Xem mẫu

  1. ⎧{T1 (ξ, τ) = T2 (ξ, τ) = Ts = const ⎪ (W5) ⎨ dξ ⎪λ1T1x (ξ, τ) − λ 2T2x (ξ, τ) = lρ ⎩ dτ Trong ®ã T1x(ξ,τ) vµ T2x(ξ,τ) lµ gradient cña tr−êng nhiÖt ®é T1 dξ trong pha r¾n vµ T2 pha láng, cßn lµ tèc ®é di ®éng cña biªn x = ξ, dτ hay tèc ®é chuyÓn pha, ρ lµ khèi l−îng riªng cña pha tr−íc qóa tr×nh chuyÓn pha. 7.1.3. M« h×nh TH bµi to¸n biªn di ®éng Trong tr−êng hîp tæng qu¸t, m« h×nh to¸n häc cña bµi to¸n biªn di ®éng do sù chuyÓn pha sÏ lµ 1 hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n, trong ®ã cã hai ph−¬ng tr×nh vi ph©n cña T1, T2 thuéc 2 pha, c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ kh¸c cña chóng vµ ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 5, nh− c¸c ph−¬ng tr×nh (W5) ë trªn, t¹i biªn tiÕp xóc gi÷a 2 pha. VÝ dô: M« h×nh bµi to¸n 1 chiÒu cã biªn chuyÓn pha nh− h×nh H57 lµ: T1τ (x, τ) = a1T1xx (x, τ), 0 < x < ξ, τ > 0 T2τ (x, τ) = a2T2xx (x, τ), ξ< x < L , τ > 0 T2 (x, 0) = To > Ts (§K ®Çu) (T1, T2) C¸c §K biªn t¹i x = 0, x = L T1 (ξ, τ) = T2 (ξ, τ) = Ts = const dξ λ1T1x(ξ, τ) - λ2T2x(ξ, τ) = lρ2 , (t¹i x = ξ) dτ Gi¶i bµi to¸n biªn di ®éng lµ nh»m x¸c ®Þnh T1(x, τ), T2 (x, τ) vµ dξ tÝnh vËn tèc di chuyÓn cña biªn vµ dÉn ra c¸c ®Æc tÝnh kh¸c cña hÖ dτ 2 pha ®−îc kh¶o s¸t. 7.2. Bµi to¸n biªn ho¸ r¾n 7.2.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n ®ãng b¨ng vïng ®Êt −ít XÐt 1 vïng ®Êt −ít, réng vµ s©u v« cïng, cã ®é Èm W, nhiÖt ®é ®«ng ®Æc Ts, nhiÖt ho¸ láng l, nhiÖt ®é ban ®Çu T2(x, 0)=To= const >Ts. 129
  2. Lóc τ > 0 ®ét nhiªn h¹ nhiÖt ®é mÆt ®Êt xuèng trÞ sè T1 (0, τ) = Tw = const < Ts. Cho biÕt c¸c th«ng sè vËt lý ρ1, C1, λ1 cña ®Êt b¨ng vµ ρ2, C2, λ2 cña ®Êt −ít. T×m tr−êng nhiÖt ®é T1(x,τ) trong ®Êt b¨ng, tr−êng T2 (x, τ) trong ®Êt −ít, vËn tèc di chuyÓn cña mÆt ®ãng b¨ng. TÝnh ®é dµy líp b¨ng sau thêi gian τ, tÝnh thêi gian τ ®Ó cã líp b¨ng dµy L cho tr−íc. (Xem minh häa t¹i h×nh H57) 7.2.2. Ph¸t biÓu m« h×nh: dξ T×m T1(x, τ), T2 (x, τ) vµ cho bëi hÖ ptvp sau: dτ ⎧ ∂T ( x, τ ) ∂ 2T1 ( x, τ ) ⎪ 1 = a1 , ∀ ( 0 < x < ξ, τ > 0 ) (1) ⎪ ∂τ ∂x 2 ⎪ ⎪ ∂T2 ( x, τ ) = a ∂ T2 ( x, τ ) , ∀ ( ξ < x < ∞, τ > 0 ) (2) 2 ⎪ ∂τ 2 ∂x 2 ⎪ ⎪T2 ( x,0 ) = To = const ≥ Ts , ∀ ( ξ < x < ∞, τ = 0 ) (3) ⎪ ( T1,T2 ) ⎨T1 ( 0, τ ) = Tw = const < Ts , ∀ ( x = 0, τ > 0 ) (4) ⎪ ⎪ ∂T2 ( ∞, τ ) = 0, ( x → ∞, τ > 0 ) (5) ⎪ ∂x ⎪T ξ, τ = T ξ, τ = T = const, ∀ x = ξ, τ > 0 (6) ⎪ 1( ) 2( ) s ( ) ⎪ ∂T1 ( ξ, τ ) ∂T ( ξ, τ ) dξ ⎪λ1 − λ2 2 = Wlρ2 , ∀ ( x = ξ, τ > 0 ) (7) ⎪ ∂x ∂x dτ ⎩ 7.2.3. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p Stefan * Theo kÕt qu¶ cña bµi to¸n (4.3) vÒ vËt b¸n v« h¹n, ta sÏ t×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) vµ (2) ë d¹ng sau: ⎛ x ⎞ T1 (x, τ) = A1 + B1 erf ⎜ ⎜2 a τ⎟ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎛ x ⎞ 2 ∞ ( −1) x n 2n+1 T2(x,τ)= A2 + B2 erf ⎜ 2 x −δ ,ë ®©y erf(x) = ∫ e dδ= ∑ ⎜2 a τ⎟ 2 ⎟ π δ=0 π n=0 n!( 2n +1) ⎝ 2 ⎠ 130
  3. lµ hµm sai sè Gauss. C¸c h»ng sè A1B1A2B2 ®−îc x¸c ®Þnh theo c¸c §K ®¬n trÞ nh− sau: * A1 x¸c ®Þnh theo §KB (4): T1 (0, τ) = Tw = A1 A2 t×m theo gi¶ thiÕt cho r»ng T2 (∞, τ) = To T2 (∞, τ) = To = A2 + B2 → A2 = To - B2 VËy nghiÖm riªng cña (1) + (4) vµ (2) + (5) lµ: ⎛ x ⎞ T1 (x, τ) = Tw + B1 erf ⎜ ⎜2 a τ⎟ vµ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎡ ⎛ x ⎞⎤ ⎛ x ⎞ T2 (x, τ) = To − B2 ⎢1 − erf ⎜ ⎟ ⎥ = To − B2erfc ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎣ ⎝ 2 a 2τ ⎠⎥⎦ ⎝ 2 a 2τ ⎠ * B1 vµ B2 sÏ ®−îc x¸c ®Þnh theo §KB (6) nh− sau: T1 (ξ, τ) = T2 (ξ, τ) = Ts cã d¹ng: ⎛ ξ ⎞ ⎛ ξ ⎞ Tw + B1 erf ⎜ = To − B2erfc ⎜ = Ts ⎜2 a τ⎟ ⎟ ⎜2 a τ⎟ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ V× (B1, B2) = const ∀τ nªn c¸c ®¼ng thøc trªn chØ thùc hiÖn ®−îc khi ξ = C τ , víi C lµ 1 h»ng sè nµo ®ã sÏ ®−îc x¸c ®Þnh. Do ®ã, §KB (6) sÏ lµ: ⎛ C ⎞ ⎛ C ⎞ Tw + B1 erf ⎜ = To − B2erfc ⎜ = Ts ⎜2 a ⎟ ⎟ ⎜2 a ⎟ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ Ts − Tw To − Ts Suy ra B1 = vµ B2 = ⎛ C ⎞ ⎛ C ⎞ erf ⎜ ⎟ erfc ⎜ ⎟ ⎜2 a ⎟ ⎜2 a ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠ VËy nghiÖm riªng cña [(1) + (4), (2) + (5)] x (6) lµ: 131
  4. T1 (x, τ) = TW + ( Ts − Tw ) ⎛ x ⎞ erf ⎜ ⎟ ⎛ C ⎞ ⎜ 2 a1τ ⎟ ⎝ ⎠ erf ⎜ ⎜2 a ⎟ ⎟ ⎝ 1⎠ T2 (x, τ) = To − ( To − Ts ) ⎛ x ⎞ erfc ⎜ ⎛ C ⎞ ⎜2 a τ⎟ ⎟ erfc ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎜2 a ⎟ ⎟ ⎝ 2⎠ * C ®−îc x¸c ®Þnh theo §KB lo¹i 5 (7) nh− sau: λ1 ( ∂T1 C τ , τ )-λ ( ∂T2 C τ , τ ) = Wlρ C 2 2 ∂x ∂x 2 τ dξ ë ®©y dτ = d dτ ( C τ = C 2 τ ) lµ vËn tèc di ®éng cña biªn, tøc lµ vËn tèc ®ãng b¨ng. C¸c hµm sai sè Gauss cã d¹ng: 2 ∞ ( −1) x 2n +1 n 2 δ=x −δ ∫δ=0 e dδ = ∑ 2 erf(x) = , π π n =0 n!( 2n + 1) 2n +1 2 ∞ ( −1) x n 2 ∞ −δ 2 erfc(x) = ∫ e dδ = 1 − erf (x) = 1 − ∑ π δ= x π n =1 n!( 2n + 1) 0 §¹o hµm cña chóng lµ: ( ) n d 2 ∞( −1) x n 2n 2 ∞ −x 2 2 −x 2 erf (x) = ∑ = ∑ = e dx π n =0 n! π n =0 n! π d d 2 −x 2 erfC(x) = − erf (x) = − e dx dx π ( ) Do ®ã, §KB (7) lµ λ1T1x C τ , τ - λ2T2x C τ , τ = Wlρ2 ( ) C 2 τ sÏ øng víi ph−¬ng tr×nh sau: 132
  5. ⎛ C2 ⎞ ⎛ C2 ⎞ exp ⎜ − ⎟ exp ⎜ − ⎟ λ1 ( Ts − Tw ) . ⎜ 4a1 ⎟ + λ ( To − Ts ) . ⎜ 4a 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⎛ C ⎞ πa1τ ⎛ C ⎞ πa 2 τ erf ⎜ ⎟ erfc ⎜ ⎟ ⎜2 a ⎟ ⎜2 a ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ C C = Wlρ2 . NÕu ®Æt C = K2 a1 , tøc K = ta cã ph−¬ng 2 τ 2 a1 tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh C nh− sau: ⎛ a ⎞ ( ) + ⎛ λ2 ⎞ ⎛ To − Ts ⎞ exp −K 2 a1 exp ⎜ − 2 K 2 ⎟ ⎝ a1 ⎠ = πlWρ2a1 K. erf ( K ) ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ λ1 ⎠⎝ Ts − Tw ⎠ a 2 ⎛ a ⎞ ( Ts − Tw ) λ1 erfc ⎜ K 2 ⎟ ⎝ a1 ⎠ lWρ2a1 §Æt = K , ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: ( Ts − Tw ) λ1 o y f(K) = ( ) πK o K → Gi¶i b»ng ®å thÞ y=f(K) y= π KoK ta cã K vµ t×m ®−îc C = K2 a1 K. H»ng sè Ko lµ 1 ®¹i l−îng kh«ng thø K nguyªn, ®−îc gäi lµ tiªu chuÈn (hoÆc o K=c/2 a1 sè) Koccivich H58. §Ó x¸c ®Þnh K vµ C. aτ * ChuyÓn vÒ d¹ng kh«ng thø nguyªn b»ng c¸ch ®Æt Fox = 1 , x2 a Fox gäi lµ biÕn Fourier cña to¹ ®é vµ thêi gian, Ka = 2 , ta cã nghiÖm a1 cña bµi to¸n ®· nªu ë d¹ng kh«ng thø nguyªn nh− sau: ⎛ 1 ⎞ erf ⎜ T1 ( x, τ ) − Tw ⎜2 F ⎟ ⎟ θ1 = = ⎝ ox ⎠ = θ1 ( Fox ) Ts − Tw erf ( K ) 133
  6. ⎛ 1 ⎞ erfc ⎜ ⎟ To − T2 ( x, τ ) ⎜2 K F ⎟ ⎝ ⎠ =θ 2 ( Fox ) a ox θ2 = = To − Ts ( erfc K K a ) 7.2.4. TÝnh gÇn ®óng trong kü thuËt: * Do c¸c chuçi cña erf(x) vµ exp(x2) héi tô rÊt nhanh khi n t¨ng, nªn víi ®é chÝnh x¸c cho phÐp cña kü thuËt, cã thÓ chØ cÇn lÊy sè h¹ng ®Çu cña c¸c chuçi nµy (øng víi n = 0) khi tÝnh to¸n, tøc lµ coi: 2n +1 2 ∞ ( −1) x n 2 erf ( x ) = ∑ = & x π n =0 n!( 2n + 1) π 2 erfc ( x ) = 1 − erf ( x ) = 1 − & x π n ⎛ C2 ⎞ ∞ 1 ⎛ C2 ⎞ ⎜ 4a ⎟ n∑0 n! ⎜ 4a ⎟ exp ⎜ − ⎟= ⎜− ⎟ = 1. Khi ®ã cã: & ⎝ ⎠ = ⎝ ⎠ ⎛ C ⎞ 2 C C e rf ⎜ ⎟ = ⎜2 a ⎟ & . = ⎝ 1⎠ π 2 a1 πa1 ⎛ C ⎞ C e rfc ⎜ ⎜2 a ⎟ = 1- ⎟ & ⎝ 2 ⎠ πa 2 Khi ®ã ph−¬ng tr×nh §KB lo¹i 5 ®Ó x¸c ®Þnh C sÏ cã d¹ng: λ1 ( Ts − Tw ) πa1 + λ2 ( To − Ts ) = Wlρ2 C C πa1τ ⎛ C ⎞ 2 τ ⎜1 − ⎜ ⎟ πa 2 τ ⎟ ⎝ πa 2 ⎠ 2λ1 ( Ts − Tw ) 2λ1 ( To − Ts ) ⎛ C ⎞ + ⎜ ⎜ πa − C ⎟ hay C2 = lwρ2 lwρ2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ * XÐt tr−êng hîp To = Ts, tøc lµ khi nhiÖt ®é ban ®Çu cña pha Èm b»ng nhiÖt ®é ®ãng b¨ng. 134
  7. 2λ1 ( Ts − Tw ) Khi To = Ts ta cã: C = lρ2 W 1 NÕu pha Èm (2) lµ n−íc, cã ®é Èm w = 1, th× C = ⎡ 2λ1 ( Ts − Tw ) ⎥ ⎢ ⎤2 ⎣ lρ2 ⎦ - Lóc nµy, tr−êng nhiÖt ®é trong 2 pha cã d¹ng: πa1 ⎛ x ⎞ T1 (x, τ) = Tw + (Ts - Tw) erf ⎜ & ⎜2 a τ⎟ hay C ⎟ ⎝ 1 ⎠ lρ2 W x T1 (x, τ) = Tw + (Ts - Tw) & . → 2λ1 ( Ts − Tw ) τ ⎧ ρ2 lf 2 W x ⎪T1 ( x, τ ) = Tw + ( Ts − Tw ). = & = & ⎨ 2λ1 τ ⎪T x, τ = T = T = const ⎩ 2( ) o s - VËn tèc dÞch chuyÓn biªn, tøc vËn tèc ®ãng b¨ng, lµ: dξ C λ1 ( Ts − Tw ) dξ a = = = f ( τ ) , tæng qu¸t = K 1 , víi dτ 2 τ 2lρ2 W.τ dτ τ C λ1 (Ts − Tw ) K= = . 2 a1 2lρ2 Wa 1 VËy vËn tèc ®ãng b¨ng chØ phô thuéc τ, ®ång biÕn theo λ1, Ts nghÞch biÕn theo Tw, l, ρ2, W vµ τ. VËn tèc ®ãng b¨ng tû lÖ nghÞch víi τ , tøc lµ khi τ t¨ng 4 lÇn th× vËn tèc gi¶m 2 lÇn. Biªn chuyÓn ®éng chËm dÇn víi gia tèc d 2ξ 1 λ1 ( Ts − Tw ) ξ'' = =− , [m/s2] 2lρ2 Wτ3 3 dτ 2 2 NhËn xÐt: Gia tèc cã trÞ ©m, lµm biªn di chuyÓn chËm dÇn. Khi τ lín, cã thÓ coi gia tèc ξ'' = 0. 135
  8. ξ' c ξ' = Lóc nµy biªn di chuyÓn gÇn nh− ®Òu, 2 τ nh−ng rÊt chËm. 7.2.5. TÝnh ®é dµy líp b¨ng t¹i thêi o −c τ ξ" = ®iÓm τ 4 τ3 * Tr−êng hîp tæng qu¸t, ®é dµy líp b¨ng ξ" H59. VËn tèc vµ gia tèc cña mÆt b¨ng x = ξ t¹i thêi ®iÓm τ lµ x = ξ = C τ , víi C = 2 a1K , tøc x = ξ = 2K a1τ , [m] * Tr−êng hîp To = Ts vµ tÝnh gÇn ®óng bËc 1 theo x, cã 2λ1 C= ( Ts − Tw ) nªn ®é dµy líp b¨ng lµ lρ2 W 2λ1 x=ξ= ( Ts − Tw ) τ , [m] lρ2 W * NÕu pha (2) lµ n−íc, cã W = 1, ë ®iÒu kiÖn To = Ts th× 2λ1 x=ξ= ( Ts − Tw ) τ , m lρ2 7.2.6. TÝnh thêi gian ®ãng b¨ng ®Õn ®é dµy ®· cho ξ = L. * Tr−êng hîp tæng qu¸t víi líp b¨ng ph¼ng, réng ∞, thêi gian ®¹t 2 ⎛ 2 ⎛L⎞ L ⎞ L2 tíi ®é dµy ξ = L = C τ lµ τ = ⎜ ⎟ = ⎜ = ⎜2 a K⎟ , [s] ⎝C⎠ ⎟ 2 ⎝ 1 ⎠ 4a1K * Tr−êng hîp To = Ts vµ tÝnh gÇn ®óng bËc 1, cã lρ2 WL2 τ= , [s] 2λ1 ( Ts − Tw ) * Víi n−íc ë To = Ts th× thêi gian ®Ó t¹o líp b¨ng ph¼ng, dµy L lµ (cho W = 1): lρ2 L2 L τ= . = Ko λ1 ( Ts − Tw ) 2 2a1 136
  9. 7.3. Bµi to¸n ®«ng l¹nh c¸c vËt Èm h÷u h¹n 7.3.1. Môc ®Ých chñ yÕu khi tÝnh ®«ng l¹nh c¸c vËt Èm h÷u h¹n lµ tÝnh thêi gian ®Ó nhiÖt ®é cùc ®¹i trong vËt b»ng 1 trÞ sè cho tr−íc. Thêi gian ®«ng l¹nh τ gåm 2 giai ®o¹n: τ = τo + τ1, trong ®ã τo lµ thêi gian ®Ó ho¸ r¾n toµn bé vËt Èm, cã nhiÖt ®é t©m vËt b»ng Ts, cßn τ1 lµ thêi gian ®Ó nhiÖt ®é t©m vËt gi¶m trõ Ts ®Õn nhiÖt ®é Tk cho tr- −íc, theo yªu cÇu cña c«ng nghÖ cÊp ®«ng ViÖc tÝnh τ1 cã thÓ dùa vµo kÕt qu¶ cña bµi to¸n dÉn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh trong vËt r¾n 1 pha. Sau ®©y ta sÏ tÝnh τo theo ph−¬ng ph¸p gÇn ®óng. PhÐp tÝnh gÇn ®óng sÏ dùa trªn c¸c gi¶ thiÕt sau: 7.3.2. C¸c gi¶ thiÕt 1. C¸c vËt Èm h÷u h¹n cã d¹ng ®èi xøng 2. §iÒu kiÖn biªn ngoµi vËt cã tÝnh ®èi xøng, lo¹i 1 3. NhiÖt ®é ban ®Çu trong vËt Èm lµ ®ång nhÊt, vµ b»ng nhiÖt ®é ho¸ r¾n: T2 (M, τ) = Ts 4. Trong líp vËt r¾n t¹o thµnh sau chuyÓn pha, ph©n bè nhiÖt ®é lµ tuyÕn tÝnh ®èi víi biªn di ®éng x = ξ 7.3.3. TÝnh thêi gian lµm ®«ng τo 1. §«ng ®Æc vËt Èm ph¼ng, réng T 2L, cã To = Ts, cã λ1, l, ρ2 hai biªn ngoµi cã Tw = const < To ®èi xøng. T Ts 0 Bµi to¸n nµy cã m« h×nh gièng m« TW TW h×nh bµi to¸n ë trªn. §iÒu kiÖn biªn lo¹i 5 trªn biªn -L o ξ L x di ®éng x = ξ lµ: dξ λ1T1x(ξ,τ)-λ2T2x(ξ,τ)=lρ2 W dτ H60. Lµm ®«ng vËt ph¼ng do T2(x, τ) = Ts = const nªn T2x(ξ, τ) = 0 137
  10. Do T1(x, τ) tuyÕn tÝnh víi x = ξ t¹i ∀τ nªn T − Tw T1x(ξ, τ) = s ξ VËy ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt trªn biªn W5 cã d¹ng: T − Tw dξ λ ( T − Tw ) λ1 s = lρ2 W hay ξdξ = 1 s dτ ξ dτ lρ2 W Thêi gian lµm ®«ng τo øng víi khi ξ = L nªn cã: L τ λ1 ( Ts − Tw ) L2 λ1 ( Ts − Tw ) ∫o ξdξ = ∫o o dτ → = τo lρ2 W 2 lρ2 W lρ2 W L2 L2 lρ2 Wa1 VËy τo = . = Ko , víi Ko = λ1 ( Ts − Tw ) 2 2a1 λ1 ( Ts − Tw ) 2. §«ng ®Æc vËt Èm h×nh trô gi¶i t−¬ng tù nh− trªn, ta ®−îc t 2 2 lρ2 W R R τo = . = Ko λ1 ( Ts − Tw ) 4 4a1 T s 3. Bµi to¸n lµm ®«ng vËt Èm TW h×nh cÇu cho kÕt qu¶ o r ξ R 2 2 lϕ2 W R R τo = . = Ko H61. Lµm ®«ng vËt trô λ1 ( Ts − Tw ) 6 6a1 C¸c c«ng thøc trªn khi tÝnh cho khèi chÊt láng hoµn toµn th× o Ts TW lÊy W = 1 ξ R r 7.3.4. So s¸nh thêi gian τo: H62. Lµm ®«ng vËt cÇu - NÕu c¸c vËt ph¼ng, trô, cÇu cã cïng ®é dÇy tøc R = L th× ta cã: τof = 2τot = 3τoc Víi vËt Èm h×nh d¹ng bÊt kú, thêi gian ®ãng b¨ng τo tû lÖ thuËn víi b×nh ph−¬ng ®é dÇy cña vËt. §é dÇy cña vËt ®−îc hiÓu lµ kho¶ng c¸ch trung b×nh gi÷a hai mÆt ®−îc lµm l¹nh cña vËt. Do ®ã, ®Ó gi¶m 138
  11. thêi gian thêi gian ®«ng kÕt, nªn gi¶m ®é dÇy cu¶ vËt Èm. 7.4. Bµi to¸n ®«ng kÕt vËt ®óc 7.4.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n Khi tÝnh ®«ng kÕt vËt ®óc, th−êng coi vïng kim lo¹i láng cã nhiÖt ®é ph©n bè ®Òu, b»ng nhiÖt ®é nãng ch¶y ts. Khi ®ã chØ cÇn t×m ®é dµy líp kim lo¹i ®«ng kÕt ξ = ξ(τ) vµ tèc ®é biªn ξ, tøc tèc ®é ngng kÕt dξ = f(τ) trªn c¬ së gi¶ thiÕt nh− ë môc (7.2.3), tøc lµ coi tr−êng dτ nhiÖt ®é trong líp ®· ho¸ r¾n lµ tuyÕn tÝnh víi x = ξ. Khi ®ã bµi to¸n lµ: t ⎧ ∂t ∂t ' dξ ρ cλ qs(τ) ,,, λ ⎪ ∂x −λ ' = ϕ 'l ρ' ρc λ ' x =ξ ∂x x =ξ dτ ts ⎪ ⎪ξ ( τ = 0 ) = 0 ⎪ ⎨ tw dξ ⎪ t ' ( x > ξ, τ ) = t s = const o dτ x ⎪ ∂t t −t x =ξ ⎪ = s w ⎪ ∂x x =ξ ⎩ ξ H63. BT ®«ng kÕt vËt ®óc 7.4.2. TÝnh ξ(τ) vµ tèc ®é ®«ng kÕt ∂t ' Do t' = const nªn = 0. Ta cã ph−¬ng tr×nh: ∂x ts − tw dξ λ λ ξ = ρ 'l hay ξdξ = ( t s − t w ) dτ dτ ρ 'l 1 2 λ TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh cã ξ = ( ts − t w ) τ + C 2 ρ 'l 2λ Theo ξ (τ = 0) = 0 = C. VËy: ξ = ( ts − t w ) τ, [ m] ρ 'l dξ λ ( ts − t w ) Tèc ®é ®«ng kÕt lµ ξ' = = , [m/s] dτ 2ρ ' τ 139
  12. NÕu vËt ®óc dµy 2L, 2 biªn lo¹i 1 ®èi xøng th× thêi gian ®«ng kÕt lµ: ρ 'l L2 L2 τ= . = K o , [s] λ ( ts − t w ) 2 2a 7.5. TÝnh truyÒn nhiÖt khi nãng ch¶y líp b¶o vÖ vá phi thuyÒn cã vËn tèc lín 7.5.1. VÊn ®Ò b¶o vÖ nhiÖt cho vá phi thuyÒn Khi bay vµo khÝ quyÓn víi vËn tèc lín, do ma s¸t víi kh«ng khÝ, vá phi thuyÒn sÏ nhËn 1 l−îng nhiÖt rÊt lín. Ts qo TK TO v ρ c λ lTS δ H64. Líp b¶o vÖ vá tµu b»ng vËt liÖu nãng ch¶y 1 L−îng nhiÖt nµy tû lÖ víi lùc c¶n cña kh«ng khÝ F = Kρk v 2S vµ 2 vËn tèc v cña tµu, vµ b»ng: 1 Qo = Kρk v3S , [W] hay 2 Qo 1 qo = = Kρk v3 , [W/m2] S 2 L−îng nhiÖt nhËn vµo cã thÓ lµm nhiÖt ®é vá tµu t¨ng rÊt cao, g©y nguy h¹i cho c¶ con tµu. Do ®ã, ng−¬× ta ph¶i t×m c¸ch gi¶i tho¸t l−îng nhiÖt nµy, b¶o ®¶m cho nhiÖt ®é thµnh tµu kh«ng v−ît qu¸ 1 gi¸ trÞ an toµn Tk nµo ®ã. Gi¶i ph¸p hiÖn nay lµ bäc vá tµu b»ng 1 líp vËt liÖu cã nhiÖt ®é nãng ch¶y Ts kh«ng lín h¬n Tk nãi trªn, Ts < Tk . NhiÖt ma s¸t lµm nãng ch¶y líp vá nµy råi tho¸t ra khÝ quyÓn. ViÖc thiÕt kÕ líp b¶o vÖ nhiÖt bao gåm viÖc chän vËt liÖu thÝch hîp, x¸c ®Þnh tr−êng nhiÖt ®é trong líp nhËn nhiÖt nãng ch¶y, tÝnh vËn 140
  13. tèc nãng ch¶y vµ x¸c ®Þnh ®é dµy ®ñ an toµn cho chuyÕn bay. Sau mçi chuyÕn bay, líp b¶o vÖ sÏ bÞ nãng ch¶y råi tho¸t c¶ nhiÖt lÉn chÊt vµo khÝ quyÓn, vµ ng−êi ta sÏ bäc l¹i cho lÇn bay tiÕp theo. 7.5.2. Ph¸t biÓu bµi to¸n líp nãng ch¶y T×m tr−êng nhiÖt ®é T(y, τ) trong líp vËt liÖu cã c¸c th«ng sè vËt lý (ρ, C, λ, l, Ts) cho tr−íc, cã biªn nãng ch¶y cho bëi hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n sau: ⎧ ∂T T 2 ⎪ =a∂ T TK ⎪ ∂τ ∂y 2 Wτ ρ cλ ,l W = dξ ⎪ Ts d ⎪T ( y, τ = 0 ) = T ( ξ → ∞, τ ) = To qO τ ⎪ TO ⎪ ∂T (T) ⎨ =0 y ⎪ ∂ξ ξ→∞ O ξ = y - Wτ δ ⎪ ⎪T ( ξ = 0, τ ) = Ts H65. Bµi to¸n biªn nãng ch¶y ⎪ ∂ξ ∂T (W5) ⎪q o = ρl −λ ⎪ ∂τ ξ=0 ∂ξ ξ=0 ⎩ 7.5.3. X¸c ®Þnh tr−êng nhiÖt ®é trong líp nãng ch¶y dξ Gäi vËn tèc di ®éng biªn nãng ch¶y ξ lµ W = . ChuyÓn bµi to¸n dτ (T) sang hÖ to¹ ®é ®éng (ξ, τ) b»ng c¸ch ®æi biÕn ξ = y - Wτ. Khi ®ã ∂T ∂T ∂ξ ∂T ∂ 2T ∂ 2T = . = −W vµ = nªn ph−¬ng tr×nh vi ∂τ ∂ξ ∂τ ∂ξ ∂y 2 ∂ξ 2 ∂T ∂ 2T W ph©n Tτ = aTyy cã d¹ng: − W =a hay Tξξ + Tξ = 0 → ∂ξ ∂ξ 2 a ⎛ W ⎞ NghiÖm tæng qu¸t lµ T(ξ) = A exp ⎜ − ξ ⎟ + B, víi c¸c h»ng sè A, ⎝ a ⎠ B t×m theo §KB: T(ξ = 0) = Ts = A + B B = To → T(ξ → ∞) = To = B A = Ts - To 141
  14. VËy tr−êng T cã d¹ng: ⎛ W ⎞ T(ξ) = (Ts - To) exp ⎜ − ξ ⎟ + To ⎝ a ⎠ Hay ë d¹ng kh«ng thø nguyªn T − To ⎛ W ⎞ θ ( ξ) = = exp ⎜ − ξ ⎟ Ts − To ⎝ a ⎠ 7.5.4. X¸c ®Þnh vËn tèc nãng ch¶y dξ VËn tèc nãng ch¶y W = ®−îc x¸c ®Þnh theo §KB (W5) dτ ∂T W λ qo = ρlW − λ = ρlw + λ(Ts - To) hay, do a = nªn: ∂ξ ξ=0 a ρc qo = ρlw + Cρw(Ts - To) = wρ [l + C(Ts - To)] VËy vËn tèc nãng ch¶y b»ng dξ qo W= = , [m/s] dτ ρ ⎡ l + C ( Ts − To ) ⎤ ⎣ ⎦ Tr−êng nhiÖt ®é trong líp vá b¶o vÖ cho bëi: ⎧ ⎧ ⎪ − q o Cξ ⎫ ⎪ ⎪T ( ξ ) = ( Ts − To ) exp ⎨ ⎬ + To víi λ ⎡l + C ( Ts − To ) ⎤ ⎪ ( T ( y, τ ) ) ⎪ ⎨ ⎪ ⎣ ⎩ ⎦⎭ ⎪ ξ= y− qo τ ⎪ , hoÆc cô thÓ h¬n, lµ: ⎩ ρ ⎡l + C ( Ts − To ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎧ ⎪ −q o C ⎡ qo τ ⎤⎫⎪ T ( y, τ ) = ( Ts − To ) exp ⎨ ⎢ y− ⎥ ⎬ + To ⎩ λ ⎡l + C ( Ts − To ) ⎤ ⎢ ⎪ ⎣ ⎦⎣ ρ ⎡ l + C ( Ts − To ) ⎤ ⎥ ⎭ ⎣ ⎦ ⎦⎪ 7.5.5. TÝnh l−îng nhiÖt dÉn vµo vá tµu Môc ®Ých cña líp b¶o vÖ lµ khö bá phÇn lín nhiÖt l−îng sinh ra do ma s¸t. PhÇn nhiÖt cßn l¹i sÏ dÉn vµo trong, lµm t¨ng néi n¨ng cña líp b¶o vÖ cßn l¹i vµ dÉn tiÕp vµo thµnh tµu, phÇn nhiÖt nµy b»ng: 142
  15. ∂T qv = −λ = ρCW (To - Ts) hay ∂ξ ξ=0 q o C ( Ts − To ) qv C ( Ts − To ) qv = ,→ = l + C ( Ts − To ) q o l + C ( Ts − To ) C«ng thøc trªn cho thÊy nÕu chän vËt liÖu cã nhiÖt nãng ch¶y lín, l ↑, th× dßng nhiÖt thõa qv sÏ nhá. 7.5.6. X¸c ®Þnh chiÒu dµy an toµn cña líp c¸ch nhiÖt nãng ch¶y Gäi thêi gian con tµu cÇn bay trong khÝ quyÓn lµ τ. §Ó chuyÕn bay an toµn, chiÒu dµy δ líp c¸ch nhiÖt nãng ch¶y ph¶i ®−îc chän sao cho δ > Wτ, hay δ = kWτ víi k > 1 lµ hÖ sè dù phßng chän tr−íc. qo τ δ=k ρ ⎡ l + C ( Ts − To ) ⎤ ⎣ ⎦ NÕu liªn hÖ víi biÓu thøc cña qo, ta cã: Kρk v3τ δ=k , [ m] 2ρ ⎡ l + C ( Ts − To ) ⎤ ⎣ ⎦ Tãm l¹i, khi thiÕt kÕ líp an toµn nhiÖt cho vá tµu, ph¶i chän vËt liÖu cã nhiÖt ®é nãng ch¶y Ts ≤ Tk, cã nhiÖt nãng ch¶y l lín, vµ ®é dµy δ tho¶ m·n c«ng thøc nªu trªn. 143
  16. Môc lôc Trang Ch−¬ng 1: M« h×nh bµi to¸n dÉn nhiÖt ........................3 1.1. §Þnh luËt Fourier ..............................................................................3 1.1.1. ThiÕt lËp ....................................................................................3 1.1.2. Ph¸t biÓu ...................................................................................4 1.1.3. HÖ sè dÉn nhiÖt .........................................................................4 1.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt...........................................................4 1.2.1. §Þnh nghÜa .................................................................................4 1.2.2. ThiÕt lËp .....................................................................................4 1.2.3. C¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt.........5 1.3. C¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ (§K§T) ................................................................6 1.3.1. §Þnh nghÜa .................................................................................6 1.3.2. Ph©n lo¹i c¸c §T§T..................................................................6 1.3.3. C¸c lo¹i ®iÒu kiÖn biªn (§KB) .................................................6 1.3.4. ý nghÜa h×nh häc cña c¸c lo¹i §KB .........................................7 1.4. M« h×nh mét bµi to¸n dÉn nhiÖt...........................................................8 Ch−¬ng 2: c¸c Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch .........................10 2.1. phÐp chuÈn ho¸ vµ ®Þnh lý hîp nghiÖm...............................................10 2.1.1. Néi dung c¬ b¶n cña c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch ..................10 2.1.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt vµ kh«ng TN ...................10 2.1.3. Nguyªn lý hîp nghiÖm ............................................................10 2.1.4. PhÐp chuÈn ho¸ .......................................................................11 2.2. ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn fourier .........................................................12 2.2.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn Fourier ............................12 2.2.2. C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n thuÇn nhÊt .........................................12 144
  17. 2.2.3. VÝ dô: Bµi to¸n lµm nguéi tÊm ph¼ng biªn (W2+W3)...........12 2.3. Ph−¬ng ph¸p nghiÖm riªng æn ®Þnh ...................................................14 2.3.1. Ph¹m vi sö dông ph−¬ng ph¸p NRO§ .................................14 2.3.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p NRO§ ..............................................14 2.3.3. VÝ dô: Bµi to¸n gia nhiÖt v¸ch ph¼ng biªn (W1) ..................14 2.4. Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè........................................................16 2.4.1. Ph¹m vi sö dông ......................................................................16 2.4.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p BTHS................................................17 2.4.3. Bµi to¸n tÊm ph¼ng biªn (W2 + W20) .....................................17 2.5. Ph−¬ng ph¸p Fourier cho bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh nhiÒu chiÒu .............20 2.5.1. Ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn lÆp.....................................................20 2.5.2. Ph−¬ng ph¸p quy vÒ c¸c bµi to¸n 1 chiÒu .............................23 2.5.3. §Þnh lý giao nghiÖm ................................................................25 Ch−¬ng 3: ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc vµ c¸c bµi to¸n dao ®éng nhiÖt .............26 3.1. Bµi to¸n dao ®éng nhiÖt ...................................................................26 3.1.1. Kh¸i niÖm dao ®éng nhiÖt ......................................................26 3.1.2. M« h×nh mét bµi to¸n dao ®éng nhiÖt ...................................26 3.2. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc hay tæ hîp phøc (Complex Combination) ....27 3.2.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc (TTP)..........................27 3.2.2. C¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc..............................27 3.3. Bµi to¸n dao ®éng nhiÖt trong vËt b¸n v« h¹n ...................................28 3.3.1. Ph¸t biÓu vµ m« h×nh (Nh− môc 3.1.2)...................................28 3.3.2. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p THP .................................................28 3.3.3. Kh¶o s¸t sãng nhiÖt.................................................................29 3.4. Dao ®éng nhiÖt kh«ng æn ®Þnh trong v¸ch máng ................................31 3.4.1. §Æt vÊn ®Ò ................................................................................31 145
  18. 3.4.2. Ph¸t biÓu bµi to¸n ...................................................................32 3.4.3. Ph©n tÝch bµi to¸n (θ)..............................................................33 3.4.4. NghiÖm riªng æn ®Þnh .............................................................35 3.4.5. NghiÖm riªng kh«ng æn ®Þnh..................................................35 3.4.6. NghiÖm riªng dao ®éng...........................................................37 3.4.7. KÕt luËn....................................................................................39 Ch−¬ng 4: ph−¬ng ph¸p to¸n tö laplace.................41 4.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p to¸n tö Laplace ..............................................41 4.1.1. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö ..............................................................41 4.1.2. PhÐp biÕn ®æi Laplace thuËn..................................................41 4.1.3. PhÐp biÕn ®æi Laplace ng−îc..................................................42 4.1.4. C¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p Laplace gi¶i mét hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n .........................................43 4.2. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö cho bµi to¸n v¸ch ph¼ng biªn W1.......................43 4.3. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö t×m (x,f) trong vËt b¸n v« h¹n ...........................45 4.3.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n ...................................................................45 4.3.2. M« h×nh BT..............................................................................45 4.3.3. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p to¸n tö .............................................45 Ch−¬ng 5: ph−¬ng ph¸p SAI PH¢N H÷U H¹N ................47 5.1. Néi dung vµ c¸c b−íc ¸p dông ph−¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n .............47 5.1.1. Néi dung FDM.........................................................................47 5.1.2. C¸c b−íc ¸p dông FDM..........................................................47 5.1.3. Ph¹m vi sö dông FDM ............................................................48 5.2. D¹ng sai ph©n cña c¸c ®¹o hµm theo to¹ ®é.......................................48 5.2.1. PhÐp sai ph©n to¸n häc ...........................................................48 5.2.2. PhÐp sai ph©n vËt lý ................................................................50 5.3. C¸c ph−¬ng ph¸p xÊp xØ ®¹o hµm theo thêi gian .................................51 146
  19. 5.3.1. Ph−¬ng ph¸p Euler ................................................................51 5.3.2. Ph−¬ng ph¸p Èn (Implicit) .....................................................51 5.3.3. Ph−¬ng ph¸p Crank-Nicolson................................................52 5.3.4. Ph−¬ng ph¸p tæng qu¸t ..........................................................52 5.4. C¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh .....................53 5.5. FDM cho bµi to¸n KO§ mét chiÒu tæng qu¸t .........................................54 5.6. FDM gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh 2 chiÒu tæng qu¸t ............................57 5.6.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n ..................................................................57 5.6.2. M« h×nh TH ............................................................................58 5.6.3. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n ...........................58 5.7. FDM gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh 3 chiÒu t(x,y,z,τ) ...............................62 5.7.1. Trong täa ®é vu«ng gãc xyz ...................................................62 5.7.2. Ph−¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n trong to¹ ®é trô (r,ϕ,z)......63 5.8. FDM cho bµi to¸n biªn phi tuyÕn ........................................................66 5.8.1. §iÒu kiÖn biªn phi tuyÕn tÝnh .................................................66 5.8.2. Bµi to¸n biªn phi tuyÕn ..........................................................66 5.8.3. Bµi to¸n truyÒn nhiÖt qua v¸ch phi tuyÕn.............................69 Ch−¬ng 6: ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n, finite element method (FEM) ....................71 6.1. Néi dung vµ c¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p ph©n tö h÷u h¹n .....................71 6.1.1. Néi dung FEM .........................................................................71 6.1.2. C¸c b−íc ¸p dông FEM ..........................................................71 6.1.3. Ph¹m vi øng dông FEM .........................................................73 6.2. Cùc tiÓu cña hµm nhiÒu biÕn vµ phÐp xÊp xØ tÝch ph©n .........................73 6.2.1. §iÒu kiÖn cùc tiÓu hµm sè u = u(x1, x2,...,xn) ..........................73 6.2.2. PhÐp xÊp xØ tÝch ph©n .............................................................74 6.3. Lý thuyÕt biÕn ph©n (variation Theory) ..............................................75 147
  20. 6.3.1. PhiÕm hµm ...............................................................................75 6.3.2. Néi dung cña lý thuyÕt biÕn ph©n ..........................................76 6.3.3. BiÕn ph©n cña phiÕm hµm ......................................................77 6.3.4. §Þnh lý Euler -Lagrange ........................................................78 6.4. VÝ dô minh ho¹ c¸c b−íc ¸p dông FEM ................................................85 6.4.1. Bµi to¸n biªn c« lËp................................................................85 6.4.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n: ( Variational Statement).....................85 6.4.3.Ph¸t biÓu phÇn tö h÷u h¹n (Finite Element Formulation)...86 6.5. Bµi to¸n biªn T§N W2 + W3..................................................................95 6.5.1. Ph¸t biÓu vµ m« h×nh ..............................................................95 6.5.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n ................................................................95 6.5.3. Ph¸t biÓu FEM ........................................................................96 6.5.4. Ph¸t biÓu sai ph©n (theo Euler) .............................................97 6.6. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh 2 chiÒu t(x, y, τ ) víi biªn c« lËp...................................99 6.6.1. Ph¸t biÓu m« h×nh ...................................................................99 6.6.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n ................................................................99 6.6.3. Ph¸t biÓu theo phÇn tö h÷u h¹n...........................................100 6.6.4. Ph¸t biÓu sai ph©n.................................................................106 6.6.5. VÝ dô ¸p dông cô thÓ .............................................................106 6.7. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i bµi to¸n τ kh«ng æn ®Þnh t (x,y, ) tæng qu¸t .......................................................107 6.7.1. Ph¸t biÓu m« h×nh .................................................................107 6.7.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n ..............................................................108 6.7.3. Ph¸t biÓu phÇn tö h÷u h¹n ...................................................109 6.7.4. TÝnh ®¹o hµm theo [t] cña Iλ vµ IC .....................................109 6.7.5. TÝnh dIg/d[t] ...........................................................................109 148