Xem mẫu

  1. Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net B T ð NG TH C I. LÝ THUY T 1. ð nh nghĩa : Cho a ; b ∈R. M nh ñ “ a > b” ; “a ≥ b” ; “a < b” ; “ a ≤ b” g i là b t ñ ng th c 2.Tính ch t : * a > b và b > c ⇒ a > c * a>b⇔a+c>b+c * a > b và c > d ⇒ a + c > b + d ac > bc khi c > 0 * a>b⇒ ac < bc khi c < 0 * a >b≥0⇒ a > b * a ≥ b ≥ 0 ⇔ a 2 ≥ b2 * a > b ≥ 0 ⇒ an > bn 3. B t ñ ng th c v giá tr tuy t ñ i * | x |< a ⇔ −a < x < a ( V i a > 0 ) x > a * | x |> a ⇔  ( V i a > 0)  x < −a 4. B t ñ ng th c gi a trung bình c ng và trung bình nhân ( Bñt Cauchy) a+b a) Cho a, b ≥ 0 , ta có ≥ ab . D u ‘=’ x y ra khi và ch khi a = b 2 H qu :*. Hai s dương có t ng không ñ i thì tích l n nh t khi 2 s ñó b ng nhau *. Hai s dương có tích không ñ i thì t ng nh nh t khi 2 s ñó b ng nhau a+b+c 3 b) Cho a, b, c ≥ 0 , ta có ≥ abc . D u ‘=’ x y ra khi và ch khi a = b = c 3 5. Phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c I. Phương pháp bi n ñ i tương ñương ð ch ng minh BðT d ng A ≥ B ta thư ng dùng các cách sau : Cách 1 : Ta ch ng minh A − B ≥ 0 . ð là ñi u này ta thư ng s d ng các h ng ñ ng th c ñ phân tích A − B thành t ng ho c tích c a nh ng bi u th c không âm. Chú ý : M t s k t qu ta thư ng hay s d ng * x 2 ≥ 0 ∀x và x 2 = 0 ⇔ x = 0 ; | x |≥ 0 ∀x và | x |= 0 ⇔ x = 0 * a 2 + b 2 + c 2 ≥ 0 . ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = 0 . Ví d 1 : Cho hai s th c a, b . Ch ng minh r ng : a 2 + b 2 ≥ 2ab . Gi i : Ta có a 2 + b 2 − 2ab = (a − b)2 ≥ 0 ⇒ a 2 + b2 ≥ 2ab . ð ng th c có ⇔ a = b . Ví d 2 : Cho ba s th c a, b, c . Ch ng minh r ng : a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca (I). Gi i : Ta có : a 2 + b 2 + c 2 − (ab + bc + ca ) = 1 1 1 = ( a 2 − 2ab + b 2 ) + (b 2 − 2bc + c 2 ) + (c 2 − 2ca + a 2 ) 2 2 2 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
  2. Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net 1 = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ 0 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca 2 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c . Ví d 3 : Cho 5 s th c a, b, c, d , e . Cmr : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e) . Gi i : Ta có : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 − a(b + c + d + e) = a2 a2 a2 a2 =( − ab + b 2 ) + ( − ac + c 2 ) + ( − ad + d 2 ) + ( − ae + e2 ) 4 4 4 4 a a a a = ( − b) 2 + ( − c) 2 + ( − d ) 2 + ( − e) 2 ≥ 0 ⇒ ñpcm. 2 2 2 2 a ð ng th c x y ra ⇔ b = c = d = e = . 2 Nh n xét : 1) BðT Ví d 3 cũng ñúng v i n s th c 1 ≤ n ≤ 5 , còn n ≥ 6 thì không còn ñúng n a, t c là BðT a1 + a2 + ... + an ≥ ai (a1 + ... + ai −1 + ai +1 + ... + an ) ñúng v i n s 2 2 2 th c ⇔ n ≤ 5 . 2) S d ng hàng ñ ng th c ( a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca thì ta có th vi t BðT (1) dư i các d ng sau : ( a + b + c) ≥ 3( ab + bc + ca ) (II) . 3( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (a + b + c) 2 (III) Các BðT (I), (II), (III) có nhi u ng d ng trong ch ng minh BðT, ta xét các bài toán sau : Bài toán 1.2 : Cho ba s th c dương a, b, c . Ch ng minh BðT sau a 3 b3 c 3 + + ≥ a + b + c (1) (Vô d ch Toán Canaña 2002) bc ca ab Gi i : BðT (1) ⇔ a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc( a + b + c) (2) Áp d ng (I) hai l n ta có : a 4 + b 4 + c 4 = (a 2 )2 + (b 2 )2 + (c 2 )2 ≥ a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 ≥ ≥ ab.bc + bc.ca + ca.ab = abc(a + b + c) ⇒ ñpcm. Nh n xét : * N u ta cho abc = 1 thì (2) tr thành : a 4 + b 4 + c 4 ≥ a + b + c ñây là bài toán 3 ñ thi HSG t nh ð ng Nai l p 11 năm 2005. * N u ta cho a + b + c = 1 thì (2) tr thành : a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc Bài toán 2.2 : Cho các s th c dương x, y, z > 0 có t ng b ng 1. Ch ng minh r ng 4 x + 1 + 4 y + 1 + 4 z + 1 ≤ 21 . Gi i : Áp d ng BðT (III) v i a = 4 x + 1, b = 4 y = 1, c = 4 z + 1 ta có VT = a + b + c ≤ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = 3(4 x + 1 + 4 y + 1 + 4 z + 1) = 21 1 ð ng th c x y ra ⇔ x = y = z = . 3 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
  3. Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net Bài toán 3.2: G i p là chu vi tam giác ABC. Cmr : p − a + p − b + p − c ≤ 3p . Gi i : Áp d ng BðT (III) ta có : VT ≤ 3( p − a + p − b + p − c) = 3 p ñpcm. ð ng th c có khi ∆ABC ñ u. Ví d 4 : Cho a, b ≥ 0 . Ch ng minh r ng : a3 + b3 ≥ a 2b + b 2 a . Gi i : Ta có : a3 + b3 − a 2b − b2 a = a 2 ( a − b) + b 2 (b − a) = ( a − b)( a 2 − b 2 ) = (a − b) 2 ( a + b) ≥ 0 ⇒ a3 + b3 ≥ a 2 b + b 2 a . ð ng th c x y ra khi a = b . Nh n xét : * Qua ch ng minh trên ta th y ch c n ñi u ki n a + b ≥ 0 thì BðT luôn ñúng và ta còn có k t qu t ng quát như sau : a m + n + b m + n ≥ a m b n + a n b m . * S d ng k t qu bài toán trên ta có th gi i quy t ñư c m t s bài toán sau : Bài toán 1.4 : Cho a, b, c ≥ 0 . Ch ng minh r ng : 1 1 1 1 + 3 + 3 ≤ . a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 3 3 3 3 Gi i : Theo bài toán trên ta có : a3 + b3 ≥ a 2b + b 2 a = ab( a + b) 1 1 c ⇒ a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) ⇒ 3 ≤ = a + b + abc ab(a + b + c) abc(a + b + c) 3 1 a 1 b Tương t : 3 ≤ ; 3 ≤ b + c + abc abc( a + b + c) c + a + abc abc(a + b + c) 3 3 C ng ba BðT trên l i v i nhau ta có ñpcm. Sau ñây ta xét bài toán ñư c gi i thi u trong kì thi IMO năm 1995. Bài toán 2.4 : Cho a, b, c ≥ 0 và abc = 1 . Ch ng minh r ng : ab bc ca + 5 + 5 ≤ 1. a5 + b5 + ab b + c5 + bc c + a5 + ac a+b+c Gi i : Ta có : a5 + b5 ≥ a3b 2 + b3 a 2 = a 2b 2 ( a + b) ⇒ a5 + b5 + ab ≥ ab c ab ab c ⇒ 5 ≤ = . a + b5 + ab ab a + b + c a + b + c c bc a ca b Tương t : 5 ≤ ; 5 ≤ b + c + bc a + b + c c + a + ac a + b + c 5 5 C ng ba BðT này l i v i nhau ta có ñpcm. am + n + bm + n a m + bm a n + bn Bài toán 3.4 : Cho a + b ≥ 0 . Ch ng minh : ≥ 2 2 2 Gi i : Ta có BðT ⇔ 2(a m + n + bm + n ) ≥ (a m + b m )(a n + b n ) ⇔ a m + n + b m + n ≥ a mb n + a n bm ðây chính là BðT trong nh n xét trên. Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
  4. Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net Bài toán 4.4 : Cho các s th c a,b. Ch ng minh r ng : ( a 2 + b 2 )( a8 + b8 )(a10 + b10 ) ≤ 4(a 20 + b 20 ) . Gi i : ð t x = a 2 , y = b 2 ⇒ x, y ≥ 0 và BðT tr thành : ( x + y )( x 4 + y 4 )( x5 + y 5 ) ≤ 4( x10 + y10 ) Áp d ng bài toán 3 ta có : x + y x 4 + y 4 x5 + y 5 x5 + y 5 x5 + y 5 x10 + y10 ≤ ≤ ⇒ ñpcm. 2 2 2 2 2 2 an + bn a+b n Bài toán 5.4 : Cho a + b ≥ 0 .Ch ng minh r ng : ≥( ) . 2 2 Gi i : Áp d ng k t qu bài toán 3 ta có : a + b a + b a + b a2 + b2 a + b a + b a n −1 + b n −1 a + b a n + b n . ... ≤ . ... ≤ ... ≤ ≤ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n laàn n −1 laàn a+b n a +b n n ⇒( ) ≤ ñpcm. 2 2 1 2 1 Ví d 5 : Cho ab ≥ 1 . Ch ng minh r ng : + . ≥ a + 1 b + 1 1 + ab 2 2 1 1 2 1 1 1 2 Gi i : Ta có 2 + 2 − =( 2 − )+( 2 − ) a + 1 b + 1 1 + ab a + 1 1 + ab b + 1 1 + ab ab − a 2 ab − b 2 a−b b a a − b b − a + a 2b − b 2 a = 2 + = ( − )= . ( a + 1)(1 + ab) (b2 + 1)(1 + ab) 1 + ab 1 + b 2 1 + a 2 1 + ab (1 + b 2 )(1 + a 2 ) a − b ( a − b)( ab − 1) (a − b) 2 ( ab − 1) = = ≥ 0 (Do ab ≥ 1) . 1 + ab (1 + b2 )(1 + a 2 ) (1 + ab)(1 + b2 )(1 + a 2 ) 1 1 2 Nh n xét : N u −1 < ab≤ 1 thì BðT có chi u ngư c l i : 2 + 2 ≤ . a + 1 b + 1 1 + ab Ví d 6 : Cho hai s th c x,y. Ch ng minh : 3( x + y + 1)2 + 1 ≥ 3xy . 1 3 Gi i : Vì ta có : xy ≤ ( x + y ) 2 nên ta ch ng minh : 3( x + y + 1) 2 + 1 ≥ ( x + y ) 2 4 4 Th t v y : (*) ⇔ 12( x + y ) + 24( x + y ) + 16 ≥ 3( x + y ) 2 2 ⇔ 9( x + y ) 2 + 24( x + y ) + 16 ≥ 0 ⇔ (3x + 3 y + 4) 2 ≥ 0 ñpcm 2 ð ng th c xay ra khi : x = y = − . 3 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
  5. Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net Cách 2 : Xu t phát t m t BðT ñúng ta bi n ñ i ñ n BðT c n ch ng minh ð i v i cách này thư ng cho l i gi i không ñư c t nhiên và ta thư ng s d ng khi các bi n có nh ng ràng bu c ñ c bi t Ví d 1 : Cho a,b,c là ñ dài ba c nh tam giác. Ch ng minh r ng : a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca) . Gi i : Vì a,b,c là ñ dài ba c nh tam giác nên ta có : a + b > c ⇒ ac + bc > c 2 . Tương t bc + ba > b 2 ; ca + cb > c 2 c ng ba BðT này l i v i nhau ta có ñpcm Nh n xét : * trong bài toán trên ta ñã xu t phát t BðT ñúng ñó là tính ch t v ñ dài ba c nh c a tam giác. Sau ñó vì c n xu t hi n bình phương nên ta nhân hai v c a BðT v i c. Tương t thì xu t phát t BðT | a − b |< c r i bình phương hai v ta cũng có ñư c k t qu . * N u gi thi t các bi n a ∈ ( −1;1) thì ta có : (1 − a), (1 + a ) > 0 … Ví d 2 : Cho a, b, c ∈[0;1] . Ch ng minh : a 2 + b 2 + c 2 ≤ 1 + a 2b + b2 c + c 2 a Gi i : Vì a, b, c ∈ [0;1] ⇒ (1 − a 2 )(1 − b2 )(1 − c 2 ) ≥ 0 ⇔ 1 + a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 − a 2b 2 c 2 ≥ a 2 + b2 + c 2 (*) Ta có : a 2b 2 c 2 ≥ 0; a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≤ a 2b + b 2 c + c 2 a nên t (*) ta suy ra a 2 + b 2 + c 2 ≤ 1 + a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≤ 1 + a 2b + b 2 c + c 2 a ñpcm. Ví d 3 : Cho các s th c a,b,c th a mãn : a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Ch ng minh : 2(1 + a + b + c + ab + bc + ca) + abc ≥ 0 . Gi i : Vì a 2 + b 2 + c 2 = 1 ⇒ a, b, c ∈ [ −1;1] nên ta có : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 0 ⇔ 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥ 0 (*) (1 + a + b + c) 2 M t khác : ≥ 0 ⇔ 1 + a + b + c + ab + bc + ca ≥ 0 (**) 2 C ng (*) và (**) ta có ñpcm. Bài t p : Ch ng minh các bñt sau: 1) ( ax + by )(bx + ay ) ≥ ( a + b) 2 xy ( v i a, b > 0; x, y ∈ R ) 2) ( a + b)( a 2 + b 2 )( a 7 + b7 ) ≤ 4( a10 + b10 ) v i a + b ≥ 0 3) a n + bn ≤ a n +1 + b n +1 v i a+b ≥ 2 1 1 1 1 1 8) y ( + ) + ( x + z ) ≤ ( x + z )( − ) v i z ≥ y ≥ x ≥ 0 x z y x z c+a c+b 9) ≥ v i a > b > 0; c > ab c +a 2 2 c +b 2 2 a+b c+b 1 1 2 10) + ≥ 4 v i a, b, c > 0 và + = 2a − b 2c − b a c b Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
  6. Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net 11) a 2 + b 2 + c 2 ≤ 5 v i a, b, c ∈ [ 0;2]; a + b + c = 3 12) a3 (b 2 − c 2 ) + b3 (c 2 − a 2 ) + c3 (a 2 − b 2 ) < 0 13) a(b − c ) 2 + b(c − a) 2 + c( a − b) 2 > a3 + b3 + c3 14) a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 3S + (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 trong ñó a,b,c là ñ dài 3 c nh tam giác,S là di n tích. x2 y y 2 z z 2 x 15*) Cho x ≥ y ≥ z ≥ 0 . Ch ng minh: + + ≥ x2 + y 2 + z 2 . z x y Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
  7. Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net Phương pháp s d ng các B t ñ ng th c c ñi n I. B t ñ ng th c Côsi Trư c h t ta nh c l i BðT Côsi cho hai s : ð nh lí 1: V i hai s th c không âm x,y ta có: x+ y ≥ xy (1) .ð ng th c x y ra ⇔ x=y. 2 Vi c ch ng minh (1) r t ñơn gi n nên tôi không ch ng minh. (1) còn có nhi u cách bi u di n khác nhau như: x 2 + y 2 ≥ 2 xy ( x + y)2 x2 + y 2 ≥ 2 x+ y 2 xy ≤ ( ) 2 BðT Côsi cho 3 s không âm. ð nh lí 2: V i 3 s th c không âm x, y, z ta có: x+ y+z 3 ≥ xyz (2) . ð ng th c x y ra ⇔ x = y = z . 3 Ch ng minh: C1: ð t 3 x = a, 3 y = b, 3 z = c . Khi ñó (2) tr thành: a3 + b3 + c3 ≥ 3abc ( ∗ ). Ta có:   a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)  a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca  ≥ 0 ∀a, b, c ≥ 0 C2: Vì (2) là BðT thu n nh t nên ta ch c n ch ng minh (2) v i x + y + z = 1. Khi ñó 1 (2) ⇔ xyz ≤ (**) 27 x + y 2 (1 − z )2 Áp d ng BðT Côsi cho hai s ta có: xy ≤ ( ) = 2 4 z ( z − 2 z + 1) z − 2 z + z f ( z ) 2 3 2 ⇒ xyz ≤ = = 4 4 4 27 z − 54 z + 27 z (3z − 1) 2 (3z − 4) + 4 4 3 2 Ta có: f ( z ) = = ≤ (vì z ∈ (0;1)) 27 27 27 1 ⇒ xyz ≤ ⇒ (∗∗) ñúng ⇒ ñpcm. 27 a + a2 + ...an n ð nh lí 3: Cho n s th c không âm x1 , x2 ,...xn .Ta có: 1 ≥ a1...an (3). n ð ng th c x y ra ⇔ a1 = a2 = ... = an . M t s chú ý khi s d ng b t ñ ng th c côsi: *Khi áp d ng bñt côsi thì các s ph i là nh ng s không âm *BðT côsi thư ng ñư c áp d ng khi trong bñt c n ch ng minh có t ng và tích *ði u ki n x y ra d u ‘=’ là các s b ng nhau Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
  8. Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net Ví d 1: Cho hai s th c không âm a,b. Ch ng minh: (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab . Gi i: Áp d ng BðT Côsi cho hai s th c không âm ta có: a + b ≥ 2 ab   ⇒ (1 + b)(1 + ab) ≥ 2 ab .2 ab = 4ab ñpcm. 1 + ab ≥ 2 ab   ð ng th c x y ra ⇔ a = b = 1. 1 1 Ví d 2: Cho a, b > 0 . Ch ng minh: (a + b)( + ) ≥ 4 . a b Gi i: Áp d ng BðT Côsi cho hai s th c không âm ta có: a + b ≥ 2 ab   1 1 1 1 1 1  ⇒ (a + b)( a + b ) ≥ 2 ab .2 ab = 4 ñpcm. + ≥2  a b ab  ð ng th c x y ra ⇔ a = b . 1 1 4 Nh n xét: BðT trên còn ñư c vi t l i như sau: + ≥ (I) . BðT này có a b a+b nhi u ng d ng trong ch ng minh BðT. Ta xét m t s bài toán sau: Bài toán 2.1: Cho a,b,c là ñ dài ba c nh tam giác, p là chu vi. Ch ng minh r ng: 1 1 1 1 1 1 + + ≥ 2( + + ) . p−a p−b p−c a b c Gi i: áp d ng Bñt (I) ta có: 1 1 4 4 + ≥ = . Tương t ta cũng có : p−a p−b p−a+ p−b c 1 1 4 1 1 4 + ≥ ; + ≥ . C ng ba BðT này ta có ñpcm. p−b p−c a p−c p−a b a2 b2 1 Bài toán 2.2: Cho a, b > 0 và a + b = 1 . Ch ng minh: + ≥ . a +1 b +1 3 a −1 2 1 b −1 2 1 1 1 Gi i: Ta có: VT = + + + = −1 + + a +1 a +1 b +1 b +1 a +1 b +1 1 1 4 4 M t khác áp d ng BðT (I) ta có: + ≥ = a +1 b +1 a + b + 2 3 4 1 1 Do ñó: VT ≥ −1 + = ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ a = b = . 3 3 2 Bài toán 2.3: Cho x, y, z > 0 . Ch ng minh BðT sau: 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ ( + + ). 2x + y + z 2x + 2 y + z x + y + 2z 4 x y z Gi i: Áp d ng BðT (I’) ta có: Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
  9. Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net 1 1 1 1 1 1 2 1 1 = ≤ ( + )≤ ( + + ) 2 x + y + z ( x + y ) + ( x + z ) 4 x + y x + z 16 x y z 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 Tương t : ≤ ( + + ); ≤ ( + + ) x + 2 y + z 16 x y z x + y + 2 z 16 x y z C ng ba BðT trên ta có ñư c ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ x = y = z . Bài toán 2.4: Cho các s th c dương a, b, c . Ch ng minh r ng: 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + . a + 3b b + 3c c + 3a 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Gi i: Áp d ng BðT (I) ta có: 1 1 4 2 + ≥ = . Tương t a + 3b a + b + 2c 2a + 4b + 2c a + 2b + c 1 1 2 1 1 2 + ≥ ; + ≥ b + 3c 2a + b + c a + b + 2c c + 3a a + 2b + c 2a + b + c C ng ba BðT trên ta có ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c . a b Ví d 3: Cho a, b > 0 . Ch ng minh: (1 + )n + (1 + )n ≥ 2n +1 v i n ∈ ℕ * . b a Gi i: Áp d ng BðT Côsi cho hai s th c không âm ta có: a a a a  1+ ≥ 2 ⇒ (1 + ) n ≥ 2n ( ) n    b  n n b b b b  a n b n n  a   ⇒ (1 + ) + (1 + ) ≥ 2   +   b a  b   a   ⇒ (1 + ) n ≥ 2n ( ) n  b b b b   1+ ≥ 2  a a a a  n n  a  b a n b n n +1 mà   +  ≥ 2 nên suy ra (1 + ) + (1 + ) ≥ 2 pcm  b  a b a ð ng th c x y ra ⇔ a = b . 2 x 2 y 2 z 1 1 1 Ví d 4: Cho x, y, z > 0 . Cmr: 3 + 3 + 3 ≤ 2 + 2 + 2. x +y 2 y +z 2 z +x 2 x y z Gi i: Áp d ng BðT Côsi cho hai s th c dương ta có: 2 x 2 x 1 x3 + y 2 ≥ 2 xy x ⇒ 3 ≤ = . x +y 2 2 xy x xy 2 y 1 2 z 1 1 1 1 Tương t : ≤ ; 3 ≤ ⇒ VT ≤ + + . y 3 + z 2 yz z + x 2 zx xy yz zx 1 1 1 1 1 1 M t khác: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ⇒ + + ≤ 2+ 2+ 2 xy yz zx x y z 1 1 1 V y : VT ≤ 2 + 2 + 2 ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ x = y = z = 1 . x y z Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
  10. Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net 1 1 1 Ví d 5 : Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh : ( a + b + c)( + + ) ≥ 9 (II). a b c Gi i : Áp d ng BðT Côsi cho ba s th c dương ta có : a + b + c ≥ 3 3 abc   1 1 1 1 1  ⇒ (a + b + c)( + + ) ≥ 3 abc .3 3 = 9 ñpcm. 3 1 1 1 + + ≥33  a b c abc a b c abc  ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c . 1 1 1 9 Nh n xét : * BðT trên còn ñư c vi t l i như sau : + + ≥ (II) a b c a+b+c * Tương t ta có BðT t ng quát c a (I) và (II) như sau : 1 1 1 n2 Cho n s th c dương a1 , a2 ,..., an khi ñó : + + ... + ≥ (III). a1 a2 an a1 + a2 + ... + an ð ng th c x y ra ⇔ a1 = a2 = ... = an . Các BðT (I), (II), (III) ñư c s d ng nhi u trong các bài toán BðT. Ta xét các bài toán sau a b c 3 Bài toán 5.1 : Cho ba s th c dương a, b, c . Cmr : + + ≥ . b+c c+a a+b 2 Gi i : C ng hai v c a BðT v i 3 thì BðT c n ch ng minh tr thành a b c 9 1 1 1 9 ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) ≥ ⇔ (a + b + c)( + + )≥ b+c c+a a+b 2 a+b b+c c+a 2 1 1 1 9 9 Áp d ng BðT (II) ta có : + + ≥ = a + b b + c c + a a + b + b + c + c + a 2( a + b + c) 1 1 1 9 9 ⇒ (a + b + c)( + + ) ≥ (a + b + c). = ñpcm. a+b b+c c+a 2(a + b + c) 2 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c . Nh n xét : BðT trên có tên là BðT Nesbit cho ba s . Có nhi u cách ñ ch ng minh BðT trên sau ñây ta xét m t cách ch ng minh cho BðT trên a b c b c a c a b ð t A= + + ;B = + + ;C = + + b+c c+a a+b b+c c+a a+b b+c c+a a+b A + B ≥ 3 3 Khi ñó : B + C = 3 và  ⇒ 2A + B + C ≥ 6 ⇒ A ≥ . A + C ≥ 3 2 ðây là l i gi i có l là hay nh t cho bài toán này. Tuy nhiên vi c tìm ñư c l i gi i như v y không ph i là vi c ñơn gi n. a b c 3 Bài toán 5.2 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 . Cmr : + + ≤ . 1+ a 1+ b 1+ c 4 a +1−1 b +1−1 c +1−1 3 Gi i : Ta có BðT ⇔ + + ≤ a +1 b +1 c +1 4 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
  11. Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net 1 1 1 3 1 1 1 9 ⇔3−( + + )≤ ⇔ + + ≥ . a +1 b +1 c +1 4 a +1 b +1 c +1 4 1 1 1 9 9 Áp d ng BðT (II) ta có : + + ≥ = ñpcm. a +1 b +1 c +1 a + b + c + 3 4 1 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = . 3 Bài toán 5.3 : Cho a, b, c > 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Ch ng minh r ng 1 1 1 3 + + ≥ . 1 + ab 1 + bc 1 + ca 2 Gi i : Ta có ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 = 3 . 1 1 1 9 3 Áp d ng BðT (II) ta có : + + ≥ ≥ ñpcm. 1 + ab 1 + bc 1 + ca ab + bc + ca + 3 2 1 ð ng th c có ⇔ a = b = c = 3 Bài toán 5.4 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng 1 1 1 1 + + + ≥ 30 . a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca 1 1 1 9 Gi i : Áp d ng BðT (II) ta có : + + ≥ ab bc ca ab + bc + ca 1 1 1 1 1 9 ⇒ 2 + + + ≥ 2 + a + b 2 + c 2 ab bc ca a + b 2 + c 2 ab + bc + ca 1 1 1 7 = 2 + + + a +b +c 2 2 ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca 1 1 7 M t khác : ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2 = ⇒ ≥ 21 3 3 ab + bc + ca 1 1 1 9 + + ≥ 2 =9 a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca ab + bc + ca a + b 2 + c 2 + 2( ab + bc + ca) 1 1 1 1 Suy ra : 2 + + + ≥ 9 + 21 = 30 ñpcm. a +b +c 2 2 ab bc ca 1 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = . 3 Bài toán 5.4 : Cho x, y, z > 0 . CMR: 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ ( + + ). 2x + y + z 2x + 2 y + z x + y + 2z 4 x y z HD: Áp d ng (III) v i n=4 ta có: 1 1 1 1 42 16 2 1 1 16 + + + ≥ = ⇒ + + ≥ . x x y z 2x + y + z 2x + y + z x y z 2z + y + z Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
  12. Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net 2 1 1 16 2 1 1 16 Tương t : + + ≥ và + + ≥ y z x x + 2y + z z x y x + y + 2z C ng 3 BðT trên ta có ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ x= y = z. Bài toán 5.5 : Cho n s th c dương a1 , a2 ,..., an có t ng b ng 1. Ch ng minh r ng : a1 a2 an n a) + + ... + ≥ 2 − a1 2 − a2 2 − an 2n − 1 a1 a a n b) + 2 + ... + n ≤ a1 + 1 a2 + 1 an + 1 n + 1 Gi i : a a a n a) BðT ⇔ ( 1 + 1) + ( 2 + 1) + ... + ( n + 1) ≥ +n 2 − a1 2 − a2 2 − an 2n − 1 1 1 1 n2 ⇔ + + ... + ≥ (*) 2 − a1 2 − a2 2 − an 2n − 1 n2 n2 Áp d ng BðT (III) ta có : VT(*) ≥ = ñpcm. 2n − (a1 + a2 + ... + an ) 2n − 1 1 ð ng th c x y ra ⇔ a1 = a2 = ... = an = . n a a a n b) BðT ⇔ ( 1 − 1) + ( 2 − 1) + ... + ( n − 1) ≤ −n 1 + a1 1 + a2 1 + an n +1 1 1 1 n2 ⇔ + + ... + ≥ (**) 1 + a1 1 + a2 1 + an n + 1 n2 n2 Áp d ng BðT (III) ta có : VT(**) ≥ = ñpcm. n + (a1 + a2 + ... + an ) n + 1 1 ð ng th c x y ra ⇔ a1 = a2 = ... = an = . n a 2 b2 c2 a+b+c Ví d 6 : Cho a, b, c > 0 . Cmr : + + ≥ . b+c c+a a+b 2 Gi i : Áp d ng BðT Côsi cho hai s th c dương ta có : a2 b+c a2 b + c b2 c+a c2 a+b + ≥2 . = a . Tương t : + ≥ b; + ≥c. b+c 4 b+c 4 c+a 4 a+b 4 C ng ba BðT này l i v i nhau ta ñươc : a2 b2 c2 a+b+c a2 b2 c2 a+b+c + + + ≥a+b+c⇒ + + ≥ b+c c+a a+b 2 b+c c+a a+b 2 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c . Nh n xét :* Phương pháp mà chúng ta làm trong bài toán trên ngư i ta thương g i là phương pháp tách gép c p trong BðT Côsi. Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
  13. Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net a2 b+c Vì sao chúng ta l i gép + ? M c ñích c a vi c làm này là làm m t các b+c 4 bi n m u do v ph i c a BðT là m t bi u th c không có bi n m u. Vì sao ta l i b+c b+c gép mà không ph i là b + c hay … ñi u này xu t phát t ñi u ki n ñ 4 2 ñ ng th c x y ra. Vì BðT ñã cho là m t BðT ñ i x ng (T c là khi ñ i v trí hai bi n b t kì cho nhau thì BðT không thay ñ i) nên ñ ng th c thư ng x y ra khi các bi n a2 a b+c b ng nhau và khi ñó = nên ta ph i gép v i . b+c 2 4 a2 b2 c2 3 * N u abc = 1 thì ta có : a + b + c ≥ 3 nên : + + ≥ . b+c c+a a+b 2 * Phương pháp trên ñư c s d ng nhi u trong ch ng minh BðT Ví d 7 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1 . Ch ng minh r ng : 3 3 3 a b c 3 + + ≥ . ( a + 1)(b + 1) (c + 1)(b + 1) (a + 1)(c + 1) 4 Gi i: Áp d ng BðT Côsi cho ba s th c dương ta có: a3 a +1 b +1 3 a3 a +1b +1 3 + + ≥3 = a. (a + 1)(b + 1) 8 8 ( a + 1)(b + 1) 8 8 4 b3 c +1 b +1 3 c3 c +1 a +1 3 Tương t : + + ≥ b; + + ≥ c (c + 1)(b + 1) 8 8 4 (c + 1)( a + 1) 8 8 4 C ng ba BðT trên l i v i nhau ta ñư c: a+b+c+3 3 2(a + b + c) − 3 2.3 3 abc − 3 3 VT + ≥ (a + b + c) ⇒ VT ≥ ≥ = . 4 4 4 4 4 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = 1 . Ví d 8 : Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh r ng : a4 b4 a+b+c c4 + + . ≥ b (c + a ) c (a + b) a (b + c) 2 2 2 2 Gi i : Áp d ng BðT Côsi cho b n s th c dương ta có : a4 b b c+a a4 b b c+a + + + ≥ 4. 4 . . . = 2a b 2 (c + a ) 2 2 4 b 2 (c + a ) 2 2 4 a4 c+a ⇒ +b+ ≥ 2a . Tương t cũng có : b (c + a ) 2 4 b4 a+b c4 b+c +c+ ≥ 2b ; 2 +a+ ≥ 2c c (a + b) 2 4 a (b + c) 4 C ng ba BðT trên l i v i nhau ta có ñpcm. ð ng th c có ⇔ a = b = c . Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
  14. Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net Ví d 9 : Cho a, b, c > 0 và n là m t s t nhiên dương. Ch ng minh an bn cn a n −1 + b n −1 + c n −1 + + ≥ . b+c c+a a+b 2 an (b + c) n −1 Gi i : Áp d ng BðT Côsi cho n-1 s và 1 s ta có : b+c 2n an (b + c) n −1 1 n ( n − 1) + ≥ n n a n ( n −1) . n = a n −1 . Tương t : b+c 2 n 2 2 bn (c + a ) n −1 n n −1 cn ( a + b) n −1 n n −1 ( n − 1) + ≥ b ; (n − 1) + ≥ c c+a 2n 2 a+b 2n 2 C ng ba BðT trên l i v i nhau ta ñư c : 1 a + b n −1 b + c n −1 c + a n −1 n n −1 ( n − 1).VT + [( ) +( ) +( ) ] ≥ ( a + bn −1 + c n −1 ) 2 2 2 2 2 M t khác ta l i có : a n −1 + b n −1 a + b n −1 b n −1 + c n −1 b + c n −1 c n −1 + a n −1 c + a n −1 ≥( ) ; ≥( ) ; ≥( ) 2 2 2 2 2 2 a n −1 + b n −1 + c n −1 1 a + b n −1 b + c n −1 c + a n −1 ⇒ ≥ [( ) +( ) +( ) ] 2 2 2 2 2 a n −1 + b n −1 + c n −1 a n −1 + b n −1 + c n −1 Do ñó : (n − 1)VT ≥ (n − 1) ⇒ VT ≥ ñpcm 2 2 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c . Ví d 10 : Cho x, y, z ≥ 0 và xyz = 1 . Ch ng minh r ng : x3 + y 3 + z 3 ≥ x + y + z . Gi i : Áp d ng BðT Côsi cho ba s th c không âm ta có : x3 + 1 + 1 ≥ 3 3 x3 .1.1 = 3x ⇔ x3 + 2 ≥ 3x .Tương t : y 3 + 2 ≥ 3 y; z 3 + 2 ≥ 3 y C ng ba BðT trên l i v i nhau ta ñư c : x3 + y 3 + z 3 + 6 ≥ 3( x + y + z ) M t khác : x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3 ⇒ 2( x + y + z ) ≥ 6 . ⇒ x3 + y 3 + z 3 + 6 ≥ ( x + y + z ) + 2( x + y + z ) ⇒ x3 + y 3 + z 3 ≥ x + y + z ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ x = y = z = 1 . Nh n xét : * Xu t phát t x = 3 x3 nên ta áp d ng BðT Côsi cho ba s có d ng x3 + a + a . Do ñ ng th c x y ra khi x = y = z = 1 ⇒ a = 1 . * Tương t ta có bài toán t ng quát như sau : Ví d 11 : Cho s th c không âm có tích b ng 1 a1 , a2 , a3 ,..., ak . Ch ng minh a1 + a2 + ... + ak ≥ a1 + a2 + ... + ak v i ∀m ≥ n . m m m n n n Gi i :Áp d ng BðT Côsi cho m s , g m n s aim và ( m − n) s 1 ta có : Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
  15. Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net naim + (m − n) ≥ mm aimn = main Cho i=1,2,…,k r i l y t ng hai v ta ñư c: n(a1 + a2 + ... + ak ) + k (m − n) ≥ n( a1 + a2 + ... + ak ) + ( m − n)( a1 + a2 + ... + ak ) m m m n n n n n n Mà: a1 + a2 + ... + ak ≥ k k a1 a2 ...ak = k ⇒ (m − n)(a1 + a2 + ... + ak ) ≥ (m − n)k n n n n n n n n n ⇒ n(a1 + a2 + ... + ak ) ≥ n( a1 + a2 + ... + ak ) m m m n n n ⇔ a1 + a2 + ... + ak ≥ a1 + a2 + ... + ak ñpcm. m m m n n n ð ng th c x y ra ⇔ a1 = a2 = ... = ak = 1 . Ví d 11 : Cho x, y, z > 0 & x + y + z = 1 . Ch ng minh r ng : 1 1 1 (1 + ) 4 + (1 + ) 4 + (1 + ) 4 ≥ 768 . x y z 1 1 1 Gi i : ð t a = 1 + ; b = 1 + ; c = 1 + ⇒ a + b + c ≥ 12 x y z Ta có : a 4 + 44 + 44 + 44 ≥ 4 4 412 a 4 = 44 a ⇔ a 4 + 3.44 ≥ 44 a. Tương t b4 + 3.44 ≥ 44 b; c 4 + 3.44 ≥ 44 c c ng ba BðT trên l i v i nhau ta ñư c a 4 + b 4 + c 4 + 9.44 ≥ 44 (a + b + c) ≥ 12.44 ⇒ a 4 + b 4 + c 4 ≥ 3.44 = 768 ñpcm 1 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = 4 ⇔ x = y = z = . 3 n Chú ý : Ta có bài toán t ng quát sau : Cho a, b > 0, xi > 0∀i = 1,..n; ∑ xi = 1 . Cmr: i =1 m m m  b  b   b   a +  +  a +  + ... +  a +  ≥ n ( a + nb ) v i m > 0. m  x1   x2   xn  Ví d 12 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 .Ch ng minh r ng: 9(a 4 + b 4 + c 4 ) ≥ a 2 + b 2 + c 2 . Gi i: Áp d ng BðT Côsi ta có: 1 2 1 2 1 2 a4 + ≥ a 2 ; b4 + ≥ b2 ; c 4 + ≥ b2 c ng ba BðT l i v i nhau 81 9 81 9 81 9 1 a +b +c 2 2 2 a + b2 + c2 2 ⇒ a4 + b4 + c4 + ≥ + . 27 9 9 1 1 M t khác: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ( a + b + c) 2 = ⇒ 9(a 4 + b 4 + c 4 ) ≥ a 2 + b 2 + c 2 ñpcm. 3 3 1 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = . 3 Nh n xét : 1) Tương t ta có BðT t ng quát c a bài toán trên như sau: " Cho k s th c không âm a1 ,..., ak th a mãn a1 + a2 + ... + ak = 1 . Ch ng minh a1 + a2 + ... + ak n n n a1 + ... + ak m m ≥ ∀n ≥ m " . km kn Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
  16. Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net 2) T BðT t ng quát trên ta có các h qu sau Hq1 : Cho k s th c không âm a1 ,..., ak th a mãn a1 + a2 + ... + ak = 1 . Ch ng minh 1 a1 + a2 + ... + ak ≥ n −1 . n n n k Ch ng minh : Áp d ng BðT t ng quá trên v i m = 1 ta có ñpcm Hq2: Cho k s th c a1 , a2 ,..., ak > 0 .Ch ng minh r ng: a1 + ... + ak n n a + ... + ak n ≥ ( 1 ) v i n∈ N* k k ai Ch ng minh: ð t bi = v i i=1,2,3,…,k ⇒ b1 + b2 + ... + bk = 1 và a1 + a2 + ... + ak 1 BðT tr thành: b1n + b2 + ... + bk ≥ n −1 ñây chính là h qu 1. n n k Ví d 13 : Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh r ng : ( a + b − c )(b + c − a )(c + a − b) ≤ abc . Gi i : Không m t tính t ng quát ta gi s a ≥ b ≥ c ⇒ a + b − c > 0 và c + a − b > 0 * N u b + c − a < 0 ⇒ BðT c n ch ng minh luôn ñúng. * N u b + c − a > 0 áp d ng BðT Côsi ta có : a+b−c+b+c−a 2 ( a + b − c)(b + c − a) ≤ ( ) = b 2 . Tương t ta cũng có : 2 (b + c − a )(c + a − b) ≤ c ; (c + a − b)(a + b − c) ≤ a 2 . 2 Nhân ba BðT trên l i v i nhau ta có ñpcm. ð ng th c có ⇔ a = b = c . Nh n xét : S d ng bài toán trên ta có th gi i ñư c các bài toán sau ñây Bài toán 13.1 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1 . Ch ng minh r ng : 1 1 1 ( a + − 1)(b + − 1)(c + − 1) ≤ 1. b c a x y z Gi i : Vì abc = 1 ⇒ t n t i các s th c x, y, z > 0 sao cho : a = ; b = ; c = y z x Khi ñó BðT c n chúng minh tr thành : ( x + y − z )( y + z − x)( z + x − y ) ≤ xyz ðây chính là k t qu bài toán trên. Bài toán 13.2 : Cho a,b,c là ñ dài ba c nh tam giác. Ch ng minh r ng : a b c + + ≥ 3. a+b−c b+c−a c+a−b abc Gi i : Theo k t qu bài toán trên ta có : ≥1. (a + b − c)(b + c − a )(c + a − b) Áp d ng BðT Côsi cho ba s ta có : a b c abc + + ≥ 33 ≥ 3 ñpcm. a+b−c b+c−a c+a−b (a + b − c)(b + c − a )(c + a − b) ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c . Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
  17. Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net Ví d 14 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8(1 − a )(1 − b)(1 − c) . Gi i : Áp d ng BðT Côsi ta có : 2 − (a + b) 2 2 − (1 − c) 2 (1 + c) 2 (1 − a)(1 − b) ≤ ( ) =( ) = . Tương t 2 2 4 (1 + a)2 (1 + b)2 (1 − b)(1 − c) ≤ ; (1 − c)(1 − a ) ≤ Nhân ba BðT l i v i nhau ta có 4 4 1 ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = . 3 Ví d 15 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = abc . Ch ng minh r ng : a b c + 3 + 3 ≥ 1. b3 c a Gi i : BðT c n ch ng minh tương ñương v i: a 2 c b 2 a c 2b + 2 + 2 ≥ a + b + c (*) b2 c a a2c b2 a a2c b2 a Áp d ng BðT Côsi ta có : + + c ≥ 3.3 . .c = 3a b2 c2 b2 c 2 b 2 a c 2b c 2b a 2 c Tương t : 2 + 2 + a ≥ 3b ; 2 + 2 + b ≥ 3c . C ng ba BðT trên ta có ñư c c a a b 1 BðT (*) ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = . 3 Ví d 16 : Cho các s th c dương x, y, z . Ch ng minh r ng : x y z + + ≥1 . x 2 + 8 yz y 2 + 8 zx z 2 + 8 xy x y z Gi i : ð t a = ;b = ;c = ⇒ a + b + c = 1 và BðT ñã cho x+ y+z x+ y+z x+ y+z a b c tr thành : P = + + ≥1 a + 8bc 2 b + 8ca 2 c + 8ab 2 Áp d ng BðT Côsi ta có : a a 2a + + a (a 2 + 8bc) ≥ 3a ⇔ + a (a 2 + 8bc) ≥ 3a . a 2 + 8bc a 2 + 8bc a 2 + 8bc 2b 2c Tương t : + b(b 2 + 8ca) ≥ 3b ; + c(c 2 + 8ab) ≥ 3c b + 8ca 2 c + 8ab 2 C ng ba BðT trên l i v i nhau ta ñư c : 2 P + a3 + b3 + c3 + 24abc ≥ 3 M t khác ta l i có : 1 = ( a + b + c )3 = a3 + b3 + c3 + 3( a + b)(b + c)(c + a ) ≥ a 3 + b3 + c3 + 24abc . ⇒ 2 P ≥ 3 − (a3 + b3 + c3 + 24abc) ≥ 3 − 1 = 2 ⇒ P ≥ 1 ñpcm. Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
  18. Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net 1 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = ⇔ x = y = z. 3 Nh n xét : 1) BðT trên có nhi u cách ch ng minh, ngoài cách ch ng minh trên còn có nh ng cách ch ng minh khác cũng dùng BðT Côsi. yz zx xy C2 : ð t a = 2 ; b = 2 ; c = 2 ⇒ xyz = 1 và BðT c n ch ng minh tr thành : x y z 1 1 1 + + ≥1⇔ 1 + 8a 1 + 8b 1 + 8c (1 + 8a)(1 + 8b) + (1 + 8b)(1 + 8c) + (1 + 8c)(1 + 8a ) ≥ (1 + 8a)(1 + 8b)(1 + 8c) Bình phương hai v và rút g n ta ñư c : 8( a + b + c) + 2 (1 + 8a )(1 + 8b)(1 + 8c)( 1 + 8a + 1 + 8b + 1 + 8c ) ≥ 510 (*) Ta có : a + b + c ≥ 3 3 abc = 3 và ab + bc + ca ≥ 3 ⇒ (1 + 8a)(1 + 8b)(1 + 8c) = 1 + 8( a + b + c) + 64(ab + bc + ca) + 512 ≥ 729 ⇒ 1 + 8a + 1 + 8b + 1 + 8c ≥ 3 6 (1 + 8a)(1 + 8b)(1 + 8c) ≥ 9 ⇒ VT (*) ≥ 8.3 + 2.27.9 = 510 ⇒ (*) ñúng ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = 1 ⇔ x = y = z . 2) T cách gi i trên ta có th t ng quát bài toán trên như sau : " Cho các s th c dương x, y, z và s th c λ ≥ 8 . Ch ng minh r ng : x y z 3 + + ≥ ." x + λ yz 2 y + λ zx 2 z + λ xy 2 1+ λ Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai