Xem mẫu

  1. §¹i häc §µ N½ng Tr−êng §¹i häc b¸ch khoa Khoa c«ng nghÖ nhiÖt ®iÖn l¹nh PGS, TS. NguyÔn Bèn C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh truyÒn nhiÖt - §µ N½ng - 2001 -
  2. 2
  3. Ch−¬ng 1: M« h×nh bµi to¸n dÉn nhiÖt 1.1. §Þnh luËt Fourier 1.1.1. ThiÕt lËp TÝnh nhiÖt l−îng δQ dÉn qua mÆt z dS ë c¸ch 2 líp ph©n tö khÝ cã nhiÖt ®é T1 λ λ T2 T1 > T2 mét ®o¹n b»ng qu·ng ®−êng tù do trung b×nh λ . y * V× T1 vµ T2 sai kh¸c bÐ, nªn coi mËt ®é ph©n tö no vµ vËn tèc trung b×nh x r O ω c¸c ph©n tö trong hai líp nh− nhau. H1. §Ó chøng minh Do ®ã, trong thêi gian dτ, sè ph©n tö ë ®Þnh luËt Fourier T1 vµ T2 qua dS lµ nh− nhau, b»ng: 1 d2 n = no ω dS dτ 6 * L−îng ®éng n¨ng qua dS tõ T1 vµ T2 lµ: 1 i d2E1 = E 1 d2n = no ω dS dτ kT1 6 2 1 i d2E2 = E 2 d2n = no ω dS dτ kT2 6 2 Trõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau, ta ®−îc: 1 ik δ2Q = ( E 1 - E 2)d2n = no ω dSdτ (T1 - T2) 6 2 ⎛ dT ⎞ V× T1 - T2 = - ⎜ ⎟. 2 λ nªn ⎝ dx ⎠ i dT δ2Q = - no k ϖ λ dS dτ 6 dx i i R 1 µ iR 1 Do no k = no = (no ) ( ) = ρco nªn 6 6 N 3 N 2µ 3 3
  4. 1 dT dT δ2Q = - ( ρco ω λ ) dS dτ = - λ dS dτ 3 dx dx δ2Q ⎛ ∂T ⎞ hay =q=-λ ⎜ ⎟ dSdτ ⎝ ∂x ⎠ * Khi dS cã vÞ trÝ bÊt kú th× q = - λ gradT r r hay d¹ng vect¬ dßng nhiÖt lµ q = - λ gradT 1.1.2. Ph¸t biÓu: Vect¬ dßng nhiÖt tû lÖ thuËn víi gradient nhiÖt ®é: r r BiÓu thøc vect¬: q = - λ gradT D¹ng v« h−íng: q = - λgradT, [W/m2]; δQ = - λgradT.dS, [W] 1.1.3. HÖ sè dÉn nhiÖt HÖ sè dÉn nhiÖt lµ hÖ sè cña ®Þnh luËt Fourier: λ = |q/gradT| [W/mK] Theo chøng minh trªn ta cã: 1 1 ⎛ p ⎞ ⎛ 8kT ⎞ ⎛ kT ⎞ λ = ρ ω λ cv = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟ 2 ⎟ Cv 3 3 ⎝ RT ⎠ ⎜ πm ⎟ ⎝ 2 .πd p ⎠ ⎝ ⎠ 2 cv k 3T = cho thÊy: λ kh«ng phô thuéc p, vµ λ↑ khi T↑ 3 d 2 π3 m hoÆc cv↑ hoÆc ®−êng kÝnh d cïng khèi l−îng ph©n tö m gi¶m. §Þnh luËt Fourier ®óng cho mäi chÊt r¾n, láng, khÝ. 1.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt z 1.2.1. §Þnh nghÜa: Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ρ dV ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho mét qλ C λ qω ph©n tè dv bªn trong vËt. qω V 1.2.2. ThiÕt lËp y x LuËt c©n b»ng nhiÖt cho dV ∈ V lµ: O H2. CBN cho dV 4
  5. [L−îng nhiÖt ph¸t sinh trong dV] - [Th«ng l−îng nhiÖt qua dV]= [BiÕn thiªn entanpy cña dV] Cho tr−íc (qv, ρ, cp, λ) ∈ dV, cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh trªn ë d¹ng: r ∂t qvdVdτ - div q dVdτ = ρdV.cp dτ ∂τ ∂t q 1 r hay = v - div q , trong ®ã dßng nhiÖt qua dV lµ: ∂τ ρc p ρc p r r r r r q = q λ + q ω = - λ gradt + ρ ω cpt, r r r do ®ã: div q = div (ρcp ω t- λ gradt ), coi (ρ, cp) = const ta cã : r r r div q = ρcp div (t ω ) - div (λ gradt ) r r r r r r = ρcp (tdiv ω + ω gradt ) - λdiv ( gradt )- gradt . gradλ r r r r r = ρcp (tdiv ω + ω gradt ) - λ∇2t - gradt . gradλ VËy ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: ∂t qv r r r λ 2 r r = - tdiv ω - ω . gradt + ∇ t + ( gradt grad λ)/ρcp ∂τ ρc p c pρ ∂t r r ∂t dt dx dt dy dt dz dt do + ω . gradt = + . + . + . = ∂τ ∂τ dx dτ dy dτ dz dτ dτ λ nªn ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt sau khi ®Æt a = , sÏ lµ: ρCp dt qv 1 r r r = a∇ t + ρc + ρc gradt gradt λ) - tdiv ω , víi: 2 dτ p p r r r r gradt . gradλ lµ tÝch v« h−íng cña 2 vect¬ gradt vµ grad λ, ∇2t = ∆t lµ to¸n tö Laplace cña nhiÖt ®é, cã d¹ng: ⎧ ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t ⎪ 2 + 2 + 2 (trong täatäay®é)vu«ng gãc (xyz)) (trong x, , z ⎪ ∂x ∂y ∂z ⎪ ⎪ ∂ 2 t 1 ∂t 1 ∂ 2 t ∂ 2 t ∇2t = ⎨ 2 + ⋅ + 2 ⋅ 2 + 2 (trong r , ϕ , z )®é trô (rϕz)) ⎪ ∂r r ∂r r ∂ϕ ∂z (trong täa ⎪ ∂ 2 t 2 ∂t ∂ 2t cos θ ∂t ∂ 2t ⎪ 2 + + 2 2 + 2 + 2 (trong r ,θ , ϕ ) ⎪ ∂r ⎩ r ∂r r ∂θ r sin θ ∂θ r sin 2 θ∂ϕ 2 (trong täa ®é cÇu (rθϕ)) 1.2.3. C¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt r * Víi vËt r¾n, ω = 0, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: 5
  6. ∂t q 1 r r = a∇2t + v + gradt . gradλ ∂τ ρc p ρc p ∂t q * VËt r¾n cã λ = const ∀xyz ph−¬ng tr×nh lµ: = a∇2t + v ∂τ ρc p ∂t * VËt r¾n cã λ = const , æn ®Þnh nhiÖt = 0, ph−¬ng tr×nh lµ: ∂τ qv a∇2t + = 0. NÕu kh«ng cã nguån nhiÖt, qv = 0, th× ∇2t = 0. λ 1.3. C¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ (§K§T) 1.3.1. §Þnh nghÜa: §K§T lµ nh÷ng ®iÒu kiÖn cho tr−íc nh»m x¸c ®Þnh duy nhÊt nghiÖm cña mét hÖ ph−¬ng tr×nh. 1.3.2. Ph©n lo¹i c¸c §T§T: Theo néi dung, c¸c §K§T ®−îc ph©n ra 4 lo¹i sau: 1. §iÒu kiÖn h×nh häc: Cho biÕt mäi th«ng sè h×nh häc ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh h×nh d¹ng, kÝch th−íc, vÞ trÝ cña hÖ. 2. §iÒu kiÖn vËt lý: Cho biÕt luËt ph©n bè c¸c th«ng sè vËt lý theo nhiÖt ®é t t¹i ∀M∈ hÖ; tøc cho luËt x¸c ®Þnh (ρ, cp, λ, a...) = f(t, M∈V). 3. §iÒu kiÖn ban ®Çu: Cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é lóc τ = 0 t¹i mäi ®iÓm M ∈ hÖ, tøc cho biÕt t = t(x, y, z, τ = 0), ∀(x, y, z) ∈ V. 4. §iÒu kiÖn biªn: Cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é hoÆc luËt c©n b»ng nhiÖt t¹i mäi ®iÓm trªn biªn W, ë mäi thêi ®iÓm τ, tøc cho biÕt: t = t(M, τ) hoÆc ∀M (x, y, z) ∈ V r gradt = f(M, τ, t) ∀τ ∈ ∆τ xÐt 1.3.3. C¸c lo¹i ®iÒu kiÖn biªn (§KB) T¹i mçi miÒn Wi cña mÆt biªn kÝn W = ∑Wi, tuú theo c¸ch ph©n bè t hoÆc c¸ch trao ®æi nhiÖt, ta cã thÓ cho biÕt c¸c lo¹i §KB sau ®©y: 1. §KB lo¹i 1: Cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t t¹i mäi ®iÓm M1 ∈ W1 ë mäi thêi ®iÓm: 6
  7. t = t (M1, τ), ∀M1∈ W1, ∀τ ∂t 2. §KB lo¹i 2: Cho biÕt dßng nhiÖt dÉn qua biªn: q (M2,τ) = -λ , ∂n ∂t −1 tøc cho biÕt = q (M2, τ), ∀M2 ∈ W2, ∀τ. ∂n λ ∂t Khi = q = 0 tøc biªn W2 ®−îc c¸ch nhiÖt tuyÖt ®èi hoÆc lµ ∂n biªn ®èi xøng, lóc nµy t ®¹t cùc trÞ t¹i W2, vµ ®−êng cong t(M) cã tiÕp tuyÕn n»m ngang. 3. §KB lo¹i 3: Cho biÕt biªn W3 tiÕp xóc chÊt láng cã tf, α vµ to¶ nhiÖt ra chÊt láng theo luËt: -λtn (M3, τ) = α[t(M3, τ) - tf], tøc cho biÕt gradt (M3) = [tf - t(M3)]/(λ/α), ∀M3 ∈ W3, ∀τ. 4. §KB lo¹i 4: Cho biÕt luËt CBN khi biªn W4 tiÕp xóc vËt r¾n kh¸c, cã nhiÖt ®é t4 vµ λ4, t¹i M4 ∈ W4, ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cã d¹ng : ∂t (M 4 ) ∂t (M ) -λ = λ4 4 4 vµ t(M4) = t4 (M4) ∂n ∂n 5. §KB lo¹i 5: Cho biÕt luËt c©n b»ng nhiÖt trªn biªn W5 di ®éng, t do cã sù chuyÓn pha, trao ®æi chÊt (khèi l−îng thay ®æi) hoÆc ®ang biÕn d¹ng: dx 5 dτ ∂t ' ∂t (M 5 ) dx 5 ∂t ' -λ ∂t -λ -λ = r cρ - λ' (M5), ∂x ∂n ∂n dτ ∂n dx 5 -rcρ dτ xx víi r = nhiÖt chuyÓn pha; dx 5 0 x5 c dτ H3. CBN trªn biªn W5 = vËn tèc biªn W5; ρ: khèi l−îng riªng pha míi. 1.3.4. ý nghÜa h×nh häc cña c¸c lo¹i §KB D¹ng ®−êng cong ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ) t¹i l©n cËn biªn W, 7
  8. tuú theo c¸ch cho §KB, sÏ cã c¸c ®Æc ®iÓm h×nh häc sau ®©y: §−êng cong W C¸ch cho §KB ý nghÜa h×nh häc t(M,τ) t w t(M) ®i qua mét ®iÓm cè 1 tw = const Mo ®Þnh Mo ∈W V x t ∂t w q=0 t(M) ®¹t cùc trÞ trªn W c¸ch 2 =0 V ∂n β=0 nhiÖt x W ∂t w β = const C¸c tiÕp tuyÕn cña t(M) t¹i = const ∂n V W song song, gãc β = const x W ∂t w C¸c tiÕp tuyÕn cña t(M) t¹i t −t R 3 = f w tf λ ∂n λ/α λ W3 qua ®iÓm R( , tf) V α x α W ∂t w λ 4 ∂t ow γ Vo = t(M) liªn tôc, kh«ng kh¶ vi 4 ∂n λ ∂x t¹i W4 vµ γ = const tW = t4W V x ∂t w dx -λ = re ρ 5 W5 di chuyÓn víi tèc ®é ∂n dτ 5 dx 5 δt 'w dx 5 ω= -λ V dτ δn dτ x H4. Minh ho¹ ý nghÜa h×nh häc c¸c §KB 1.4. M« h×nh mét bµi to¸n dÉn nhiÖt M« h×nh to¸n häc cña mét bµi to¸n dÉn nhiÖt lµ mét hÖ ph−¬ng 8
  9. tr×nh vi ph©n (t), gåm ph−¬ng tr×nh vi ph©n DN vµ c¸c ph−¬ng tr×nh m« ∂t' ∂n t w1(M,τ ) −λ' t¶ c¸c §K§T nh− sau: W5 ∂t W1 −λ ∂ n ∂t qv ρ, c, λ,qv rcf dx dτ 2 ∂ w2 = a∇ t + ρ vµ τ q(M, ) -1 ∂x (t) = ∂τ c M W2 c¸c ph−¬ng tr×nh m« t¶ c¸c §K§T. ∂t qv −λ ∂ t ∂τ = a∇ t + ρc 2 ∂n −λ o ∂ to ∂n ∂ w Môc ®Ých chÝnh cña truyÒn ∂t x −λ W4 W3 nhiÖt lµ t×m c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i f] -t [tw 2 α hÖ (t) ®Ó t×m hµm ph©n bè t(x,y,z,τ) tho¶ m·n hÖ (t). H5. M« h×nh 1 bµi to¸n DN 9
  10. Ch−¬ng 2: c¸c Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch 2.1. phÐp chuÈn ho¸ vµ ®Þnh lý hîp nghiÖm: 2.1.1. Néi dung c¬ b¶n cña c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch ý t−ëng cña Fourier lµ chuyÓn ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh thµnh mét sè ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng t−¬ng ®−¬ng, b»ng c¸ch t¸ch biÕn, t×m nghiÖm riªng æn ®Þnh vµ biÕn thiªn h»ng sè. C¸c c¸ch trªn ®−îc sö dông tuú thuéc tÝnh thuÇn nhÊt hay kh«ng thuÇn nhÊt cña ph−¬ng tr×nh dÉn nhiÖt vµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ c¸c ®iÒu kiÖn biªn. 2.1.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt vµ kh«ng TN - §Þnh nghÜa: Ph−¬ng tr×nh vi ph©n F(t, tx, txx) = 0 ®−îc gäi lµ thuÇn nhÊt khi: nÕu t lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh th× ct, ∀c =const, còng lµ nghiÖm cña F(t, tx, txx) = 0. - VÝ dô: tτ = atxx, tx(0,τ) = - α t(0,τ) lµ TN λ qv −α tτ = a∇2t + , tx (L, τ) = [t(L, τ) - tf] lµ kh«ng TN ρc λ NhËn xÐt: Ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt kh«ng chøa sè h¹ng tù do, nh− qv vµ tf, lµ ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt. 2.1.3. Nguyªn lý hîp nghiÖm NÕu c¸c ti,∀i = 1÷n, lµ nghiÖm riªng cña bµi to¸n biªn thuÇn nhÊt n (tøc ph−¬ng tr×nh vi ph©n vµ c¸c §KB thuÇn nhÊt), th× t = ∑ C i t i còng lµ i =1 nghiÖm cña bµi to¸n TN ®ã, ∀Ci = const 2.1.4. PhÐp chuÈn ho¸ - §Þnh nghÜa: PhÐp chuÈn ho¸ mét hÖ ph−¬ng tr×nh lµ c¸ch ®æi c¸c biÕn vµ th«ng sè cã thø nguyªn thµnh c¸c biÕn vµ th«ng sè kh«ng thø nguyªn. - Lîi Ých cña phÐp chuÈn ho¸ lµ ®¬n gi¶n hÖ ph−¬ng tr×nh vµ c¸ch 10
  11. gi¶i, khiÕn cho nghiÖm cã tÝnh tæng qu¸t, kh«ng phô thuéc c¸c ®¹i l−îng cã thø nguyªn, vµ trong vµi tr−êng hîp, cã thÓ thuÇn nh¸t ho¸ c¸c ®iÒu kiÖn biªn kh«ng thuÇn nhÊt. - VÝ dô: Bµi to¸n lµm nguéi tÊm ph¼ng víi 2 biªn Wo/W3 cã m« h×nh: ⎧ ∂t ∂2t ⎧ t − tf =a 2 (TN ) (FT) ⎪ ⎪θ = t − t ⎪ ∂τ ∂x ⎪ o f ⎪t ( x,0) = t o (DKD) ⎪ x (t) ⎨t (0, τ) = 0 (TN ) ( Wo ) §æi biÕn ⎨X = ⎪ x δ ⎪ ⎪ −α ⎪ aτ ⎪t x (δ, τ) = [ t (δ, τ) − t f ] (0TN ) ( W3 ) F= 2 ⎩ λ ⎪ δ ⎩ αδ vµ ®Æt B = λ ∂t ∂t ∂θ ∂F a ∂θ th× do = . . = (to - tf) 2 . ∂τ ∂θ ∂F ∂τ δ ∂F ∂t ∂t ∂θ ∂X t o − t f ∂θ = . . = . ∂x ∂θ ∂X ∂x δ ∂X ∂2t ∂ ∂t ∂ t − t ∂θ ∂X t −t ∂ θ 2 = ( )= .( o f . ) = o 2 f ∂x 2 ∂x ∂x ∂X δ ∂X ∂x δ ∂X 2 to − tf −α tx (δ, τ) = θx (1, F) = [t (δ, τ) - tf] cã d¹ng TN lµ δ λ − αδ θx (l, F) = θ [1, F] = Bθ(1,F) λ ∂t a ∂θ ∂2t t o − t f ∂ 2θ = (to- tf) 2 =a =a . cã d¹ng ®¬n gi¶n ∂τ δ ∂F ∂x 2 δ2 ∂X 2 ∂θ ∂ 2θ h¬n lµ = . Khi ®ã bµi to¸n (t) ®−îc chuyÓn ®æi thµnh bµi to¸n ∂F ∂X 2 kh«ng thø nguyªn (θ) t−¬ng ®−¬ng, cã d¹ng chuÈn ho¸ lµ: 11
  12. ⎧ ∂θ ∂ 2θ ⎪ = ⎪ ∂F ∂X 2 ⎪θ ( X ,0) = 1 (θ) ⎨ ⎪θ (0, F ) = 0 (TN ) ⎪ x ⎪θ x (1, F ) = − Bθ (1, F ) (TN ) ⎩ Bµi to¸n (θ) cã hai ®iÒu kiÖn biªn ë d¹ng thuÇn nhÊt. 2.2. Ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn Fourier 2.2.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p Fourier Lµ t×m nghiÖm ë d¹ng t¸ch biÕn, nh− lµ tÝch cña mét hµm cña täa ®é víi mét hµm cña thêi gian. Nhê ®ã cã thÓ chuyÓn mét ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng thµnh hÖ hai ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng t−¬ng ®−¬ng. Ph−¬ng ph¸p nµy th−êng dïng ®Ó gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt. 2.2.2. C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n thuÇn nhÊt C¸c bµi to¸n thuÇn nhÊt cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn Fourier theo c¸c b−íc: t¸ch biÕn ph−¬ng tr×nh vi ph©n DN t×m nghiÖm tæng qu¸t, x¸c ®Þnh c¸c nghiÖm riªng theo c¸c §K§T, hîp nghiÖm. §ã lµ c¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn. 2.2.3. VÝ dô: Bµi to¸n lµm nguéi tÊm ph¼ng biªn (W2+W3) 1. Ph¸t biÓu bµi to¸n: Cho v¸ch ph¼ng cã δ, a, λ, to = t(x,0) c¸ch nhiÖt t¹i x = 0, to¶ nhiÖt t¹i x = δ ra m«i tr−êng tf, α. T×m tr−êng t (x, τ) t 2. M« h×nh TH: to ⎧t τ = at xx a ⎪ t ( x ,0 ) = t λ α ⎪ ⎪ o q=0 tf (t) ⎨t x (0, τ) = 0 t(x,τ ) ⎪ ⎪t x (δ, τ) = − α [ t (δ, τ) − t f ] W2 W3 x ⎪ ⎩ λ O δ B»ng c¸ch ®æi biÕn: H6. Bµi to¸n (2.2.2) 12
  13. t − tf x aτ αδ θ= ,X= ,F= 2,B= sÏ thu ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh to − tf δ δ λ (θ) t−¬ng ®−¬ng, ë d¹ng chuÈn ho¸: ⎧θ F = θ xx ⎪θ ( x,0) = 1 ⎪ (θ) ⎨ ⎪θ x (0, F ) = 0 ⎪θ x (1, F ) = − Bθ (1, F ) ⎩ 3. T¸ch biÕn b»ng c¸ch t×m nghiÖm d¹ng θ(X,F) = X(x) F(F). X" (X) F" (F) Thay vµo θF=θxx cã X(x) F'(F) = X"(X) F(F) hay = = -k2 X (X ) F(F) (do 2 hµm ®éc lËp), chuyÓn thµnh 2 ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng: ⎧X" (X) +k 2 X(X) = 0 → X(X) = c1 sin kX + c 2 cos kX ⎪ ⎨ ⎪F' (F) +k 2 F(F) = 0 → F(F) = e −k F 2 ⎩ NghiÖm tæng qu¸t lµ θ(X,F) = (c1sin kX + c2coskX) e −k F 2 4. X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè theo §K§T θx(0,F) = 0 → (kc1cos0 + (-kc2sin0) e −k F = 0 → 2 c1 = 0 vµ θ (X,F) = c2 coskX e −k F 2 θx(1,F) 2 cotgk = (-kc2sin0) e −k F = cos k k -Bθ (1,F)= -Bc2 cosk e −k F → 2 B sin k k π 2π 3π 4π k = cotgk = , ph−¬ng tr×nh nµy cã B O k1 k2 k3 k4 k5 v« sè nghiÖm ki, i = 1 ÷ n. C¸c nghiÖm riªng tho¶ m·n §KB cã H7. Gi¶i ph−¬ng tr×nh cotg k = k −k 2F B d¹ng: θi(X,F) = c2coskiX. e i , ∞ − k 2F nghiÖm hîp lµ θ(X,F) = ∑ c i cos k i Xe i i =1 ∞ - §iÒu kiÖn ®Çu θ(X,0) = 1 → ∑cicoskiX=1 → coski X ∑ c i cos k i X = 1 1 1 sin k i coskiX → ∫ cos k i XdX = = ∫ cos k i X ∑ c i cos k i XdX = 0 ki 0 13
  14. 1 2k i + sin 2k i 4 sin k i ci ∫ cos 2 k i XdX = ci → ci = 2k + sin 2k 0 4k i i i VËy nghiÖm bµi to¸n lµ: ∞ sin k i θ(X,F) = 4 ∑ 2k −k 2F cos(kiX) e i i =1 i + sin 2k i * §å thÞ θ(X,F) vµ t(x, τ) cã d¹ng: θ t F=0 1 F=0 1 to τ=0 2 2 3 3 4 4 5 6 5 τ =∞ R tf F =∞ x δ x O 1 O H8. Ph©n bè θ(X,F) H9. Ph©n bè t(x, τ) 2.3. Ph−¬ng ph¸p nghiÖm riªng æn ®Þnh 2.3.1. Ph¹m vi sö dông ph−¬ng ph¸p NRO§ §Ó gi¶i c¸c bµi to¸n kh«ng thuÇn nhÊt cã nghiÖm riªng khi æn ®Þnh, tøc lµ khi tτ = θF = 0 2.3.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p NRO§ Gåm c¸c b−íc sau: 1. T×m nghiÖm riªng æn ®Þnh θ (x) cña bµi to¸n (θ), øng víi lóc æn ®Þnh, theo ph−¬ng tr×nh θ F = 0 = θxx 2. Thay (v = θ - θ ) vµo bµi to¸n (θ) ®Ó lËp bµi to¸n (v), sÏ ®−îc bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt. 3. T×m nghiÖm v cña bµi to¸n (v) b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn, sau ®ã lËp nghiÖm cña bµi to¸n (θ) ®· cho lµ θ = θ + v 2.3.3. VÝ dô: Bµi to¸n gia nhiÖt v¸ch ph¼ng biªn (W1) 1. Ph¸t biÓu BT: Cho v¸ch ph¼ng cã δ, a, λ, t(x,0) = to = t(δ, τ) vµ 14
  15. t(0, τ) = 2to. T×m t(x, τ) * M« h×nh TH: t ⎧t τ = at xx ⎪ t ( x ,0 ) = t W' ⎪ o 1 (t) ⎨ ⎪t (0, τ) = 2t o 2to ⎪t (δ, τ) = t o ⎩ a,λ ⎧ t − to ⎪θ = t to W1 ⎪ o t(x,τ) ⎪ x x ChuÈn ho¸ b»ng c¸ch ®Æt ⎨X = ⎪ δ O δ ⎪ aτ ⎪F = δ 2 H10. Bµi to¸n (2.3.3) ⎩ bµi to¸n (t) trë thµnh d¹ng chuÈn ho¸ (θ) nh− sau: ⎧θF = θxx ⎪θ(X,0) = 0 ⎪ (θ) ⎨ . Ta sÏ gi¶i bµi to¸n (θ) kh«ng thuÇn nhÊt ⎪ θ(0,F) = 1 ⎪θ(1,F) = 0 (0TN) ⎩ nµy b»ng ph−¬ng ph¸p NRO§ 2. T×m nghiÖm riªng θ cña bµi to¸n æn ®Þnh: ⎧θ = 0 = θxx → θ = c1X + c 2 ⎪ ( θ ) ⎨θ (1) = 0 = c1 + c 2 → θ =1− X ⎪ θ ( 0) = 1 = c ⎩ 2 3. Thay v(X,F) = θ(X,F) - θ (X) = θ(X,F) + X - 1 vµo (θ): bµi to¸n (θ) trë thµnh bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt nh− sau: ⎧v F = θ F = θ xx = v xx − θxx = v xx ⎪ ⎪v( x,0) = θ(X,0) − θ (X) = X − 1 (v) ⎨ ⎪v(1, F) = θ(1, F) − θ (1) = 0 − 0 = 0 ⎪v(0, F) = θ(0, F) − θ (0) = 1 − 1 = 0 (TN ) ⎩ 4. T×m nghiÖm bµi to¸n (v) b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn, t−¬ng tù nh− bµi to¸n 2.2.2: - T¸ch biÕn ph−¬ng tr×nh vF = vxx cã nghiÖm tæng qu¸t lµ: 15
  16. − k 2F v(X,F) = X(X)F(F) = (c1sinkx + c2coskx) e −k 2F - Theo §KB: v(0,F) = 0 → c2 e = 0 → c2 = 0 − k 2F → v(X,F) = c1sinkX e −k 2F Theo v(1,F) = 0 ⇒ c1sink e = 0 → sin k = 0 → k = nπ ∞ → v(X,F) = ∑ c n sin(nπX) e ( nπ ) 2F n =1 ∞ - Theo §K§: v(X,0) = X-1 → X - 1 = ∑ c n sin(nπX) → x =1 1 1 ∞ 1 c −2 ∫ (X − 1) sin(nπX)dX = ∫ sin(nπX) ∑ c n sin(nπX)dX → - = n → cn = → 0 0 n =1 nπ 2 nπ 2 sin(nπX) ( nπ )2 F nghiÖm ph−¬ng tr×nh (v) lµ: v(X,F) = - ∑ e . Do ®ã, π n nghiÖm bµi to¸n (θ) ®· cho lµ: θ(X,F) = θ (X) + σ(X,F) 2 ∞ sin(nπX) θ(X,F) = (1-X) - ∑ exp (-n2π2F) π n =1 n * Ph©n bè nhiÖt ®é θ(X,F) vµ t(x,τ) cã d¹ng: θ t 1 2t o θ = t= 1- 2t o -t x o x/ δ 2 F 2 1 = τ= 0 ∞ 1 to x x O F=0 1 O δ H11. Ph©n bè θ(X,F) H12. Ph©n bè t(x, τ) 2.4. Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè 2.4.1. Ph¹m vi sö dông: Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè thêi gian An(F) ®−îc sö dông khi: - Bµi to¸n (θ) kh«ng tån t¹i nghiÖm riªng æn ®Þnh - hoÆc cã nghiÖm riªng æn ®Þnh θ nh−ng kh«ng t×m ®−îc - Bµi to¸n víi vËt cã nguån nhiÖt trong, hoÆc ®−îc gia nhiÖt b»ng ®iÖn. 16
  17. 2.4.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p BTHS Gåm c¸c b−íc sau: 1. LËp bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt, b»ng c¸ch cho b»ng 0 tÊt c¶ c¸c §KB kh«ng thuÇn nhÊt trong bµi to¸n (θ). 2. T¸ch biÕn v(X,F) = X(X).F(F) vµ t×m X(X) tho¶ m·n c¸c §K biªn thuÇn nhÊt, sÏ ®−îc c¸c nghiÖm riªng d¹ng Xn(X) = cφn(X), trong ®ã φn(X) = f(n,X) lµ hµm sè riªng, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trùc giao: 1 ⎧0 khi m ≠ n ∫ φ n (X)φ m (X)dX = ⎨ 0 ⎩c khi m = n ∞ 3. BiÓu diÔn nghiÖm bµi to¸n (θ) ë d¹ng θ(X,F) = ∑ A n ( F)φ n ( X ) n =1 vµ biÕn thiªn h»ng sè thêi gian An(F), tøc t×m biÓu thøc x¸c ®Þnh An(F) nhê ®iÒu kiÖn trùc giao cña φn(X): 1 ∞ 1 ∫ θ(X, F)φ m (X)dX = ∑ A n (F) ∫ φ n (X)φ m (X)dX = cAn(F) tøc cã quan 0 n =1 0 1 1 hÖ An(F) = ∫ θ( x , F)φ n (X )dX c 0 d 4. LËp hÖ ph−¬ng tr×nh th−êng cña An(F) b»ng c¸ch tÝnh An(F), dF t×m nghiÖm An(F) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu. ∞ 5. ViÕt nghiÖm bµi to¸n (θ) ë d¹ng θ(X,F) = ∑ φ n ( X )A n ( F) n =1 2.4.3. Bµi to¸n tÊm ph¼ng biªn (W2 + W20) 1. Ph¸t biÓu: Cho v¸ch ph¼ng cã t δ, a, λ, t(x,0) = to, tx (δ, τ) = 0 vµ tx (0, t τ) = - o . q = λ to δ δ t (t x = - to ) q=0 T×m t(x, τ) δ tx = 0 t o = t(x,0) a,λ x O δ 17
  18. ⎧t τ = at xx ⎪ t ( x ,0 ) = t ⎪ ⎪ o * M« h×nh TH: (t) ⎨ t ⎪ t x (0, τ) = − o δ ⎪ ⎪t x (δ, τ) = 0 ⎩ t − to x aτ chuÈn ho¸ víi θ = , X = , F = 2 , sÏ cã: to δ δ ⎧θ F = θ xx ⎪θ (1, F ) = 0 (TN ) ⎪ x ⎪ (θ) ⎨θ x (0, F ) = δ t x (0,τ ) = −1 (0TN ) ⎪ to ⎪ ⎪θ ( X ,0) = 0 ⎩ 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 0TN (θ) b»ng ph−¬ng ph¸p BTHS: 1) LËp bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt tõ (θ): ⎧v F = v xx ⎪v (1, F) = 0 ⎪ (v) ⎨ x (TN) ⎪v x (0, F) = 0 ⎪ v ( X ,0 ) = 0 ⎩ 2) T×m nghiÖm riªng bµi to¸n biªn, vx (1,F) = vx(0,F) = 0, b»ng c¸ch t¸ch biÕn v(X,F) = X(x)F(F) cã X(x) = c1 sin kX + c2 cos kX ⎧v x (0, F) = 0 → X x (0) = 0 = c1 → X ( x ) = c 2 cos kX ⎨ ⎩v x (1, F) = 0 → X x (1) = 0 = −kc 2 sin k → k = nπ Do ®ã cã X(X) = cncos (nπX) vµ hµm sè riªng lµ φn(X) = cos(nπX). ∞ ∞ 3) §Ó θ(X,F) = ∑ A n (F)φ n (X) = ∑ A n (F) cos(nπX) lµ nghiÖm bµi to¸n n =1 n =1 (θ) th× h»ng thêi gian An(F) ph¶i x¸c ®Þnh theo ®iÒu kiÖn trùc giao cña hµm riªng φn(X)= cos (nπX), b»ng c¸ch nh©n ph−¬ng tr×nh víi cos(nπX)dX råi tÝch ph©n trong kho¶ng X ∈ [0,1]: 18
  19. ⎧A o (F), khi n = 0 1 1 ⎪ ∫ θ(X, F) cos(nπX )dX = An(F) ∫ cos (nπX )dX = ⎨ 1 2 0 0 ⎪ 2 A n (F), ∀n ≠ 0 ⎩ Do ®ã, An(F) ph¶i x¸c ®Þnh theo θ(X,F) bëi quan hÖ: ⎧A (F) = 1 θ(X, F)dX ⎪ o ∫ 0 (An) ⎨ 1 ⎪A n (F) = 2 ∫ θ(X, F) cos(nπX)dX, ∀n ≠ 0 ⎩ 0 4. LËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng cho An(F) b»ng c¸ch tÝnh d An(F) theo hÖ (An): dF dA o (F) 1 1 - Khi n=0, = ∫ θ F dX = ∫ θ xx dX =θx 10 = θx(1,F) - θx(0,F) = 0 - dF 0 0 (-1) = 1 → Ao(F) = F + c1 1 §iÒu kiÖn ®Çu cho Ao(0) = ∫ θ(X,0)dX = 0 = c1 ⇒ Ao(F) = F 0 dA n (F) 1 1 - khi ∀n ≠ 0, cã: = 2 ∫ θ F cos(nπX)dX = 2 ∫ θ xx cos(nπX)dX , dF 0 0 1 (ph©n ®o¹n tÝch ph©n) = 2 { [θ x cos( nπX )] | + nπ ∫ θ x sin(nπX )dX }= 1 0 0 1 2{1+2π [θ sin(nπX) | - nπ ∫ θ cos(nπX)dX]} 1 0 0 A n (F) = 2{1-n2π2 }→ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cho An(F) lµ: 2 A'n = 2 - n2π2An →A'n +(n2π2)An = 2 cã nghiÖm tæng qu¸t An(F) = 2 1 + c1 e −( nπ )2 F . §iÒu kiÖn ban ®Çu cho An(0) = 2 ∫ θ(X,0) cos(nπX)dX → (nπ) 2 0 2 2 2 2 + c1 = 0 → c1 = - 2 2 , do ®ã: An(F) = 2 2 - 2 2 e −( nπ )2 F (nπ) 2 n π n π n π 5. VËy nghiÖm bµi to¸n (θ) ®· cho lµ: θ(X,F) = Ao(F) + ∞ 2 ∞ cos(nπX) 2 ∞ cos(nπX) ∑ A n (F) cos(nπX) , tøc: θ(X,F) = F + ∑ - 2 ∑ . n =1 π 2 n =1 n2 π n =1 n2 19
  20. ∞ 2 cos(nπX) 1 1 exp(-n2π2F) hay, do tæng ∑ = X2 - X + , cã: n =1 πn2 2 2 3 1 1 2 ∞ cos(nπX) θ(X,F) = F + ( X2 - X + ) - ∑ exp(-n2π2F) 2 3 π n =1 2 n 2 * Ph©n bè θ(X,F) vµ t(x,τ) cã d¹ng: θ t 1 q=0 q=0 3 3 2 2 1 1 x to τ =0 x F=0 O 1 O 1 δ H14. Ph©n bè θ(X,F) H15. Ph©n bè t(x,τ) Tr−êng nhiÖt ®é trong v¸ch t¨ng v« h¹n, cã d¹ng: aτ 2 ∞ cos( nπx / δ) n 2 π2a 1 2δ 1 δ 3 t(x,τ) = to( 2 x2- x+ ) + to[ 2 - 2 4 δ π ∑ n2 n =1 exp (- 2 τ)] δ 2.5. Ph−¬ng ph¸p Fourier cho bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh nhiÒu chiÒu C¸c bµi to¸n nhiÒu chiÒu kh«ng æn ®Þnh cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn lÆp, hoÆc ph−¬ng ph¸p quy vÒ nhiÒu bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh mét chiÒu. 2.5.1. Ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn lÆp 2.5.1.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn lÆp gåm c¸c b−íc: 1. T¸ch riªng biÕn thêi gian t×m hµm thêi gian F(F) 2. LÇn l−ît t¸ch c¸c biÕn to¹ ®é vµ t×m c¸c nghiÖm riªng theo tõng to¹ ®é. 3. X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè theo §K§T vµ biÓu diÔn nghiÖm bµi to¸n ë d¹ng tÝch c¸c nghiÖm thu ®−îc. z 2.5.1.2. VÝ dô: Bµi to¸n trô v« h¹n biªn W1 víi ®iÒu kiÖn ®Çu tæng qu¸t t(ρϕ,0) , = g(ρ,ϕ) * Ph¸t biÓu BT: Cho trô l=∞ cã a, t t 1 (R, ϕ,τ) = t1 vµ §K§ bÊt kú t(ρ,ϕ,0) = t a ϕ R ρ g(ρ,ϕ). T×m tr−êng nhiÖt ®é t(ρ,ϕ,τ). O H16. Bµi to¸n trô tæng qu¸t 20