Xem mẫu
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
(m − 1)x + m
Cho (Cm) : y = . Ñònh m ñeå tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi ñieåm treân (Cm) coù hoaønh ñoä x0 = 4 thì
x−m
song song vôùi ñöôøng phaân giaùc thöù 2 cuûa goùc heä truïc.
| −m 2
y = f (x) =
|
m
(x − m)2
Ñeå tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi ñieåm vôùi ñöôøng phaân giaùc (Δ 2 ) : y = − x , ta phaûi coù:
−m 2
fm = −1 ⇔
|
= −1 ⇔ m 2 = (4 − m)2 ⇔ m = 2
(4 − m) 2
(3m + 1)x − m 2 + m
Cho (C) : y = , m ≠ 0. Tìm m ñeå tieáp tuyeán vôùi (C) taïi giao ñieåm vôùi truïc hoaønh
x+m
song song y = x. Vieát phöông trình tieáp tuyeán.
Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh
m2 − m ⎧ 1 ⎫
x0 = , m ∉ ⎨0, − ,1⎬
3m + 1 ⎩ 3 ⎭
4m 2
y| =
(x + m)2
Tieáp tuyeán taïi ñieåm (C) coù hoaønh ñoä // y = x
4m 2
= 1 ⇔ 4m 2 = (x 0 + m)2 ⇔ x 0 = m ∨ x 0 = −3m
(x 0 + m) 2
⎡ m2 − m
⎢ m= ⎡ m = −1
⇔⎢ 3m + 1 ⇔ ⎢
⎢ m2 − m ⎢m = − 1
⎢ −3m = 3m + 1
⎣
⎣ 5
• m = −1 tieáp tuyeán taïi (-1,0) coù pt : y = x + 1
1 ⎛3 ⎞ 3
• m = − tieáp tuyeán taïi ⎜ , 0 ⎟ coù pt : y = x −
5 ⎝5 ⎠ 5
m
Cho (C) : y = x − 1 + .Tìm m ñeå coù ñieåm maø töø ñoù veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò vuoâng goùc nhau
x +1
Goïi M 0 (x 0 , y 0 ) laø ñieåm caàn tìm ⇒ y = k(x − x 0 ) + y 0 laø ñöôøng thaúng (d) qua M0
⎧ m
⎪x − 1 + x + 1 = k(x − x 0 ) + y 0 = kx + k − k − kx 0 + y 0
⎪
(d) laø t2 ⇔ ⎨
⎪1 − 1
=k
⎪ (x 0 + 1)2
⎩
⎧ m
⎪x − 1 + x + 1 = k(x + 1) − (1 + x 0 )k + y 0
⎪
⇔⎨
⎪x + 1 − 1 = k(x + 1)
⎪
⎩ x +1
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
⎧ m 1
⎪x − 1 + x + 1 = x + 1 − x + 1 − (1 − x 0 )k + y 0
⎪
⇔⎨
⎪ 1 = 1− k
⎩ (x + 1)
2
⎪
⎧ m +1 ⎧ y0 + 2
⎪ = y 0 + 2 − (x 0 + 1)k
⎪ x +1 ⎪k ≠ x + 1
⇔⎨ 2 ⇔⎨ 0
⎪⎛ m + 1 ⎞ = (1 − k)(m + 1)2 ⎪ y + 2 − (x + 1)k 2 = (1 − k)(m + 1)2
⎪⎜ x + 1 ⎟
⎩⎝ ⎠ ⎩[ 0 0 ]
⎧ y0 + 2
⎪k ≠
⇔⎨ x0 + 1
⎪(x + 1)2 k 2 + 2(2m − x )y − 2x − y − 2)k + (y + 2)2 − 4m = 0 (*)
⎩ 0 0 0 0 0 0
y0 + 2
Töø M0 keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc nhau ⇔ pt (*) coù 2 nghieäm thoûa k1k2 = -1 vaø khaùc
x0 + 1
⎧ y0 + 2
⎪k ≠
⇔⎨ x0 + 1 ⇒m>0
⎪(x + 1)2 + (y + 2)2 = 4m
⎩ 0 0
x +1
Tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa caùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò y = vôùi truïc hoaønh , bieát raèng tieáp tuyeán ñoù
x −3
vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y = x + 2006
4
y| = − , ∀x ≠ 3
(x − 3)2
Goïi (T) laø tieáp tuyeán cuûa (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y = x + 2006 , khi ñoù (T) coù heä soá goùc laø KT = -1
4 ⎡x = 5
. Goïi (x0,y0) laø tieáp ñieåm cuûa (d) vaø (C) , ta coù K T = y| ⇔ −1 = − ⇒⎢ 0
(x 0 − 3) ⎣ x0 = 1
2
• x 0 = 1 ⇒ y 0 = −1 ⇒ (T1 ) : y = − x
• x 0 = 5 ⇒ y 0 = 3 ⇒ (T2 ) : y = −x + 8
(T1 ) ∩ (Ox) = {O(0, 0)} ; (T2 ) ∩ (Ox) = {A(8, 0)}
x+2
Cho haøm soá y = f(x) = ; goïi ñoà thò haøm soá laø (C) , vaø A(0,a).Xaùc ñònh a ñeå töø A keû ñöôïc 2 tieáp
x −1
tuyeán ñeán (C) sao cho 2 tieáp tuyeán töông öùng naèm veà 2 phía ñoái vôùi truïc Ox
Phöông trình tieáp tuyeán (T) vôùi (C) taïi M 0 (x 0 , y 0 ) : y − y 0 = f(x0 ) (x − x 0 )
|
⎛x +2⎞ 3 ⎛x +2⎞ 3
⇔ y −⎜ 0 ⎟=− (x − x 0 ) ; A(0,a) ∈ (T) : a − ⎜ 0 ⎟=− (− x 0 )
⎝ x0 − 1 ⎠ (x 0 − 1) ⎝ x0 − 1 ⎠ (x 0 − 1)2
2
⎧x − 1 ≠ 0 ⎪x 0 ≠ 1
⎧
⇔⎨ 0 ⇔⎨
g(x ) = (a − 1)x 2 − 2(a + 2)x 0 + a + 2 = 0
⎩(a − 1)x 0 − 2(a + 2)x 0 + a + 2 = 0
2
⎪ 0
⎩ 0
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Qua A keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán khi g(x ) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 1
0
⎧a − 1 ≠ 0
⎪
vaø ⎨Δ|g = (a + 2)2 − (a + 2)(a − 1) > 0 ⇔ −2 < a ≠ 1
⎪
⎩g(1) = (a − 1)1 − 2(a + 2)1 + a + 2 ≠ 0
2
Khi ñoù goïi M1 (x1 , y1 ), M 2 (x 2 , y 2 ) laø 2 tieáp ñieåm naèm veà 2 phía Ox
⎛ x + 2 ⎞⎛ x 2 + 2 ⎞ x1x 2 + 2(x1 + x 2 ) + 4
⇔ y1y 2 < 0 ⇔ ⎜ 1 ⎟⎜ ⎟
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
x 2 − 3x + 6
Cho haøm soá y = , ñoà thò (C) . Töø goác toaï ñoä coù theå keû ñöôïc bao nheâu tieáp tuyeán ñeán haøm soá
x −1
(C) , tìm toaï ñoä tieáp ñieåm
⎧QuaO
Goïi (T) ⎨ ⇔ (T) : y = kx laø tieáp tuyeán cuûa (C)
⎩Heä soá goùc k
⎧ x 2 − 3x + 6
⎪ = kx
⎪ x −1 ⎧(x − 1)(x 2 − 3x + 6) = (x 2 − 2x − 3)x
⇔⎨ 2 coù nghieäm ⇔ ⎨
⎪ x − 2x − 3 = k ⎩x ≠ 1
⎪ (x − 1)
⎩
2
⎧x 2 − 6x + 3 = 0
⇔⎨ ⇔ x = 3± 6
⎩x ≠ 1
Vaäy töø O keû ñöôïc ñuùng 2 tieáp tuyeán ñeán (C)
⎡x = 3 + 6 ⎡y = 3 6 − 3 ⎡ M = (3 + 6,3 6 − 3)
⎢ ⇒⎢ ⇒⎢ 1
⎢x = 3 − 6
⎣ ⎢ y = −3 6 − 3 ⎢ M 2 = (3 − 6, −3 6 − 3)
⎣ ⎣
Cho haøm soá y = mx 3 − (m − 1)x 2 − (m + 2)x + m − 1 , (Cm)
1.Tìm m ñeå (Cm) ñaït cöïc ñaïi taïi x = -1
2.Khi m = 1 , tìm treân ñöôøng thaúng y = 2 nhöõng ñieåm töø ñoù coù theå keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C)
1.m =1
2. (C) : y = x 3 − 3x ; A(a,2) ∈ (d) : y = 2 ⇒ (d) : y = k(x − a) + 2
⎧x 3 − 3x = k(x − a) + 2
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä ⎨ 2
⎩3x − 3 = k
⎡ x = −1
⇔⎢
⎣ f(x) = 2x − (3a + 2)x + 3a + 2 = 0
2
Qua A keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) ⇔ f(x) = 0 coù 2 nghieäm khaùc 1
⎧ 2
⎧Δ f > 0 ⎧(3a + 2) − 8(3a + 2) > 0 ⎪a < − ∨ a > 2
⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ 3
⎩f ( −1) ≠ 0 ⎩ 2 + 3a + 2 + 3a + 2 ≠ 0 ⎪ a ≠ −1
⎩
2
Vaäy ñieåm caàn tìm laø A(a,2) ; a < − ∨ a > 2 ∧ a ≠ −1
3
Cho haøm soá y = −x 4 + 2x 2 − 1 , ñoà thò (C). Tìm taát caû caùc ñieåm thuoäc truïc tung sao cho töø ñoù coù theå keû
ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C)
Goïi A(0,a) ∈ Oy , (d) laø ñöôøng thaúng qua A daïng : y = kx + a
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm cuûa heä :
⎧−x 4 + 2x 2 − 1 = kx + a
⎨ ⇔ 3x 4 − 2x 2 − 1 − a = 0 (1)
⎩ −4x 3 + 4x = k
Töø A coù theå keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) khi (1) phaûi coù 3 nghieäm
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2
⇔ −1 − a = 0 ⇔ a = −1 . Khi ñoù 3x 4 − 2x 2 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±
3
Vaäy toaï ñoä ñieåm caàn tìm laø A(0,-1)
Cho haøm soá y = x 3 − 3x 2 + 2 ; ñoà thò (C)
1.Qua A(1,0) coù theå keû ñöôïc maáy tieáp tuyeán vôùi (C) . Haõy vieát phöông trình tieáp tuyeán aáy
2.CMR khoâng coù tieáp tuyeán naøo khaùc cuûa (C) song song vôùi tieáp tuyeán qua A cuûa (C) noùi treân
1.Goïi (d) laø ñöôøng thaúng qua A(1,0) coù heä soá goùc k daïng y = k(x − 1) laø tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä
⎧x 3 − 3x 2 + 2 = k(x − 1)
⎨ 2 coù nghieäm ⇔ (x − 1)3 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ k = −3
⎩3x − 6x = k
Vaäy coù 1 tieáp tuyeán (d) : y = −3x + 3 keû ñeán (C)
2.Goïi (T) laø tieáp tuyeán khaùc cuûa (C) song song tieáp tuyeán taïi A daïng y = −3x + b
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä :
⎧x 3 − 3x 2 + 2 = −3x + b ⎧ b = x 3 − 3x 2 + 2
⎨ 2 ⇔⎨ ⇒ b = 3 ⇒ (T) : y = −3x + 3
⎩3x − 6 = −3 ⎩x = 1
(T) ≡ (d) vaäy khoâng coù tieáp tuyeán naøo khaùc song song vôùi tieáp tuyeán taïi A
x4 5
Cho haøm soá y = − 3x 2 + , coù ñoà thò (C)
2 2
1.Goïi (d) laø tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi ñieåm M coù hoaønh ñoä x M = a .CMR hoaønh ñoä caùc giao ñieåm cuûa
tieáp tuyeán (d) vôùi ñoà thò laø nghieäm cuûa phöông trình (x − a)2 (x 2 + 2ax + 3a2 − 6) = 0
2.Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa a ñeå tieáp tuyeán (d) caét ñoà thò taïi 2 ñieåm P,Q khaùc nhau vaø khaùc M.Tìm
quõy tích trung ñieåm K cuûa ñoaïn thaúng PQ
⎛ a4 5⎞ a4 5
1.Goïi M ⎜ a, − 3a + ⎟ ∈ (C) ⇒ y(a) = − 3a2 + ⇒ y|(a) = 2a(a2 − 3)
2
⎝ 2 2⎠ 2 2
3 5
Tieáp tuyeán taïi M coù phöông trình y = 2a(a2 − 3)x − a4 + 3a2 +
2 2
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø (C) laø :
x4 5 3 5
− 3x 2 + = 2a(a2 − 3)x − a4 + 3a2 +
2 2 2 2
⇔ (x − a) (x + 2ax + 3a − 6) = 0
2 2 2
2.Quõy tích trung ñieåm K
Theo treân ñeå (d) caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät P vaø Q vaø khaùc M thì phöông trình : x 2 + 2ax + 3a2 − 6 = 0 coù
⎧Δ| = a2 − (3a2 − 6) > 0 ⎧a < 3
⎪
2 nghieäm khaùc a ⎨ 2 ⇔⎨
⎩ a + 2a + 3a − 6 ≠ 0 ⎪ a ≠1
2 2
⎩
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
⎧ x K = −a ; x ≤ 3; x ≠ 1
⎪
Khi ñoù K ⎨ 7 4 5
⎪ y K = − x K + 9x K +
2
⎩ 2 2
7 5
Vaäy quyõ tích trung ñieåm K laø ñöôøng cong y = − x 4 + 9x 2 + vaø giôùi haïn bôûi 1 ≠ x ≤ 3
2 2
Cho haøm soá y = −x 4 + 2mx 2 − 2m +1 coù ñoø thò laø (Cm).Ñònh m ñeå caùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (Cm) taïi A vaø
B ñieåm coá ñònh vuoâng goùc nhau
Ñieåm coá ñònh A(-1,0) B(1,0) vaø y| = −4x 3 + 4mx
⇒ y|A = 4 − 4m ; y|B = −4 + 4m
Tieáp tuyeán taïi A vaø B vuoâng goùc nhau ⇔ y |A .y|B = −1
3 5
⇔ (4 − 4m)(4m − 4) = −1 ⇒ m = ∨ m =
4 4
x +1
Cho haøm soá y = coù ñoà thò (C) . Tìm nhöõng ñieåm treân truïc tung maø töø moãi ñieåm aáy chæ coù theå keû
x −1
ñöôïc ñuùng 1 tieáp tuyeán ñeán (C)
Goïi A(0,a) ∈ Oy ⇒ (d) qua A coù phöông trình y = kx + a
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä
⎧x +1
⎪ x − 1 = kx + a x + 1
⎪ −2x
⎨ ⇒ = + a ⇔ (a − 1)x 2 − 2(a + 1)x + a + 1 = 0 (1)
⎪ −2 x − 1 (x − 1) 2
=k
⎩ (x − 1)
2
⎪
Töø A coù theå keû ñöôïc 1 tieáp tuyeán ñeán (C) ⇔ (1) coù 1 ngheäm
(1) 1
Xeùt a − 1 = 0 ⇔ a = 1 ⎯⎯→ −4x + 2 = 0 ⇒ x = ⇒ A(0,1)
2
⎧a − 1 ≠ 0 ⎧a ≠ 1
⎨ ⇔⎨ ⇔ a = −1 ⇒ A(a, −1)
⎩Δ ' = 0 ⎩2a + 2 = 0
x −1
Cho haøm soá y = coù ñoà thò (C)
x +1
Tìm treân ñöôøng thaúng y = x nhöõng ñieåm sao cho coù theå keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò vaø goùc giöõa 2
π
tieáp tuyeán ñoù baèng
4
Goïi M(x0,y0) ∈ y = x ⇔ M(x 0 , x 0 ) ⇒ tieáp tuyeán taïi M tieáp xuùc (C) daïng y = k(x − x 0 ) + x 0 (d)
x −1
Phöông trình hoaønh ñoä cuûa (d) vaø (C) kx − kx 0 + x 0 = (1)
x +1
Theo ycbt thì (1) coù nghieäm keùp ⇔ kx 2 + (k − kx 0 + x 0 − 1)x + x 0 − kx 0 + 1 = 0
⎧k ≠ 0
coù nghieäm keùp ⇔ ⎨
⎩Δ = (1 + x 0 ) k − 2(x 0 + 3)k + (x 0 − 1) = 0 (2)
2 2 2 2
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
π
Qua M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán ñeán (C) taïo thaønh goùc
4
2
k − k2 π ⎛ k − k2 ⎞
⇔ (2) coù 2 nghieäm phaân bieät thoûa 1 = tan = 1 ⇔ ⎜ 1 ⎟ =1
1 + k1 .k 2 4 ⎝ 1 + k1 .k 2 ⎠
⎧x 0 + 1 ≠ 0 ⎧x 0 ≠ 1
⎪ ⎪ 2 2
⇔ ⎨Δ k = 8(x 2 + 1) > 0
0 ⇔ ⎨ ⎡ 2(x 2 + 3) ⎤ ⎡ x0 − 1⎤
⎥ −5⎢ ⎥ −1 = 0
0
⎪(k + k ) − 5k .k − 1 = 0 ⎪⎢
⎩ 1 2 1 2 ⎩ ⎣ (1 + x 0 ) ⎦ ⎣ x0 + 1⎦
⎧x 0 ≠ −1 ⎧M(− 7, − 7)
⎪
⇔⎨ 2 ⇔ x0 = ± 7 ⇒ ⎨
⎩x 0 + 1 = 8 ⎪M( 7, 7)
⎩
Cho Parabol (P) : y = 2x 2 + x − 3 . Tìm nhöõng ñieåm treân truïc Oy sao cho töø ñoù ta coù theå veõ ñöôïc 2 tieáp
tuyeán ñeán (P) vaø 2 tieáp tuyeán naøy hôïp vôùi nhau 1 goùc 450
Goïi M(0,m) ∈ Oy . Phöông trình qua M coù heä soá goùc k laø y = kx + m (d)
Phöông trình hoaøng ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d) laø :
2x 2 + x − 3 = kx + m ⇔ 2x 2 + (1 − k)x − m − 3 = 0 (1)
(d) laø tieáp tuyeán cuûa (P) khi (1) coù nghieäm keùp ⇔ Δ = 0
⇔ k 2 − 2k + 8m + 25 = 0 (2)
Coù k1 + k 2 = 2 ; k1 .k 2 = 8m + 25
k 2 − k1
Hai tieáp tuyeán hôïp nhau 1 goùc 450 khi tan 450 = 1 =
1 + k1 .k 2
⇔ (k1 + k 2 )2 − 4k1 k 2 = (1 + k1 k 2 )2 (3)
Qua M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán taïo nhau goùc 450 khi (2) coù 2 nghieäm phaân bieät thoûa (3)
⎧Δ| = 1 − 8m − 25 = 0 ⎧m < −3
⇔⎨ k ⇔⎨
⎩16m + 112m + 193 = 0
2
⎩4 − 4(8m + 25) = (8m + 26)
2
3 + 14 3 − 14
⇔m=− ∨m=
4 4
⎛ 3 + 14 ⎞ ⎛ 3 − 14 ⎞
Vaäy M1 ⎜ 0, − ⎟ , M 2 ⎜ 0, ⎟
⎜ 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x2
Cho haøm soá y = goïi ñoà thò laø (C) . Tìm treân ñöôøng y = 4 taát caû caùc ñieåm maø töø moãi ñieåm ñoù coù theå
x −1
keû tôùi (C) 2 tieáp tuyeán laäp nhau goùc 450
Goïi A(a,4) laø ñöôøng thaúng tuyø yù treân y = 4
⎧Qua A(a, 4)
Goïi (T) laø ñöôøng thaúng ⎨ coù daïng: y = k(x − a) + 4
⎩Coù heä soá goùc laø k
Vaø moïi ñöôøng thaúng (T1) vaø (T2) ñi qua A coù heä soá goùc k ñeàu coù daïng :
y = k1 (x − a) + 4 vaø y = k 2 (x − a) + 4
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
k1 − k 2
Do (T1) vaø (T2) taïo nhau 1 goùc 450 khi tan 450 =
1 + k1 .k 2
⇔ (1 + k1k 2 )2 = (k1 − k 2 )2 ⇔ (1 + k1k 2 )2 − (k1 + k 2 )2 + 4k1k 2 = 0 (1)
x2
Do (T) laø tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) ⇔ = k(x − a) + 4 coù nghieäm keùp
x −1
⇔ (1 − k)x 2 − (4 − ka − k)x + 4 − ka = 0 coù nghieäm keùp khaùc
⎧1 − k ≠ 0
⎪ ⎪k ≠ 1
⎧
1⇔ ⎨ ⇔⎨
⎪ k ⎡(a − 1) − 4(a − 2) ⎤ = 0 (2)
2
⎪Δ = (a − 1) k − 4(a − 2)k = 0
2 2
⎩ ⎩ ⎣ ⎦
Qua A keû ñöôïc tôùi (C) 2 tieáp tuyeán laäp vôùi nhau 1 goù 450 khi phöông trình (2) coù 2 nghieäm k1,k2 (k ≠ 1)
⎧k = 0
⎪
vaø thoûa maõn heä thöùc (1) ⎨ 4(a − 2) thoûa maõn (1) khi
⎪ k = (a − 1)2
⎩
⎧ 4(a − 2)
⎪ k = (a − 1)2 ≠ 1 ⎧a ≠ 3
⎪ ⎪
⎨ 2 ⇔ ⎨a ≠ 1
⎡
⎪ k = 0.(1 + 0) − 0 + 4(a − 2) ⎤ ⎪a2 + 2a − 7 = 0
2
⎢ + 4.0 = 0 ⎩
⎪
⎩ ⎣ (a − 1)2 ⎥
⎦
⎡ a = −1 − 2 2
⇔⎢
⎢a = −1 + 2 2
⎣
Vaäy A1 (−1 − 2 2, 4) , A 2 (−1 + 2 2, 4)
x2 + x + 2
Cho haøm soá y = coù ñoà thò (C) . Tìm treân (C) caùc ñieåm A ñeå tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi A vuoâng
x −1
goùc vôùi ñöôøng thaúng ñi qua A vaø coù taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò
⎛ 4 ⎞
Giaû söû A ⎜ x 0 , x 0 + 2 + ⎟ laø ñieåm baát kyø treân (C) vaø I(1,3) laø giao ñieåm 2 ñöôøng tieám caän
⎝ x0 − 1 ⎠
uur ⎛ 4 ⎞
⇒ AI = ⎜ 1 − x 0 ,1 − x 0 − ⎟
⎝ x0 − 1 ⎠
uur
Nhö vaäy AI laø moät vectô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng AI
Goïi (d) laø tieáp tuyeán cuûa (C) tieáp xuùc vôùi (C) taïi A , coù heä soá goùc
4 r ⎛ 4 ⎞ r uur
k = y|(x ) = 1 − ⇒ a = ⎜ 1,1 − ⎟ laø vectô chæ phöông cuûa (d) ; do ñoù (d) ⊥ (AI) ⇔ a.AI = 0
0 (x 0 − 1)2 ⎝ (x 0 − 1)2 ⎠
⇒ x0 = 1 ± 4 8
⎛ 4 − 34 8 + 8 ⎞ ⎛ 4 4 + 34 8 + 8 ⎞
Vaäy coù 2 ñieåm A1 ⎜ 1 − 4 8, ⎟ , A 2 ⎜ 1 + 8, ⎟
⎜ 4
8 ⎟ ⎜ 4
8 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
x 2 − 3x + 2
Cho haøm soá y = .Tìm treân ñöôøng thaúng x = 1 nhöõng ñieåm M sao cho töø M keû ñöôïc 2 tieáp
x
tuyeán ñeán (C) vaø 2 tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc nhau
Goïi M(1,m) ∈ x = 1 .Ñöôøng thaúng (T) qua M coù heä soá goùc k daïng : y = k(x − 1) + m
Töø M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau tôùi (C) khi heä
⎧ x 2 − 3x + 2
⎪ = k(x − 1) + m
⎪ x ⎧ (x , k )
⎨ 2 ( I ) coù 2 nghieäm ⎨ 1 1 thoûa maõn k1 .k 2 = −1
⎪x − 2 = k ⎩(x 2 , k 2 )
⎪ x
⎩ 2
Töø ( I ) ⇒ (m + 2)x 2 − 4x + 2 = 0 (*) , x ≠ 0
⎧
⎪ ⎧m ≠ −2
⎪m + 2 ≠ 0
⎪ ⎪
⎪
Theo ycbt ⇔ ⎨Δ ' = 4 − 2(m + 2) > 0 ⇔ ⎨m < 0
⎪ (x 2 − 2) (x 2 − 2) ⎪
⎪(x1x 2 ) − 2 ⎣(x1 + x 2 ) − 2x1x 2 ⎦ + 4 = −(x1x 2 )
2 2
⎪ 1 ⎡ ⎤
. 2 2 = −1 ⎩
⎪ x1
⎩
2
x2
⎧−2 ≠ m < 0
⎪
⇔ ⎨⎛ 2 ⎞2 ⎡⎛ 4 ⎞ 2 4 ⎤ ⎛ 2 ⎞
2
⎪⎜ m + 2 ⎟ − 2 ⎢⎜ m + 2 ⎟ − m + 2 ⎥ + 4 = − ⎜ m + 2 ⎟
⎩⎝ ⎠ ⎢⎝
⎣ ⎠ ⎥
⎦ ⎝ ⎠
⎧ −2 ≠ m < 0 ⎪ −2 ≠ m < 0
⎧
⇔⎨ 2 ⇔⎨ ⇔ m = −3 ± 7
⎩m + 6m + 2 = 0 ⎪ m = −3 ± 7
⎩
Vaäy M1 (1, −3 − 7) , M 2 (1, −3 + 7)
Cho haøm soá y = x 3 + 3x 2 .Tìm taát caû caùc ñieåm treân truïc hoaønh maø töø ñoù veõ ñöôïc ñuùng 3 tieáp tuyeán cuûa ñoà
thò (C) , trong ñoù coù 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau.
Goïi M(m,0) laø ñieåm baát kyø treân truïc hoaønh
Ñöôøng thaúng (d) ñi qua M coù heä soá goùc laø k daïng : y = k(x − m)
⎧x 3 + 3x 2 = k(x − m)
(d) laø tieáp tuyeán (C) khi ⎨ 2 (I)
⎩3x + 6x = k
Qua M keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán cuûa (C) trong ñoù coù 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau khi ( I ) coù 3 giaù trò k
sao cho 2 trong 3 giaù trò ñoù tích baèng -1
Khi ñoù ( I ) ⇔ x 3 + 3x 2 = (3x 2 + 6x)(x − m) ⇔ x ⎡2x 2 + 3(1 − m)x − 6m ⎤ = 0
⎣ ⎦
⎡x = 0
⇔⎢ 2
⎣2x + 3(1 − m)x − 6m = 0 (*)
⎡ m < −3
⎧Δ = 3m 2 + 10m + > 0
Theo ycbt (*) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 0 ⇔ ⎨ ⇔⎢ 1
⎩ m≠0 ⎢− < m ≠ 0
⎣ 3
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
⎧ 2
⎪x1 + x 2 = (m − 1)
Khi ñoù pt (*) coù 2 nghieäm vaø ⎨ 3
⎪x1x 2 = −3m
⎩
Khi qua M keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán cuûa (C) thì k1 = 3x1 + 6x1 , k 2 = 3x 2 + 6x 2 , k 3 = 0
2 2
Theo baøi toaùn : k1k 2 = −1 ⇔ (3x1 + 6x1 )(3x 2 + 6x 2 ) = −1
2
2
1 1
⇒m= thoûa m < −3 hoaëc − < m ≠ 0
27 3
⎛ 1 ⎞
Vaäy M ⎜ , 0 ⎟
⎝ 27 ⎠
2x 2 − x + 1
Cho haøm soá y = coù ñoà thò (C) . Tìm treân truïc hoaønh 4 ñieåm töø ñoù döïng ñöôïc tieáp tuyeán hôïp
x −1
vôùi Ox goùc 450 . Vieát phöông trình tieáp tuyeán ñoù
Tieáp tuyeán hôïp vôùi Ox goùc 450 laø tieáp tuyeán coù heä soá goùc k = ± 1
2
TH1: k = y| = 1 ⇔ 2 − = 1 ⇒ x = 1± 2
(x − 1)2
⎡x = 1 − 2 ⎡y = 3 − 3 2 ⎡ (T ) : y = x + 2 − 2 2
⇒⎢ ⇒⎢ ⇒⎢ 1
⎢x = 1 + 2
⎣ ⎢y = 3 + 3 2
⎣ ⎢(T2 ) : y = x + 2 + 2 2
⎣
2 2
TH2: k = y| = −1 ⇔ 2 − = −1 ⇔ x = 1 ±
(x − 1) 2
3
⎡ 2 ⎡ 2
⎢x = 1 − ⎢y = 3 − 5 ⎡ (T ) : y = − x − 4 − 2 6
3 3
⇒⎢ ⇒⎢ ⇒⎢ 3
⎢ 2 ⎢ 2 ⎢(T4 ) : y = −x + 4 + 2 6
⎢x = 1 + ⎢y = 3 + 5 ⎣
⎣ 3 ⎣ 3
Cho haøm soá y = x 3 − 3x 2 + 2 coù ñoà thò (C)
⎛ 23 ⎞
1.Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñeå tieáp tuyeán ñoù qua A ⎜ , −2 ⎟
⎝ 9 ⎠
2.Tìm treân ñöôøng thaúng y = -2 caùc ñieåm töø ñoù coù theå keû ñeán ñoà thò (C) 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc
⎛ 23 ⎞
1.Tieáp tuyeán (C) qua A : y = k ⎜ x − ⎟ − 2
⎝ 9 ⎠
⎧ 3 ⎛ 23 ⎞
⎪x − 3x + 2 = k ⎜ x − ⎟ − 2
2
Ta coù : ⎨ ⎝ 9 ⎠ ⇒ (x − 2)(3x 2 − 10x + 3) = 0
⎪3x 2 − 6x = k
⎩
⎡ ⎡
⎢ x = 2, k = 0 ⎢(d) : y = −2
⎢ ⎢
⇔ ⎢ x = 3, k = 9 ⇒ tieáp tuyeán ⎢(d) : y = 9x − 25
⎢ 1 5 ⎢ 5 61
⎢x = , k = − ⎢(d) : y = − x +
⎣ 3 3 ⎣ 3 27
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2.Goïi A(a,-2) ∈ y = −2
Ñöôøng thaúng (T) qua A coù heä soá goùc laø k , coù phöông trình y = k(x − a) − 2
Ñieàu kieän (T) vaø (C) tieáp xuùc nhau laø:
⎧x 3 − 3x 2 + 2 = k(x − a) − 2
⎨ 2 ⇒ (x − 2) ⎣ 2x 2 − (3a − 1)x + 2 ⎦ = 0
⎡ ⎤
⎩ 3x − 6x = k
⎡ x = 2 ; k = 0 ⇒ y = −2
⇔⎢
⎢g(x) = 2x 2 − (3a − 1)x + 2 = 0 coù x1 + x 2 = 3a − 1 ; x1 .x 2 = 1
⎣ 2
Ñeå töø A döïng 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc khi g(x) = 0 coù 2 nghieäm x1,x2 sao cho k1(x1).k2(x2) = -1
⎧ 5
⎧Δ g > 0 ⎧(3a − 1) − 16 > 0
2 ⎪a < −1 ∨ a > 3
⎪ ⎪ 2 ⎪
⇔ ⎨ k1 .k 2 = −1 ⇔ ⎨(3x1 − 6x1 )(3x 2 − 6x 2 ) = −1 ⇔ ⎨27a = 55
2
⎪g ≠ 0 ⎪a ≠ 2 ⎪a ≠ 2
⎩ (2) ⎩ ⎪
⎩
55 ⎛ 55 ⎞
⇔a= ⇒ A ⎜ , −2 ⎟
27 ⎝ 27 ⎠
Cho haøm soá y = −x 3 + 3x 2 − 2 . Tìm nhöõng ñieåm treân ñöôøng thaúng y = 2 töø ñoù döïng ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán
ñoà thò
Goïi A(a,2) ∈ y = 2
Ñöôøng thaúng (T) qua A coù heä soá goùc k coù phöông trình : y = k(x − a) + 2 laø tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä :
⎧−x 3 + 3x 2 − 2 = k(x − a) + 2
⎨ coù nghieäm
⎩−3x + 6x = k
2
⇒ (x − 2) ⎡ 2x 2 − (3a − 1)x + 2 ⎤ = 0 ⇔ ⎡ x − 2 = 0
⎣ ⎦
⎢2x 2 − (3a − 1)x + 2 = g(x) = 0
⎣
Ñeå qua A keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) khi g(x) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 2 thoûa :
⎧ Δg > 0 ⎧ 5
⎪ ⎧3(a + 1)(3a − 5) > 0 ⎪ a < −1 ∨ a >
⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ 3
⎪g(2) ≠ 0
⎩ ⎩a ≠ 2 ⎪a ≠ 2
⎩
5
Vaäy a < −1 ∨ a > ∧ a ≠ 2
3
(m − 1)x + m
Cho hoï ñöôøng cong (Cm) : y = , m ≠ 0 .Chöùng minh raèng (Cm) tieáp xuùc 1 ñöôøng thaúng coá
x−m
ñònh taïi 1 ñieåm coá ñònh khi m: thay ñoåi
(m − 1)x 0 + m
Goïi (x0,y0) laø ñieåm coá ñònh maø (Cm) ñi qua khi y 0 =
x0 − m
⇔ (x 0 + y 0 − 1)m − x 0 (y 0 + 1) = 0 : coù nghieäm ∀m ≠ 0 ; x 0 ≠ m
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
⎧x + y 0 − 1 = 0 ⎧x = 0
⎪ ⎧x = 2
⇔⎨ 0 ⇔⎨ 0 ∨ ⎨ 0
⎩ x 0 (y 0 + 1) = 0 ⎪ y0 = 1
⎩ ⎩ y 0 = −1
Ñieàu kieän ∀m ≠ 0 ; x 0 ≠ m neân A(0,1) thoûa baøi toaùn
Vaäy A(0,1) laø ñieåm coá ñònh maø (Cm) ñi qua
−m 2 −m 2
Ta laïi coù y| = ⇒ y| (0) = = −1 ; ∀m ≠ 0
(x − m)2 (0 − m)2
Vaäy phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi A laø y − y A = y| (0)(x − x A )
⇔ y = x +1
Cho haøm soá y = x 3 − 12x + 12 ,ñoà thò laø (C) . Tìm treân ñöôøng thaúng y = -4 nhöõng ñieåm A maø töø ñoù coù theå
keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C)
Goïi A(a,-4) ∈ y = −4 ⇒ (d) : y = k(x − a) − 4
⎧x 3 − 12x + 12 = k(x − a) − 4
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä ⎨ 2
⎩3x − 12 = k
⎡x = 2
⇔⎢
⎣ g(x) = 2x + (4 − 3a)x + 8 − 6a = 0
2
Ñeå qua A keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán phaân bieät ⇔ g(x) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 2
⎧Δ > 0 ⎧ 4
⎪ g ⎪ a < −4 ∨ a >
⇔⎨ ⇒⎨ 3
⎪g(2) ≠ 0 ⎩a ≠ 2
⎪
⎩
4
Vaäy nhöõng ñieåm A(a, −4);a < −4 ∨ a > ∧ a ≠ 2 thoûa baøi toaùn
3
Cho haøm soá y = x 4 − 4x 3 + 3 , coù ñoà thò laø (C)
1.Chöùng minh raèng toàn taïi moät tieáp tuyeán duy nhaát tieáp xuùc vôùi ñoà thò (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät
2.Vieát phöông trình tieáp tuyeán thöù 2 vôùi ñoà thò song song vôùi tieáp tuyeán vöøa keå . Cho bieát hoaønh
ñoä tieáp ñieåm
3.Döïa vaøo caùc keát quaû treân , tuyø theo tham soá m , suy ra soá nghieäm phöông trình :
x 4 − 4x 3 + 8x + m = 0
1.Tieáp tuyeán taïi 2 ñieåm cuûa (C) daïng y = ax + b (d)
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d) laø: x 4 − 4x 3 + 3 = ax + b
⇔ x 4 − 4x 3 − ax + 3 − b = 0 (1)
Ñeå (d) tieáp xuùc (C) thì phaûi coù ñoàng thôøi 2 nghieäm keùp
⇔ x 4 − 4x 3 − ax + 3 − b = (x − α )2 (x − β)2
⇔ x 4 − 4x 3 − ax + 3 − b = x 4 − 2(α + β)x 3 + (α 2 + β2 + 4αβ)x 2 − 2αβ(α + β)x
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
⎧α + β = 2 ⎧α + β = 2
⎪α 2 + β2 + 4αβ = 0 ⎪αβ = −2
⎪ ⎪
Ñoàng nhaát thöùc 2 veá ⎨ ⇔⎨
⎪2αβ(α + β) = a ⎪ a = −8
⎪α β = 3 − b
⎩
2 2 ⎪ b = −1
⎩
⎧ tieáp tuyeán : y = −8x − 1 (d1 )
⎪
⇒⎨
⎪ hoaønh ñoä tieáp ñieåm : α = 1 − 3 ; β = 1 + 3
⎩
2.Tieáp tuyeán song song y = −8x −1
Ta coù y| = −8 ⇔ 4x 3 − 12x 2 = −8 ⇔ ⎡ x = 1 ⇒ y = 0
⎢
⎢x = 1 − 3
⎢x = 1 + 3
⎣
Vaäy tieáp tuyeán thöù 2 coù phöông trình y = −8x + 8 (d 2 )
3. x 4 − 4x 3 + 8x + m = 0 ⇔ x 4 − 4x 3 + 3 = 8x − m + 3
Laø phöong trình hoaønh ñoä giao ñieåm giöõa ⎧(C) : y = x 4 − 4x 3 + 3
⎨
⎩(d) : 8x − m + 3
(d1 ) ∩ Oy = {0, −1} , (d) ∩ Oy = {0,3 − m}
(d 2 ) ∩ Oy = {0,8}
-m + 3 m Nghieäm phöông trình
+∞ m < -5 2 nghieäm
8 m = -5 3 nghieäm (coù 1 nghieäm keùp x = 1)
-5 < m < 4 4 nghieäm phaân bieät
-1 m=4 2 nghieäm keùp x = 1 ± 3
−∞ m>4 Voâ nghieäm
(3m + 1)x − m 2 + m
Cho haøm soá y = , m ≠ 0 coù ñoà thò laø (Cm)
x+m
1.Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi truïc hoaønh , tieáp tuyeán seõ song song vôùi
ñöôøng thaúng y = x – 20 . Vieát phöông trình tieáp tuyeán aáy
2.CMR : (Cm) luoân tieáp xuùc vôùi 2 ñöôøng thaúng coá ñònh
3.Treân ñöôøng thaúng x = 1 , chæ ra taát caû caùc ñieåm maø khoâng coù ñöôøng naøo cuûa (Cm) ñi qua
m2 − m 1
1. (Cm) ∩ Ox : (3m + 1)x 0 − m 2 + m = 0 ⇔ x 0 = ; m ≠ 0; m ≠ −
3m + 1 3
4m 2 (3m + 1)2
Ta coù : y| = ⇒ y|0 =
(x + m)2 4m 2
(3m + 1)2
Tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng y = x – 10 ⇔ y|0 = 1 ⇔ =1
4m 2
⎡ m = −1 , x 0 = −1 , y 0 = 0 ⎡ A(−1, 0) , (T1 ) : y = x + 1
⇔⎢ ⇔ ⎢ ⎛3 ⎞
1 3
⎢m = − , x0 = , y0 = 0 ⎢ B , 0 , (T2 ) : y = x − 3
⎣ 5 5 ⎢ ⎜
⎣ ⎝5 ⎠
⎟ 5
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2.Goïi ñöôøng thaúng coá ñònh laø y = ax + b
(3m + 1)x − m 2 + m
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm : = ax + b
x+m
⇔ ax 2 + [(a − 3)m + b − 1] x + m 2 + (b − 1)m = 0
⎧a ≠ 0 ⎧a ≠ 0
ÑKTX : ⎨ ∀m ⇔ ⎨ 2
⎩(a − 10a + 9)m + 2 [(a − 3)(b − 1) − 2a(b − 1)] m + (b − 1) = 0
2 2
⎩Δ = 0
⎧⎡ a = 1
⎪⎢ ⎧(T ) : y = x + 1
⇔ ⎨ ⎣a = 9 ⇔ ⎨ 1
⎪ b =1 ⎩(T2 ) : y = 9x + 1
⎩
3.Goïi A(1,a) ∈ x = 1
3m + 1 − m 2 + m
Ycbt : A ∉ (Cm) Khi: a = voâ nghieäm m
1+ m
⇔ m 2 + (a − 4)m + a − 1 = 0 voâ nghieäm m khi Δm < 0
⇔ a2 − 12a + 20 < 0 ⇔ 2 < a < 10
Nhöõng ñieåm maø (Cm) khoâng qua laø A(1,a) ; 2 < a < 10
Cho ñöôøng cong y = 3x − 4x 3 ; ñoà thò (C)
1.Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñeå tieáp tuyeán ñoù ñi qua M(1,3)
2.Tìm treân ñöôøng cong y = -9x + 8 nhöõng ñieåm maø töø ñoù veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán ñeán (C) vaø chuùng
vuoâng goùc nhau
1.Goïi (d) laø ñöôøng thaúng qua M(1,3) vaø coù heä soá goùc laø k coù pt : y = k (x – 1) vaø coù x0 laø hoaønh ñoä tieáp
ñieåm , khi ñoù ta coù : ⎧3x 0 − 4x 3 = k(x 0 − 1) + 3 ⇔ ⎧ x 0 = 0 ; k = 3 ; y = 3x
0
⎨ ⎪
⎩ 3 − 12x 2 = k ⎨ 3
⎪x 0 = 2 ; k = −24 ; y = −24x + 27
0
⎩
2.Goïi A(a, −9a + 8) ∈ y = −9x + 8 . Moïi ñöôøng thaúng qua A coù heä soá goùc laø k ñeàu coù phöông trình :
y = k(x − a) − 9a + 8 vaø x0 laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm khi heä
⎧3x 0 − 4x 3 = k(x − a) − 9a + 8
⎨
0
coù nghieäm
⎩3 − 12x 2 = k
0
⇔ (x 0 − 1) ⎡2x 2 − (2 − 3a)x 0 + 2 − 3a ⎤ = 0
⎣ 0 ⎦
⎡x = 1 ; k = 9
⇔⎢ 0
⎣ f ( x 0 ) = 2x 0 − (2 − 3a)x 0 + 2 − 3a = 0
2
Theo baøi toaùn ta coù f ( x 0 ) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät
2
⇔ (2 − 3a)2 − 8(2 − 3a) > 0 ⇔ a > ∨ a < −2 (*)
3
f ( x 0 ) = 0 thoûa k1.k2 = -1 ⇔ (3 − 12t1 )(3 − 12t 2 ) = −1
2
2
⇔ 9 − 36 ⎡(t1 + t 2 )2 − 2t1t1 ⎤ + 144t1 t 2 = −1 Vôùi t1 t 2 laø 2 nghieäm cuûa f(x 0 ) = 0
⎣ ⎦
2
2
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
x 2 + (1 − 2m)x − m
Goïi (Cm) laø ñoà thò y = f (x) = . Haõy xaùc ñònh giaù trò m ñeå (Cm) caét Ox taïi 2 ñieåm vaø 2
x −1
tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi
Giaûi
x 2 + 2x + m m
y ' = f '(x) = ; y = x − 2m + ;(m ≠ 0)
(x + 1) 2
x +1
(Cm) caét Ox taïi hai ñieåm phaân bieät ⇔ phöông trình : x 2 + (1 − 2m)x − m = 0 (1) coù hai nghieäm
⎧Δ = (1 − 2m) 2 − 4(− m) > 0
⎪
phaân bieät khaùc -1 ⇔ ⎨
⎪(−1) + (1 − 2m)(−1) − m ≠ 0
2
⎩
⎧4m 2 + 1 > 0
⇔ ⎨ ñuùng.
⎩ m≠0
Vaäy vôùi m ≠ 0 thì (Cm) caét Ox taïi 2 ñieåm phaân bieät M ( x1 , 0), N ( x2 , 0) vôùi x1 , x2 laø 2 nghieäm cuûa
phöông trình (1). Khi ñoù ta coù : x1 + x 2 = 2m − 1 vaø x1x 2 = −m
Tieáp tuyeán taïi M, N vuoâng goùc nhau ⇔ f '( x1 ) f '( x2 ) = −1
⎛ x 2 + 2x + m ⎞⎛ x 2 + 2x + m ⎞
⇔⎜ 1 1
⎟⎜ 2 2
⎟ = −1
⎜ ( x + 1)2 ⎟⎜ ( x + 1)2 ⎟
⎝ 1 ⎠⎝ 2 ⎠
⇔ (x12 + 2x1 + m)(x 2 2 + 2x 2 + m) = − ( x1 + 1) ( x 2 + 1)
2 2
⇔ (x1x 2 )2 + 2x1x 2 (x1 + x 2 ) + m(x12 + x 2 2 ) + 2m(x1 + x 2 ) + m 2 + 4x1x 2 = −(x1x 2 + x1 + x 2 + 1)2
⇔ 4m 2 + m(2m − 1)2 − 4m = −m 2
⇔ m(4m 2 + m − 3) = 0
3
⇔ m = 0 (loaïi) V m = −1 V m =
4
Vaäy 3
m = −1 V m =
4
Nhaän xeùt :
1) Neáu ko ñaët ñieàu kieän m ≠ 0 ñeå toàn taïi (Cm) laø haøm höõu tæ hoaëc khoâng noùi roõ (Cm) caét Ox coù hai
nghieäm khaùc maãu soá (nghóa laø m ≠ 0 ) thì aét haún ta nhaän m=0 laøm nghieäm thì keát quaû sai.
2) Thoâng thöôøng caùc em quen duøng Viet cho y' . Nhöng yeâu caàu baøi toaùn khoâng ñeà caäp y' ñeå
f '( x1 ) f '( x2 ) = −1 trong Viet cuûa phöông trình baäc hai.
1/ Cho haøm soá y = x 4 − 2 x3 − 3x 2 + 5 coù ñoà thò (C) .Tìm phöông trình tieáp tuyeán tieáp xuùc (C) taïi hai ñieåm
phaân bieät , tính toaï ñoä tieáp ñieåm.
2/ Chöùng minh raèng coù 1 tieáp tuyeán duy nhaát tieáp xuùc (C) : y = x 4 + 4 x3 − 2 x 2 + 7 x + 6 taïi hai ñieåm phaân
bieät . Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm.
3/ Xaùc ñònh a, b ñeå (d) : y= ax+b tieáp xuùc vôùi ñöôøng cong (C) : y = x 4 − 6 x3 + x 2 + 26 x + 3 taïi hai ñieåm
phaân bieät. Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
1/ Goïi (d) : y = ax + b.
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d) : x ≠ 3 x 4 − 2 x 3 − 3 x 2 + 5 = ax + b
⇔ x 4 − 2 x 3 − 3 x 2 + 5 − ax − b = 0
Phöông trình (1) phaûi coù 2 nghieäm keùp x1 , x2 phaân bieät.
(1) vieát laïi ⇔ x 4 − 2 x 3 − 3 x 2 + 5 − ax − b = ( x − x1 ) 2 ( x − x2 ) 2 = 0
⇔ x 4 − 2 x 3 − 3 x 2 + 5 − ax − b = x 4 − 2( x1 + x2 ) x3 + ⎡( x1 + x2 ) 2 + 2 x1 x2 ⎤ x 2 − 2 x1 x2 ( x1 + x2 ) x + x12 x2 2 = 0
⎣ ⎦
Ñoàng nhaát thöùc hai veá ta ñöôïc:
⎧2( x1 + x2 ) = 2 ⎧ x1 + x2 = 1
⎪ ⎪ x x = −2
⎪( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 = −3
2
⎪
⎨ ⇔⎨ 1 2
⎪2 x1 x2 ( x1 + x2 ) = a ⎪a = −4
⎪x x = 5 − b
2 2 ⎪b = 1
⎩
⎩ 1 2
⇒ tieáp tuyeán cuûa (C) taïi hai ñieåm phaân bieät (d): y= -4x+1. Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm phöông trình
: x 2 − x − 2 = 0 ⇔ x= -1 V x= 2
Vaäy 2 tieáp ñieåm laø ; A (-1,5) ; B (2,-7)
2/ Töông töï y = 5x - 3 ; C (1,2) ; D (-3,-18)
3/ Töông töï y = 2x - 13; E (-1,-15) , F (4,-5)
(m − 1) x 2 − (5m + 2) x + 2m − 14
Cho (C) : y = vaø (d) : y = 2mx + 2 .
x−3
1. Xaùc ñònh m ñeå (C) vaø (d) caét nhau taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B.
2. Goïi M laø giao ñieåm cuûa (d) vaø truïc Oy. Tính theo m toaï ñoä cuûa ñieåm N treân (d) thoaû maõn heä thöùc
uuu
r uuur
NA MA
uuu = − uuur .
r
NB MB
3. Tìm quyõ tích ñieåm N khi m thay ñoåi.
(m − 1)x 2 − (5m + 2)x + 2m − 14
1. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d): =2mx+2; x ≠ 3
x −3
⇔ (m + 1) x 2 + (4 − m) x + 8 − 2m = 0 (1).
(d) caét (C) taïi hai ñieåm A, B phaân bieät ⇔ (1) coù 2 nghieäm phaân bieät
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
⎧ 4
⎧m + 1 ≠ 0 ⎪m < − V m > 4
⎨ ⇔⎨ 9
⎩Δ = 9m − 32m − 16 > 0
2
⎪ m ≠ -1
⎩
uuu
r uuur
NA MA x −x ⎛x −x ⎞
2. uuu = − uuur ⇔ A N = − ⎜ A M ⎟
r
NB MB xB − x N ⎝ xB − xM ⎠
⇔ ( x A + x B ) x N = 2 x A xB ⇔ x N = 4
yN = 2mxN + 2 = 2 − 8m ⇒ N (-4,2-8m).
⎧2 − y
⎧ m ≠ −1 ⎪ 8 ≠ −1 ⎧ y ≠ 10
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎡ 4 ⎪⎡ 2 − y 9 ⎪ ⎡ y < −30
3. xN = -4 ⇒ N ∈ ( d ) : x = -4 giôùi haïn bôûi: ⎨ ⎢ m < − ⇔ ⎨⎢ < − ⇔ ⎨⎢
⎪⎢ 9 ⎪⎢ 8 4 ⎪ ⎢ y > 50
⎪⎣m > 4
⎩ ⎪⎢ 2 − y ⎪⎣
⎩ 9
⎪⎢ 8 > 4
⎩⎣
50
Quyõ tích ñieåm N laø phaàn ñöôøng x = -4 , öùng y< -30 V y > vôùi y ≠ 10
9
Cho haøm soá : y = − x3 + 3x 2 − 2 ; (C) .Tìm caùc ñieåm thuoäc ñoà thò (C) maø qua ñoù keû ñöôïc moät vaø chæ moät
tieáp tuyeán tôùi ñoà thò (C).
Goïi M 0 ( x0 , y0 ) ∈ (C ) → y0 = − x03 + 3 x0 − 2 . Phöông trình ñöôøng thaúng (t) qua M coù heä soá goùc laø k coù daïng
2
y = k ( x − x0 ) + y0
⎧− x 3 + 3 x 2 − 2 = k ( x − x0 ) + y0
⎪
(t) tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä sau coù nghieäm : ⎨ vôùi y0 = − x03 + 3 x0 − 2
2
⎪−3 x + 6 x = k
2
⎩
⇔ ( x − x0 ) ⎡ −2 x + (3 + x0 ) x + x0 ( x0 − 3) ⎤ = 0
⎣
2
⎦
⎡ x − x0 = 0
⇔⎢
⎣ −2 x + (3 + x0 ) x + x0 ( x0 − 3) = 0;(3)
2
⎡ x = x0
⇔⎢
⎣ (3) : Δ = 9( x0 − 1) > 0, ∀x0 ≠ 1
2
⎡ x = x0
⇔⎢
⎢ x = x0 Vx = 3 − x0
⎣ 2
⎡ x = x0 ⎡ k = −3 x0 2 + 6 x0
⎢
⇔⎢ 3 − x0 ⇒ ⎢ ⎛ 3 − x0 ⎞
2
⎛ 3 − x0 ⎞
⎢x =
⎣ 2 ⎢ k = −3 ⎜ 2 ⎟ + 6 ⎜ 2 ⎟
⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 − x0
Vaäy qua M 0 ( x0 , y0 ) ∈ (C ) coù 2 tieáp tuyeán vôùi tieáp ñieåm x = x0 , x = . Muoán coù 1 vaø chæ 1 tieáp tuyeán
2
3 − x0
vôùi (C) , ñieàu kieän caàn vaø ñuû laø 2 tieáp ñieåm phaûi truøng nhau ⇔ x0 = ⇔ x0 = 1, y0 = 0 . Khi ñoù heä soá
2
goùc cuûa tieáp tuyeán laø k = 3.
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Keát luaän : Vaäy coù tieáp tuyeán duy nhaát cuûa (C) laø : y=3(x -1) vôùi tieáp ñieåm M 0 (1, 0)
Cho ñöôøng cong y = − x3 + 3x + 2 tìm caùc ñieåm treân truïc hoaønh sao cho töø ñoù veõ ñöôïc 3 tieáp tuyeán vôùi
ñöôøng cong
Goïi M ( x0 , 0) ∈Ox : Ñöôøng thaúng qua M coù daïng y = k ( x − x0 ) ;(t)
(t) laø tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä sau coù nghieäm:
⎧ 3
⎪ − x + 3 x − 2 = k ( x − x0 )
2
⎨ ⎡ ⎤
⇔ ( x + 1) ⎣ 2 x 2 − (3 x0 + 2) x + 3 x0 + 2 ⎦ = 0;(1)
⎪ −3 x + 6 x = k
2
⎩
Qua M ( x0 , 0) veõ ñöôïc 3 tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong khi : (1) coù 3 nghieäm phaân bieät
⎧Δ = (3x0 + 2) 2 − 8(3x0 + 2) > 0
⎪
⇔⎨ ; f ( x) = 2 x 2 − (3 x0 + 2) x + 3 x0 + 2
⎪ f ( −1) = 6 x0 + 6 > 0
⎩
2
⇔ x0 < 1; −1 < x0 < − ; x0 > 2
3
Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa y = x 2 − 2 x ; y = x3 + 2 x − 4
Goïi y= ax+b laø tieáp tuyeán chung vaø giaû söû x1 , x2 laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm. Vôùi y = x 2 − 2 x vaø
y = x3 + 2 x − 4 . Khi heä sau coù nghieäm
⎧
⎧ x12 − 2 x1 = ax1 + b;(1) ⎪b = x12 − 2 x1 − x1 (2 x1 − 2) = − x12
⎪ ⎪
⎪2 x1 − 2 = a;(2) ⎪ 3x 2 + 4
⎨ 3 ⇒ ⎨ x1 − 2 = 3x2 2 + 2 ⇒ x1 = 2
⎪ x2 + 2 x2 − 4 = ax2 + b;(3) ⎪ 2
⎪3 x 2 + 2 = a;(4) ⎪ 3 (3 x2 + 4) 2
⎩ 2 ⎪ x2 + 2 x2 − 4 = x2 (3x2 2 + 2) −
⎩ 4
⎧9 x2 − 8 x2 + 24 x2 = 0
4 3
⎪
⎪a = 3 x2 + 2
2
⎧ x2 = 0
⎪ ⎪
⇔⎨ 3 x2 2 + 4 ⇒ ⎨a = 2 ⇒ y = 2 x − 4
⎪ x1 = ⎪b = −4
⎪ 2 ⎩
⎪b = − x1
⎩
2
x+2
Cho haøm soá y = .Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá ñi qua A (-6,5)
x−2
Phöông trình ñöôøng thaúng qua A (-6,5) coù heä soá goùc laø k : y = k ( x + 6) + 5 , (d)
(d) laø tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C)
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
⎧ 4 ⎧ 4
⎪1 + x − 2 = k ( x + 6) + 5 ⎪1 + x − 2 = k ( x − 2) + 8k + 5
⎪ ⎪
⎨ ⇔⎨
⎪− 4 ⎪− 4 2 = k
=k
⎪ ( x − 2)
⎩
2
⎪ ( x − 2)
⎩
⎧ 4 4
⎪1 + x − 2 = − x − 2 + 8k + 5 ⎪ 2 = 2k + 1
⎪
⎧
⇔⎨ ⇔ ⎨x−2
⎪− 4 ⎪
=k ⎩−(2k + 1) = k
2
⎪ ( x − 2)
⎩
2
⎡ k = −1
1 1 7
⇔⎢ 1 vôùi k = -1 :y= -x -1 vôùi k = − : y = − x +
⎢k = − 4 4 2
⎣ 4
4 + mx − 3x 2
Cho haøm soá y = .Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = 0
4x + m
vuoâng goùc vôùi tieäm caän.
• Tieäm caän ñöùng : 4 x + m = 0 .
3 7
• Tieäm caän xieân : y = − x + m.
4 16
12 x − 6mx + m − 16
2 2
• y' =
(4 x + m)2
m 2 − 16
Heä soá goùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi x0 = 0 laø y '(0) = =k
m2
m 2 − 16
tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi TCÑ thì k = 0 ⇔ = 0 ⇔ m = ±4
m2
3
TCX ⇔ − k = −1 voâ nghieäm.
4
⇒ tieáp tuyeán taïi x = 0 chæ vuoâng goùc TCÑ khi m = ±4
mx − 3
Cho haøm soá ( Hm) : y =
x+m−4
1/ Ñònh m nguyeân ñeå haøm soá nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh
2/ Vôùi m= 2 . Tìm nhöõng ñieåm treân (H) maø taïi ñoù tieáp tuyeán cuûa (H) laäp vôùi Ox 1 goùc döông 1350 . Vieát
phöông trình tieáp tuyeán.
m 2 − 4m + 3
1/ y ' = . Haøm soá nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh ⇔ y ' < 0 ⇔ m 2 − 4m + 3 < 0
( x + m − 4) 2
1< m < 3 ⎫
⇔ ⎬⇒ m= 2
gt : m ∈ Ζ ⎭
2x − 3
2/ m=2 ⇒ y = .
x−2
- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2 x0 − 3
Goïi M ( x0 , y0 ) ∈ ( H ) ⇒ y0 =
x0 − 2
1 ⎫
y '0 = − ⎪ 1
( x0 − 2) 2⎬⇒ =1
⎪ ( x0 − 2)
2
k = y '0 = tan135 = −1⎭
0
⎡ x0 = 3; y0 = 3 ⎡ M 1 (1,1)
⇒⎢ →⎢
⎣ x0 = 1; y0 = 1 ⎣ M 2 (3,3)
M : y = −x + 2
phöông trình tieáp tuyeán taïi 1
M 2 : y = −x + 6
2 x2 − x + 1
Cho haøm soá y =
x −1
1/ Chöùng toû treân ñöôøng thaúng y = 7 coù 3 ñieåm M keû ñöôïc ñeán (C) chæ 1 tieáp tuyeán // Ox
2/ Chöùng toû treân ñöôøng thaúng y = 7 coù 4 ñieåm sao töø ñieåm ñoù coù theå keû ñeán (C) 2 tieáp tuyeán laäp vôùi
nhau 1 goùc 450
ÑS: 1/ M 1 (1, 7), M 2 (2, 7), M 3 (3, 7)
2/ M1 (−3 ± 2 6); M 2 (5 ± 2 2)
x 2 + mx + m
Cho haøm soá y = ; ñoà thò (Cm) ; m tham soá .Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi hai
x+2
ñieåm phaân bieät vaø tieáp tuyeán taïi 2 ñieåm ñoù vuoâng goùc vôùi nhau.
x 2 + mx + m
Ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi 2 ñieåm phaân bieät khi phöông trình : = 0 coù hai nghieäm phaân
x+2
⎧ Δ = x 2 − 4m > 0
bieät khi x 2 + mx + m =0 coù 2 nghieäm phaân bieät x ≠ −2 ⇔ ⎨
⎩ 4 − 2m + m ≠ 0
⎡m < 0
⇔⎢ . Vaäy vôùi m< 0 V m > 4 thì ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B coù hoaønh
⎣m > 4
ñoä xA , xB laø nghieäm cuûa phöông trình : x 2 + mx + m = 0.
Hai tieáp tuyeán taïi A vaø B vuoâng goùc vôùi nhau . ⇔ y '( A) y '( B ) = −1
⎛ x 2 + 4 x A + m ⎞ ⎛ xB 2 + 4 xB + m ⎞
⇔⎜ A ⎟⎜ ⎟ = −1
⎝ ( x A + 2) ⎠ ⎝ ( xB + 2)
2 2
⎠
⇔ (4 − m) x A xB + [ x A xB + 2( x A + xB ) + 4] = 0, (1)
2
⎧ x A xB = m
Vôùi ⎨ thì (1) ⇔ (4 − m) 2 m + (4 − m 2 ) = 0
⎩ x A + xB = − m
⎡ m= 4 (loai) vì m >4
⎢ m= -1 ( nhân) vì m< 0 ⇔ m = −1
⎣
Cho haøm soá y = x3 + mx 2 + 1 coù ñoà thò laø (Cm). Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d) : y= -x+1 caét (Cm) taïi 3 ñieåm
phaân bieät A (0,1) , B,C sao cho caùc tieáp tuyeán taïi B vaø C cuûa (Cm) vuoâng goùc
nguon tai.lieu . vn
