Xem mẫu

  1. CHUYEÂN ÑEÀ 6 HYPEBOL Ñeå giaûi caùc baøi toaùn coù lieân quan ñeán ñöôøng hypebol ta caàn naém vöõng caùc vaán ñeà cô baûn sau: Hypebol (H) coù taâm O, hai truïc ñoái xöùng laø x′ x, y′ y. . Hypebol coù tieâu ñieåm . Hypebol coù tieâu ñieåm t treân x′ x reân y′ y Phöông trình x2 y2 x2 y2 – 2 =1 – 2 = –1 a2 b a2 b chính taéc vôùi c2 = a2 + b2 vôùi c2 = a2 + b2 Tieâu ñieåm F1(–c, 0), F2(c, 0) F1(0, –c), F2(0, c) Tieâu cöï 2c 2c Truïc thöïc, ñoä daøi Ox, 2a Oy, 2b Truïc aûo, ñoä daøi Oy, 2b Ox, 2a Ñænh A1(–a, 0), A2(a, 0) A1(0, –b), A2(0, b) Tieäm caän b a y= ± x y= ± x a b c c Taâm sai e= e= a b Baùn kính ⎧r1 = F1M = ex M + a ⎧r1 = F1M = ey M + b M(xM, yM) ∈ (H) ⎨ ⎨ ⎩r2 = F2 M = ex M − a ⎩r2 = F2 M = ey M − b (xM ≥ a) (yM ≥ b) ⎧r1 = −ex M − a ⎧r1 = −ey M − b ⎨ ⎨ ⎩r2 = −ex M + a ⎩r2 = −ey M + b (xM ≤ – a) (yM ≤ – b) 1
  2. Ñöôøng chuaån a b x= ± y= ± e e Phöông trình tieáp x0 x y y x0 x y y tuyeán taïi tieáp – 02 = 1 – 02 = –1 a 2 b a 2 b ñieåm M0(x0, y0) ∈ (H) Ngoaøi ra ta cuõng caàn löu yù: . Ñieàu kieän ñeå: x2 y2 (D) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (H) : – 2 = 1 laø a2 b a2A2 – b2B2 = C2 > 0 x2 y2 (D) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (H) : – 2 = –1 laø a2 b a2A2 – b2B2 = –C2 < 0 Ví duï : Cho hypebol (H) : 4x2 – y2 = 4 1) Xaùc ñònh tieâu ñieåm, ñænh, taâm sai, caùc ñöôøng tieäm caän vaø ñöôøng chuaån cuûa (H) 2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) taïi ñieåm M(1, 0) 3) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) phaùt xuaát töø ñieåm N(1, 4) tìm toïa ñoä tieáp ñieåm. Giaûi 1) Caùc phaàn töû cuûa hypebol (H) y2 x2 y2 (H) : 4x2 – y2 = 4 ⇔ x2 – = 1 coù daïng 2 – 2 = 1 vôùi 4 a b a2 = 1 ⇒ a = 1, b2 = 4 ⇒ b = 2 vaø c2 = a2 + b2 = 5 Vaäy hypebol (H) coù 2 tieâu ñieåm F1( − 5 , 0), F2( 5 , 0) ; hai ñænh A1(–1, 0), A2(1, 0) ; c taâm sai e = = 5 ; hai ñöôøng tieäm caän phöông trình y = ± 2x vaø hai ñöôøng chuaån phöông a trình a 1 x= ± = ± e 5 2
  3. 2) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) taïi tieáp ñieåm M(1, 0) Ta coù M(1, 0) ∈ (H) : 4x2 – y2 = 4 ⇒ Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) taïi tieáp ñieåm M(1, 0) laø 4xMx – yMy = 4 ⇔ 4x – 0y = 4 ⇔ x=1 3) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) phaùt xuaát töø N(1, 4). Hai tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi 0y laø x = ± a = ± 1. Vaäy x=1 laø moät tieáp tuyeán qua N(1, 4). Tieáp tuyeán (Δ) qua N(1, 4) khoâng cuøng phöông vôùi 0y coù daïng: (Δ) : y – 4 = k(x – 1) ⇔ kx – y + 4 – k = 0 x2 y2 ( Δ ) tieáp xuùc vôùi hypebol (H) : – =1 1 4 ⇔ k2 . 12 – 4(–1)2 = (4 – k)2 ⇔ k2 - 4 = 16 – 8k + k2 20 5 5 5 ⇔ k= = .Vaäy ( Δ ) : x – y – 4 – =0 8 2 2 2 ⇔ 5x – 2y – 13 = 0 Toùm laïi coù hai tieáp tuyeán qua ñieåm N(1, 4) laø x = 1, vaø 5x – 2y – 13 = 0. *** 3