Xem mẫu
- nhiÖt sÏ kÕt hîp c¶ 3 ®iÒu kiÖn biªn
dtije
3. ¸p dông c¸c ph−¬ng ph¸p xÊp xØ , sÏ ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh
dτ
®¹i sè cña tije, k+1, víi n Èn sè.
Z
α
α
α
Zl+1
∆z
Zl
∆z ∆ϕ
ϕ j+1
Zl-1 ϕ j+1
ϕj q ∆r r
o
ri ri ri+1 R
H31. Sai ph©n bµi to¸n trô t(π,ϕ,z,τ)
Dïng xÊp xØ Euler: tijek+1 = tijek + dtije ⎢k∆τ,
dτ
∆ ∆ a∆τ
®Æt = δi, = δ, ∆ϕ = γ vµ F = , ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè:
ri R ∆2
⎧ δi δi 2 1 δ2
tijek+1 = F ⎨(1 − ) ti-1je+ ( ) tij-1e+tije-1+( -4-2 2 )tije
⎩ 2 γ F γ
+ tije+1+( δi ) tij+1e+ (1+ δi )ti+1je ⎫
⎬ ∀(ije)∈ V
γ 2 ⎭k
⎧
⎪ δ2 1 2
(t) tijek+1 = F⎪ 2−δ
⎨ δi tR-ije+ δ tRj-1e+tRje-1+[ F
−4−
δ .
⎪1 − γ 2 (1 − ) (1 − )
⎪
⎩ 4
4 4
( δ2 - δ δ2
tRj+1e ⎫ + 2BF tf,
2
-B)]tRje+tRje+1+
δ ⎬ ∀(ije)∈ W3
γ 4 γ 2 (1 − ) ⎭k (1 − δ )
4 4
vµ c¸c ph−¬ng tr×nh cã nót trªn biªn, c¹nh, gãc, kh¸c.
D¹ng ma trËn:[t]k+1 = F{A[t]+[tw1]+[ 2∆ q]+[2Btf]+[ ∆ qv]}k nh− trªn
2
a λ
víi A lµ ma trËn hÖ (nxn), c¸c ma trËn kh¸c lµ ma trËn cét (nx1).
65
- 5.8. FDM cho bµi to¸n biªn phi tuyÕn:
5.8.1. §iÒu kiÖn biªn phi tuyÕn tÝnh:
- §Þnh nghÜa:
1. Ph−¬ng tr×nh F(Tn, Txm ) = 0 cã n ≠ 1 hoÆc m ≠ 1 gäi lµ ph−¬ng
tr×nh phi tuyÕn tÝnh
2. §iÒu kiÖn biªn ®−îc m« t¶ bëi mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n phi
tuyÕn gäi lµ ®iÒu kiÖn biªn phi tuyÕn
- VÝ dô: ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 3, khi mÆt v¸ch tiÕp xóc chÊt khÝ hoÆc
ch©n kh«ng, trao ®æi nhiÖt víi m«i tr−êng chñ yÕu b»ng bøc x¹, x¸c
®Þnh nhê ®Þnh luËt Stefan-Boltzmann, th× ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt
trªn biªn cã d¹ng:
-λTx (W,τ) = εwσ0[T4(W,τ)- Tf ]
4
§ã lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n (hay ®iÒu kiÖn biªn) phi tuyÕn
tÝnh. NÕu W tiÕp xóc m«i tr−êng ch©n kh«ng v« h¹n ngoµi vò trô th×
coi Tf = 3.K hoÆc gÇn ®óng, coi Tf = O.K
Ch¼ng h¹n, tr−êng hîp mÆt W cã nhiÖt ®é TW lín, trao ®æi nhiÖt
phøc t¹p víi kh«ng khÝ hoÆc ch©n kh«ng, hay v¸ch T§N phøc t¹p víi
s¶n phÈm ch¸y cã Tf lín, lµ c¸c bµi to¸n biªn phi tuyÕn
5.8.2. Bµi to¸n biªn phi tuyÕn
1. Ph¸t biÓu bµi to¸n: Cho v¸ch ph¼ng réng ∞, dµy δ = L cã (a, λ)
kh«ng ®æi (hoÆc phô thuéc (M,τ)), nhiÖt ®é ban ®Çu T(x,0) = Ti[K],
mÆt x = δ ®−îc c¸ch nhiÖt , mÆt x = 0 tiÕp xóc ch©n kh«ng cã nhiÖt ®é
Tf vµ T§N bøc x¹ ra m«i tr−êng nµy. T×m ph©n bè t(x,τ) khi τ > 0.
2. M« h×nh to¸n häc cña bµi to¸n lµ:
66
- Tτ = aTxx t
T(x,0) = Ti δT = 0
(t) Tf δx
− εσ 0 4 s a
λ
Tx(0,τ)= [ Tf -T4(0,τ)] q = ε∂(Tf4 - T o ) 0
λ
4
1 2 3 4
S
Tx(0,τ) = 0
x
NhËn xÐt: bµi to¸n nµy cã cïng O L
mét m« h×nh TH víi bµi to¸n biªn H32. Bµi to¸n biªn phi tuyÕn
thuÇn nhÊt, khi v¸ch dµy 2δ vµ T§N
bøc x¹ víi hai m«i tr−êng khÝ ®ång chÊt, cã cïng nhiÖt ®é Tf.
3. Gi¶i b»ng FDM.
L L
1. Chia chia chiÒu dµy δ = L ra c¸c kho¶ng ∆x = , vÝ dô ∆x =
n 4
t¹o ra 5 phÇn tö cã 5 nót lµ i, (i = 0÷4)
2. Sai ph©n theo x: ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt lµ:
- Trªn biªn bøc x¹ xi = 0:
ρcS ∆x dTo
= εσ0( Tf4 - T04 )S - λ
(T0-T1)S →
2 2dτ ∆x
dTo
= 2εσ 0 ( Tf4 - T04 ) - 2λ2 (T0-T1)
2dτ ρc∆x ρc∆ x
T
NÕu chuÈn ho¸ b»ng c¸ch ®Æt θ=
Ti
x ∆x
X= → ∆X =
L L
λτ aτ
F= = 2
cρL2 L
∂T ∂T ∂θ ∂F Ti a ∂θ
Th× do = . . = . nªn:
∂τ ∂θ ∂F ∂τ L2 ∂F
dθ0 L2 dT0 2εσ0 L2 2λL2 (T0 − T4 )
= . = (Tf − T0 ) −
4 4
hay
dF aTi dτ λ T a (L∆x ) λ
(L∆x ) 2 aTi
i
a a
67
- dθ 0 1 ⎡ εσ 0 .LTi3 ⎤ εσ 0 .LTi3 4
∆Xθ 0 )θ0+2θ1 ⎥ +2
3
.θ f
dF (∆X) 2 ⎢
= -2(1+
⎣ λ ⎦ λ∆X
εσ 0 .LTi3
NÕu ®Æt R= lµ ®¹i l−îng kh«ng thø nguyªn, ta cã:
λ
1 2R
θ0F= 2 [-2(1+R∆X. θ 0 )θ0+2θ1]+
3
θ f4 , ∈ W6
( ∆X ) ∆X
1
θiF= [θ - 2θ1+θ2]
(∆X) 2 0
(θF) θ2F= 1
[θ - 2θ2+θ3] ∈V
( ∆X ) 2 1
1
θ3F= [θ - 2θ3+θ4]
( ∆X ) 2 2
1
θ4F= [2θ3- 2θ4] ∈W20
( ∆X ) 2
∆F
3. XÊp xØ Euler θk+1= θk+θFk∆F, ®Æt = p ta cã hÖ ph−¬ng
( ∆X ) 2
tr×nh ®¹i sè, viÕt ë d¹ng ma trËn nh− sau:
θ0,k+1= [1-2p(1+R∆X θ 3 ]θ0,k+2pθ1,k+2pR∆X θ f4
0
(θi) θi,k+1= pθi-1k+(1-2p)θik+pθ1+1,k víi i = 1,2,3
θ4,k+1= 2pθ3,k+(1-2p)θ4,k
( Víi biªn c¸ch nhiÖt θX = 0, do ®èi xøng, coi θi-1 = θi+1)
4. ChuyÓn hÖ (θi) sang d¹ng ma trËn, cã:
θ0 [1-2p(1+R∆X θ 3 ]
0
2p θ0 2pR∆X θ f4
θ1 p (1-2p) p θ1 0
θ2 = p (1-2p) p θ2 + 0
θ3 p (1-2p) p θ3 0
θ4 k+1 2p (1-2p) k θ4 k
0
Thay ®iÒu kiÖn ®Çu lóc τ = 0 (tøc F = 0) theo θ(X,0) = 1 vµo
68
- [θ]k=0 tÝnh phÇn tö bøc x¹ cña ma trËn [1-2p(1+R∆X θ3 k ] theo θ0,0 = 1,
0
ta tÝnh ®−îc [θ]k=1. LÆp l¹i chu tr×nh nµy, tÝnh ®−îc [θ]k=2, ...v. v
5.8.3. Bµi to¸n truyÒn nhiÖt qua v¸ch phi tuyÕn:
NÕu thay §KB t¹i x = L cña bµi to¸n t¹i H.32 bëi ®iÒu kiÖn biªn
lo¹i 3, ta cã bµi to¸n sau:
Tτ = aTxx t
T(x,0) = Ti
Tf1
(t)
− εσ 0 4 4 s a
λ
Tx(0,τ) = [ Tf 1 -T (0,τ)] q = ε∂(Tf1- T o ) 0
4 4
λ 1 2 3 4 α
Tf2
α
Tx(L,τ) = [T(L,τ)-Tf2] x
−λ
O δ
Bµi to¸n nµy ®−îc gi¶i t−¬ng
tù nh− trªn, chØ kh¸c ph−¬ng
H33. Bµi to¸n truyÒn nhiÖt KOD
tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho nót
phi tuyÕn tÝnh
biªn W2 lµ:
∆x λ α∆x αL
pc T4τ = (T3-T4)-α[T4-Tf2] hay víi B = = ∆X →
2 ∆x λ λ
1 2B
θF= [2T3-2(1-B)T4]+ T
( ∆X ) 2 (∆X ) 2 f2
XÊp xØ Euler dÉn tíi ph−¬ng tr×nh:
θ4k+1= 2pθ3+[1-2(1-B)]θ4+2pBθf2
Do ®ã, d¹ng ma trËn cña hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè lµ:
θ0 [1-2p(1+R∆X θ 3 ]
0
2p θ0 2pR∆X θ f4
θ1 p (1-2p) p θ1 0
θ2 = p (1-2p) p θ2 + 0
θ3 p (1-2p) p θ3 0
θ4 k+1
2p [1-2p(1-B) k θ4 k k
2B2pθf2
Ph−¬ng tr×nh nµy còng ®−îc gi¶i víi ®iÒn kiÖn ®Çu θ (X,0) = 1
Bµi to¸n nµy cã thÓ ¸p dông ®Ó tÝnh nhiÖt cho v¸ch èng sinh h¬i
69
- cña lß h¬i, khi nã nhËn nhiÖt BX tõ buång löa vµ trao cho n−íc trong
lß.
ViÖc chän ∆τ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn æn ®Þnh lµ :
min{[1-2p(1-B)],[1-2p(1+ R∆ θ 3 ]} > 0
0
tøc lµ: 1-2p(1+ R∆X θ 3 > 0 →
0
∆F
1-2 θ3
2 (1+R∆X 0 ) > 0 tøc ph¶i chän;
( ∆X )
(∆X) 2 Tf 1
∆F < , víi max θ0 =
2[1 + R∆X(max θ 3 )]
0
Ti
∆x
2
NghÜa lµ cÇn chän ∆τ < L2 ∆xεσ 0 3
, [s]
2a (1 + Tf 1 )
λ
Khi gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn, ph¶i th−êng xuyªn tÝnh l¹i sè h¹ng
®Çu [1-2p(1+R∆ θ 3 )]k theo θ0, k sau mçi b−íc.
0
70
- Ch−¬ng 6
ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n
finite element method (FEM)
6.1. Néi dung vµ c¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p ph©n tö h÷u h¹n
6.1.1. Néi dung FEM.
T− t−ëng cña FEM lµ thay bµi to¸n gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n
(t) b»ng mét bµi to¸n biÕn ph©n t−¬ng øng, tøc lµ t×m hµm sè t lµm cùc
tiÓu mét phiÕm hµm I t−¬ng øng bµi to¸n (t).
Bµi to¸n biÕn ph©n ®−îc gi¶i gÇn ®óng nhê phÐp xÊp xØ tÝch ph©n
b»ng c¸ch thay hµm t(x,y,z,τ) bëi mét hÖ M hµm thêi gian tn(τ) t¹i c¸c
nót (®Ønh) cña mét sè h÷u h¹n E phÇn tö t¹o ra vËt cÇn xÐt.
KÕt qu¶ cho biÕt, ®Ó cùc tiÓu biÕn hµm I, hµm t ph¶i t×m cÇn tho¶
m·n hÖ M ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng cÊp 1 nh− sau:
d
C [t] = -(K+H)[t] + (h+q)
dτ
Trong ®ã C, K, H lµ c¸c ma trËn vu«ng (MxM) cña c¸c hÖ sè nhiÖt
dung C, dÉn nhiÖt λ, to¶ nhiÖt α, cßn h, q lµ c¸c ma trËn cét (Mx1)
cña c¸c gi¸ trÞ nhiÖt ®é m«i tr−êng tf vµ dßng nhÞªt q qua biªn lo¹i 2,
⎡t1 ⎤
⎢.. ⎥
[t] = ⎢ ⎥ lµ ma trËn cét (Mx1) cña c¸c nhiÖt ®é nót.
⎢t M ⎥
⎣ ⎦
NÕu bµi to¸n (t) lµ æn ®Þnh , [& ] = 0, hµm t ®−îc x¸c ®Þnh theo hÖ
t
ph−¬ng tr×nh ®¹i sè: (K+ H) [t] = h + q.
NÕu bµi to¸n (t) kh«ng æn ®Þnh, th× sau khi sö dông phÐp sai ph©n
thêi gian, ta thu ®−îc mét hÖ M ph−¬ng tr×nh ®¹i sè, cho phÐp x¸c
®Þnh t theo ®iÒu kiÖn ban ®Çu.
6.1.2. C¸c b−íc ¸p dông FEM
§Ó gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n (t) theo FEM, cã thÓ tiÕn hµnh c¸c
b−íc nh− sau:
71
- 1. X¸c ®Þnh phiÕm hµm I t−¬ng øng bµi to¸n (t).
Tr−êng hîp bµi to¸n t víi biªn lo¹i 1, 2, 3 tæng qu¸t, phiÕm hµm
I sÏ cã d¹ng tÝch ph©n sau:
t2
I[t(x,y,z)] = ∫ f(x,y,z,t,tx,ty,tz) dV + ∫ (qt + α )dw
v w
2
Víi W lµ biªn cña vËt V, cßn d¹ng hµm f x¸c ®Þnh theo bµi to¸n
(t) vµ ®Þnh lý Euler-Lagrange vÒ ®iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm.
§iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm I lµ biÕn ph©n δI = 0.
t t(x,y,τ =const)
tζ
1
2 k
fi f(e)
y
yk
yj
S
yi 3
i e k
O
xi
xj
W
xk
x
H. 32 Ph©n bè nhiÖt ®é t(e) trong phÇn tö e hai chiÒu
2. M« t¶ ®iÒu kiÖn cùc tiÓu δI = 0 ë d¹ng hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n
th−êng cÊp 1 cña c¸c nhiÖt ®é nót (hoÆc hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè khi (t)
lµ bµi to¸n æn ®Þnh). B−íc nµy cã thÓ chia ra c¸c b−íc nhá nh− sau:
2.1. Chia V (hoÆc S, hoÆc δ) ra mét sè h÷u h¹n phÇn tö cã d¹ng
khèi tø diÖn (hoÆc tam gi¸c, hoÆc ®o¹n ∆x) bëi hÖ thèng M ®iÓm nót
(coi lµ ®Ønh phÇn tö). §¸nh sè thø tù vµ ghi ®Þa chØ nót theo to¹ ®é (i, j,
k) cña mçi nót.
2.2. Gi¶ thiÕt r»ng: T¹i mét thêi ®iÓm τ bÊt kú, ph©n bè nhiÖt ®é
t(e) trong phÇn tö e lµ mét hµm tuyÕn tÝnh cña c¸c nhiÖt ®é nót (tøc cã
d¹ng mÆt ph¼ng qua 3 ®iÓm ti, tj, tk), vµ x¸c ®Þnh ph©n bè t(e) nh− hµm
tuyÕn tÝnh cña c¸c biÕn, cã d¹ng f(x,y,ti,tj, tk) = t(e) (xem H.32)
72
- 2.3. XÊp xØ tÝch ph©n I nh− lµ tæng c¸c tÝch ph©n I(e) trªn mçi ph©n
E
tö (e): I = ∑ I (e)
e =1
Cho thÊy I = I(t1, t2,..., tM) lµ phiÕm hµm cña M hµm nhiÖt ®é nót
ti(τ) vµ ®iÒu kiÖn cùc tiÓu δI = 0 trë thµnh dI
= 0,
d[ t ]
⎡t1 ⎤ dI E
dI e
víi [t] = ⎢.. ⎥
⎢ ⎥
tøc
d[ t ]
= ∑
e =1 d[ t ]
= 0
⎢t M ⎥
⎣ ⎦
2.4. Dïng phÐp biÕn ®æi ma trËn ®Ó ®−a ®iÒu kiÖn trªn vÒ d¹ng:
dI
= K[t] + C[ & ] + H[t] - h - q = 0
t
d[ t ]
dt
§ã lµ hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè cña t vµ & =
t
dτ
3. NÕu bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh, [ & ] ≠ 0, tiÕp tôc dïng phÐp sai
t
ph©n thêi gian, chuyÓn hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n theo dτ thµnh hÖ
ph−¬ng tr×nh ®¹i sè vµ gi¶i theo ®iÒu kiÖn ®Çu.
B−íc 1, 2 vµ 3 cã thÓ ch−¬ng tr×nh ho¸ cho m¸y tÝnh thùc hiÖn:
6.1.3. Ph¹m vi øng dông FEM:
- Còng nh− FDM,FEM cã kh¶ n¨ng gi¶i mäi bµi to¸n biªn bÊt kú,
cã ®iÒu kiÖn vËt lý vµ ®iÒu kiÖn ®Çu cho tïy ý, víi ®é chÝnh x¸c cao
tuú ý.
- FEM rÊt tiÖn lîi khi hÖ vËt cã biªn d¹ng kh«ng quy t¾c, v× khi ®ã
chØ cÇn ghi ®i¹ chØ c¸c nót biªn, kh«ng cÇn tÝnh thÓ tÝch vµ diÖn tÝch
mÆt c¸c phÇn tö nh− trong FDM.
- Khi biªn di ®éng (bµi to¸n biªn lo¹i 5), c¶ FDM, FEM sÏ trë nªn
phøc t¹p.
6.2. Cùc tiÓu cña hµm nhiÒu biÕn vµ phÐp xÊp xØ tÝch ph©n
C¬ së cña FEM lµ ®iÒu kiÖn cùc tiÓu cña hµm sè vµ phiÕm hµm
cïng phÐp xÊp xØ tÝch ph©n.
6.2.1. §iÒu kiÖn cùc tiÓu hµm sè u = u(x1, x2,...,xn)
- Theo phÐp tÝnh vi ph©n, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm u = u(x) ®¹t
73
- du d2u
cùc tiÓu t¹i x lµ: = 0 vµ >0
dx dx 2
- §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó u = u(x,y) ®¹t cùc tiÓu t¹i (x,y) lµ:
⎧u x = 0, u y = 0
⎪
⎨
⎪u xx > 0, (u xx u yy − u xy ) > 0
2
⎩
- Tæng qu¸t, ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó hµm n biÕn u = u(x1, x2,...,xn) ®¹t
cùc tiÓu lµ tÊt c¶ c¸c ®¹o hµm riªng u theo lÇn l−ît c¸c biÕn ®Òu triÖt
tiªu, tøc:
∂u
= 0, ∀i = 1 ÷ n. Sau ®©y sÏ dïng ký hiÖu "A ∆ B", cã nghÜa lµ " B
∂x i
®−îc ®Þnh nghÜa lµ A".
⎡ ⎤
⎢x 1 ⎥
§Þnh nghÜa mét ma trËn cét [x] ∆ ⎢x 2 ⎥ , ®iÒu kiÖn trªn cã thÓ viÕt ë
⎢ .. ⎥
⎢ ⎥
⎣x n ⎦
⎡ ∂u ⎤ ⎡0 ⎤
⎢ ∂x ⎥ ⎢ ⎥
⎢ 1⎥ ⎢ ⎥
⎢ ∂u ⎥ ⎢0 ⎥
∂u ∂u ⎢ ⎥
d¹ng: = 0 hay cô thÓ , ∆ ⎢ ∂x 2 ⎥ = ⎢ ⎥
∂[ x ] ∂[ x ] ⎢ ⎥
⎢... ⎥ ⎢...⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ∂u ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ∂xn ⎥ ⎢0 ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Sau ®©y ta chØ quan t©m tíi ®iÒu kiÖn cÇn nãi trªn, cßn ®iÒu kiÖn
®ñ ®Ó ®¹t cùc tiÓu ®−îc x¸c ®Þnh bëi néi dung cña bµi to¸n biÕn ph©n
cô thÓ. Trong kü thuËt, viÖc cùc tiÓu phiÕm hµm I[t], t−¬ng øng viÖc
x¸c ®Þnh hµm t sao cho sai sè cùc tiÓu, so víi hµm t x¸c ®Þnh chÝnh
x¸c theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng.
6.2.2. PhÐp xÊp xØ tÝch ph©n:
- §Ó xÊp xØ mét tÝch ph©n, ta chia miÒn tÝch ph©n ra c¸c phÇn tö
h÷u h¹n vµ gi¶ thiÕt r»ng, hµm tÝch ph©n thay ®æi tuyÕn tÝnh trong mçi
phÇn tö. Cô thÓ, coi hµm F(x) lµ ®−êng th¼ng trong phÇn tö mét chiÒu
74
- t
∆x = xj - xi , hµm F(x,y) lµ mÆt ph¼ng
trong phÇn tö tam gi¸c 2 chiÒu ∆e, hµm 1 (Fi + fj)
2
F(x)
F(x,y,z) lµ tuyÕn tÝnh víi c¸c biÕn täa
®é (xi, yj, zk) t¹i 4 ®Ønh cña tø diÖn.
- Nhê c¸ch chia vµ gi¶ thiÕt nãi
trªn, ta cã thÓ x¸c ®Þnh tÝch ph©n I nh− (1) (2) (e) (E)
x
tæng c¸c gi¸ trÞ trung b×nh cña tÝch O x1
o xi xj xM
E ∆x
ph©n trªn mçi phÇn tö I = ∑ I (e) H.33. §Ó xÊp xØ tÝch ph©n I
e =1
- VÝ dô: BiÓu thøc xÊp xØ tÝch ph©n trªn E = 5 phÇn tö ë h×nh H.33.
E E Fi + Fj
∑ I(e)
xM
I= ∫ x1
F( x )dx lµ I =
e =1
= ∑
e =1 2
(xj-xi)
víi Fi = F(xi), Fj = F(xj), (Fi+Fj)/2 lµ trÞ trung b×nh cña F(x) trªn
phÇn tö (e) cã kÝch th−íc ∆ex = xj-xi
∆
NÕu chän xij = xj - xi = ∆, M = 4, E = 5 th× ta cã:
∆
∫ ∑ (Fi + Fj ) e = ∆ (F1+2F2 + 2F3 + 2F4 + F5)
xM
F( x )dx =
x1
2 2
6.3. Lý thuyÕt biÕn ph©n (variation Theory)
(Cã thÓ tham kh¶o tµi liÖu: Variationoe istrislenie cña L.E.Elgols).
6.3.1. PhiÕm hµm
- Kh¸i niÖm: PhiÕm hµm lµ mét ®¹i l−îng biÕn thiªn mµ trÞ sè cña
nã phô thuéc vµo mét hay mét vµi hµm sè nµo ®ã.
Ký hiÖu: I = I[t(x)], I = I[t(x,y)] hay I = I[u1(x), [u2(x)] v.v
- §inh nghÜa: ®¹i l−îng biÕn thiªn v ®−îc gäi lµ phiÕm hµm phô
thuéc hµm sè y(x), (y(x) gäi lµ ®èi thøc), ký hiÖu lµ ν = ν[y(x)], nÕu
øng víi mçi hµm y(x)thuéc mét líp hµm nµo ®ã, cã mét gi¸ trÞ ν x¸c
®Þnh. T−¬ng tù ®Þnh nghÜa phiÕm hµm ν = ν [t(x,y)] hoÆc ν =
ν [u1(x),u2(x)], ...v.v
- PhiÕm hµm th−êng lµ mét tÝch ph©n cña mét hµm F nµo ®ã trªn
mét miÒn x¸c ®Þnh cho tr−íc.
75
- VÝ dô:
+ C«ng mµ hÖ thùc hiÖn trong mét qu¸ tr×nh p = p(v) bÊt kú gi÷a
v2
hai tr¹ng th¸i (p1, v2), (p2,v2) lµ phiÕm hµm l = l[p(v)] = ∫
v1
p( v) dv
+ NhiÖt l−îng do hÖ trao ®æi trong qu¸ tr×nh bÊt kú T = T(s) gi÷a
s2
hai tr¹ng th¸i (T1,s1), (T2, s2) lµ phiÕm hµm q = q[T(s)] = ∫ s1
T (s) ds.
+ §é dµi ®−êng cong y(x) bÊt kú qua 2 ®iÓm (x0,y0) (x1,y1) lµ
x2
phiÕm hµm l = l[y(x)] = ∫
x1
1 + y' 2 dx
6.3.2. Néi dung cña lý thuyÕt biÕn ph©n:
- Lý thuyÕt biÕn ph©n lµ mét ngµnh cña to¸n häc chuyªn nghiªn
cøu c¸c ph−¬ng ph¸p t×m cùc trÞ cña c¸c phiÕm hµm. Nã cho phÐp t×m
®−îc mét hoÆc mét sè hµm sè lµm cùc tiÓu mét phiÕm hµm ®· cho.
- Bµi to¸n biÕn ph©n lµ bµi to¸n t×m cùc tiÓu cña mét phiÕm hµm
cho tr−íc, phô thuéc mét vµi hµm sè ch−a biÕt. PhÐp tÝnh biÕn ph©n
y
t
cho phÐp t×m ®−îc c¸c hµm sè nµy.
- VÝ dô: c¸c bµi to¸n biÕn ph©n tiªu biÓu:
1. T×m mÆt cùc tiÓu: y(x)
T×m ®−êng cong y(x) nèi hai ®iÓm x
O xo S x1
(x0,y0) (x1,y1) cho tr−íc, ®Ó khi quay z
quanh Ox t¹o ra mÆt cã diÖn tÝch cùc tiÓu.
Ph¸t biÓu biÕn ph©n cña bµi to¸n H.34. Bµi to¸n t×m mÆt cùc tiÓu
(1) lµ t×m cùc tiÓu cña phiÕm
y
hµm:S[y(x)] = ∫x 1 + y'2 dx
x1
0
v y(x)
ds
2. T×m ®−êng ®o¶n thêi: g
dx
T×m ®−êng cong y(x) nèi hai ®iÓm
A(x0,y0), B (x1,y1) cho tr−íc ®Ó chÊt x
®iÓm l¨n kh«ng ma s¸t trªn nã tõ A ®Õn O xo x1
B tèn Ýt thêi gian nhÊt. H35. BT ®−êng ®o¶n thêi
Theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng, t×m thÊy quan hÖ τ = τ[y(x)]
76
- vµ bµi to¸n biÕn ph©n lµ t×m cùc tiÓu phiÕm hµm nh− sau:
m dx 2 + dy 2 2 2
mgy = ( ) → dτ 1 1 + ⎛ dy ⎞ dx →
⎜ ⎟
2 dτ 2gy ⎝ dx ⎠
1 x1 1 + y' 2
τ = τ[y(x)] =
2g
∫
x0
y
dx
3. T×m ®−êng tr¾c ®Þa:
T×m ®−êng cong f(x,y,z) nèi hai z
®iÓm A,B trªn mÆt cong ϕ(x,y,z) = 0
cho tr−íc, cã ®é dµi ng¾n nhÊt. Theo ϕ(x,y,z)=0
ý nghÜa h×nh häc, bµi to¸n (3) theo
biÕn ph©n lµ t×m cùc tiÓu phiÕm hµm B
x
l= l[y(x),z(x)] = ∫x 1 + y'2 + Z'2 dx
2
1 A
y
⎧ y = y( x )
trong ®ã ⎨ lµ c¸c hµm x¸c ®Þnh O
⎩z = z ( x )
x
d¹ng tham sè cña ®−êng cong
f(x,y,z)∈ϕ(x,y,z) = 0. H.36. BT t×m ®−êng
y = y( x )
6.3.3. BiÕn ph©n cña phiÕm tr¾c ®Þa ⎧
⎨
⎩z = z ( x )
hµm:
6.3.3.1. BiÕn ph©n cña ®èi
thøc:
- §Þnh nghÜa: BiÕn ph©n δu cña hµm u(x) (hay ®èi thøc u(x)) lµ
hiÖu hai hµm sè δu = u (x) - u(x) trong u u(x)
®ã u (x ) thay ®æi tuú ý trong líp hµm
δu
u(x)
u(x,ε) nµo ®ã, gÇn ®−êng cong u(x).
T−¬ng tù ®Þnh nghÜa:
δu(x,y) = u ( x, y ) - u(x,y)
x
- ý nghÜa h×nh häc: O x0 x1
u ( x ) thay ®æi trong líp ®−êng cong H.37. BiÕn ph©n δu(x)
qua hai ®iÓm biªn (x0,y0) (x1,y1) phô thuéc th«ng sè ε nhá nµo ®ã:
77
- u u ( x ) ∈ u ( x; ε) = u(x) + ε[ u (x) -u(x)
u(x,y)
δu u(x,y) = u(x) + εδu.
u ( x, y ) thay ®æi trong líp mÆt cong qua
s
y chu tuyÕn S, phô th«ng sè ε nhá nµo ®ã:
D
u ( x, y ) ∈ u(x,y;ε) vµ u(x,y;ε) = u(x,y) +
x ε[ u ( x , y) -u(x,y)] = u(x,y) + εδu(x,y).
H.38. BiÕn ph©n δu(x,y)
BiÕn ph©n δu lµ sù sai kh¸c nhá gi÷a hai hµm u cïng chung biªn
nµo ®ã.
6.3.3.2. BiÕn ph©n cña phiÕm hµm:
- §Þnh nghÜa: BiÕn ph©n δI cña phiÕm hµm I[u(x)] lµ ®¹o hµm cña
phiÕm hµm I[u(x) + εδu(x)] theo tham sè ε, tÝnh t¹i ε = 0.
δI[u(x)] = d
I[u(x)] + εδu(x)]⏐ε=0
dε
T−¬ng tù cã c¸c ®Þnh nghÜa
δI[u(x,y)] = d
I[u(x,y)] + εδu(x,y)]⏐ε=0 ,vµ
dε
δI[u1(x),..,un(x)] = d
I[(u1(x) + εδu1),..,(un(x) + εδun)]⏐ε=0
dε
- ý nghÜa: BiÕn ph©n δI lµ phÇn chÝnh bËc 1 (tuyÕn tÝnh) cña sè
gia phiÕm hµm ∆I = I[u + δu] - I[u] khi max [δu] → 0
δI m« t¶ sai sè c¸c tÝch ph©n (phiÕm hµm) suy tõ mét ®Þnh luËt
b¶o toµn nµo ®ã, so víi ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng.
6.3.4. §Þnh lý Euler -Lagrange
x1
6.3.4.1. §iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm I[u(x)] = ∫x 0 F ( x, u, u ' )dx
- CÇn t×m hµm u = u(x) qua 2 ®iÓm biªn cho tr−íc [x0, u0 = u(x0)]
vµ [x1, u1 = u(x1)] lµm cùc tiÓu phiÕm hµm cã d¹ng:
x1
I[u(x)] = ∫
x0
F (x,u(x), u'(x))dx.
- TËp hîp c¸c ®−êng cong qua 2 ®iÓm biªn cã thÓ m« t¶ b»ng hµm
78
- u u(x)
u(x,ε) cña x vµ th«ng sè ε ∈ [0,1] bëi: δu
u(x,ε) = u(x) + ε[ u (x) - u(x)]
u(x)
= u(x) + εδu(x)
víi u (x) lµ ®−êng cong gÇn O x1
x
x0
u(x) vµ δu(x) lµ biÕn ph©n cña hµm H.39. §Ó cùc tiÓu
u(x). I[u(x)]
- Víi ®−êng cong u(x;ε) th× phiÕm hµm I[u(x,ε)] lµ mét hµm chØ
cña ε, do ®ã ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó cùc tiÓu phiÕm hµm cña hµm u(x), øng
víi ε = 0, lµ:
d
I[u(x,ε)]ε=0 = 0 tøc lµ δI = 0
dε
x1
∫
d
→ δI = 0 tøc lµ δI = F(x,u(x;ε), u'(x;ε))dx|ε=0
dε x0
⎡ ∂F ∂u ( x, ε ) ∂F ∂u'(x,ε ) ⎤
x1
= ∫x0 ⎢ ∂u . ∂ε + ∂u' . ∂ε ⎥ dx
⎣ ⎦ε =0
x1
= ∫ x0
( Fu.δu + Fu ' δu ' )dx = 0
Ph©n ®o¹n tÝch ph©n sau, ta cã:
x1
δI = ∫ Fu δu dx + Fu' δu | - ∫ x1
x0
x1
x0
(
d
dx
Fu ' ) δ udx
x0
x1 d
= ∫x0
( Fu −
dx
Fu ' )δ udx = 0 (do δu | x1 = 0 - 0 = 0)
x0
d
V× δu (x) ≠ 0 ∀x ∈ (x0, x1) nªn Fu - Fu' = 0
dx
→ Suy ra ®Þnh lý Euler - Lagrange:
- §Þnh lý E - L1:
∫
x1
§Ó cùc tiÓu phiÕm hµm I[µ(x)] = x0
F(x, u, u')dx, hµm u(x) cÇn
79
- ∂F d ∂F
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sau: − ( )= 0
∂u dx ∂ u '
6.3.4.2. Ph−¬ng ph¸p biªn ph©n:
- Ph−¬ng ph¸p biÕn ph©n lµ ph−¬ng ph¸p sö dông ®iÒu kiÖn cùc
tiÓu ®Ó t×m ®−êng cong cùc trÞ.
- §iÒu kiÖn cùc tiÓu I[y(x)] theo EL lµ: Fy- d
Fy ' = 0 → suy ra:
dx
Fy- Fy'x- Fy'y.y'-Fy'y'.y'' = 0 ,(E)
Ph−¬ng tr×nh (E) gäi lµ ph−¬ng tr×nh Euler.
- Ph−¬ng ph¸p t×m ®−êng cong cùc trÞ lµ:
1) TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh Euler thu ®−îc hµm y(x,c1, c2)
2) X¸c ®Þnh c1, c2 theo hai ®iÒu kiÖn biªn y0 = y(x0), y1 = y(x1)
VÝ dô: Khi hµm F chØ phô thuéc y vµ y':
F=F(y,y') → ph−¬ng tr×nh (E) cã d¹ng Fy- Fy'y.y'-Fy'y'.y'' = 0 →
Nh©n hai vÕ víi y' cã:
y'(Fy- Fy'y.y'-Fy'y'.y'') = Fy.y'-Fy'yy'2-Fy'y'y'y'' =
d
= (F-Fy'.y')= 0, (d¹ng ®¹o hµm toµn phÇn theo x)
dx
TÝch ph©n ®Çu theo x cã F- Fy'y' = C1 lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n
kh«ng chøa x, gi¶i ®−îc b»ng c¸ch t¸ch biÕn hoÆc ®æi biÕn, vÝ dô
* T×m mÆt cùc tiÓu (bµi to¸n 1) : y = c1ch x - c2
MÆt trßn xoay qua (o,y0), (x1,y1) c1
y
cùc tiÓu khi phiÕm hµm S[y(x)] cùc
y1
tiÓu. Do dS = 2πyds = yo ds
dx x
2πy dx + dy nªn suy ra
2 2
O x1
x1
S[y(x)] = 2π ∫x = 0 y 1 + y ' dx . z
2
H.40. MÆt Catenoid
Víi F = y 1 + y' = F (y,y'), ta cã tÝch ph©n ®Çu:
2
80
- yy' 2 y
F- y'Fy' = y 1 + y' - 2
= = C1
1 + y' 2 1 + y' 2
dy C1 shtdt
§æi biÕn y' = sht th× y = C1cht vµ dx = = = C1dt
y' sht
→ x = C1t + C2
⎧ x = C1 t + C 2 x − C2
Khö t tõ ⎨ y = C cht cã y = C1ch lµ ®−êng d©y xÝch, quay
⎩ 1 C1
quanh ox t¹o ra mÆt Catenoid, víi C1, C2 t×m theo ®iÒu kiÖn biªn yo =
y(0) , y1 = y(x1).
* T×m ®−êng ®o¶n thêi: (bµi to¸n 2)
Thêi gian chÊt ®iÓm l¨n trªn ®−êng cong y(x) tõ A→B lµ:
0 ≡A x1
x1 1 + y' 2
∫
1
+τ = τ[y(x)] = dx
2g x =0 y ds
d y v = dτ
g d ds
1 + y' 2 x
Víi F = F(y,y') =
y y1
B
ta cã tÝch ph©n ®Çu: y
1 + y' 2 y' 2 H.41. §−êng ®o¶n thêi
F- y'Fy' = -
y y(1 + y' ) 2
⎧x = C( t − sin t )
Cycloid ⎨
1 ⎩ y = C(1 − cos t )
= =C
y(1 + y' 2 )
→ y(1 + y'2) = C1 lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 phi tuyÕn.
C1 C1
§æi biÕn y' = cotg t cã y = =
1+ y '2 1 + cot g 2t
2
C1
= C1sin t = (1-cos2t) vµ :
2
dy 2C1 sin t cos t.dt
dx = y' = cot gt = 2C1sin2t dt
81
- = C1(1- cos2t)dt → x = C1(t- 1 sin2t) + C2
2
C1
hay x = (2t - sin2t) + C2
2
§−êng ®o¶n thêi cã d¹ng hä ®−êng cycloid
⎧ C ⎫
⎪ x = 1 (2t − sin 2t ) + C 2 ⎪
⎪ 2 ⎪ C1
⎨ ⎬ qua A(0,0) → C2 = 0 ®Æt C = ,
⎪ y = C1 (1 − cos 2 t ) ⎪ 2
⎪
⎩ 2 ⎪
⎭
2t = ϕ ta cã ®−êng ®o¶n thêi lµ ®−êng cycloid, m« t¶ bëi ph−¬ng
tr×nh d¹ng tham sè sau:
⎧x = C(ϕ − sin ϕ) y y
⎨ hay x = c[arcos(1- ) - sin(arcos(1- ))]
⎩ y = C(1 − cos ϕ) c c
víi C = b¸n kÝnh vßng trßn l¨n ®Ó vÏ ra Cycloid, x¸c ®Þnh theo y1
= y(x1).
6.3.4.3. §iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm d¹ng I[u(x,y)]
I[u(x,y)] = ∫∫ F (x,y,u,ux,uy)dxdy
D
- CÇn t×m hµm u(x,y) trong miÒn D cã trÞ sè cho tr−íc trªn biªn
W ∈ D, lµm cùc tiÓu phiÕm hµm
∂u ∂u
I[u(x,y)] = ∫∫ F (x,y,u
D
, )dxdy
∂x ∂y
- øng víi c¸c mÆt thay ®æi trong hä mÆt cong
u(x,y,ε) = u(x,y) + ε[ u (x,y) - u(x,y) ]
= u(x,y) + εδu(x,y)
th× phiÕm hµm I[u(x,y,ε)] chØ phô thuéc ε, ®−îc cùc tiÓu khi:
d
I[u(x,y,ε)]ε=0 = δI = 0, tøc lµ khi:
dε
82
- ⎡ ∂u ∂u ∂u ⎤
δI = ∫∫ ⎢ Fu + Fu x x + Fuy y ⎥ dxdy
D ⎣ ∂ε ∂ε ∂ε ⎦ ε=0
= ∫∫ F δµ + F
D
u ux δu x + Fuy δu y )dxdy = 0 U
u
u(x,y
U(x,y)
δU
u u(x,y
U(x,y)
⎧∂ ∂Fu x
⎪ ∂x ( Fu x δu ) = δu + Fu x δu x
⎪ ∂x
- V× cã: ⎨ ∂ ∂Fu y
s
⎪ (Fu δu ) = δu + Fu y δu y y
⎪ ∂y
⎩
y
∂y
D
0
nªn ∫∫ ( Fu δu
D
x x + Fuyδu y ) dxdy = W
x
⎡∂ ∂ ⎤
= ∫∫ ⎢ ( Fu x δu ) + (Fu y δu )⎥ dxdy- H.42. §Ó cùc tiÓu
D ⎣ ∂x ∂y ⎦ phiÕm hµm I[µ(x,y)]
∂Fu x ∂Fu y
∫∫ (
D ∂x
+
∂y
)δudxdy
∂Fu x ∂Fu y
= - ∫∫ ( + )δudxdy
D ∂x ∂y
∂ ∂
(do theo c«ng thøc Green cã: ∫∫[
D ∂x
( Fu x δu ) + ( Fu y δu )]dxdy
∂y
= ∫ ( Fu x δu − Fu y δu )dx = 0 v× δu|W = 0)
w
- V× vËy, ®iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm lµ:
∂Fu x ∂Fu y
δI = ∫∫ (Fu − − )δudxdy = 0, do δu|D ≠ 0 suy ra:
D ∂x ∂y
∂F ∂ ∂F ∂ ∂F
→ − ( )− ( )=0
∂u ∂x ∂u x ∂y ∂u y
§Þnh lý Euler-Lagrange N02:
§Ó cùc tiÓu phiÕm hµm: I[u(x,y)] = ∫∫ F (x,y,u,ux,uy,)dxdy,
D
hµm
83
- ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F
u(x,y) cÇn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: − ( )− ( )=0
∂u ∂x ∂u x ∂y ∂u y
6.3.4.4. §iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm d¹ng I[u(x,y,z)].
C¸c bµi to¸n truyÒn nhiÖt 3 chiÒu kh«ng æn ®Þnh víi biªn lo¹i 2 vµ 3
th−êng t−¬ng øng víi phiÕm hµm d¹ng:
2
I[u(x,y,z)] = ∫∫∫ F (x,y,z,t,tx,ty,tz)dV+ ∫ (qt + α )ds
t
D S
2
- Khi cùc tiÓu phiÕm hµm I, cÇn cã δI = 0, tøc lµ:
⎡ ∂F ∂F ∂F ∂F ⎤
δI = ∫ ⎢
V ⎢ ∂t
⎣
δt +
∂t x
δt x +
∂t y
δt y +
∂t z ⎥
⎦
∫
δt z ⎥ dV+ (qδt + αtδt )ds =
S
0
∂t ∂
- Theo δtx = δ ( ) = (δt ) , v.v., ta cã:
∂x ∂x
δI=
z
⎡ ∂F ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F ∂ ⎤
∫ ⎢ δt + . ( δt ) + . ( δt ) + . ( δt ) ⎥ d →
ny
V ⎢ ∂t ∂t x ∂x ∂t y ∂y ∂t z ∂z
0
⎣ ⎥
⎦
S
V+ ∫ δt (q + αt )d s = 0
S
V
y
- Sau khi tÝch ph©n tõng phÇn (per partes) ta
0
cã: x
∂F ∂ ∂F ∂ ∂F
∫ ∂t
V
. (δt )dV = ∫
x ∂x S
∂t x
δt.l x dS - ∫ δt .( )dV
V
∂x ∂t x
H.43. MiÒn tÝch ph©n V,S
cña bµi to¸n 3 chiÒu
∂F ∂ ∂F ∂ ∂F
∫ ∂t y ∂y
V
. (δt )dV =
S
∂t y ∫ V
∫
δt.l y dS - δt .( )dV
∂y ∂t y
∂F ∂ ∂F ∂ ∂F
∫ ∂t
V
. (δt )dV = ∫
z ∂z S
∂t z
δt.l z dS - ∫ δt .( )dV
V
∂z ∂t z
víi lx, ly, lz lµ cosin chØ ph−¬ng cña ph¸p tuyÕn
n phÝa ngoµi V t¹i M ∈ S. Do ®ã, ®iÒu kiÖn δI = 0
sÏ cã d¹ng:
84
nguon tai.lieu . vn
