Xem mẫu

  1. nhiÖt sÏ kÕt hîp c¶ 3 ®iÒu kiÖn biªn dtije 3. ¸p dông c¸c ph−¬ng ph¸p xÊp xØ , sÏ ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh dτ ®¹i sè cña tije, k+1, víi n Èn sè. Z α α α Zl+1 ∆z Zl ∆z ∆ϕ ϕ j+1 Zl-1 ϕ j+1 ϕj q ∆r r o ri ri ri+1 R H31. Sai ph©n bµi to¸n trô t(π,ϕ,z,τ) Dïng xÊp xØ Euler: tijek+1 = tijek + dtije ⎢k∆τ, dτ ∆ ∆ a∆τ ®Æt = δi, = δ, ∆ϕ = γ vµ F = , ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè: ri R ∆2 ⎧ δi δi 2 1 δ2 tijek+1 = F ⎨(1 − ) ti-1je+ ( ) tij-1e+tije-1+( -4-2 2 )tije ⎩ 2 γ F γ + tije+1+( δi ) tij+1e+ (1+ δi )ti+1je ⎫ ⎬ ∀(ije)∈ V γ 2 ⎭k ⎧ ⎪ δ2 1 2 (t) tijek+1 = F⎪ 2−δ ⎨ δi tR-ije+ δ tRj-1e+tRje-1+[ F −4− δ . ⎪1 − γ 2 (1 − ) (1 − ) ⎪ ⎩ 4 4 4 ( δ2 - δ δ2 tRj+1e ⎫ + 2BF tf, 2 -B)]tRje+tRje+1+ δ ⎬ ∀(ije)∈ W3 γ 4 γ 2 (1 − ) ⎭k (1 − δ ) 4 4 vµ c¸c ph−¬ng tr×nh cã nót trªn biªn, c¹nh, gãc, kh¸c. D¹ng ma trËn:[t]k+1 = F{A[t]+[tw1]+[ 2∆ q]+[2Btf]+[ ∆ qv]}k nh− trªn 2 a λ víi A lµ ma trËn hÖ (nxn), c¸c ma trËn kh¸c lµ ma trËn cét (nx1). 65
  2. 5.8. FDM cho bµi to¸n biªn phi tuyÕn: 5.8.1. §iÒu kiÖn biªn phi tuyÕn tÝnh: - §Þnh nghÜa: 1. Ph−¬ng tr×nh F(Tn, Txm ) = 0 cã n ≠ 1 hoÆc m ≠ 1 gäi lµ ph−¬ng tr×nh phi tuyÕn tÝnh 2. §iÒu kiÖn biªn ®−îc m« t¶ bëi mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n phi tuyÕn gäi lµ ®iÒu kiÖn biªn phi tuyÕn - VÝ dô: ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 3, khi mÆt v¸ch tiÕp xóc chÊt khÝ hoÆc ch©n kh«ng, trao ®æi nhiÖt víi m«i tr−êng chñ yÕu b»ng bøc x¹, x¸c ®Þnh nhê ®Þnh luËt Stefan-Boltzmann, th× ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt trªn biªn cã d¹ng: -λTx (W,τ) = εwσ0[T4(W,τ)- Tf ] 4 §ã lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n (hay ®iÒu kiÖn biªn) phi tuyÕn tÝnh. NÕu W tiÕp xóc m«i tr−êng ch©n kh«ng v« h¹n ngoµi vò trô th× coi Tf = 3.K hoÆc gÇn ®óng, coi Tf = O.K Ch¼ng h¹n, tr−êng hîp mÆt W cã nhiÖt ®é TW lín, trao ®æi nhiÖt phøc t¹p víi kh«ng khÝ hoÆc ch©n kh«ng, hay v¸ch T§N phøc t¹p víi s¶n phÈm ch¸y cã Tf lín, lµ c¸c bµi to¸n biªn phi tuyÕn 5.8.2. Bµi to¸n biªn phi tuyÕn 1. Ph¸t biÓu bµi to¸n: Cho v¸ch ph¼ng réng ∞, dµy δ = L cã (a, λ) kh«ng ®æi (hoÆc phô thuéc (M,τ)), nhiÖt ®é ban ®Çu T(x,0) = Ti[K], mÆt x = δ ®−îc c¸ch nhiÖt , mÆt x = 0 tiÕp xóc ch©n kh«ng cã nhiÖt ®é Tf vµ T§N bøc x¹ ra m«i tr−êng nµy. T×m ph©n bè t(x,τ) khi τ > 0. 2. M« h×nh to¸n häc cña bµi to¸n lµ: 66
  3. Tτ = aTxx t T(x,0) = Ti δT = 0 (t) Tf δx − εσ 0 4 s a λ Tx(0,τ)= [ Tf -T4(0,τ)] q = ε∂(Tf4 - T o ) 0 λ 4 1 2 3 4 S Tx(0,τ) = 0 x NhËn xÐt: bµi to¸n nµy cã cïng O L mét m« h×nh TH víi bµi to¸n biªn H32. Bµi to¸n biªn phi tuyÕn thuÇn nhÊt, khi v¸ch dµy 2δ vµ T§N bøc x¹ víi hai m«i tr−êng khÝ ®ång chÊt, cã cïng nhiÖt ®é Tf. 3. Gi¶i b»ng FDM. L L 1. Chia chia chiÒu dµy δ = L ra c¸c kho¶ng ∆x = , vÝ dô ∆x = n 4 t¹o ra 5 phÇn tö cã 5 nót lµ i, (i = 0÷4) 2. Sai ph©n theo x: ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt lµ: - Trªn biªn bøc x¹ xi = 0: ρcS ∆x dTo = εσ0( Tf4 - T04 )S - λ (T0-T1)S → 2 2dτ ∆x dTo = 2εσ 0 ( Tf4 - T04 ) - 2λ2 (T0-T1) 2dτ ρc∆x ρc∆ x T NÕu chuÈn ho¸ b»ng c¸ch ®Æt θ= Ti x ∆x X= → ∆X = L L λτ aτ F= = 2 cρL2 L ∂T ∂T ∂θ ∂F Ti a ∂θ Th× do = . . = . nªn: ∂τ ∂θ ∂F ∂τ L2 ∂F dθ0 L2 dT0 2εσ0 L2 2λL2 (T0 − T4 ) = . = (Tf − T0 ) − 4 4 hay dF aTi dτ λ T a (L∆x ) λ (L∆x ) 2 aTi i a a 67
  4. dθ 0 1 ⎡ εσ 0 .LTi3 ⎤ εσ 0 .LTi3 4 ∆Xθ 0 )θ0+2θ1 ⎥ +2 3 .θ f dF (∆X) 2 ⎢ = -2(1+ ⎣ λ ⎦ λ∆X εσ 0 .LTi3 NÕu ®Æt R= lµ ®¹i l−îng kh«ng thø nguyªn, ta cã: λ 1 2R θ0F= 2 [-2(1+R∆X. θ 0 )θ0+2θ1]+ 3 θ f4 , ∈ W6 ( ∆X ) ∆X 1 θiF= [θ - 2θ1+θ2] (∆X) 2 0 (θF) θ2F= 1 [θ - 2θ2+θ3] ∈V ( ∆X ) 2 1 1 θ3F= [θ - 2θ3+θ4] ( ∆X ) 2 2 1 θ4F= [2θ3- 2θ4] ∈W20 ( ∆X ) 2 ∆F 3. XÊp xØ Euler θk+1= θk+θFk∆F, ®Æt = p ta cã hÖ ph−¬ng ( ∆X ) 2 tr×nh ®¹i sè, viÕt ë d¹ng ma trËn nh− sau: θ0,k+1= [1-2p(1+R∆X θ 3 ]θ0,k+2pθ1,k+2pR∆X θ f4 0 (θi) θi,k+1= pθi-1k+(1-2p)θik+pθ1+1,k víi i = 1,2,3 θ4,k+1= 2pθ3,k+(1-2p)θ4,k ( Víi biªn c¸ch nhiÖt θX = 0, do ®èi xøng, coi θi-1 = θi+1) 4. ChuyÓn hÖ (θi) sang d¹ng ma trËn, cã: θ0 [1-2p(1+R∆X θ 3 ] 0 2p θ0 2pR∆X θ f4 θ1 p (1-2p) p θ1 0 θ2 = p (1-2p) p θ2 + 0 θ3 p (1-2p) p θ3 0 θ4 k+1 2p (1-2p) k θ4 k 0 Thay ®iÒu kiÖn ®Çu lóc τ = 0 (tøc F = 0) theo θ(X,0) = 1 vµo 68
  5. [θ]k=0 tÝnh phÇn tö bøc x¹ cña ma trËn [1-2p(1+R∆X θ3 k ] theo θ0,0 = 1, 0 ta tÝnh ®−îc [θ]k=1. LÆp l¹i chu tr×nh nµy, tÝnh ®−îc [θ]k=2, ...v. v 5.8.3. Bµi to¸n truyÒn nhiÖt qua v¸ch phi tuyÕn: NÕu thay §KB t¹i x = L cña bµi to¸n t¹i H.32 bëi ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 3, ta cã bµi to¸n sau: Tτ = aTxx t T(x,0) = Ti Tf1 (t) − εσ 0 4 4 s a λ Tx(0,τ) = [ Tf 1 -T (0,τ)] q = ε∂(Tf1- T o ) 0 4 4 λ 1 2 3 4 α Tf2 α Tx(L,τ) = [T(L,τ)-Tf2] x −λ O δ Bµi to¸n nµy ®−îc gi¶i t−¬ng tù nh− trªn, chØ kh¸c ph−¬ng H33. Bµi to¸n truyÒn nhiÖt KOD tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho nót phi tuyÕn tÝnh biªn W2 lµ: ∆x λ α∆x αL pc T4τ = (T3-T4)-α[T4-Tf2] hay víi B = = ∆X → 2 ∆x λ λ 1 2B θF= [2T3-2(1-B)T4]+ T ( ∆X ) 2 (∆X ) 2 f2 XÊp xØ Euler dÉn tíi ph−¬ng tr×nh: θ4k+1= 2pθ3+[1-2(1-B)]θ4+2pBθf2 Do ®ã, d¹ng ma trËn cña hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè lµ: θ0 [1-2p(1+R∆X θ 3 ] 0 2p θ0 2pR∆X θ f4 θ1 p (1-2p) p θ1 0 θ2 = p (1-2p) p θ2 + 0 θ3 p (1-2p) p θ3 0 θ4 k+1 2p [1-2p(1-B) k θ4 k k 2B2pθf2 Ph−¬ng tr×nh nµy còng ®−îc gi¶i víi ®iÒn kiÖn ®Çu θ (X,0) = 1 Bµi to¸n nµy cã thÓ ¸p dông ®Ó tÝnh nhiÖt cho v¸ch èng sinh h¬i 69
  6. cña lß h¬i, khi nã nhËn nhiÖt BX tõ buång löa vµ trao cho n−íc trong lß. ViÖc chän ∆τ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn æn ®Þnh lµ : min{[1-2p(1-B)],[1-2p(1+ R∆ θ 3 ]} > 0 0 tøc lµ: 1-2p(1+ R∆X θ 3 > 0 → 0 ∆F 1-2 θ3 2 (1+R∆X 0 ) > 0 tøc ph¶i chän; ( ∆X ) (∆X) 2 Tf 1 ∆F < , víi max θ0 = 2[1 + R∆X(max θ 3 )] 0 Ti ∆x 2 NghÜa lµ cÇn chän ∆τ < L2 ∆xεσ 0 3 , [s] 2a (1 + Tf 1 ) λ Khi gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn, ph¶i th−êng xuyªn tÝnh l¹i sè h¹ng ®Çu [1-2p(1+R∆ θ 3 )]k theo θ0, k sau mçi b−íc. 0 70
  7. Ch−¬ng 6 ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n finite element method (FEM) 6.1. Néi dung vµ c¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p ph©n tö h÷u h¹n 6.1.1. Néi dung FEM. T− t−ëng cña FEM lµ thay bµi to¸n gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n (t) b»ng mét bµi to¸n biÕn ph©n t−¬ng øng, tøc lµ t×m hµm sè t lµm cùc tiÓu mét phiÕm hµm I t−¬ng øng bµi to¸n (t). Bµi to¸n biÕn ph©n ®−îc gi¶i gÇn ®óng nhê phÐp xÊp xØ tÝch ph©n b»ng c¸ch thay hµm t(x,y,z,τ) bëi mét hÖ M hµm thêi gian tn(τ) t¹i c¸c nót (®Ønh) cña mét sè h÷u h¹n E phÇn tö t¹o ra vËt cÇn xÐt. KÕt qu¶ cho biÕt, ®Ó cùc tiÓu biÕn hµm I, hµm t ph¶i t×m cÇn tho¶ m·n hÖ M ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng cÊp 1 nh− sau: d C [t] = -(K+H)[t] + (h+q) dτ Trong ®ã C, K, H lµ c¸c ma trËn vu«ng (MxM) cña c¸c hÖ sè nhiÖt dung C, dÉn nhiÖt λ, to¶ nhiÖt α, cßn h, q lµ c¸c ma trËn cét (Mx1) cña c¸c gi¸ trÞ nhiÖt ®é m«i tr−êng tf vµ dßng nhÞªt q qua biªn lo¹i 2, ⎡t1 ⎤ ⎢.. ⎥ [t] = ⎢ ⎥ lµ ma trËn cét (Mx1) cña c¸c nhiÖt ®é nót. ⎢t M ⎥ ⎣ ⎦ NÕu bµi to¸n (t) lµ æn ®Þnh , [& ] = 0, hµm t ®−îc x¸c ®Þnh theo hÖ t ph−¬ng tr×nh ®¹i sè: (K+ H) [t] = h + q. NÕu bµi to¸n (t) kh«ng æn ®Þnh, th× sau khi sö dông phÐp sai ph©n thêi gian, ta thu ®−îc mét hÖ M ph−¬ng tr×nh ®¹i sè, cho phÐp x¸c ®Þnh t theo ®iÒu kiÖn ban ®Çu. 6.1.2. C¸c b−íc ¸p dông FEM §Ó gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n (t) theo FEM, cã thÓ tiÕn hµnh c¸c b−íc nh− sau: 71
  8. 1. X¸c ®Þnh phiÕm hµm I t−¬ng øng bµi to¸n (t). Tr−êng hîp bµi to¸n t víi biªn lo¹i 1, 2, 3 tæng qu¸t, phiÕm hµm I sÏ cã d¹ng tÝch ph©n sau: t2 I[t(x,y,z)] = ∫ f(x,y,z,t,tx,ty,tz) dV + ∫ (qt + α )dw v w 2 Víi W lµ biªn cña vËt V, cßn d¹ng hµm f x¸c ®Þnh theo bµi to¸n (t) vµ ®Þnh lý Euler-Lagrange vÒ ®iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm. §iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm I lµ biÕn ph©n δI = 0. t t(x,y,τ =const) tζ 1 2 k fi f(e) y yk yj S yi 3 i e k O xi xj W xk x H. 32 Ph©n bè nhiÖt ®é t(e) trong phÇn tö e hai chiÒu 2. M« t¶ ®iÒu kiÖn cùc tiÓu δI = 0 ë d¹ng hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng cÊp 1 cña c¸c nhiÖt ®é nót (hoÆc hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè khi (t) lµ bµi to¸n æn ®Þnh). B−íc nµy cã thÓ chia ra c¸c b−íc nhá nh− sau: 2.1. Chia V (hoÆc S, hoÆc δ) ra mét sè h÷u h¹n phÇn tö cã d¹ng khèi tø diÖn (hoÆc tam gi¸c, hoÆc ®o¹n ∆x) bëi hÖ thèng M ®iÓm nót (coi lµ ®Ønh phÇn tö). §¸nh sè thø tù vµ ghi ®Þa chØ nót theo to¹ ®é (i, j, k) cña mçi nót. 2.2. Gi¶ thiÕt r»ng: T¹i mét thêi ®iÓm τ bÊt kú, ph©n bè nhiÖt ®é t(e) trong phÇn tö e lµ mét hµm tuyÕn tÝnh cña c¸c nhiÖt ®é nót (tøc cã d¹ng mÆt ph¼ng qua 3 ®iÓm ti, tj, tk), vµ x¸c ®Þnh ph©n bè t(e) nh− hµm tuyÕn tÝnh cña c¸c biÕn, cã d¹ng f(x,y,ti,tj, tk) = t(e) (xem H.32) 72
  9. 2.3. XÊp xØ tÝch ph©n I nh− lµ tæng c¸c tÝch ph©n I(e) trªn mçi ph©n E tö (e): I = ∑ I (e) e =1 Cho thÊy I = I(t1, t2,..., tM) lµ phiÕm hµm cña M hµm nhiÖt ®é nót ti(τ) vµ ®iÒu kiÖn cùc tiÓu δI = 0 trë thµnh dI = 0, d[ t ] ⎡t1 ⎤ dI E dI e víi [t] = ⎢.. ⎥ ⎢ ⎥ tøc d[ t ] = ∑ e =1 d[ t ] = 0 ⎢t M ⎥ ⎣ ⎦ 2.4. Dïng phÐp biÕn ®æi ma trËn ®Ó ®−a ®iÒu kiÖn trªn vÒ d¹ng: dI = K[t] + C[ & ] + H[t] - h - q = 0 t d[ t ] dt §ã lµ hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè cña t vµ & = t dτ 3. NÕu bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh, [ & ] ≠ 0, tiÕp tôc dïng phÐp sai t ph©n thêi gian, chuyÓn hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n theo dτ thµnh hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè vµ gi¶i theo ®iÒu kiÖn ®Çu. B−íc 1, 2 vµ 3 cã thÓ ch−¬ng tr×nh ho¸ cho m¸y tÝnh thùc hiÖn: 6.1.3. Ph¹m vi øng dông FEM: - Còng nh− FDM,FEM cã kh¶ n¨ng gi¶i mäi bµi to¸n biªn bÊt kú, cã ®iÒu kiÖn vËt lý vµ ®iÒu kiÖn ®Çu cho tïy ý, víi ®é chÝnh x¸c cao tuú ý. - FEM rÊt tiÖn lîi khi hÖ vËt cã biªn d¹ng kh«ng quy t¾c, v× khi ®ã chØ cÇn ghi ®i¹ chØ c¸c nót biªn, kh«ng cÇn tÝnh thÓ tÝch vµ diÖn tÝch mÆt c¸c phÇn tö nh− trong FDM. - Khi biªn di ®éng (bµi to¸n biªn lo¹i 5), c¶ FDM, FEM sÏ trë nªn phøc t¹p. 6.2. Cùc tiÓu cña hµm nhiÒu biÕn vµ phÐp xÊp xØ tÝch ph©n C¬ së cña FEM lµ ®iÒu kiÖn cùc tiÓu cña hµm sè vµ phiÕm hµm cïng phÐp xÊp xØ tÝch ph©n. 6.2.1. §iÒu kiÖn cùc tiÓu hµm sè u = u(x1, x2,...,xn) - Theo phÐp tÝnh vi ph©n, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm u = u(x) ®¹t 73
  10. du d2u cùc tiÓu t¹i x lµ: = 0 vµ >0 dx dx 2 - §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó u = u(x,y) ®¹t cùc tiÓu t¹i (x,y) lµ: ⎧u x = 0, u y = 0 ⎪ ⎨ ⎪u xx > 0, (u xx u yy − u xy ) > 0 2 ⎩ - Tæng qu¸t, ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó hµm n biÕn u = u(x1, x2,...,xn) ®¹t cùc tiÓu lµ tÊt c¶ c¸c ®¹o hµm riªng u theo lÇn l−ît c¸c biÕn ®Òu triÖt tiªu, tøc: ∂u = 0, ∀i = 1 ÷ n. Sau ®©y sÏ dïng ký hiÖu "A ∆ B", cã nghÜa lµ " B ∂x i ®−îc ®Þnh nghÜa lµ A". ⎡ ⎤ ⎢x 1 ⎥ §Þnh nghÜa mét ma trËn cét [x] ∆ ⎢x 2 ⎥ , ®iÒu kiÖn trªn cã thÓ viÕt ë ⎢ .. ⎥ ⎢ ⎥ ⎣x n ⎦ ⎡ ∂u ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ ∂x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂u ⎥ ⎢0 ⎥ ∂u ∂u ⎢ ⎥ d¹ng: = 0 hay cô thÓ , ∆ ⎢ ∂x 2 ⎥ = ⎢ ⎥ ∂[ x ] ∂[ x ] ⎢ ⎥ ⎢... ⎥ ⎢...⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂u ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂xn ⎥ ⎢0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Sau ®©y ta chØ quan t©m tíi ®iÒu kiÖn cÇn nãi trªn, cßn ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó ®¹t cùc tiÓu ®−îc x¸c ®Þnh bëi néi dung cña bµi to¸n biÕn ph©n cô thÓ. Trong kü thuËt, viÖc cùc tiÓu phiÕm hµm I[t], t−¬ng øng viÖc x¸c ®Þnh hµm t sao cho sai sè cùc tiÓu, so víi hµm t x¸c ®Þnh chÝnh x¸c theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng. 6.2.2. PhÐp xÊp xØ tÝch ph©n: - §Ó xÊp xØ mét tÝch ph©n, ta chia miÒn tÝch ph©n ra c¸c phÇn tö h÷u h¹n vµ gi¶ thiÕt r»ng, hµm tÝch ph©n thay ®æi tuyÕn tÝnh trong mçi phÇn tö. Cô thÓ, coi hµm F(x) lµ ®−êng th¼ng trong phÇn tö mét chiÒu 74
  11. t ∆x = xj - xi , hµm F(x,y) lµ mÆt ph¼ng trong phÇn tö tam gi¸c 2 chiÒu ∆e, hµm 1 (Fi + fj) 2 F(x) F(x,y,z) lµ tuyÕn tÝnh víi c¸c biÕn täa ®é (xi, yj, zk) t¹i 4 ®Ønh cña tø diÖn. - Nhê c¸ch chia vµ gi¶ thiÕt nãi trªn, ta cã thÓ x¸c ®Þnh tÝch ph©n I nh− (1) (2) (e) (E) x tæng c¸c gi¸ trÞ trung b×nh cña tÝch O x1 o xi xj xM E ∆x ph©n trªn mçi phÇn tö I = ∑ I (e) H.33. §Ó xÊp xØ tÝch ph©n I e =1 - VÝ dô: BiÓu thøc xÊp xØ tÝch ph©n trªn E = 5 phÇn tö ë h×nh H.33. E E Fi + Fj ∑ I(e) xM I= ∫ x1 F( x )dx lµ I = e =1 = ∑ e =1 2 (xj-xi) víi Fi = F(xi), Fj = F(xj), (Fi+Fj)/2 lµ trÞ trung b×nh cña F(x) trªn phÇn tö (e) cã kÝch th−íc ∆ex = xj-xi ∆ NÕu chän xij = xj - xi = ∆, M = 4, E = 5 th× ta cã: ∆ ∫ ∑ (Fi + Fj ) e = ∆ (F1+2F2 + 2F3 + 2F4 + F5) xM F( x )dx = x1 2 2 6.3. Lý thuyÕt biÕn ph©n (variation Theory) (Cã thÓ tham kh¶o tµi liÖu: Variationoe istrislenie cña L.E.Elgols). 6.3.1. PhiÕm hµm - Kh¸i niÖm: PhiÕm hµm lµ mét ®¹i l−îng biÕn thiªn mµ trÞ sè cña nã phô thuéc vµo mét hay mét vµi hµm sè nµo ®ã. Ký hiÖu: I = I[t(x)], I = I[t(x,y)] hay I = I[u1(x), [u2(x)] v.v - §inh nghÜa: ®¹i l−îng biÕn thiªn v ®−îc gäi lµ phiÕm hµm phô thuéc hµm sè y(x), (y(x) gäi lµ ®èi thøc), ký hiÖu lµ ν = ν[y(x)], nÕu øng víi mçi hµm y(x)thuéc mét líp hµm nµo ®ã, cã mét gi¸ trÞ ν x¸c ®Þnh. T−¬ng tù ®Þnh nghÜa phiÕm hµm ν = ν [t(x,y)] hoÆc ν = ν [u1(x),u2(x)], ...v.v - PhiÕm hµm th−êng lµ mét tÝch ph©n cña mét hµm F nµo ®ã trªn mét miÒn x¸c ®Þnh cho tr−íc. 75
  12. VÝ dô: + C«ng mµ hÖ thùc hiÖn trong mét qu¸ tr×nh p = p(v) bÊt kú gi÷a v2 hai tr¹ng th¸i (p1, v2), (p2,v2) lµ phiÕm hµm l = l[p(v)] = ∫ v1 p( v) dv + NhiÖt l−îng do hÖ trao ®æi trong qu¸ tr×nh bÊt kú T = T(s) gi÷a s2 hai tr¹ng th¸i (T1,s1), (T2, s2) lµ phiÕm hµm q = q[T(s)] = ∫ s1 T (s) ds. + §é dµi ®−êng cong y(x) bÊt kú qua 2 ®iÓm (x0,y0) (x1,y1) lµ x2 phiÕm hµm l = l[y(x)] = ∫ x1 1 + y' 2 dx 6.3.2. Néi dung cña lý thuyÕt biÕn ph©n: - Lý thuyÕt biÕn ph©n lµ mét ngµnh cña to¸n häc chuyªn nghiªn cøu c¸c ph−¬ng ph¸p t×m cùc trÞ cña c¸c phiÕm hµm. Nã cho phÐp t×m ®−îc mét hoÆc mét sè hµm sè lµm cùc tiÓu mét phiÕm hµm ®· cho. - Bµi to¸n biÕn ph©n lµ bµi to¸n t×m cùc tiÓu cña mét phiÕm hµm cho tr−íc, phô thuéc mét vµi hµm sè ch−a biÕt. PhÐp tÝnh biÕn ph©n y t cho phÐp t×m ®−îc c¸c hµm sè nµy. - VÝ dô: c¸c bµi to¸n biÕn ph©n tiªu biÓu: 1. T×m mÆt cùc tiÓu: y(x) T×m ®−êng cong y(x) nèi hai ®iÓm x O xo S x1 (x0,y0) (x1,y1) cho tr−íc, ®Ó khi quay z quanh Ox t¹o ra mÆt cã diÖn tÝch cùc tiÓu. Ph¸t biÓu biÕn ph©n cña bµi to¸n H.34. Bµi to¸n t×m mÆt cùc tiÓu (1) lµ t×m cùc tiÓu cña phiÕm y hµm:S[y(x)] = ∫x 1 + y'2 dx x1 0 v y(x) ds 2. T×m ®−êng ®o¶n thêi: g dx T×m ®−êng cong y(x) nèi hai ®iÓm A(x0,y0), B (x1,y1) cho tr−íc ®Ó chÊt x ®iÓm l¨n kh«ng ma s¸t trªn nã tõ A ®Õn O xo x1 B tèn Ýt thêi gian nhÊt. H35. BT ®−êng ®o¶n thêi Theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng, t×m thÊy quan hÖ τ = τ[y(x)] 76
  13. vµ bµi to¸n biÕn ph©n lµ t×m cùc tiÓu phiÕm hµm nh− sau: m dx 2 + dy 2 2 2 mgy = ( ) → dτ 1 1 + ⎛ dy ⎞ dx → ⎜ ⎟ 2 dτ 2gy ⎝ dx ⎠ 1 x1 1 + y' 2 τ = τ[y(x)] = 2g ∫ x0 y dx 3. T×m ®−êng tr¾c ®Þa: T×m ®−êng cong f(x,y,z) nèi hai z ®iÓm A,B trªn mÆt cong ϕ(x,y,z) = 0 cho tr−íc, cã ®é dµi ng¾n nhÊt. Theo ϕ(x,y,z)=0 ý nghÜa h×nh häc, bµi to¸n (3) theo biÕn ph©n lµ t×m cùc tiÓu phiÕm hµm B x l= l[y(x),z(x)] = ∫x 1 + y'2 + Z'2 dx 2 1 A y ⎧ y = y( x ) trong ®ã ⎨ lµ c¸c hµm x¸c ®Þnh O ⎩z = z ( x ) x d¹ng tham sè cña ®−êng cong f(x,y,z)∈ϕ(x,y,z) = 0. H.36. BT t×m ®−êng y = y( x ) 6.3.3. BiÕn ph©n cña phiÕm tr¾c ®Þa ⎧ ⎨ ⎩z = z ( x ) hµm: 6.3.3.1. BiÕn ph©n cña ®èi thøc: - §Þnh nghÜa: BiÕn ph©n δu cña hµm u(x) (hay ®èi thøc u(x)) lµ hiÖu hai hµm sè δu = u (x) - u(x) trong u u(x) ®ã u (x ) thay ®æi tuú ý trong líp hµm δu u(x) u(x,ε) nµo ®ã, gÇn ®−êng cong u(x). T−¬ng tù ®Þnh nghÜa: δu(x,y) = u ( x, y ) - u(x,y) x - ý nghÜa h×nh häc: O x0 x1 u ( x ) thay ®æi trong líp ®−êng cong H.37. BiÕn ph©n δu(x) qua hai ®iÓm biªn (x0,y0) (x1,y1) phô thuéc th«ng sè ε nhá nµo ®ã: 77
  14. u u ( x ) ∈ u ( x; ε) = u(x) + ε[ u (x) -u(x) u(x,y) δu u(x,y) = u(x) + εδu. u ( x, y ) thay ®æi trong líp mÆt cong qua s y chu tuyÕn S, phô th«ng sè ε nhá nµo ®ã: D u ( x, y ) ∈ u(x,y;ε) vµ u(x,y;ε) = u(x,y) + x ε[ u ( x , y) -u(x,y)] = u(x,y) + εδu(x,y). H.38. BiÕn ph©n δu(x,y) BiÕn ph©n δu lµ sù sai kh¸c nhá gi÷a hai hµm u cïng chung biªn nµo ®ã. 6.3.3.2. BiÕn ph©n cña phiÕm hµm: - §Þnh nghÜa: BiÕn ph©n δI cña phiÕm hµm I[u(x)] lµ ®¹o hµm cña phiÕm hµm I[u(x) + εδu(x)] theo tham sè ε, tÝnh t¹i ε = 0. δI[u(x)] = d I[u(x)] + εδu(x)]⏐ε=0 dε T−¬ng tù cã c¸c ®Þnh nghÜa δI[u(x,y)] = d I[u(x,y)] + εδu(x,y)]⏐ε=0 ,vµ dε δI[u1(x),..,un(x)] = d I[(u1(x) + εδu1),..,(un(x) + εδun)]⏐ε=0 dε - ý nghÜa: BiÕn ph©n δI lµ phÇn chÝnh bËc 1 (tuyÕn tÝnh) cña sè gia phiÕm hµm ∆I = I[u + δu] - I[u] khi max [δu] → 0 δI m« t¶ sai sè c¸c tÝch ph©n (phiÕm hµm) suy tõ mét ®Þnh luËt b¶o toµn nµo ®ã, so víi ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng. 6.3.4. §Þnh lý Euler -Lagrange x1 6.3.4.1. §iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm I[u(x)] = ∫x 0 F ( x, u, u ' )dx - CÇn t×m hµm u = u(x) qua 2 ®iÓm biªn cho tr−íc [x0, u0 = u(x0)] vµ [x1, u1 = u(x1)] lµm cùc tiÓu phiÕm hµm cã d¹ng: x1 I[u(x)] = ∫ x0 F (x,u(x), u'(x))dx. - TËp hîp c¸c ®−êng cong qua 2 ®iÓm biªn cã thÓ m« t¶ b»ng hµm 78
  15. u u(x) u(x,ε) cña x vµ th«ng sè ε ∈ [0,1] bëi: δu u(x,ε) = u(x) + ε[ u (x) - u(x)] u(x) = u(x) + εδu(x) víi u (x) lµ ®−êng cong gÇn O x1 x x0 u(x) vµ δu(x) lµ biÕn ph©n cña hµm H.39. §Ó cùc tiÓu u(x). I[u(x)] - Víi ®−êng cong u(x;ε) th× phiÕm hµm I[u(x,ε)] lµ mét hµm chØ cña ε, do ®ã ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó cùc tiÓu phiÕm hµm cña hµm u(x), øng víi ε = 0, lµ: d I[u(x,ε)]ε=0 = 0 tøc lµ δI = 0 dε x1 ∫ d → δI = 0 tøc lµ δI = F(x,u(x;ε), u'(x;ε))dx|ε=0 dε x0 ⎡ ∂F ∂u ( x, ε ) ∂F ∂u'(x,ε ) ⎤ x1 = ∫x0 ⎢ ∂u . ∂ε + ∂u' . ∂ε ⎥ dx ⎣ ⎦ε =0 x1 = ∫ x0 ( Fu.δu + Fu ' δu ' )dx = 0 Ph©n ®o¹n tÝch ph©n sau, ta cã: x1 δI = ∫ Fu δu dx + Fu' δu | - ∫ x1 x0 x1 x0 ( d dx Fu ' ) δ udx x0 x1 d = ∫x0 ( Fu − dx Fu ' )δ udx = 0 (do δu | x1 = 0 - 0 = 0) x0 d V× δu (x) ≠ 0 ∀x ∈ (x0, x1) nªn Fu - Fu' = 0 dx → Suy ra ®Þnh lý Euler - Lagrange: - §Þnh lý E - L1: ∫ x1 §Ó cùc tiÓu phiÕm hµm I[µ(x)] = x0 F(x, u, u')dx, hµm u(x) cÇn 79
  16. ∂F d ∂F tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sau: − ( )= 0 ∂u dx ∂ u ' 6.3.4.2. Ph−¬ng ph¸p biªn ph©n: - Ph−¬ng ph¸p biÕn ph©n lµ ph−¬ng ph¸p sö dông ®iÒu kiÖn cùc tiÓu ®Ó t×m ®−êng cong cùc trÞ. - §iÒu kiÖn cùc tiÓu I[y(x)] theo EL lµ: Fy- d Fy ' = 0 → suy ra: dx Fy- Fy'x- Fy'y.y'-Fy'y'.y'' = 0 ,(E) Ph−¬ng tr×nh (E) gäi lµ ph−¬ng tr×nh Euler. - Ph−¬ng ph¸p t×m ®−êng cong cùc trÞ lµ: 1) TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh Euler thu ®−îc hµm y(x,c1, c2) 2) X¸c ®Þnh c1, c2 theo hai ®iÒu kiÖn biªn y0 = y(x0), y1 = y(x1) VÝ dô: Khi hµm F chØ phô thuéc y vµ y': F=F(y,y') → ph−¬ng tr×nh (E) cã d¹ng Fy- Fy'y.y'-Fy'y'.y'' = 0 → Nh©n hai vÕ víi y' cã: y'(Fy- Fy'y.y'-Fy'y'.y'') = Fy.y'-Fy'yy'2-Fy'y'y'y'' = d = (F-Fy'.y')= 0, (d¹ng ®¹o hµm toµn phÇn theo x) dx TÝch ph©n ®Çu theo x cã F- Fy'y' = C1 lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n kh«ng chøa x, gi¶i ®−îc b»ng c¸ch t¸ch biÕn hoÆc ®æi biÕn, vÝ dô * T×m mÆt cùc tiÓu (bµi to¸n 1) : y = c1ch x - c2 MÆt trßn xoay qua (o,y0), (x1,y1) c1 y cùc tiÓu khi phiÕm hµm S[y(x)] cùc y1 tiÓu. Do dS = 2πyds = yo ds dx x 2πy dx + dy nªn suy ra 2 2 O x1 x1 S[y(x)] = 2π ∫x = 0 y 1 + y ' dx . z 2 H.40. MÆt Catenoid Víi F = y 1 + y' = F (y,y'), ta cã tÝch ph©n ®Çu: 2 80
  17. yy' 2 y F- y'Fy' = y 1 + y' - 2 = = C1 1 + y' 2 1 + y' 2 dy C1 shtdt §æi biÕn y' = sht th× y = C1cht vµ dx = = = C1dt y' sht → x = C1t + C2 ⎧ x = C1 t + C 2 x − C2 Khö t tõ ⎨ y = C cht cã y = C1ch lµ ®−êng d©y xÝch, quay ⎩ 1 C1 quanh ox t¹o ra mÆt Catenoid, víi C1, C2 t×m theo ®iÒu kiÖn biªn yo = y(0) , y1 = y(x1). * T×m ®−êng ®o¶n thêi: (bµi to¸n 2) Thêi gian chÊt ®iÓm l¨n trªn ®−êng cong y(x) tõ A→B lµ: 0 ≡A x1 x1 1 + y' 2 ∫ 1 +τ = τ[y(x)] = dx 2g x =0 y ds d y v = dτ g d ds 1 + y' 2 x Víi F = F(y,y') = y y1 B ta cã tÝch ph©n ®Çu: y 1 + y' 2 y' 2 H.41. §−êng ®o¶n thêi F- y'Fy' = - y y(1 + y' ) 2 ⎧x = C( t − sin t ) Cycloid ⎨ 1 ⎩ y = C(1 − cos t ) = =C y(1 + y' 2 ) → y(1 + y'2) = C1 lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 phi tuyÕn. C1 C1 §æi biÕn y' = cotg t cã y = = 1+ y '2 1 + cot g 2t 2 C1 = C1sin t = (1-cos2t) vµ : 2 dy 2C1 sin t cos t.dt dx = y' = cot gt = 2C1sin2t dt 81
  18. = C1(1- cos2t)dt → x = C1(t- 1 sin2t) + C2 2 C1 hay x = (2t - sin2t) + C2 2 §−êng ®o¶n thêi cã d¹ng hä ®−êng cycloid ⎧ C ⎫ ⎪ x = 1 (2t − sin 2t ) + C 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ C1 ⎨ ⎬ qua A(0,0) → C2 = 0 ®Æt C = , ⎪ y = C1 (1 − cos 2 t ) ⎪ 2 ⎪ ⎩ 2 ⎪ ⎭ 2t = ϕ ta cã ®−êng ®o¶n thêi lµ ®−êng cycloid, m« t¶ bëi ph−¬ng tr×nh d¹ng tham sè sau: ⎧x = C(ϕ − sin ϕ) y y ⎨ hay x = c[arcos(1- ) - sin(arcos(1- ))] ⎩ y = C(1 − cos ϕ) c c víi C = b¸n kÝnh vßng trßn l¨n ®Ó vÏ ra Cycloid, x¸c ®Þnh theo y1 = y(x1). 6.3.4.3. §iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm d¹ng I[u(x,y)] I[u(x,y)] = ∫∫ F (x,y,u,ux,uy)dxdy D - CÇn t×m hµm u(x,y) trong miÒn D cã trÞ sè cho tr−íc trªn biªn W ∈ D, lµm cùc tiÓu phiÕm hµm ∂u ∂u I[u(x,y)] = ∫∫ F (x,y,u D , )dxdy ∂x ∂y - øng víi c¸c mÆt thay ®æi trong hä mÆt cong u(x,y,ε) = u(x,y) + ε[ u (x,y) - u(x,y) ] = u(x,y) + εδu(x,y) th× phiÕm hµm I[u(x,y,ε)] chØ phô thuéc ε, ®−îc cùc tiÓu khi: d I[u(x,y,ε)]ε=0 = δI = 0, tøc lµ khi: dε 82
  19. ⎡ ∂u ∂u ∂u ⎤ δI = ∫∫ ⎢ Fu + Fu x x + Fuy y ⎥ dxdy D ⎣ ∂ε ∂ε ∂ε ⎦ ε=0 = ∫∫ F δµ + F D u ux δu x + Fuy δu y )dxdy = 0 U u u(x,y U(x,y) δU u u(x,y U(x,y) ⎧∂ ∂Fu x ⎪ ∂x ( Fu x δu ) = δu + Fu x δu x ⎪ ∂x - V× cã: ⎨ ∂ ∂Fu y s ⎪ (Fu δu ) = δu + Fu y δu y y ⎪ ∂y ⎩ y ∂y D 0 nªn ∫∫ ( Fu δu D x x + Fuyδu y ) dxdy = W x ⎡∂ ∂ ⎤ = ∫∫ ⎢ ( Fu x δu ) + (Fu y δu )⎥ dxdy- H.42. §Ó cùc tiÓu D ⎣ ∂x ∂y ⎦ phiÕm hµm I[µ(x,y)] ∂Fu x ∂Fu y ∫∫ ( D ∂x + ∂y )δudxdy ∂Fu x ∂Fu y = - ∫∫ ( + )δudxdy D ∂x ∂y ∂ ∂ (do theo c«ng thøc Green cã: ∫∫[ D ∂x ( Fu x δu ) + ( Fu y δu )]dxdy ∂y = ∫ ( Fu x δu − Fu y δu )dx = 0 v× δu|W = 0) w - V× vËy, ®iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm lµ: ∂Fu x ∂Fu y δI = ∫∫ (Fu − − )δudxdy = 0, do δu|D ≠ 0 suy ra: D ∂x ∂y ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F → − ( )− ( )=0 ∂u ∂x ∂u x ∂y ∂u y §Þnh lý Euler-Lagrange N02: §Ó cùc tiÓu phiÕm hµm: I[u(x,y)] = ∫∫ F (x,y,u,ux,uy,)dxdy, D hµm 83
  20. ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F u(x,y) cÇn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: − ( )− ( )=0 ∂u ∂x ∂u x ∂y ∂u y 6.3.4.4. §iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm d¹ng I[u(x,y,z)]. C¸c bµi to¸n truyÒn nhiÖt 3 chiÒu kh«ng æn ®Þnh víi biªn lo¹i 2 vµ 3 th−êng t−¬ng øng víi phiÕm hµm d¹ng: 2 I[u(x,y,z)] = ∫∫∫ F (x,y,z,t,tx,ty,tz)dV+ ∫ (qt + α )ds t D S 2 - Khi cùc tiÓu phiÕm hµm I, cÇn cã δI = 0, tøc lµ: ⎡ ∂F ∂F ∂F ∂F ⎤ δI = ∫ ⎢ V ⎢ ∂t ⎣ δt + ∂t x δt x + ∂t y δt y + ∂t z ⎥ ⎦ ∫ δt z ⎥ dV+ (qδt + αtδt )ds = S 0 ∂t ∂ - Theo δtx = δ ( ) = (δt ) , v.v., ta cã: ∂x ∂x δI= z ⎡ ∂F ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F ∂ ⎤ ∫ ⎢ δt + . ( δt ) + . ( δt ) + . ( δt ) ⎥ d → ny V ⎢ ∂t ∂t x ∂x ∂t y ∂y ∂t z ∂z 0 ⎣ ⎥ ⎦ S V+ ∫ δt (q + αt )d s = 0 S V y - Sau khi tÝch ph©n tõng phÇn (per partes) ta 0 cã: x ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F ∫ ∂t V . (δt )dV = ∫ x ∂x S ∂t x δt.l x dS - ∫ δt .( )dV V ∂x ∂t x H.43. MiÒn tÝch ph©n V,S cña bµi to¸n 3 chiÒu ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F ∫ ∂t y ∂y V . (δt )dV = S ∂t y ∫ V ∫ δt.l y dS - δt .( )dV ∂y ∂t y ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F ∫ ∂t V . (δt )dV = ∫ z ∂z S ∂t z δt.l z dS - ∫ δt .( )dV V ∂z ∂t z víi lx, ly, lz lµ cosin chØ ph−¬ng cña ph¸p tuyÕn n phÝa ngoµi V t¹i M ∈ S. Do ®ã, ®iÒu kiÖn δI = 0 sÏ cã d¹ng: 84