Xem mẫu

  1. Chủ đề 4: Quỹ tích điểm. I.Kiến thức cơ bản: Với các bài toán quỹ tích ta cần nhớ rằng:   1. Nếu MA  MB , với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.     2. MC  k AB , với A, B, C cho trước thì M đường tròn tâm C, bán kính bằng k.AB    3. Nếu MA  k BC , với A, B, C, cho trước thì: *Với k  R điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC * Với k  R+ điểm M thuộc nữa đường thẳng qua A song song với   BC theo hướng BC . * Với k  R- điểm M thuộc nữa đường thẳng qua A song song với   BC ngược hướng BC . II. Bài tập minh hoạ: Bài1: Cho ABC , tìm tập hợp những điểm M thoã mãn:     3    a. MA  MB  MC  MB  MC (1) 2         b. MA  3MB  2MC  2MA  MB  MC (2) Giải: a.Gọi I là điểm thoã mãn hệ thức
  2.       IA  IB  IC  0  I là trọng tâm ABC . Ta được :       MA  MB  MC  3MI (3) Mặt khác nếu gọi E là trung điểm BC, ta được:     MB  MC  2ME (4) Thay (3), (4) vào (1) ta được:    MI  ME  M thuộc đường trung trực của đoạn IE. b. Gọi K là điểm thoã mãn hệ thức :       KA  3KB  2KC = 0  tồn tại duy nhất điểm K.       Ta được: MA  3MB  2MC = 2MK . (5)                Mặt khác: 2MA  MB  MC  MA  MB  MA  MC  BA  CA  2 AE (6) Thay (5), (6) vào (2), ta được:     MK  AE  M thuộc đường tròn tâm K, bán kính AE. Bài 2: Cho ABC , tìm tập hợp những điểm M thoã mãn:      a. MA  k MB  k MC  0 (1)      b. MA  kMB  kMC  0 (2) Giải: a. Ta biến đổi (1) về dạng:
  3.        MA  k (MC  MB)  MA  k BC  M thuộc đường thẳng qua A song song với BC.       b. Ta biến đổi (2) về dạng: MA  MB  k (MA  MC )  0 Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC, ta được:      (3)  2ME  2kMF  0  ME  kMF  M thuộc đường trung bình EF của ABC . Bài 3:( ĐHMĐC-99):Cho ABC , M là một điểm tuỳ ý trong mặt phẳng.      a.CMR vecto v  3MA  5MB  2MC không đổi.        b.Tìm tập hợp những điểm M thoã mãn: 3MA  2MB  2MC  MB  MC . Giải:               a.Ta có: v  3MA  5MB  2MC  3(MA  MB)  2(MC  MB)  3BA  2BC b.(Bạn đọc tự giải) Chủ đề 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau I.Kiến thức cơ bản: Muốn chứng minh hai điểm A và B trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai hướng:    Hướng 1:chứng minh AB  0
  4.     Hướng 2: chứng minh OA  OB với O là điểm tuỳ ý. II. Bài tập minh hoạ: Bài1: Cho ABC . Lấy các điểm M  BC, N  AC, P  AB sao cho:        AM  BN  CP  0 Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm. Giải:Gọi G, J theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ABC, MNP, ta có:                      0  AM  BN  CP  ( AG  GJ  JM )  ( BG  GJ  JN )  (CG  GJ  JP)                (GA  GB  GC )  ( JM  JN  JP)  3GJ  GJ  0  G  J Bài 2: Cho tứ giác lồi ABCD.Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm. Giải: Gọi G, J theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ANP, CMQ và O là một điểm tuỳ ý. Ta có:              OA  ON  OP  3OG  OC  OM  OQ  3OJ (1)       1     1     1     Mặt  : OA  ON  OP  OA  (OB  OC )  (OC  OD)  OA  OC  (OB  OD) (2) 2 2 2     1   1     1          OC  OM  OQ  OC  (OA  OB)  (OA  OD)  OA  OC  (OB  OD) (3) 2 2 2    Từ (1), (2), (3) ta suy ra: OG  OJ Vậy G, J trùng nhau.
  5. Chủ đề 6: Chứng minh ba điểm thẳng hàng I.Kiến thức cơ bản: Mu ốn ch ứng minh 3 đi ểm th ẳng h àng ta c ần ch ứng minh:      MA  MB  MC  0         NA  NB  3NC  0 AB  k AC, k   (1) Để nhận được (1), ta lựa chọn một trong hai hướng: Hướng 1: Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết    Hướng 2:Xác định vectơ AB và AC thông qua một số tổ hợp trung gian. II. Bài tập minh hoạ: Bài1: Cho ABC , lấy các điểm I,J thoã mãn:     IA  2 IB,(1)     3JA  2 JC  0(2) Chứng minh Ị đi qua trọng tâm của ABC . Giải:      Viết lại (1) dưới dạng: IA  2IB  0 (3)              Biến đổi (2) về dạng: 3( IA  IJ )  2( IC  IJ  0  3IA  2IC  5IJ (4) Trừ theo vế (4) cho (3) ta được:           2( IA  IB  IC )  5IJ  6IG  5IJ  I, J, G thẳng hàng.
  6. Bài 2: Cho ABC . Đường tròn nội ti ếp ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự tại M, N. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC, BC. Tìm điểm P thuộc EF sao cho M, N, P thẳng hàng. Hướng dẫn: Gọi P là giao điểm của EF và đường phân giác trong góc B. Ta đi chứng minh M, N, P thẳng hàng. Bài 3: Cho ABC . Lấy các điểm M, N, P sao cho:      MA  MB  MC  0       NA  NB  3NC  0 Chứng minh rằng M, N, G thẳng hàng, với G là trọng tâm tam giác ABC. (Bạn đọc tự giải)