Xem mẫu

  1. Các toán t trong cơ h c lư ng t Lý Lê Ngày 20 tháng 7 năm 2009 Tóm t t n i dung Hóa h c lư ng t đư c phát tri n t cơ h c lư ng t . Trong cơ h c lư ng t , có th nói, nhìn ch nào chúng ta cũng th y toán t vì m i thu c tính v t lí đư c đ c trưng b i m t toán t . Vì v y, hi u rõ khái ni m toán t cũng như nh ng tính ch t c a toán t là m t trong nh ng yêu c u cơ b n nh t đ i ngư i h c lư ng t . 1 Các khái ni m 1.1 Toán t Chúng ta b t đ u b ng vi c vi t l i phương trình Schr¨dinger không ph o thu c th i gian cho h m t h t trong không gian m t chi u d2 ψ(x) 2 − + V (x)ψ(x) = Eψ(x) (1) 2m dx2 hay d2 2 − + V (x) ψ(x) = Eψ(x) (2) 2m dx2 d2 2 Bi u th c trong d u móc vuông − + V (x) đư c g i là toán t 2m dx2 (operator). Nó tác d ng lên hàm ψ(x) cho ta hàm Eψ(x). Như v y, toán t là m t qui lu t mà nh đó t m t hàm s cho trư c ta có th tìm đư c m t hàm s m i. Af (x) = g(x) (3) Trong đó, A đư c g i là toán t . Hai hàm s f (x) và g(x) không nh t thi t ph i khác nhau, chúng có th gi ng nhau. Ví d : G i D là toán t đ o hàm b c nh t theo x d d D= hay Df (x) = f (x) = f (x) dx dx 1
  2. N u f (x) = x2 + 3ex , thì ta có Df (x) = f (x) = 2x + 3ex Tương t , n u 3 là toán t nhân m t hàm s v i 3, thì ta có 3f (x) = 3(x2 + 3ex ) = 3x2 + 9ex 1.2 T ng c a hai toán t T ng c a hai toán t A và B đư c xác đ nh như sau (A + B)f (x) = Af (x) + Bf (x) (4) Ví d : Toán t C đư c xác đ nh b i d C =x+ dx Tìm Cf (x) n u f (x) = a sin(bx). Ta có d d (x + )a sin(bx) = xa sin(bx) + [a sin(bx)] = ax sin(bx) + ab cos(bx) dx dx 1.3 Tích c a hai toán t Tích c a hai toán t A và B đư c xác đ nh như sau ABf (x) = A[Bf (x)] (5) d Ví d : Cho C = x . Tìm Cf (x) n u f (x) = (x2 + 3ex ). dx Ta có d d x (x2 + 3ex ) = x[ (x2 + 3ex )] = x(2x + 3ex ) = 2x2 + 3xex (6) dx dx d Thông thư ng, AB = B A. Ví d , xét hai toán t D = và x = x. Ta dx có Dxf (x) = D[xf (x)] = f (x) + xf (x) (7) Trong khi đó xDf (x) = x[Df (x)] = xf (x) (8) Chúng ta nói hai toán t b ng nhau, A = B, n u Af (x) = Bf (x) v i m i hàm f (x). Ví d , t phương trình (7), ta có d Dxf (x) = f (x) + x f (x) = (1 + xD)f (x) (9) dx Như v y Dx = (1 + xD) = (1 + xD) (10) Toán t 1 (nhân v i 1) đư c g i là toán t đơn v . Chúng ta thư ng không ghi d u mũ lên các toán t là h ng s . 2
  3. 1.4 Toán t tuy n tính Toán t A đư c g i là toán t tuy n tính n u nó th a các đi u ki n sau A[f (x) + g(x)] = Af (x) + Ag(x) (11) Acf (x) = cAf (x) (12) trong đó f và g là nh ng hàm b t kì, còn c là h ng s . Ví d , toán t đ o hàm là toán t tuy n tính nhưng toán t căn b c hai thì không tuy n tính. Th t v y, ta có D[f (x) + g(x)] = Df (x) + Df (x) = f (x) + g (x) D[cf (x)] = cDf (x) = cf (x) Trong khi đó f (x) + g(x) = f (x) + g(x) N u A, B và C là nh ng toán t tuy n tính, thì (A + B)C = AC + B C (13) Đ ch ng minh (13), ta ph i ch ng minh (A + B)C và AC + B C cho cùng m t k t qu khi đư c áp d ng lên m t hàm f (x) tùy ý. Nghĩa là [(A + B)C]f (x) = (AC + B C)f (x) Ta xét v ph i [(A + B)C]f (x) = (A + B)(Cf (x)) = (A + B)g(x) = Ag(x) + Bg(x) Ti p theo, ta xét v trái (AC+B C)f (x) = ACf (x)+B Cf (x) = A(Cf (x))+B(Cf (x)) = Ag(x)+Bg(x) Như v y [(A + B)C]f (x) = (AC + B C)f (x) = Ag(x) + Bg(x) Tương t , ta có A(B + C) = AB + AC (14) Ví d : Tính (D + x)2 Cách 1 (D + x)2 = (D + x)(D + x) = D(D + x) + x(D + x) = DD + Dx + xD + xx = D 2 + xD + 1 + xD + x2 = D2 + 2xD + x2 + 1 3
  4. Cách 2 (D + x)2 f = (D + x)[(D + x)f = (D + x)(f + xf ) = D(f + xf ) + x(f + xf ) = Df + D(xf ) + xf + x2 f = D2 f + xDf + f Dx + xf + x2 f = D2 f + xDf + f + xDf + x2 f = (D2 + 2xD + x2 + 1)f ⇒ (D + x)2 = D2 + 2xD + x2 + 1 2 Tính ch t c a toán t 2.1 Phép nhân các toán t Phép nhân các toán t tuân theo lu t k t h p A(B C) = (AB)C (15) Ví d : Đ t A = D; B = x; C = 3, ta có ABf = Dxf = (1 + xD)f Vy (AB)Cf = (1 + xD)3f = 3f + 3xf = (3 + 3xD)f suy ra (AB)C = 3 + 3xD M t khác, ta có (B C)f = 3xf = 3xf Vy A(B C)f = D(3xf ) = 3f + 3xf = (3 + 3xD)f hay A(B C) = 3 + 3xD = (AB)C v y phù h p v i (15). 2.2 Các toán t giao hoán Hai toán t A và B đư c g i là giao hoán (commute) v i nhau n u AB = B A hay AB − B A = 0 Hi u AB − B A đư c kí hi u là [A, B] và đư c g i là phép giao hoán (commutator ). N u A và B không giao hoán v i nhau thì AB = −B A. Th t v y, ta có [A, B] = AB − B A = −(B A − AB) = −[B, A] (16) 4
  5. Ví d 1: Tính [3, D]. Ta có [3, D]f = 3Df − D3f = 3Df − 3Df = 0 Như v y, 3 và D là hai toán t giao hoán. Ví d 2: Tính [D, x2 ]; [x2 , D] [D, x2 ]f = Dx2 f − x2 Df = 2xf + x2 Df − x2 Df = 2xf ⇒ [D, x2 ] = 2x [x2 , D]f = x2 Df − Dx2 f = x2 Df − 2xf − x2 Df = −2xf ⇒ [x2 , D] = −2x Như v y, x2 và D không giao hoán v i nhau. Ta th y [D, x2 ] = −[x2 , D], phù h p v i (16). N u A, B là nh ng toán t tuy n tính và k là h ng s , ta có [A, k B] = [k A, B] = k[A, B] (17) Th t v y [A, k B] = A(k B) − k B A = k AB − k B A (18) Do đó [A, k B] = k AB − k B A = k(AB − B A) = k[A, B] (19) Tương t [k A, B] = k AB − B(k A) = k AB − k B A = k(AB − B A) = k[A, B] (20) T (19) và (20), ta có [A, k B] = [k A, B] = k[A, B] (21) 2.3 M t s phép giao hoán quan tr ng 2.3.1 Công th c 1: [A, B C] = [A, B]C + B[A, C] (22) Ch ng minh: [A, B]C + B[A, C] = (AB − B A)C + B(AC − C A) = AB C − B AC + B AC − B C A = AB C − B C A = A(B C) − (B C)A = [A, B C] 5
  6. 2.3.2 Công th c 2: [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B (23) Ch ng minh: Ta có th ch ng minh tương t như trên ho c theo cách sau. Ta có [AB, C] = (AB)C − C(AB) = (AB)C − C(AB) + (AC)B − A(C B) = (AB)C − A(C B) + (AC)B − C(AB) = A(B C) − A(C B) + (AC)B − (C A)B = A(B C − C B) + (AC − C A)B = A[B, C] + [A, C]B Trong trư ng h p, B = A = C, ta có [A2 , A] = [AA, A] = A[A, A] + [A, A]A = A × 0 + 0 × A = 0 (24) Tương t [A3 , A] = [AA2 , A] = A[A2 , A] + [A, A]A2 = A2 × 0 + 0 × A = 0 (25) 2.3.3 Công th c 3: T (24) và (25), ta có [An , A] = 0 (26) Tương t [A, An ] = 0 (27) 2.3.4 Công th c 4: [A, B + C] = [A, B] + [A, C] (28) Ch ng minh: [A, B + C] = A(B + C) − (B + C)A = AB + AC − B A − C A = (AB − B A) + (AC − C A) = [A, B] + [A, C] Tương t , ta có [A + B, C] = [A, C] + [B, C] (29) 6
  7. 3 Đ c hàm và đ c tr Gi s tác d ng lên hàm f (x) b i m t toán t A, ta thu đư c k t qu là chính hàm f (x) đó nhân v i m t h ng s k. Khi đó, ta nói r ng hàm f (x) là đ c hàm (eigenfunction) c a toán t A, v i đ c tr (eigenvalue) là k. Phương trình bi u di n m i liên h gi a toán t A, đ c hàm f (x) và đ c tr k đư c g i là phương trình đ c tr (eigenvalue equation) Af (x) = kf (x) (30) Ví d 1 d 2x De2x = e = 2e2x dx ta nói e2x là đ c hàm c a toán t D v i đ c tr là 2. Phương trình đ c tr De2x = 2e2x Ví d 2 D2 sin(ax) = D[D sin(ax)] = D[a cos(ax)] = −a2 sin(ax) v y sin(ax) là đ c hàm c a toán t D2 v i đ c tr là −a2 . Ta có, phương trình đ c tr D2 sin(ax) = −a2 sin(ax) Như v y, phương trình Schr¨dinger (1) cho h m t h t trong không gian o m t chi u cũng là m t phương trình đ c tr . Sau đây, chúng ta th tìm t t c nh ng đ c hàm và đ c tr cho toán t đ o hàm D. T phương trình (30), ta có df (x) Df (x) = = kf (x) (31) dx Phương trình (31) tương đương v i df (x) = kdx (32) f (x) L y tích phân (32) ta đư c lnf (x) = kx + constant f (x) = econstant ekx v y f (x) = cekx (33) T t c nh ng hàm th a (33) là đ c hàm c a D, v i các đ c tr là k. Và n u f (x) và đ c hàm c a D, thì cf (x) cũng là đ c hàm c a D. Đi u đó cũng 7
  8. đúng đ i v i nh ng đ c hàm c a m i toán t tuy n tính. Th t v y, n u f (x) là đ c hàm c a A, v i đ c tr k, nghĩa là Af (x) = kf (x) và A là toán t tuy n tính, ta có A[cf (x)] = cAf (x) = ckf (x) = k[cf (x)] (34) Như v y A[cf (x)] = k[cf (x)] (35) V i m i giá tr k trong (31), chúng ta có m t đ c hàm; nh ng đ c hàm v i cùng giá tr k nhưng giá tr c khác nhau thì không đ c l p tuy n tính1 v i nhau, chúng ph thu c l n nhau. 4 M i liên h gi a toán t và cơ h c lư ng t Ti p theo, ta xét m i liên h gi a toán t và cơ h c lư ng t . Chúng ta so sánh phương trình Schr¨dinger cho h m t h t trong không gian m t chi u o 2 d2 [− + V (x)]ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2 v i phương trình đ c tr Af (x) = kf (x) Ta th y, rõ ràng các giá tr năng lư ng E là các đ c tr ; các đ c hàm là nh ng hàm sóng ψ(x); toán t c a nh ng đ c hàm và đ c tr này là 2 d2 H=− + V (x) (36) 2m dx2 và đư c g i là toán t Hamiltonian hay toán t năng lư ng c a h . Năng lư ng c a h b ng t ng đ ng năng và th năng. Trong (36) thì 2 d2 V (x) là th năng, nên − là toán t mô t đ ng năng c a h . Theo 2m dx2 cơ h c c đi n, đ ng năng c a m t h t theo phương x đư c xác đ nh b i 1 2 Ex = mvx (37) 2 1 Hàm f1 , f2 và f3 đư c g i là đ c l p tuy n tính n u phương trình c1 f1 +c2 f2 +c3 f3 = 0 ch x y ra khi các h ng s c1 = c2 = c3 = 0. Ví d , các hàm f1 = 3x, f2 = 5x2 − x, f3 = x2 là nh ng hàm ph thu c tuy n tính, vì f1 + 3f2 − 15f3 = 0; trong khi đó, các hàm g1 = 1, g2 = 2x, g3 = x2 là nh ng hàm đ c l p tuy n tính vì ta không tìm đư c bi u th c liên h n gi a chúng. 8
  9. M t khác, ta có m i liên h gi a kh i lư ng m, v n t c vx và đ ng lư ng px như sau px px = mvx ⇒ vx = m Do đó, ta có 1 p2 Ex = mvx = x 2 (38) 2 2m Như v y, theo cơ h c c đi n năng lư ng c a h đư c tính như sau p2 x H= + V (x) (39) 2m Phương trình (39) đư c g i là hàm Hamiltonian cho h t có kh i lư ng m di chuy n trong không gian m t chi u và ph thu c vào th năng V (x). So sánh phương trình Schr¨dinger không ph thu c th i gian o 2 d2 − + V (x) ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2 v i phương trình (39), ta th y hàm Hamiltonian (39) trong cơ h c c đi n đư c thay th b i toán t Hamiltonian trong cơ h c lư ng t 2 d2 p2 + V (x) ↔ x + V (x) (40) 2m dx2 2m p2 x Đ ng năng trong cơ h c c đi n cũng đư c thay th b i toán t đ ng 2m năng trong cơ h c lư ng t 2 d2 T =− 2m dx2 M i liên h gi a các đ i lư ng v t lí trong cơ h c c đi n và cơ h c lư ng t như th này là r t ph bi n. Do đó, trong cơ h c lư ng t có m t đ nh đ quan tr ng như sau: M i thu c tính v t lí như năng lư ng, đ ng lư ng, t a đ , mô- men góc . . . s có m t toán t tương ng. Các thu c tính như t a đ x, y, z và th năng V trong cơ h c lư ng t và cơ h c c đi n có d ng gi ng nhau. Nh ng thu c tính khác thì không gi ng nhau. Ví d , các thành ph n đ ng lư ng px đư c thay b ng các toán t ∂ ∂ px = = −i (41) i ∂x ∂x 1 v i = −i vì i 1 i i = 2 = = −i i i −1 Nh ng thu c tính khác đư c xác đ nh b ng nh ng toán t đư c ghi trong b ng 1.1 sau 9
  10. B ng 1.1: Nh ng toán t thư ng đư c s d ng trong cơ h c lư ng t Thu c tính Cơ h c c đi n Cơ h c lư ng t T ađ x, y, z, r x, y, z, r Th năng V (x), V (y), V (z) V (x), V (y), V (z) Đ ng lư ng ∂ x px px = −i ∂x ∂ y py py = −i ∂y ∂ z pz pz = −i ∂z Đ ng năng p2 x ∂2 2 x Tx = − 2m 2m ∂x2 p2 y 2 ∂2 y Ty = − 2m 2m ∂y 2 p2 z 2 ∂2 z Tz = − 2m 2m ∂z 2 ∂ ∂ Mô-men góc Lz Lz = −i (x −y ) ∂y ∂x Nh ng toán t khác có th đư c xây d ng t nh ng toán t đã cho trong b ng trên. Ví d , toán t p2 đư c xây d ng t px như sau x ∂ ∂ ∂2 p2 = px px = x = −h2 2 (42) i ∂x i ∂x ∂x Tương t , ta có ∂2 ∂2 p2 = −h2 y p2 = −h2 z (43) ∂y 2 ∂z 2 5 Toán t và nh ng thu c tính v t lí Xét s chuy n đ ng c a h t trong h p m t chi u đư c mô t b i hàm sóng 2 nπx ψn = sin( ) (n = 1, 2, 3, . . .) l l Ta th y ψn là đ c hàm c a toán t năng lư ng H v i đ c tr là n2 h2 E= 8ml2 Th t v y, đ i v i bài toán h t trong h p thì th năng V (x) = 0, nên ta có 2 d2 H = Tx + V (x) = − 2m dx2 10
  11. Do đó 2 d2 2 nπx n 2 h2 2 nπx − sin( ) = sin( ) 2m dx2 l l 8ml2 l l Như v y, n u th c hi n phép đo năng lư ng c a m t h t trong h p m t chi u, ta s thu đư c k t qu là đ c tr năng lư ng E c a toán t năng lư ng H. M t cách t ng quát, n u B là toán t mô t m t thu c tính v t lí B thì m i phép đo thu c tính B cho ra m t đ c tr βi c a toán t B. Đây cũng là m t đ nh đ c a cơ h c lư ng t . Ví d , n u ψi là các đ c hàm c a H, thì ta có Hψi = Ei ψi (44) Nghĩa là m i phép đo thu c tính v t lí đư c mô ta b i toán t năng lư ng H s cho ta m t giá tr Ei . N u ψi là hàm ch ph thu c t a đ , không ph thu c th i gian thì (44) là d ng t ng quát c a phương trình Schr¨dinger o không ph thu c th i gian. Ti p theo, chúng ta xét hàm tr ng thái ph thu c th i gian Ψ = Ψ(x, t) (45) N u tr ng thái c a m t h đư c mô t b i hàm sóng Ψ, thì hàm sóng Ψ đó s ch a t t c nh ng thông tin mà chúng ta c n bi t v h đó. V y Ψ s cung c p cho chúng ta nh ng thông tin gì v m t thu c tính B? Bây gi , chúng ta gi đ nh r ng n u Ψ là đ c hàm c a B v i đ c tr βi , khi đó m t phép đo thu c tính B s cho ta giá tr βi . Ch ng h n, chúng ta xét thu c tính năng lư ng. Gi s h tr ng thái tĩnh v i hàm tr ng thái Ψ(x, t) = e−iEt/ ψ(x) (46) ta có HΨ(x, t) = H[e−iEt/ ψ(x)] = e−iEt/ Hψ(x) (47) áp d ng Hψ(x) = Eψ(x), ta đư c HΨ(x, t) = e−iEt/ Eψ(x) = Ee−iEt/ ψ(x) = EΨ(x, t) v y HΨ = EΨ (48) Do đó, tr ng thái tĩnh, Ψ(x, t) là m t đ c hàm c a H, chúng ta ch c ch n tìm đư c giá tr E khi th c hi n phép đo năng lư ng. Phương trình (48) là m t cách vi t khác c a phương trình Schr¨dinger ph thu c th i gian. o Các toán t trong cơ h c lư ng t có hai tính ch t đ c trưng quan tr ng là tuy n tính và Hermitian. Tính ch t tuy n tính c a chúng liên quan đ n nguyên lí ch ng ch t. Tính ch t Hermitian liên quan đ n k t qu th c c a phép đo m t thu c tính v t lí. Chúng ta s kh o sát kĩ hơn tính ch t này trong nh ng ph n sau. 11
  12. Bài t p d 1. Cho D = và hàm f (x) đư c xác đ nh b i dx f (x) = sin x + eix Hãy tính (D2 + Dx)f (x) 2. Ch ng minh [A + B, C + D] = [A, C] + [A, D] + [B, C] + [B, D] T đó, tính d d2 [x + , + x] dx dx2 3. Cho bi t d x=x px = −i dx Ch ng minh d [x, px ] = i ; [x, p2 ] = 2 x 2 dx 4. Tìm nh ng hàm g(x) là đ c hàm c a px v i đ c tr k px g(x) = kg(x) Ch ng t r ng hàm sóng c a h t trong h p m t chi u không ph i là đ c hàm c a px . 5. Tìm nh ng hàm f (x) là đ c hàm c a p2 v i đ c tr α. Ch ng t r ng x hàm sóng c a h t trong h p m t chi u là đ c hàm c a p2 . x 12