Xem mẫu

  1. Đ I S CƠ B N (ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C) Bài 11. Cơ S , S Chi u C a Không Gian Vectơ PGS TS M Vinh Quang Ngày 27 tháng 3 năm 2005 1. Cơ s Cho V là không gian vectơ, α1 , α2 , . . . , αn là m t h vectơ c a V . H vectơ α1 , α2 , . . . , αn g i là h sinh c a V n u m i vectơ β ∈ V đ u bi u th tuy n tính đư c qua h α1 , α2 , . . . , αn . H vectơ α1 , α2 , . . . , αn g i là m t cơ s c a không gian vectơ V n u nó là h sinh c a V và là h đ c l p tuy n tính. T đ nh nghĩa, hai cơ s b t kỳ c a V đ u tương đương và đ c l p tuy n tính. Do đó, theo đ nh lý cơ b n chúng có s vectơ b ng nhau. S đó g i là s chi u V , ký hi u là dimV . V y theo đ nh nghĩa: dimV = s vectơ c a m t cơ s b t kỳ c a V Không gian vectơ có cơ s g m h u h n vectơ g i là không gian vectơ h u h n chi u. Không gian vectơ khác không, không có cơ s g m h u h n vvectơ g i là không gian vectơ vô h n chi u. Đ i s tuy n tính ch y u xét các không gian vectơ h u h n chi u. 2. Các ví d Ví d 1. Không gian Rn , xét các vectơ: e1 = (1, 0, ..., 0) e2 = (0, 1, ..., 0) .................... e3 = (0, 0, ..., 1) D dàng ki m tra e1 , e2 , . . . , en là cơ s c a Rn , g i là cơ s chính t c c a Rn và ta có dimRn = n Ví d 2. Trong không gian vectơ các ma tr n c p m × n h s th c Mm×n (R). 1
  2. Ta xét h vectơ {Eij }, trong đó:  . .  0 . 0 1≤i≤m Eij =  . . . 1 . . . . . .  ← hàng i,   . 1≤j≤n 0 . . 0 ↑ c tj là cơ s c a Mm×n (R) và do đó ta có dimMm×n (R) = mn Ví d 3. Rn [x] là t p các đa th c v i h s th c có b c ≤ n v i các phép toán thông thư ng là m t không gian vectơ. H vectơ 1, x, x2 , . . . , xn là m t cơ s c a Rn [x] và ta có dimRn [x] = n + 1 3. Tính ch t cơ b n c a không gian vectơ h u h n chi u Cho V là không gian vectơ h u h n chi u, dimV = n. Khi đó: (a) M i h vectơ có nhi u hơn n vectơ đ u ph thu c tuy n tính (b) M i h có n vectơ đ c l p tuy n tính đ u là cơ s c a V (c) M i h có n vectơ là h sinh c a V đ u là cơ s c a V (d) M i h đ c l p tuy n tính, có k vectơ đ u có th b sung têm n − k vectơ đ đư c cơ s c a V Chú ý r ng t tính ch t (b), (c) n u bi t dimV = n thì đ ch ng minh m t h n vectơ là cơ s c a V ta ch c n ch ng minh h đó là h đ c l p tuy n tính ho c h đó là h sinh. 4. T a đ c a vectơ trong cơ s . (a) Đ nh nghĩa Cho V là không gian vectơ n chi u (dimV = n) α1 , α2 , . . . , αn là cơ s c a V . V i x ∈ V , khi đó x vi t đư c duy nh t dư i d ng: x = a1 α1 + a2 α2 + . . . + an αn , ai ∈ R B s (a1 , a2 , . . . , an ) g i là t a đ c a x trong cơ s (α), ký hi u: x/ (α) = (a1 , a2 , ..., an ) Ho c:   a1  a2  [x]/ (α) =    . .   .  an (b) Ma tr n đ i cơ s , công th c đ i t a đ Trong không gian vectơ V cho 2 cơ s : α1 , α2 , . . . , αn (α) β1 , β2 , . . . , βn (β) 2
  3. Khi đó, các vectơ β1 , β2 , . . . , βn vi t đư c duy nh t dư i d ng:   β1 =  a11 α1 + a12 α2 + . . . + an1 αn β2 = a21 α1 + a22 α2 + . . . + an2 αn   ... ...  ... ... ... ... ... ... ... βn = an1 α1 + a2n α2 + . . . + ann αn  Ma tr n các h s chuy nv:   a11 a21 . . . an1  a12 a22 . . . a2n  Tαβ =  .   . .. .   .. . . . ..  a1n a2n . . . ann g i là ma tr n đ i cơ s t (α) sang (β) −1 T đ nh nghĩa, ta có ngay Tαβ là ma tr n kh ngh ch và Tαβ = Tαβ (c) Công th c đ i t a đ Cho V là không gian vectơ, x ∈ V , và các cơ s c a V là: α1 , α2 , . . . , αn (α) β1 , β2 , . . . , βn (β) Gi s : x/ x/ = (y1 , y2 , ..., yn ) (α) = (x1 , x2 , ..., xn ) , (β) Khi đó ta có:     x1 y1  x2   y2   = Tαβ       . . . .   .   .  xn yn hay vi t m t cách ng n g n: [x]/(α) = Tαβ [x]/(β) Công th c trên cho phép tính t a đ c a vectơ x trong cơ s (α) theo t a đ c a vectơ x trong cơ s (β). 5. M t s ví d Ví d 1. Trong R3 cho 2 cơ s : α1 = (1, 1, 1), α2 = (−1, 2, 1), α3 = (1, 3, 2) (α) β1 = (1, 0, 1), β2 = (1, 1, 0), β3 = (0, 1, 1) (β) (a) Tìm ma tr n đ i cơ s t (α) sang (β). (b) Vi t công th c tính t a đ c a vectơ x trong cơ s (α) theo t a đ c a x trong cơ s (β). Gi i: 3
  4. (a) Gi s : β1 = a1 α1 + a2 α2 + a3 α3 (1) β2 = b1 α1 + b2 α2 + b3 α3 (2) β3 = c1 α1 + c2 α2 + c3 α3 (3) Khi đó theo đ nh nghĩa   a1 b 1 c 1 Tαβ =  a2 b2 c2  a3 b 3 c 3 Đ tìm ai , bi , ci ta ph i gi i các phương trình vectơ (1), (2), (3).   a1 − a2 + a3 = 1 Phương trình (1) tương đương v i h : a1 + 2a2 + 3a3 = 0 a1 + a2 + 2a3 = 1    b1 − b2 + b3 = 1 Phương trình (2) tương đương v i h : b1 + 2b2 + 3b3 = 1 b1 + b2 + 2b3 = 0    c1 − c2 + c3 = 0 Phương trình (3) tương đương v i h : c1 + 2c2 + 3c3 = 1 c1 + c2 + 2c3 = 1  Đ gi i 3 h trên, ta dùng phương pháp Gauss. Ma tr n các h s m r ng:     1 −1 1 1 1 0 1 −1 1 1 1 0  1 2 3 0 1 1 → 0 3 2 −1 0 1  1 1 2 1 0 1 0 2 1 0 −1 1   1 −1 1 1 1 0 → 0 1 1 −1 1 0  0 0 −1 2 −3 1 H 1) a3 = −2, a2 = −1 − a3 = 1, a 1 = a2 − a3 + 1 = 4 H 2) b3 = 3, b2 = 1 − b3 = −2, b1 = b2 − b3 + 1 = −4 H 3) c3 = −1, c2 = −c3 = 1, c1 = c2 − c3 = 2 V y ma tr n đ i  s t (α) sang (β) là: cơ  4 −4 2 Tαβ =  1 −2 1  −2 3 −1 (b) Gi s x/ x/ = (y1 , y2 , y3 ) (α) = (x1 , x2 , x3 ) , (β) Công th c tính t a đ c a vectơ x trong cơ s (α) theo t a đ c a x trong cơ s (β) là:      x1 4 −4 2 y1  x2  =  1 −2 1   y2  x3 −2 3 −1 y3 hay x1 = 4y1 − 4y2 + 2y3 x2 = y1 − 2y2 + y3 x3 = −2y1 + 3y2 − y3 4
  5. Ví d 2. Trong Rn [x] cho 2 cơ s : u1 = 1, u2 = x, u3 = x2 , . . . , un+1 = xn (U ) 2 n v1 = 1, v2 = x − a, v3 = (x − a) , . . . , vn+1 = (x − a) (V ) trong đó a là h ng s . (a) Tìm ma tr n đ i cơ s t (U ) sang (V ) (b) Tìm ma tr n đ i cơ s t (V ) sang (U ) Gi i (a) Ta có: vk+1 = (x − a)k = Ck (−a)k + Ck (−a)k−1 x + . . . + Ck xk 0 1 k = Ck (−a)k u1 + Ck (−a)k−1 u2 + . . . + Ck uk+1 + 0uk+2 + . . . + 0un+1 0 1 k l n lư t cho k = 0, 1, . . . , n ta có: 0 0 C0 C1 (−a) . . . Ck (−a)k 0 . . . Cn (−a)n 0   1  0 C1 . . . Ck (−a)k−1 1 . . . Cn (−a)n−1 1  . . ... . . ...     . . . . . . . .    . . . . . . . .   . . ... . ... .  TU V =   . . ... . . . Ck ... .   . . k .  . . .     . . . . ... 0 ... . .    . . . . ... . . . .   . . . .. . .  n 0 0 ... 0 ... Cn (b) Ta có uk+1 = xk = [(x − a) + a]k = Ck ak + Ck ak−1 x + . . . + Ck xk 0 1 k = Ck ak v1 + Ck ak−1 v2 + . . . + Ck vk+1 + 0vk+2 + . . . + 0vn+1 0 1 k l n lư t cho k = 0, 1, . . . , n ta có: 0 0 C0 C1 a . . . Ck ak 0 . . . Cn an 0   1  0 C1 . . . Ck ak−1 1 . . . Cn an−1 1  . . ... . . ...     . . . . . . . .    . . . . . . . .   . . ... . ... .  TU V =   . . . . ... . . Ck .. .   . . k .  . . .     . . . . ... 0 ... . .    . . . . ... . . . .   . . . .. . .  n 0 0 ... 0 ... Cn 5
  6. BÀI T P 1. Trong R3 [x] cho các vectơ: u1 = x3 + 2x2 + x + 1 u2 = 2x3 + x2 − x + 1 u3 = 3x3 + 3x2 − x + 2 Tìm đi u ki n đ vectơ u = ax3 + bx2 + cx + d bi u th tuy n tính đư c qua h u1 , u2 , u3 . 2. Trong R3 cho các h vectơ: u1 = (1, 2, 1), u2 = (2, −2, 1), u3 = (3, 2, 2) (U ) v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 0, 0) (V ) (a) Ch ng minh r ng (U ), (V ) là các cơ s c a R (b) Tìm các ma tr n đ i cơ s t (U ) sang (V ) và t (V ) sang (U ) 3. Trong R2 cho các cơ s (α), (β), (γ) Bi t: 1 1 3 1 Tαβ = , Tγβ = 2 1 2 1 và cơ s (γ): γ1 = (1, 1), γ2 = (1, 0) Tìm cơ s (α) 4. Cho R+ là t p các s th c dương. Trong R+ ta đ nh nghĩa 2 phép toán ∀x, y ∈ R+ x ⊕ y = xy + + ∀a ∈ R , x ∈ R a × x = xa + Bi t r ng (R , ⊕, ∗) là không gian vectơ. Tìm cơ s , s chi u c a không gian đó a −b 5. V = sao cho a, b ∈ R b a Bi t r ng V cùng v i phép c ng hai ma tr n và phép nhân 1 s v i 1 ma tr n là m t không gian vectơ. Tìm cơ s và s chi u c a V . 1 1 Đánh máy: NGUY N NG C QUYÊN, Ngày: 12/03/2005 6