Xem mẫu

  1. B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O S GIÁO D C ĐÀO T O HÒA BÌNH NGUY N VĂN M U (CH BIÊN) Đ NG HUY RU N, NGUY N MINH TU N K Y U TR I HÈ HÙNG VƯƠNG L N TH IV - 2008 HÒA BÌNH 18-21/2008
  2. M cl c L i nói đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 Đ thi Olympic Toán h c Hùng vương 8 1.1 Olympic Toán h c Hùng vương l n th 1, năm 2005 . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Olympic Toán h c Hùng vương l n th 2, năm 2006 . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3, năm 2007 . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Olympic Toán h c Hùng vương l n th 4, năm 2008 . . . . . . . . . . . . 10 2 Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương 12 2.1 Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 1 . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 4 . . . . . . . . . . . . . 22 3 M t s phương pháp gi i toán 26 3.1 Phương pháp quy n p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.1 Nguyên lý quy n p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.2 Phương pháp ch ng minh b ng qui n p . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.3 V n d ng phương pháp qui n p đ gi i toán đ i s và s h c . . 28 3.1.4 V n d ng phương pháp quy n p đ gi i bài t p hình h c . . . . . 37 3.2 Phương pháp ph n ch ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.1 Nguyên lý Dirichlet còn đư c phát bi u dư i nhi u d ng tương t khác: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.2 V n d ng phương pháp ph n ch ng đ gi i toán . . . . . . . . . . 44 3.2.3 V n d ng phương pháp ph n ch ng đ gi i các bài toán không m um c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 Phương pháp suy lu n tr c ti p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4 Phương pháp m nh đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2
  3. M CL C 3 3.4.1 Khái ni m v logic m nh đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4.2 Các phép toán m nh đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4.3 Công th c c a logic m nh đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4.4 Các lu t c a logic m nh đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.5 Phương pháp b ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.6 Phương pháp sơ đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.7 Phương pháp đ th . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.7.1 M t s khái ni m và k t qu cơ b n c a lý thuy t đ th . . . . . 66 3.7.2 Phương pháp đ th . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4 Phương pháp gi i phương trình và h phương trình 73 4.1 Phương pháp nghi m duy nh t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2 Phương pháp b t đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.3 Phương pháp đưa v h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.4 Phương pháp đ o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.5 Phương pháp s d ng các tính ch t đ c bi t c a h th c . . . . . . . . . 90 4.6 Phương pháp Lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.6.1 Cơ s lý thuy t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.6.2 Trình t l i gi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.6.3 Ví d minh ho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.7 S d ng đ nh lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.8 S d ng đ nh lý Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.9 H phương trình d ng hoán v vòng quanh . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.10 Các phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.10.1 S d ng phép bi n đ i h qu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.10.2 S d ng tính ch t c a hàm s liên t c . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.10.3 Đ ng c p hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.10.4 S d ng hình h c, vectơ, to đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.10.5 S d ng hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5 S đ i x ng và m t s quy lu t c a phép nhân 139 5.1 S đ i x ng và m t s tính ch t liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.2 Nh n xét v m t s quy lu t trong b n c u chương . . . . . . . . . . . . 142 6 M t s phương pháp gi i bài toán chia h t 146
  4. M CL C 4 6.1 Các s nguyên và các phép tính s nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.2 Các đ nh lý v chia h t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.3 Phép chia có dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.1 Đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.2 S t n t i và duy nh t c a phép chia có dư . . . . . . . . . . . . 149 6.4 Phương pháp dùng phép chia có dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.5 Phương pháp đ ng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.5.1 Phép đ ng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.5.2 Phương pháp đ ng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.6 Phương pháp s d ng tính tu n hoàn khi nâng lên lũy th a . . . . . . . 161 6.6.1 S tu n hoàn c a các s dư khi nâng lên lũy th a . . . . . . . . . 161 6.6.2 Thu t toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.7 Phương pháp quy n p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.7.1 Nguyên lý quy n p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.7.2 Phương pháp ch ng minh b ng quy n p . . . . . . . . . . . . . . 166 6.7.3 V n d ng phương pháp quy n p đ gi i các bài toán chia h t . . . 168 6.8 Tiêu chu n chia h t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.8.1 Phương pháp đ ng dư v i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.8.2 Phương pháp dãy s dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.8.3 Phương pháp nhóm ch s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7 Bi u di n to đ c a các phép bi n hình ph ng 182 7.1 Các khái ni m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.1.1 Các khái ni m đã bi t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.1.2 Các khái ni m b sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.2 Bi u di n to đ c a phép bi n hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.2.1 Các đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.2.2 Ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.3 Phép bi n hình tuy n tính (affin) và các tính ch t . . . . . . . . . . . . . 190 7.3.1 Các đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 7.3.2 Các đ nh lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 7.4 Phép d i hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8 M t s phép bi n hình ph ng thư ng g p 196 8.1 Các phép d i hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
  5. M CL C 5 8.1.1 Phép t nh ti n song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.1.2 Phép quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 8.1.3 Phép đ i x ng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 8.1.4 Phép đ i x ng tr c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 8.2 Phép v t và phép đ ng d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.2.1 Phép v t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.2.2 Phép đ ng d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.3 M t s phép bi n hình khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.3.1 Phép co tr c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.3.2 Phép ngh ch đ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8.4 Bài t p áp d ng phép bi n hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.4.1 Bài t p lý thuy t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.4.2 S d ng phép bi n hình gi i bài t p hình h c . . . . . . . . . . . 215
  6. L i nói đ u Trên b n mươi năm th c hi n "Chương trình đào t o và b i h c sinh năng khi u toán b c ph thông" là m t ch ng đư ng c a m t chu trình đ c bi t g n v i s kh i đ u, trư ng thành và ngày càng hoàn thi n xu t phát t m t mô hình đào t o năng khi u Tóan h c đ c bi t t i Đ i h c T ng h p Hà N i. Hư ng đào t o mũi nh n này mang tính đ t phá cao, đã đào t o ra các th h h c sinh có năng khi u trong lĩnh v c toán h c, tin h c và khoa h c t nhiên: V t lý, Hoá h c, Sinh h c và khoa h c s s ng. Trong đi u ki n thi u th n v v t ch t kéo dài qua nhi u th p k và tr i qua nhi u thách th c, chúng ta đã tìm ra hư ng đi phù h p, đã đi lên v ng ch c và n đ nh, đã tìm tòi, tích lu kinh nghi m và có nhi u sáng t o đáng ghi nh n. Các th h Th y và Trò đã đ nh hình và ti p c n v i th gi i văn minh tiên ti n và khoa h c hi n đ i, c p nh t thông tin, sáng t o phương pháp và t p dư t nghiên c u. G n v i vi c tích c c đ i m i phương pháp d y và h c, chương trình đào t o các h chuyên đang hư ng t i xây d ng h th ng chuyên đ , đang n l c và đã t ch c thành công Kỳ thi Olympic Toán qu c t l n th 48, năm 2007 t i Vi t Nam đã thành công t t đ p, đư c b n bè qu c t ca ng i. Sau g n n a th k hình thành và phát tri n, có th nói, giáo d c mũi nh n ph thông (giáo d c năng khi u) đã thu đư c nh ng thành t u r c r , đư c Nhà nư c đ u tư có hi u qu , đư c xã h i th a nh n và b n bè qu c t khâm ph c. Các đ i tuy n qu c gia tham d các kỳ thi Olympic qu c t có b dày thành tích mang tính n đ nh và có tính k th a. Đ c bi t, các trư ng THPT Chuyên các t nh khu v c mi n núi phía b c đã ti n nh ng bư c dài trên còn đư ng nâng cao ch t lư ng giáo d c và đào t o h c sinh gi i b c ph thông. Nhi u h c sinh đã dành các gi i cao t i các kỳ thi Olympic qu c t , Olympic khu v c và các kỳ thi h c sinh gi i qu c gia. T năm 2005, các trư ng THPT chuyên đã có sáng ki n t o ra m t tr i hè đ c thù, sân chơi văn hóa và khoa h c cho đ i ngũ các th y, các cô và h c sinh năng khi u thu c các trư ng THPT Chuyên các t nh khu v c mi n núi phía b c, đó là Tr i Hè Hùng Vương. Trong các n i dung sinh ho t c a tr i hè Hùng Vương đ i v i các môn Toán h c, V t lý, Sinh h c và Văn h c có các kỳ thi Olympic Hùng Vương. Kỳ thi trong khuôn kh ki n th c l p 10 ph thông như là m t s t p dư t c a các đ i tuy n chu n b hành trang cho các kỳ thi Olympic Hà N i m r ng, Olympic Singapore m r ng và kỳ thi h c sinh gi i qu c gia. H c sinh các l p năng khi u đã ti p thu t t các ki n th c cơ b n do H i đ ng c v n khoa h c là các giáo sư, các nhà khoa h c t các trư ng đ i h c và H i Toán h c Hà N i cung c p. Các ki n th c này đã đư c cân nh c n m trong khuôn kh các ki n th c nâng cao đ i v i các l p chuyên toán - tin, v t lý, sinh h c ... V i mong mu n t o đi u ki n cho các th y giáo, cô giáo và đông đ o các em h c sinh 6
  7. M CL C 7 gi i toán và yêu môn toán, chúng tôi vi t cu n k y u nh này nh m cung c p các tư li u v toán h c qua b n kỳ Olympic Hùng Vương và h th ng m t s ki n th c b tr g n v i n i dung chương trình l p 10. Hy v ng r ng, các th y, các cô, các em h c sinh s tìm th y nh ng đi u b ích t cu n tư li u này. Chúng tôi xin chân thành c m ơn Ban T ch c Tr i hè Hùng Vương, xin c m ơn S Giáo D c Đào T o Hòa Bình, c m ơn các trư ng THPT Chuyên t các t nh khu v c mi n núi phía b c, các đơn v tài tr đã t o đi u ki n đ cu n K y u k p ra m t k p th i ngay trong th i gian t ch c h i th o t i thành ph Hòa Bình. Vì th i gian r t g p gáp, không có đi u ki n hi u đính chi ti t nên ch c ch n cu n k y u này còn nhi u khi m khuy t v n i dung và hình th c. Chúng tôi cũng xin chân thành c m ơn các b n đ c cho nh ng ý ki n đóng góp đ cu n k y u đư c hoàn ch nh. Các ý ki n đóng góp xin g i v Trư ng THPT Chuyên Hoàng Văn Th , thành ph Hòa Bình. Thay m t Ban C v n chuyên môn GS TSKH Nguy n Văn M u
  8. Chương 1 Đ thi Olympic Toán h c Hùng vương 1.1 Olympic Toán h c Hùng vương l n th 1, năm 2005 Câu 1. Các s nguyên dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 l p thành m t c p s c ng tăng. H i l p đư c bao nhiêu c p s c ng tho mãn đi u ki n a1 > 50 và a5 < 100? Câu 2. Các s nguyên dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 l p thành m t c p s nhân tăng. H i l p đư c bao nhiêu c p s nhân tho mãn đi u ki n a5 < 100? Câu 3. Các s dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 tho mãn các đi u ki n (i) 2a1 , 2a2 , 2a3 , 2a4 , 2a5 là các s nguyên dương, (ii) a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 99. Tìm giá tr l n nh t c a tích P = a1 a2 a3 a4 a5 . Câu 4. Gi s tam th c b c hai f (x) luôn luôn dương v i m i x. Ch ng minh r ng f (x) vi t đư c dư i d ng t ng bình phương c a hai nh th c b c nh t. Câu 5. Gi s hàm trùng phương g(x) = x4 + bx2 + c luôn luôn dương v i m i x. Ch ng minh r ng g(x) vi t đư c dư i d ng t ng bình phương c a hai tam th c b c hai. Câu 6. Cho hình vuông ABCD. Tìm qu tích các đi m M thu c hình vuông (ph n bên trong và biên c a hình vuông) sao cho di n tích các tam giác M AB và M AC b ng nhau. Câu 7. Cho hình vuông ABCD. Gi s E là trung đi m c nh CD và F là m t đi m bên trong hình vuông. Xác đ nh v trí đi m Q thu c c nh AB sao cho AQE = BQF . 8
  9. 1.2. Olympic Toán h c Hùng vương l n th 2, năm 2006 9 1.2 Olympic Toán h c Hùng vương l n th 2, năm 2006 Câu 1. S đo các góc trong c a m t ngũ giác l i có t l 2 : 3 : 3 : 5 : 5. S đo c a góc nh nh t b ng [(A)] 200 , [(B)] 400 , [(C)] 600 , [(D)] 800 [(E)] 900 . Câu 2. Cho a = 0. Gi i h phương trình  x2005 + y 2005 + z 2005 = a2005  x2006 + y 2006 + z 2006 = a2006  2007 x + y 2007 + z 2007 = a2007 .  Câu 3. Xác đ nh b s dương a, b, c sao cho ax9 y 12 + by 9 z 9 + cz 11 x8 15x4 y 8 z 7 , ∀x > 0, y > 0, z > 0. Câu 4. Cho tam giác ABC và đi m M thu c BC. Xét hình bình hành AP M N , trong đó P thu c AB và N thu c AC và hình bình hành ABDC v i đư ng chéo AD và BC. O là giao đi m c a BN và CP . Ch ng minh r ng P M O = N M O khi và ch khi BDM = CDM . Câu 5. Cho s dương M . Xét các tam th c b c hai g(x) = x2 + ax + b có nghiêm th c x1 , x2 và các h s tho mãn đi u ki n max{|a|, |b|, 1} = M. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c (1 + |x1 |)(1 + |x2 |). 1.3 Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3, năm 2007 Câu 1. M t đa giác l i có nhi u nh t là bao nhiêu góc nh n? (A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5; (E) 6. Câu 2. M t đa giác l i có nhi u nh t là bao nhiêu góc không tù? (A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5; (E) 6. Câu 3. Xác đ nh hai ch s t n cùng c a s sau M = 23 + 202006 + 2002007 + 20062008 ?
  10. 1.4. Olympic Toán h c Hùng vương l n th 4, năm 2008 10 (A) 04; (B) 34; (C) 24; (D) 14; (E) Khác các đáp s đã nêu. Câu 4. Có n viên bi trong h p đư c g n nhãn l n lư t là 1, 2, . . . , n. Ngư i ta l y ra m t viên bi thì t ng các nhãn c a s bi còn l i là 5048. H i viên bi đó đư c g n nhãn là s nào? (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4; (E) 5. Câu 5. Cho s t nhiên abc chia h t cho 37. Ch ng minh r ng các s bca và cab cũng chia h t cho 37. Câu 6. Cho 0 < a 2. Gi i h phương trình sau x + 1 = ay      x  1 y + = az   y   1 z + = ax.  z Câu 7. Cho hình bình hành ABCD có AB < BC. Đư ng phân giác BP c a góc ∠ABC c t AD P . Bi t r ng ∆P BC là tam giác cân, P B = P C = 6cm và P D = 5cm. Tính đ dài các c nh c a hình bình hành. Câu 8. Ch ng minh r ng tam th c b c hai g(x) = 3x2 − 2ax + b có nghi m khi và ch khi t n t i b s α, β, γ sao cho a=α+β+γ b = αβ + βγ + γα. Câu 9. Cho ba s dương a1 , a2 , a3 . Các s nguyên α1 , α2 , α3 và β1 , β2 , β3 cho trư c tho mãn các đi u ki n a1 α1 + a2 α2 + a3 α3 = 0 a1 β1 + a2 β2 + a3 β3 = 0. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c M = a1 xα1 y β1 + a2 xα2 y β2 + a3 xα3 y β3 , x > 0, y > 0. Câu 10. Tính 1 1 M= π + . cos 5 cos 3π 5 1.4 Olympic Toán h c Hùng vương l n th 4, năm 2008 Câu 1. Hai ch s t n cùng c a s M = 22008 là
  11. 1.4. Olympic Toán h c Hùng vương l n th 4, năm 2008 11 (A) 16, (B) 36, (C) 56, (D) 76, (E) không ph i là các đáp s trên Câu 2. Cho m, n là các s nguyên dương sao cho s A = m2 + 5mn + 9n2 có ch s t n cùng b ng 0. Khi đó hai ch s t n cùng c a A là (A) 00, (B) 20, (C) 40, (D) 60, (E) không ph i là các đáp s trên Câu 3. H i có bao nhiêu s nguyên t 1 đ n 2008 đ ng th i không chia h t cho 2, 3 và 5? Câu 4. Gi i h phương trình sau  x + xy + y = 5  y + yz + z = 11  z + zx + x = 7  Câu 5. Có th tìm đư c hay không năm s nguyên sao cho các t ng c a t ng c p trong năm s đó l p thành mư i s nguyên liên ti p? Câu 6. Ch ng minh r ng t n t i s t nhiên A có 4 ch s t n cùng là 2008 và chia h t cho 2009. Câu 7. Xét hình thoi ABCD c nh b ng a. G i r1 , r2 l n lư t là bán kính các đư ng tròn ngo i ti p các tam giác ABD, ABC. Ch ng minh r ng giá tr c a bi u th c a 2 a 2 + r1 r2 luôn luôn không đ i. Câu 8. Gi i phương trình sau √ 4x2 + 2 = 3 4x3 + x 3 Câu 9. Cho ba s th c x, y, z th a mãn đi u ki n x2 + y 2 + z 2 + xy + yz + zx = 25. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c T = x2 + 3y 2 + 9z 2 .
  12. Chương 2 Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương 2.1 Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 1 Câu 1. Các s nguyên dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 l p thành m t c p s c ng tăng. Có bao nhiêu c p s c ng tho mãn đi u ki n a1 > 50, a5 < 100? Gi i. Ta có a5 = a1 + 4d v i d nguyên dương sao cho a1 > 50 (2.1) a1 + 4d < 100 N u d 13 thì a5 > 50 + 4.13 > 100. V y, 1 d 12. T đây ta có tính toán c th cho t ng trư ng h p: d = 1. Có 45 dãy. d = 2. Có 41 dãy. d = 3. Có 37 dãy. d = 4. Có 33 dãy. d = 5. Có 29 dãy. d = 6. Có 25 dãy. d = 7. Có 21 dãy. d = 8. Có 17 dãy. 12
  13. 2.1. Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 1 13 d = 9. Có 13 dãy. d = 10. Có 9 dãy. d = 11. Có 5 dãy. d = 12. Có 1 dãy. Có 1 + 5 + 9 + · · · 41 + 45 = (1 + 45) × 6 = 276 dãy. Cách khác: Sau khi ch ng minh 1 d 12, ta xây d ng công th c t ng quát 12 S = 49 × 12 − 4 d d=1 và thu đư c S = 276. Câu 2. Các s nguyên dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 l p thành m t c p s nhân tăng. Có bao nhiêu c p s nhân tho mãn đi u ki n a5 < 100? n Gi i. Gi s là công b i c a c p s nhân tho mãn đi u ki n bài toán, n > m, m n4 (m, n) = 1. Khi đó a5 = a1 4 , nên a1 = km4 v i k nguyên dương. Các s h ng c a c p m s nhân đó là km4 , km3 n, km2 n2 , kmn3 , kn4 . N u n > 4 thì kn4 n4 > 256 > 100. Vì v y n = 2 và n = 3. n = 3 và m = 2 thì 81k < 100 nên k = 1. Có m t c p s (16, 24, 36, 54, 81). n = 3 và m = 1 thì 81k < 100 nên k = 1. Có m t c p s (1, 3, 9, 27, 81). n = 2 và m = 1 thì 16k < 100 nên k = 1, 2, . . . , 6. Có 6 c p s : (1, 2, . . .), (2, 4, . . .), (3, 6, . . .), (4, 8, . . .), (5, 10, . . .), (6, 12, . . .). V y t ng c ng có 8 c p s nhân tho mãn đi u ki n a5 < 100. Câu 3. Các s dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 tho mãn các đi u ki n (i) 2a1 , 2a2 , 2a3 , 2a4 , 2a5 là các s nguyên dương (ii) a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 99.
  14. 2.1. Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 1 14 Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a tích P = a1 a2 a3 a4 a5 ? Gi i. Vi t bài toán dư i d ng Các s nguyên dương x1 , x2 , x3 , x4 , x5 tho mãn các đi u ki n x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 198. 1 Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a tích P = xxxxx? 25 1 2 3 4 5 3.198 Không gi m t ng quát, gi s x1 ≤ x2 ··· x5 . Khi đó x3 +x4 +x5 = 118. 5 N u x3 + x4 + x5 = 118 thì x1 + x2 = 40. D th y vô lý. N u x3 + x4 + x5 = 119 thì cũng không x y ra. Do v y, ta xét x3 + x4 + x5 120. áp dung b t d ng th c Cauchy, ta có 5 40(x1 + x2 ) + 39(x3 + x4 + x5 ) (40x1 )(40x2 )(39x3 )(39x4 )(39x5 ) 5 40(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ) − (x3 + x4 + x5 ) = 5 40 × 198 − 120 = 1560. 5 T đó suy ra Pmax = 3042000 khi a1 = a2 = 19, 5 và a3 = a4 = a5 = 20. Câu 4. Gi s tam th c b c hai f (x) luôn dương v i m i x. Ch ng minh r ng f (x) vi t đư c dư i d ng t ng bình phương c a hai nh th c b c nh t. Gi i. Theo gi thi t, ta có f (x) = ax2 + bx + c > 0, ∀x ∈ R. Suy ra √ b 2 −∆ f (x) = ax + √ + > 0, ∀x ∈ R. a 4a S d ng đ ng nh t th c A+B 2 A−B 2 A2 + B 2 = √ + √ , 2 2 ta có ngay đi u ph i ch ng minh. Câu 5. Gi s hàm trùng phương g(x) = x4 + bx2 + c luôn luôn dương v i m i x. Ch ng minh r ng g(x) vi t đư c dư i d ng t ng bình phương c a hai tam th c b c hai. Gi i. Nh n xét r ng c > 0.
  15. 2.2. Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 15 Khi ∆ < 0, ta nh n đư c k t qu như Câu 4. √ Khi ∆ ≥ 0 t c là b2 − 4c ≥ 0 hay b − 2 c ≥ 0, khi đó ta s d ng bi n đ i sau √ √ g(x) = (x2 + c)2 + (b − 2 c)x2 . Câu 6. Cho hình vuông ABCD. Tìm qu tích các đi m M thu c hình vuông (ph n bên trong và biên c a hình vuông) sao cho di n tích các tam giác M AB và M AC b ng nhau. Gi i. Gi s t n t i đi m M tho mãn yêu c u bài toán. N i AM , ký ki u I là giao đi m c a AM v i BC. H các đư ng BH, CK vuông góc v i AM. 1) Xét trư ng h p M thu c tam giác ABC. T gi thi t suy ra BH = CK. Do đó, ta có hai tam giác b ng nhau BHI = CKI. V y, I c n ph i n m trên đo n th ng AI. Ngư c l i, d dàng chưng minh đư c r ng, n u M ∈ AI thì S(M AB) = S(M AC). 2) Xét trư ng h p M thu c tam giác ADC. T gi thi t suy ra BH = CK. Do đó, M ∈ AD. V y, M c n ph i n m trên c nh AD. Ngư c l i, d dàng ch ng minh đư c r ng n u M ∈ AD thì hai tam giác M AB và M AC có di n tích b ng nhau. Câu 7. Cho hình vuông ABCD. Gi s E là trung đi m c nh CD và F là m t đi m bên trong hình vuông. Xác đ nh v trí đi m Q thu c c nh AB sao cho AQE = BQF . Gi i. Gi s t n t i đi m Q ∈ AB tho mãn đi u ki n bài toán. Ký hi u P là đi m gi a c nh AB và K là chân đư ng vuông góc c a F lên AB. Xét trư ng h p K ∈ P B. D dàng ch ng minh Q ∈ P B. G i F là đi m đ i x ng c a F qua AB. D dàng th y r ng F QB = F QB. Suy ra AQE = B QF . Do đó, ba đi m E, Q, F th ng hàng. Hay, Q là giao đi m c a EF v i AB. Xét trư ng h p K ∈ AP. D dàng ch ng minh Q ∈ AP. Tương t như trư ng h p trên, ta ch ng minh đư c Q là giao đi m c a EF v i AB. 2.2 Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 Câu 1. S đo các góc trong c a m t ngũ giác l i có t l 2 : 3 : 3 : 5 : 5. S đo c a góc nh nh t b ng [(A)] 200 , [(B)] 400 , [(C)] 600 , [(D)] 800 [(E)] 900 . Gi i. [(C)]. T ng các góc trong c a ngũ giác l i có s đo b ng 5400 . Khi đó 2x + 3x + 3x + 5x + 5x = 5400 .
  16. 2.2. Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 16 Suy ra x = 300 . V y, s đo góc nh nh t b ng 600 . Câu 2. Cho a = 0. Gi i h phương trình  x2005 + y 2005 + z 2005 = a2005  x2006 + y 2006 + z 2006 = a2006  2007 x + y 2007 + z 2007 = a2007 .  Gi i. Trư c h t ta gi i h phương trình  x2005 + y 2005 + z 2005 = 1  x2006 + y 2006 + z 2006 = 1 (2.2)  2007 x + y 2007 + z 2007 = 1.  T phương trình th 2 trong h (2.2) d dàng suy ra x, y, z ∈ [−1, 1] . Tr phương trình th 2 cho phương trình th ba trong h đó ta thu đư c x2006 (1 − x) + y 2006 (1 − y) + z 2006 (1 − z) = .0 D dàng suy ra x = 0, 1; y = 0, 1; z = 0, 1. Th l i ta đư c ba nghi m c a h (2.2) là (x, y, z) = (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1). Bây gi ta gi i bài toán. Đ t x y z x =, y = , z = . a a a Khi đó (x , y , z ) là nghi m c a phương trình (2.2). V y nghi m c a bài toán là (x, y, z) = (a, 0, 0); (0, a, 0); (0, 0, a). Câu 3. Xác đ nh b s dương a, b, c sao cho ax9 y 12 + by 9 z 9 + cz 11 x8 15x4 y 8 z 7 , ∀x > 0, y > 0, z > 0. Gi i. S d ng b t đ ng th c gi a các trung bình c ng và nhân au + bv + cw (ua v b wc )1/(a+b+c) , ∀a, b, c; u.v, w > 0. (2) a+b+c D u đ ng th c x y ra khi và ch khi u = v = w = 1. Ta c n ch n các s dương a, b, c sao cho đ ng th i x y ra 9 8  ax + b.1 + cx   x4 , ∀x > 0,     15    ay 12 + by 9 + c.1  y 8 , ∀y > 0,    15     a.1 + bz 9 + cz 11  z 7 , ∀z > 0.   15
  17. 2.2. Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 17 Theo (2) thì   a + b + c = 15   9a + 8c    =4 15  12a + 9b  =8 15    9b + 11c    = 7. 15 H phương trình tuy n tính này cho ta nghi m duy nh t a = 4, b = 8 và c = 3. Th các giá tr a, b, c vào v trái c a (1), ta thu đư c 4x9 y 12 + 8y 9 z 9 + 3z 11 x8 15x4 y 8 z 7 , ∀x > 0, y > 0, z > 0 là đúng. Th t v y, ta có 4x9 y 12 + 8y 9 z 9 + 3z 11 x8 = 15 (x9 y 12 + · · · + x9 y 12 ) + (y 9 z 9 + · · · + y 9 z 9 ) + (z 11 x8 + z 11 x8 + z 11 x8 ) 15 1/15 x4.9+3.8 y 4.12+8.9 z 8.9+3.11 = x4 y 8 z 7 , t c là 4x9 y 12 + 8y 9 z 9 + 3z 11 x8 15x4 y 8 z 7 , ∀x > 0, y > 0, z > 0, đi u ph i ch ng minh. Câu 4. Cho tam giác ABC và đi m M thu c BC. Xét hình bình hành AP M N , trong đó P thu c AB và N thu c AC và hình bình hành ABDC v i đư ng chéo AD và BC. O là giao đi m c a BN và CP . Ch ng minh r ng P M O = N M O khi và ch khi BDM = CDM . Gi i. Ta ch ng minh các đi m O, M, D th ng hàng. Gi s đư ng th ng ch a OM c t BD và CD l n lư t t i D1 và D2 tương ng. Ta ch ng minh D1 ≡ D2 ≡ D. G i K là giao đi m c a M P và BN , L là giao đi m c a M N và CP . Khi đó thì NK AP NL = = . NB AB NM Suy ra NK NL = . NB NM Do đó KL BC. V y nên OM OK OL OM = = = . OD1 OB OC OD2 Đi u đó ch ng t D1 ≡ D2 ≡ D hay các đi m O, M, D th ng hàng. Khi đó hi n nhiên M P O = N P O khi và ch khi BDP = CDP .
  18. 2.3. Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 18 Câu 5. Cho s dương M . Xét các tam th c b c hai g(x) = x2 + ax + b có nghiêm th c x1 , x2 và các h s tho mãn đi u ki n max{|a|, |b|, 1} = M. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c (1 + |x1 |)(1 + |x2 |). Gi i. Ta có √ √ −a − a2 − 4b −a + a2 − 4b x1 = , x2 = 2 2 và (1 + |x1 |)(1 + |x2 |) = 1 + |x1 x2 | + |x1 | + |x2 | = 1 + |b| + |x1 | + |x2 |. N ub 0 thì |x1 | + |x2 | = |x1 + x2 | = |a|. Do đó (1 + |x1 |)(1 + |x2 |) 1 + |b| + |a| 1 + 2M. (1) N u b < 0 thì x1 < 0, và x2 > 0. Khi đó √ a+a2 − 4b |x1 | = , 2 √ −a + a2 − 4b |x2 | = . 2 Suy ra √ √ |x1 | + |x2 | = a2 − 4b M 2 + 4M . Do đó √ (1 + |x1 |)(1 + |x2 |) 1+M + M 2 + 4M . (2) So sánh (1) và (2), ta thu đư c √ max[(1 + |x1 |)(1 + |x2 |)] = 1 + M + M 2 + 4M và đ t đư c khi a = ±M , b = −M . Lúc đó phương trình b c hai có d ng x2 ± M x − M = 0. 2.3 Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 Câu 1. M t đa giác l i có nhi u nh t là bao nhiêu góc nh n? (A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5; (E) 6. Gi i. (B) 3.
  19. 2.3. Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 19 Câu 2. M t đa giác l i có nhi u nh t là bao nhiêu góc không tù? (A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5; (E) 6. Gi i. (C) 4. Câu 3. Xác đ nh hai ch s t n cùng c a s sau M = 23 + 202006 + 2002007 + 20062008 ? (A) 04; (B) 34; (C) 24; (D) 14; (E) Khác các đáp s đã nêu. Gi i. (C) 24. Câu 4. Có n viên bi trong h p đư c g n nhãn l n lư t là 1, 2, . . . , n. Ngư i ta l y ra m t viên bi thì t ng các nhãn c a s bi còn l i là 5048. H i viên bi đó đư c g n nhãn là s nào? (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4; (E) 5. Gi i. (B) 2. Ta có n(n + 1) 1 + 2 + ··· + n = . 2 V y nên n(n + 1) − k = 5048 2 hay n(n + 1) − 2k = 10096. Ta có đ ng th c sau: 100.101 − 22 = 10096. Câu 5. Cho s t nhiên abc chia h t cho 37. Ch ng minh r ng các s bca và cab cũng chia h t cho 37. Gi i. Ta có, theo gi thi t thì . M = (100a + 10b + c) . 37 . và N = 11bca = 1100b + 110c + 11a. Suy ra . M + N = 111(a + 10b + c) . 37. . Ti p theo, ta có P = 101cab = 10100c + 1010a + 101b
  20. 2.3. Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 20 nên . M + P = 111(a + b + 273c) . 37. . Câu 6. Cho 0 < a 2. Gi i h phương trình sau x + 1 = ay      x  1 y + = az   y   1 z + = ax.  z 1 Gi i. Ch c n xét x, y, z > 0. T bài ra, do x + 2, nên ch c n xét x, y, z 1. G i x x = max{x, y, z}. N uy z thì ax ay az nên 1 1 1 z+ x+ y+ . z x x Do x, y, z 1 nên 1 1 z x hay x z. Suy ra x = y = z và t đó ta có -N u0