Xem mẫu
- Các toán t trong cơ h c lư ng t
Lý Lê
Ngày 20 tháng 7 năm 2009
Tóm t t n i dung
Hóa h c lư ng t đư c phát tri n t cơ h c lư ng t . Trong cơ
h c lư ng t , có th nói, nhìn ch nào chúng ta cũng th y toán t vì
m i thu c tính v t lí đư c đ c trưng b i m t toán t . Vì v y, hi u rõ
khái ni m toán t cũng như nh ng tính ch t c a toán t là m t trong
nh ng yêu c u cơ b n nh t đ i ngư i h c lư ng t .
1 Các khái ni m
1.1 Toán t
Chúng ta b t đ u b ng vi c vi t l i phương trình Schr¨dinger không ph
o
thu c th i gian cho h m t h t trong không gian m t chi u
d2 ψ(x)
2
− + V (x)ψ(x) = Eψ(x) (1)
2m dx2
hay
d2
2
− + V (x) ψ(x) = Eψ(x) (2)
2m dx2
d2 2
Bi u th c trong d u móc vuông − + V (x) đư c g i là toán t
2m dx2
(operator). Nó tác d ng lên hàm ψ(x) cho ta hàm Eψ(x).
Như v y, toán t là m t qui lu t mà nh đó t m t hàm s cho trư c ta
có th tìm đư c m t hàm s m i.
Af (x) = g(x) (3)
Trong đó, A đư c g i là toán t . Hai hàm s f (x) và g(x) không nh t thi t
ph i khác nhau, chúng có th gi ng nhau.
Ví d : G i D là toán t đ o hàm b c nh t theo x
d d
D= hay Df (x) = f (x) = f (x)
dx dx
1
- N u f (x) = x2 + 3ex , thì ta có
Df (x) = f (x) = 2x + 3ex
Tương t , n u 3 là toán t nhân m t hàm s v i 3, thì ta có
3f (x) = 3(x2 + 3ex ) = 3x2 + 9ex
1.2 T ng c a hai toán t
T ng c a hai toán t A và B đư c xác đ nh như sau
(A + B)f (x) = Af (x) + Bf (x) (4)
Ví d : Toán t C đư c xác đ nh b i
d
C =x+
dx
Tìm Cf (x) n u f (x) = a sin(bx).
Ta có
d d
(x + )a sin(bx) = xa sin(bx) + [a sin(bx)] = ax sin(bx) + ab cos(bx)
dx dx
1.3 Tích c a hai toán t
Tích c a hai toán t A và B đư c xác đ nh như sau
ABf (x) = A[Bf (x)] (5)
d
Ví d : Cho C = x . Tìm Cf (x) n u f (x) = (x2 + 3ex ).
dx
Ta có
d d
x (x2 + 3ex ) = x[ (x2 + 3ex )] = x(2x + 3ex ) = 2x2 + 3xex (6)
dx dx
d
Thông thư ng, AB = B A. Ví d , xét hai toán t D = và x = x. Ta
dx
có
Dxf (x) = D[xf (x)] = f (x) + xf (x) (7)
Trong khi đó
xDf (x) = x[Df (x)] = xf (x) (8)
Chúng ta nói hai toán t b ng nhau, A = B, n u Af (x) = Bf (x) v i
m i hàm f (x). Ví d , t phương trình (7), ta có
d
Dxf (x) = f (x) + x f (x) = (1 + xD)f (x) (9)
dx
Như v y
Dx = (1 + xD) = (1 + xD) (10)
Toán t 1 (nhân v i 1) đư c g i là toán t đơn v . Chúng ta thư ng không
ghi d u mũ lên các toán t là h ng s .
2
- 1.4 Toán t tuy n tính
Toán t A đư c g i là toán t tuy n tính n u nó th a các đi u ki n sau
A[f (x) + g(x)] = Af (x) + Ag(x) (11)
Acf (x) = cAf (x) (12)
trong đó f và g là nh ng hàm b t kì, còn c là h ng s . Ví d , toán t đ o
hàm là toán t tuy n tính nhưng toán t căn b c hai thì không tuy n tính.
Th t v y, ta có
D[f (x) + g(x)] = Df (x) + Df (x) = f (x) + g (x)
D[cf (x)] = cDf (x) = cf (x)
Trong khi đó
f (x) + g(x) = f (x) + g(x)
N u A, B và C là nh ng toán t tuy n tính, thì
(A + B)C = AC + B C (13)
Đ ch ng minh (13), ta ph i ch ng minh (A + B)C và AC + B C cho
cùng m t k t qu khi đư c áp d ng lên m t hàm f (x) tùy ý. Nghĩa là
[(A + B)C]f (x) = (AC + B C)f (x)
Ta xét v ph i
[(A + B)C]f (x) = (A + B)(Cf (x)) = (A + B)g(x) = Ag(x) + Bg(x)
Ti p theo, ta xét v trái
(AC+B C)f (x) = ACf (x)+B Cf (x) = A(Cf (x))+B(Cf (x)) = Ag(x)+Bg(x)
Như v y
[(A + B)C]f (x) = (AC + B C)f (x) = Ag(x) + Bg(x)
Tương t , ta có
A(B + C) = AB + AC (14)
Ví d : Tính (D + x)2
Cách 1
(D + x)2 = (D + x)(D + x)
= D(D + x) + x(D + x)
= DD + Dx + xD + xx
= D 2 + xD + 1 + xD + x2
= D2 + 2xD + x2 + 1
3
- Cách 2
(D + x)2 f = (D + x)[(D + x)f = (D + x)(f + xf )
= D(f + xf ) + x(f + xf ) = Df + D(xf ) + xf + x2 f
= D2 f + xDf + f Dx + xf + x2 f
= D2 f + xDf + f + xDf + x2 f
= (D2 + 2xD + x2 + 1)f
⇒ (D + x)2 = D2 + 2xD + x2 + 1
2 Tính ch t c a toán t
2.1 Phép nhân các toán t
Phép nhân các toán t tuân theo lu t k t h p
A(B C) = (AB)C (15)
Ví d : Đ t A = D; B = x; C = 3, ta có
ABf = Dxf = (1 + xD)f
Vy
(AB)Cf = (1 + xD)3f = 3f + 3xf = (3 + 3xD)f
suy ra
(AB)C = 3 + 3xD
M t khác, ta có
(B C)f = 3xf = 3xf
Vy
A(B C)f = D(3xf ) = 3f + 3xf = (3 + 3xD)f
hay
A(B C) = 3 + 3xD = (AB)C
v y phù h p v i (15).
2.2 Các toán t giao hoán
Hai toán t A và B đư c g i là giao hoán (commute) v i nhau n u
AB = B A hay AB − B A = 0
Hi u AB − B A đư c kí hi u là [A, B] và đư c g i là phép giao hoán
(commutator ). N u A và B không giao hoán v i nhau thì AB = −B A. Th t
v y, ta có
[A, B] = AB − B A = −(B A − AB) = −[B, A] (16)
4
- Ví d 1: Tính [3, D]. Ta có
[3, D]f = 3Df − D3f = 3Df − 3Df = 0
Như v y, 3 và D là hai toán t giao hoán.
Ví d 2: Tính [D, x2 ]; [x2 , D]
[D, x2 ]f = Dx2 f − x2 Df = 2xf + x2 Df − x2 Df = 2xf
⇒ [D, x2 ] = 2x
[x2 , D]f = x2 Df − Dx2 f = x2 Df − 2xf − x2 Df = −2xf
⇒ [x2 , D] = −2x
Như v y, x2 và D không giao hoán v i nhau. Ta th y [D, x2 ] = −[x2 , D],
phù h p v i (16).
N u A, B là nh ng toán t tuy n tính và k là h ng s , ta có
[A, k B] = [k A, B] = k[A, B] (17)
Th t v y
[A, k B] = A(k B) − k B A = k AB − k B A (18)
Do đó
[A, k B] = k AB − k B A = k(AB − B A) = k[A, B] (19)
Tương t
[k A, B] = k AB − B(k A) = k AB − k B A = k(AB − B A) = k[A, B] (20)
T (19) và (20), ta có
[A, k B] = [k A, B] = k[A, B] (21)
2.3 M t s phép giao hoán quan tr ng
2.3.1 Công th c 1:
[A, B C] = [A, B]C + B[A, C] (22)
Ch ng minh:
[A, B]C + B[A, C] = (AB − B A)C + B(AC − C A)
= AB C − B AC + B AC − B C A
= AB C − B C A = A(B C) − (B C)A
= [A, B C]
5
- 2.3.2 Công th c 2:
[AB, C] = A[B, C] + [A, C]B (23)
Ch ng minh:
Ta có th ch ng minh tương t như trên ho c theo cách sau. Ta có
[AB, C] = (AB)C − C(AB)
= (AB)C − C(AB) + (AC)B − A(C B)
= (AB)C − A(C B) + (AC)B − C(AB)
= A(B C) − A(C B) + (AC)B − (C A)B
= A(B C − C B) + (AC − C A)B
= A[B, C] + [A, C]B
Trong trư ng h p, B = A = C, ta có
[A2 , A] = [AA, A] = A[A, A] + [A, A]A = A × 0 + 0 × A = 0 (24)
Tương t
[A3 , A] = [AA2 , A] = A[A2 , A] + [A, A]A2 = A2 × 0 + 0 × A = 0 (25)
2.3.3 Công th c 3:
T (24) và (25), ta có
[An , A] = 0 (26)
Tương t
[A, An ] = 0 (27)
2.3.4 Công th c 4:
[A, B + C] = [A, B] + [A, C] (28)
Ch ng minh:
[A, B + C] = A(B + C) − (B + C)A
= AB + AC − B A − C A
= (AB − B A) + (AC − C A)
= [A, B] + [A, C]
Tương t , ta có
[A + B, C] = [A, C] + [B, C] (29)
6
- 3 Đ c hàm và đ c tr
Gi s tác d ng lên hàm f (x) b i m t toán t A, ta thu đư c k t qu là
chính hàm f (x) đó nhân v i m t h ng s k. Khi đó, ta nói r ng hàm f (x)
là đ c hàm (eigenfunction) c a toán t A, v i đ c tr (eigenvalue) là k.
Phương trình bi u di n m i liên h gi a toán t A, đ c hàm f (x) và đ c tr
k đư c g i là phương trình đ c tr (eigenvalue equation)
Af (x) = kf (x) (30)
Ví d 1
d 2x
De2x = e = 2e2x
dx
ta nói e2x là đ c hàm c a toán t D v i đ c tr là 2. Phương trình đ c tr
De2x = 2e2x
Ví d 2
D2 sin(ax) = D[D sin(ax)] = D[a cos(ax)] = −a2 sin(ax)
v y sin(ax) là đ c hàm c a toán t D2 v i đ c tr là −a2 . Ta có, phương
trình đ c tr
D2 sin(ax) = −a2 sin(ax)
Như v y, phương trình Schr¨dinger (1) cho h m t h t trong không gian
o
m t chi u cũng là m t phương trình đ c tr .
Sau đây, chúng ta th tìm t t c nh ng đ c hàm và đ c tr cho toán t
đ o hàm D. T phương trình (30), ta có
df (x)
Df (x) = = kf (x) (31)
dx
Phương trình (31) tương đương v i
df (x)
= kdx (32)
f (x)
L y tích phân (32) ta đư c
lnf (x) = kx + constant
f (x) = econstant ekx
v y
f (x) = cekx (33)
T t c nh ng hàm th a (33) là đ c hàm c a D, v i các đ c tr là k. Và n u
f (x) và đ c hàm c a D, thì cf (x) cũng là đ c hàm c a D. Đi u đó cũng
7
- đúng đ i v i nh ng đ c hàm c a m i toán t tuy n tính. Th t v y, n u f (x)
là đ c hàm c a A, v i đ c tr k, nghĩa là
Af (x) = kf (x)
và A là toán t tuy n tính, ta có
A[cf (x)] = cAf (x) = ckf (x) = k[cf (x)] (34)
Như v y
A[cf (x)] = k[cf (x)] (35)
V i m i giá tr k trong (31), chúng ta có m t đ c hàm; nh ng đ c hàm
v i cùng giá tr k nhưng giá tr c khác nhau thì không đ c l p tuy n tính1
v i nhau, chúng ph thu c l n nhau.
4 M i liên h gi a toán t và cơ h c lư ng t
Ti p theo, ta xét m i liên h gi a toán t và cơ h c lư ng t . Chúng ta so
sánh phương trình Schr¨dinger cho h m t h t trong không gian m t chi u
o
2 d2
[− + V (x)]ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
v i phương trình đ c tr
Af (x) = kf (x)
Ta th y, rõ ràng các giá tr năng lư ng E là các đ c tr ; các đ c hàm là
nh ng hàm sóng ψ(x); toán t c a nh ng đ c hàm và đ c tr này là
2 d2
H=− + V (x) (36)
2m dx2
và đư c g i là toán t Hamiltonian hay toán t năng lư ng c a h .
Năng lư ng c a h b ng t ng đ ng năng và th năng. Trong (36) thì
2 d2
V (x) là th năng, nên − là toán t mô t đ ng năng c a h . Theo
2m dx2
cơ h c c đi n, đ ng năng c a m t h t theo phương x đư c xác đ nh b i
1 2
Ex = mvx (37)
2
1
Hàm f1 , f2 và f3 đư c g i là đ c l p tuy n tính n u phương trình c1 f1 +c2 f2 +c3 f3 = 0
ch x y ra khi các h ng s c1 = c2 = c3 = 0. Ví d , các hàm f1 = 3x, f2 = 5x2 − x, f3 = x2
là nh ng hàm ph thu c tuy n tính, vì f1 + 3f2 − 15f3 = 0; trong khi đó, các hàm
g1 = 1, g2 = 2x, g3 = x2 là nh ng hàm đ c l p tuy n tính vì ta không tìm đư c bi u th c
liên h n gi a chúng.
8
- M t khác, ta có m i liên h gi a kh i lư ng m, v n t c vx và đ ng lư ng px
như sau
px
px = mvx ⇒ vx =
m
Do đó, ta có
1 p2
Ex = mvx = x
2
(38)
2 2m
Như v y, theo cơ h c c đi n năng lư ng c a h đư c tính như sau
p2
x
H= + V (x) (39)
2m
Phương trình (39) đư c g i là hàm Hamiltonian cho h t có kh i lư ng m di
chuy n trong không gian m t chi u và ph thu c vào th năng V (x).
So sánh phương trình Schr¨dinger không ph thu c th i gian
o
2
d2
− + V (x) ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
v i phương trình (39), ta th y hàm Hamiltonian (39) trong cơ h c c đi n
đư c thay th b i toán t Hamiltonian trong cơ h c lư ng t
2
d2 p2
+ V (x) ↔ x + V (x) (40)
2m dx2 2m
p2
x
Đ ng năng trong cơ h c c đi n cũng đư c thay th b i toán t đ ng
2m
năng trong cơ h c lư ng t
2
d2
T =−
2m dx2
M i liên h gi a các đ i lư ng v t lí trong cơ h c c đi n và cơ h c lư ng
t như th này là r t ph bi n. Do đó, trong cơ h c lư ng t có m t đ nh
đ quan tr ng như sau:
M i thu c tính v t lí như năng lư ng, đ ng lư ng, t a đ , mô-
men góc . . . s có m t toán t tương ng.
Các thu c tính như t a đ x, y, z và th năng V trong cơ h c lư ng t và
cơ h c c đi n có d ng gi ng nhau. Nh ng thu c tính khác thì không gi ng
nhau. Ví d , các thành ph n đ ng lư ng px đư c thay b ng các toán t
∂ ∂
px = = −i (41)
i ∂x ∂x
1
v i = −i vì
i
1 i i
= 2 = = −i
i i −1
Nh ng thu c tính khác đư c xác đ nh b ng nh ng toán t đư c ghi
trong b ng 1.1 sau
9
- B ng 1.1: Nh ng toán t thư ng đư c s d ng trong cơ h c
lư ng t
Thu c tính Cơ h c c đi n Cơ h c lư ng t
T ađ x, y, z, r x, y, z, r
Th năng V (x), V (y), V (z) V (x), V (y), V (z)
Đ ng lư ng
∂
x px px = −i
∂x
∂
y py py = −i
∂y
∂
z pz pz = −i
∂z
Đ ng năng
p2
x ∂2
2
x Tx = −
2m 2m ∂x2
p2
y
2 ∂2
y Ty = −
2m 2m ∂y 2
p2
z
2 ∂2
z Tz = −
2m 2m ∂z 2
∂ ∂
Mô-men góc Lz Lz = −i (x −y )
∂y ∂x
Nh ng toán t khác có th đư c xây d ng t nh ng toán t đã cho trong
b ng trên. Ví d , toán t p2 đư c xây d ng t px như sau
x
∂ ∂ ∂2
p2 = px px =
x = −h2 2 (42)
i ∂x i ∂x ∂x
Tương t , ta có
∂2 ∂2
p2 = −h2
y p2 = −h2
z (43)
∂y 2 ∂z 2
5 Toán t và nh ng thu c tính v t lí
Xét s chuy n đ ng c a h t trong h p m t chi u đư c mô t b i hàm sóng
2 nπx
ψn = sin( ) (n = 1, 2, 3, . . .)
l l
Ta th y ψn là đ c hàm c a toán t năng lư ng H v i đ c tr là
n2 h2
E=
8ml2
Th t v y, đ i v i bài toán h t trong h p thì th năng V (x) = 0, nên ta
có
2 d2
H = Tx + V (x) = −
2m dx2
10
- Do đó
2 d2 2 nπx n 2 h2 2 nπx
− sin( ) = sin( )
2m dx2 l l 8ml2 l l
Như v y, n u th c hi n phép đo năng lư ng c a m t h t trong h p m t
chi u, ta s thu đư c k t qu là đ c tr năng lư ng E c a toán t năng
lư ng H.
M t cách t ng quát, n u B là toán t mô t m t thu c tính v t lí
B thì m i phép đo thu c tính B cho ra m t đ c tr βi c a toán t
B. Đây cũng là m t đ nh đ c a cơ h c lư ng t . Ví d , n u ψi là các đ c
hàm c a H, thì ta có
Hψi = Ei ψi (44)
Nghĩa là m i phép đo thu c tính v t lí đư c mô ta b i toán t năng lư ng
H s cho ta m t giá tr Ei . N u ψi là hàm ch ph thu c t a đ , không ph
thu c th i gian thì (44) là d ng t ng quát c a phương trình Schr¨dinger
o
không ph thu c th i gian.
Ti p theo, chúng ta xét hàm tr ng thái ph thu c th i gian
Ψ = Ψ(x, t) (45)
N u tr ng thái c a m t h đư c mô t b i hàm sóng Ψ, thì hàm sóng Ψ đó
s ch a t t c nh ng thông tin mà chúng ta c n bi t v h đó. V y Ψ s
cung c p cho chúng ta nh ng thông tin gì v m t thu c tính B? Bây gi ,
chúng ta gi đ nh r ng n u Ψ là đ c hàm c a B v i đ c tr βi , khi đó m t
phép đo thu c tính B s cho ta giá tr βi . Ch ng h n, chúng ta xét thu c
tính năng lư ng. Gi s h tr ng thái tĩnh v i hàm tr ng thái
Ψ(x, t) = e−iEt/ ψ(x) (46)
ta có
HΨ(x, t) = H[e−iEt/ ψ(x)] = e−iEt/ Hψ(x) (47)
áp d ng Hψ(x) = Eψ(x), ta đư c
HΨ(x, t) = e−iEt/ Eψ(x) = Ee−iEt/ ψ(x) = EΨ(x, t)
v y
HΨ = EΨ (48)
Do đó, tr ng thái tĩnh, Ψ(x, t) là m t đ c hàm c a H, chúng ta ch c ch n
tìm đư c giá tr E khi th c hi n phép đo năng lư ng. Phương trình (48) là
m t cách vi t khác c a phương trình Schr¨dinger ph thu c th i gian.
o
Các toán t trong cơ h c lư ng t có hai tính ch t đ c trưng quan tr ng
là tuy n tính và Hermitian. Tính ch t tuy n tính c a chúng liên quan
đ n nguyên lí ch ng ch t. Tính ch t Hermitian liên quan đ n k t qu th c
c a phép đo m t thu c tính v t lí. Chúng ta s kh o sát kĩ hơn tính ch t
này trong nh ng ph n sau.
11
- Bài t p
d
1. Cho D = và hàm f (x) đư c xác đ nh b i
dx
f (x) = sin x + eix
Hãy tính
(D2 + Dx)f (x)
2. Ch ng minh
[A + B, C + D] = [A, C] + [A, D] + [B, C] + [B, D]
T đó, tính
d d2
[x + , + x]
dx dx2
3. Cho bi t
d
x=x px = −i
dx
Ch ng minh
d
[x, px ] = i ; [x, p2 ] = 2
x
2
dx
4. Tìm nh ng hàm g(x) là đ c hàm c a px v i đ c tr k
px g(x) = kg(x)
Ch ng t r ng hàm sóng c a h t trong h p m t chi u không ph i là đ c
hàm c a px .
5. Tìm nh ng hàm f (x) là đ c hàm c a p2 v i đ c tr α. Ch ng t r ng
x
hàm sóng c a h t trong h p m t chi u là đ c hàm c a p2 .
x
12
nguon tai.lieu . vn
