Xem mẫu
- Gi¶i bµi kú tr−íc
Bµi 1. a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh x4=3x2+10x+4
b) x3=6x2+1
Gi¶i
a) ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh ®· cho d−íi d¹ng:
x 4 + 2α x 2 + α 2 = 3x 2 + 10 x + 4 + 2α x 2 + α 2
⇔ ( x 2 + α )2 = (3 + 2α ) x 2 + 10 x + 4 + α 2
Chän α ®Ó vÕ ph¶i lµ mét h»ng ®¼ng thøc, tøc lµ
∆ ' = 25 − (3 + 2α )(4 + α 2 ) = 0
⇔ 2α 3 + 3α 2 + 8α − 13 = 0
ThÊy α =1 tho¶ m·n ( Chó ý chØ cÇn chän mét nghiÖm α )
VËy ta cã:
( x 2 + 1)2 = 5 x 2 + 10 x + 5
⇔ ( x 2 + 1)2 = [ 5( x + 1)]2
x 2 + 1 = 5( x + 1)
⇔
x 2 + 1 = − 5( x + 1)
§©y lµ hai ph−¬ng tr×nh bËc hai , tõ ®ã gi¶i ®−îc nghiÖm
5 + 1+ 4 5
x =
2
x = 5 − 1 + 4 5
2
b) x3=6x2+1⇔ x3-6x2-1=0 (xem d¹ng 6- ph−¬ng tr×nh bËc 3)
a −6
§Æt x = y − = y − = y+2
3 3
Khi ®ã ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi ph−¬ng tr×nh sau:
( y + 2)3 − 6( y + 2)2 − 1 = 0
⇔ y 3 − 15 = 0
⇔ y = 3 15
Tõ ®ã nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ x = 2 + 3 15
Bµi 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh a(ax2+bx+c)2+b(ax2+bx+c)+c=x
§Æt ax 2 + bx + c = y
Ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh sau:
ax 2 + bx + c = y
2
ay + by + c = x
§©y lµ hÖ ph−¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i I ®· biÕt c¸ch gi¶i.
Chó ý: Tæng qu¸t h¬n khi gÆp ph−¬ng tr×nh d¹ng:f(f(x)=x, trong ®ã f(x) lµ mét
hµm sè nµo ®ã th× ®Æt f(x)=y, ta sÏ cã hÖ ®èi xøng lo¹i I:
f (x) = y
f ( y) = x
Bµi 3. (§H Ngo¹i th−¬ng-2000).
Gi¶i ph−¬ng tr×nh (x2+3x-4)2+3(x2+3x-4)=x+4
ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng:
- (x2+3x-4)2+3(x2+3x-4)-4=x
§©y lµ d¹ng cô thÓ cña bµi 2. §Æt x2+3x-4=y, ta cã hÖ:
x 2 + 3x − 4 = y
2
y + 3y − 4 = x
Tõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau, gi¶i ra ta ®−îc x = 0; x = −4; x = −1 ± 5
Bµi 4.Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh
x3 = 2 y − 2
a) 3
y = 2x − 2
x3 = 3 y − 3
b) 3
y = 3x − 3
x + y + z = 0
c) xy + yz + zx = −
3
4
1
xyz = 8
Gi¶i
x = 2 y − 2 (1)
3
a) 3
y = 2 x − 2 (2)
§©y lµ ph−¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i II. Trõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau ta ®−îc
x 3 − y 3 = 2( y − x )
⇔ ( x − y )( x 2 + xy + y 2 + 2) = 0
⇔x= y
Thay x=y vµo (1) ta ®−îc: x 3 = 2( x − 1) ⇔ x 3 − 2 x = −2
ë ®©y p=2, q=-2.
p 2
§Æt x = 2 .t = 2. .t , khi ®ã ta ®−îc ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng:
3 3
2 2
(2 .t )3 − 2.2 .t = −2
3 3
2 2 2
⇔ 8. . t 3 − 4. t = −2
3 3 3
2 3 2
⇔ 8. t − 6 t = −3
3 3
3 3
⇔ 4t 3 − 3t = −
2 2
- 3 3
§Æt m = − ⇒ m > 1 nªn ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt
2 2
1 3
t= ( m + m2 − 1 + 3 m − m2 − 1 )
2
2 2 1
⇒ x = 2. t = 2. . ( 3 m + m 2 − 1 + 3 m − m 2 − 1 )
3 3 2
2 3
⇔x= .( m + m 2 − 1 + 3 m − m 2 − 1 )
3
2 3 −3 3 27 −3 3 27
= + −1 + 3 − −1
3 2 2 8 2 2 8
2 3 −3 3 + 19 3 −3 3 − 19
= +
3 2 2 2 2
VËy nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho lµ:
2 3 −3 3 + 19 3 −3 3 − 19
x = +
3 2 2 2 2
2 3 −3 3 + 19 3 −3 3 − 19
y= +
3 2 2 2 2
b) Gi¶i t−¬ng tù nh− a).
x + y + z = 0
c) xy + yz + zx = −
3
4
1
xyz = 8
¸p dông c«ng thøc Viet cho ph−¬ng tr×nh bËc ba, khi ®ã x,y,z lµ nghiÖm cña ph−¬ng
tr×nh bËc ba sau ®©y:
3 1
t3 − t − = 0
4 8
1
⇔ 4t 3 − 3t =
2
1 π
V× = cos nªn nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ (xem ph−¬ng ph¸p gi¶i)
2 3
π
± 2π
π
t = cos ; t = cos 3
9 3
Tãm l¹i ph−¬ng tr×nh cã ba nghiÖm lµ:
π 7π 5π
t1 = cos ; t2 = cos ; t3 = cos
9 9 9
- π 7π 5π
Tõ ®ã nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ: (cos ;cos ;cos ) cïng c¸c ho¸n vÞ cña bé
9 9 9
ba sè nµy.
Bµi 5. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh
1
a) 4x 3 -3x=
2
1
b) 4 x 3 + 3x =
4
c)x4=4x+1
Gi¶i
a),b) Xem c¸ch gi¶i trong phÇn ph−¬ng tr×nh bËc ba.
c)ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh ®· cho d−íi d¹ng:
x 4 + 2α x 2 + α 2 = 2α x 2 + 4 x + 1 + α 2
Chän α ®Ó vÕ ph¶i lµ h»ng ®¼ng thøc tøc lµ :
∆ ' = 4 − 2α (1 + α 2 ) = 0
NhËn thÊy α =1 tho¶ m·n.
ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng:
x4 + 2 x2 + 1 = 2 x2 + 4 x + 2
⇔ ( x 2 + 1) 2 = [ 2( x + 1) 2 ]
x 2 + 1 = 2( x + 1)
⇔
x + 1 = − 2( x + 1)
2
§©y lµ c¸c ph−¬ng tr×nh bËc hai nªn cã thÓ gi¶i dÔ dµng.
Bµi 7
DÊu cña tam thøc bËc hai
A. Tãm t¾t lý thuyÕt
Chó ý ban ®Çu: Tr−íc khi xÐt mét tam thøc khi hÖ sè a chøa tham sè, cÇn xÐt
riªng tr−êng hîp a=0. ChØ khi a ≠ 0 c¸c ®iÒu sau ®©y míi ®−îc thùc hiÖn.
1.§Þnh lý thuËn vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai
Cho tam thøc f(x)=ax2+bx+c; trong ®ã a ≠ 0.
+) NÕu ∆ 0 ; ∀ x ∈ R, tøc lµ f(x) lu«n cïng dÊu víi hÖ sè a.
b
+)NÕu ∆ =0 th× a.f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R, f(x) =0 ⇔ x = − , tøc lµ f(x) lu«n cïng dÊu víi
2a
b
hÖ sè a víi mäi x ≠ −
2a
+) NÕu ∆ >0 th× f(x) =0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 ( gi¶ sö x1
- 2.2. So s¸nh nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai víi mét sè cho tr−íc.
Cho ph−¬ng tr×nh bËc hai f(x) =ax2+bx+c=0 ( a ≠ 0) cã hai nghiÖm x1,x2 vµ mét
sè α . Khi ®ã
+) x1 < α < x2 ⇔ a. f (α ) < 0
∆ > 0
ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x 2
+) ⇔ a. f (α ) > 0
vµ α < x1 < x 2 S
−α > 0
2
∆ > 0
ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x 2
+) ⇔ a. f (α ) > 0
vµ x1 < x 2 < α S
−α < 0
2
∆ > 0
+) α ∈ (−∞; x1 ) ∪ ( x 2 ; +∞) ⇔ α ∉ [ x1 ; x2 ] ⇔
a. f (α ) > 0
2.3 So s¸nh nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai víi hai sè cho tr−íc.
Cho ph−¬ng tr×nh f(x) =ax2+bx+c=0 ( a ≠ 0) cã hai nghiÖm x1,x2 vµ hai sè α , β
(gi¶ sö α < β ). Khi ®ã
a.f(α )0
+) α < x1 ≤ x2 < β (tøc lµ c¶ hai nghiÖm ®Òu n»m trong kho¶ng hai sè) ⇔ a.f(β ) > 0
S
−α > 0
2
S
−β
- VÝ dô 1. XÐt dÊu biÓu thøc sau:
1 7
E = ( x 2 − 2 x − )2 − (2 x − ) 2
2 2
Gi¶i
¸p dông h»ng ®¼ng thøc, viÕt l¹i E d−íi d¹ng:
1 7 1 7
E = [x2 − 2 x − + (2 x − )].[ x 2 − 2 x − − (2 x − )]
2 2 2 2
= ( x − 4)( x − 4 x + 3)
2 2
+) x2-4=0 cã hai nghiÖm lµ -2,+2.
+)x2-4x+3=0 cã hai nghiÖm lµ: 1;3
¸p dông quy t¾c xÐt dÊu ®èi víi tam thøc bËc hai ta cã b¶ng sau:
x -∞ -2 1 2 3 +∞
2
x -4 + 0 - - 0 + +
2
x – 4x +3 + + 0 - - 0 +
E + 0 - 0 + 0 - 0 +
VÝ dô 2. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:
x + 5 2x − 1
+ >2
2x − 1 x + 5
Gi¶i
x + 5 2x −1
+ >2
2x − 1 x + 5
x + 5 2x −1
⇔ + −2>0
2x −1 x + 5
x 2 − 12 x + 36
⇔ >0
(2 x − 1)( x + 5)
Tõ ®ã ta cã b¶ng xÐt dÊu sau:
x -∞ -5 1/2 6 +∞
2
x – 12x + 36 + + + 0 +
(2x-1)(x+5) + 0 - 0 + +
f(x) + - + 0 +
Dùa vµo b¶ng xÐt dÊu ta cã nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ:
1
x6
2
Chó ý: NÕu ®Ò to¸n lµ:
x + 5 2x − 1
+ ≥2
2x − 1 x + 5
1
th× nghiÖm cña bµi to¸n lµ: x
2
D¹ng 2. Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph−¬ng tr×nh bËc hai.
f(x)=ax2+bx+c>0 ( hay
- *) XÐt riªng tr−êng hîp hÖ sè a=0.
*) Khi a ≠ 0
+) LËp b¶ng xÐt dÊu cña a vµ biÖt thøc ∆ trªn cïng mét b¶ng..
+)¸p dông ®Ýnh lý vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai ®Ó x¸c ®Þnh nghiÖm cña bÊt ph−¬ng
tr×nh
VÝ dô 3. Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph−¬ng tr×nh
( m − 1) x 2 − 4( m + 1) x + m + 1 ≤ 0 (1)
Gi¶i
Ta xÐt c¸c tr−êng hîp:
1
a) a=m-1=0 ⇔ m=1: Ta cã: (1) ⇔ -8x+2≤ 0 ⇔ x ≥
4
b) m ≠ 1; Khi ®ã (1) lµ mét bÊt ph−¬ng tr×nh bËc hai:
+) a=m-1=0 ⇔ m=1
5
+) ∆ '=(3m+5)(m+1)=0 ⇔ m = − ∨ m=-1
3
Ta cã b¶ng xÐt dÊu sau:
m -∞ -5/3 -1 1 +∞
a - - - 0 +
∆’ + 0 - 0 + +
Tõ b¶ng xÐt dÊu ta cã:
5
+) m < − hoÆc -11: Trong tr−êng hîp nµy a>0, ∆ '> vµ x1
- 5
+) − ≤ m ≤ −1 : x ∈ R
3
+) m > 1 : x1 ≤ x ≤ x2
2(m + 1) − (3m + 5)( m + 1)
x1 =
m −1
Trong ®ã :
2( m + 1) + (3m + 5)( m + 1)
x2 =
m −1
D¹ng 3. T×m ®iÒu kiÖn ®Ó tam thøc kh«ng ®æi dÊu trªn R.
Cho tam thøc bËc hai f(x)=ax2+bx+c; a ≠ 0.
Ta cã:
a > 0
*) f ( x ) > 0∀x ∈ R ⇔
∆ < 0
a > 0
*) f ( x ) ≥ 0∀x ∈ R ⇔
∆ ≤ 0
a < 0
*) f ( x ) < 0∀x ∈ R ⇔
∆ < 0
a ≤ 0
*) f ( x ) ≤ 0∀x ∈ R ⇔
∆ < 0
*)Chó ý: NÕu hÖ sè a cã chøa tham sè th× ph¶i xÐt riªng tr−êng hîp a=0.
VÝ dô 4. T×m m sao cho:
a) f ( x ) = 2 x 2 − 2(m + 1) x + 2m + 1 > 0 ∀ ∈ R
b) f ( x ) = (m − 1) x 2 − (m − 1) x + 1 − 2m ≤ 0 ∀x ∈ R
Gi¶i
a) Ta cã:
a = 2 > 0 ⇒ f ( x ) > 0∀x ∈ R ⇔ ∆ ' = m 2 − 2 m − 1 < 0
⇔1− 2 < m
- Gi¶i
*) NÕu a=m=0, khi ®ã (1) ⇔ x+10 1
⇔ ⇔m≥
∆ =1-8m ≤ 0 8
VÝ dô 6. T×m m ®Ó:
x2 + x + 4
≤ 2 ∀x ∈ R
x 2 − mx + 4
Gi¶i
V× tam thøc x +x+4 cã ∆ =-150 ∀ x ∈ R
2 2
x2 + x + 4
®Ó ≤ 2 ∀x ∈ R tho¶ m·n cho mäi x ∈ R tr−íc hÕt hµm ph¶i x¸c ®Þnh t¹i mäi
x 2 − mx + 4
x ∈ R, suy ra x2-mx+4=0 ph¶i v« nghiÖm, tøc lµ ∆=m2-160 ∀ x ∈ R
x2 + x + 4 x2 + x + 4
≤ 2 ∀x ∈ R ⇔ 2 ≤ 2∀x ∈ R
x 2 − mx + 4 x − mx + 4
Do ®ã ⇔ x 2 + x + 4 ≤ 2( x 2 − mx + 4); ∀x ∈ R
⇔ x 2 − (2m + 1) x + 4 ≥ 0; ∀x ∈ R
⇔ ∆ = (2m + 1) 2 − 16 ≤ 0
VËy ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n lµ:
m 2 − 16 < 0
5 3
⇔− ≤m≤
(2m + 1) − 16 ≤ 0
2
2 2
D¹ng 4.So s¸nh mét sè víi c¸c nghiÖm cña mét tam thøc bËc hai
Cho tam thøc bËc hai f(x)=ax2+bx+c vµ mét sè α . cÇn so s¸nh α víi c¸c
nghiÖm x1; x2 cña nã.
¸p dông ®Þnh lý ®¶o vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai, ta thøc hiÖn c¸c b−íc sau:
*)XÐt riªng tr−êng hîp a=0
*)Khi a ≠ 0:TÝnh a.f(α )
+)NÕu a.f(α )0), khi
®ã α n»m gi÷a hai nghiÖm: x1
- §Ó biÕt râ α n»m vÒ bªn nµo cña nghiÖm ®ã ta so s¸nh α víi nöa tæng cña hai nghiÖm
S b
tøc lµ so s¸nh víi =−
2 2a
S
NÕu − α > 0 : α < x1 ≤ x2
2
S
NÕu − α < 0 : x1 ≤ x2 < α
2
*Cô thÓ h¬n xem phÇn A, môc 2.2
VÝ dô 7. T×m m ®Ó c¸c ph−¬ng tr×nh sau ®©y cã hai nghiÖm x1;x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
®−îc nªu:
a)mx2+(m-1)x+3-4m=0 víi x1 3
VÝ dô 8. BiÖn luËn theo m vÞ trÝ cña sè 1 ®èi víi c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh:
f ( x ) = ( m + 1) x 2 − 4 mx + m = 0 (1)
Gi¶i
- 1
Tr−êng hîp 1 a=m+1=0 ⇔ m=-1, thay m=-1 vµo f(x) ta cã (1) ⇔ x =
4
Tr−êng hîp 2: m ≠ -1.
∆ ' = 3m 2 − m
m = 0
∆' = 0 ⇔ 1
m =
3
a. f (1) = (m + 1)(1 − 2 m)
m = −1
a. f (1) = 0 ⇔ 1
m =
2
S m −1
−1 =
2 m +1
S
−1 = 0 ⇔ m = 1
2
Tõ ®ã ta cã b¶ng biÖn luËn sau:
(H×nh 4)
D¹ng 5 . So s¸nh c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai víi hai sè cho tr−íc.
C¸ch gi¶i: Xem phÇn A, môc 2.3.
VÝ dô 9. T×m m ®Ó c¸c ph−¬ng tr×nh sau tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn ®−îc nªu:
a) f(x)=(m+1)x2+mx+3=0 víi x1
- −1 < x1 ≤ x 2 < 3 m ≤ 0 hoÆc m ≥ 1
∆ ' = m − m ≥ 0
2
1
m>-
f ( −1) = 3m + 1 > 0 3
f (3) = 9 − 5m > 0
9
⇔ m <
S 5
2 +1 = m +1 > 0 m > −1
m < 3
S −3 = m −3 < 0
2
1
− 3 < m ≤ 0
⇔
1 ≤ m < 9
5
C. Bµi tËp tù gi¶i
1) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm x1;x2 tho¶ m·n:
m
f ( x ) = x 2 − 2 x − 3m = 0 víi ≤ x1 < 1 < x 2
2
2) BiÖn luËn theo m vÞ trÝ cña sè 2 ®èi víi nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh:
( m − 2) x 2 − 2( m + 1) x + 2m − 6 = 0
3) T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau v« nghiÖm:
( m + 1) x 2 − 2 mx − ( m − 3) < 0
4)Cho f ( x ) = (m + 1) x 2 − 2(m − 1) x + 3m − 3
T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh f(x)≥ 0 cã nghiÖm
5. Cho bÊt ph−¬ng tr×nh:
x 2 + 6x + 7 + m ≤ 0
a) T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm
b)T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh cã ®óng mét nghiÖm
c)T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh cã miÒn nghiÖm lµ mét ®o¹n trªn trôc sè cã ®é dµi b»ng
1.
nguon tai.lieu . vn
