đánh máy: NGUY N NG C QUYÊN, Ngày: 12/03/2005
6
nguon tai.lieu . vn
