Xem mẫu

  1. Các đ nh lí và đ nh đ c a cơ h c lư ng t Lý Lê Ngày 8 tháng 12 năm 2009 Tóm t t n i dung Trong nh ng ph n trư c, chúng ta đã áp d ng cơ h c lư ng t đ kh o sát nh ng h hóa h c h c đơn gi n như h t chuy n đ ng trong h p, s dao đ ng và s quay c a phân t hai nguyên t , nguyên t hydro và gi ng hydro. Trong ph n này, chúng ta s tóm t t nh ng đ nh lí và đ nh đ đã đư c đ c p trư c đó. Đây là cơ s đ phát tri n cơ h c lư ng t xa hơn nh m gi i quy t nh ng h hóa h c ph c t p thư ng g p trong th c t . 1 Kí hi u bra − ket Tích vô hư ng c a hai hàm s ϕm (x) và ϕn (x) đư c xác đ nh như sau +∞ ϕ∗ (x)ϕn (x)dx m (1) −∞ Đ i v i nh ng hàm c a các t a đ (x, y, z), tích vô hư ng c a hai hàm ϕm (x, y, z) và ϕn (x, y, z) là +∞ ϕ∗ (x, y, z)ϕn (x, y, z)dxdydz m (2) −∞ Đ i v i nh ng hàm c a các t a đ (r, θ, ϕ), tích vô hư ng c a hai hàm ϕm (r, θ, ϕ) và ϕn (r, θ, ϕ) là 2π π +∞ ϕ∗ (r, θ, ϕ)ϕn (r, θ, ϕ)r2 sin θdrdθdϕ m (3) 0 0 −∞ M t cách t ng quát, chúng ta s d ng dτ đ ch tích phân toàn ph n c a t t c nh ng t a đ trong h đang xét và vi t tích vô hư ng c a hai hàm ϕm , ϕn dư i d ng ϕ∗ ϕn dτ m (4) 1
  2. Đơn gi n hơn, ta s d ng các kí hi u ket và bra cho các tích phân. Theo đó, tích phân hàm ψi đư c g i là ket và kí hi u như sau ψi dτ = ψi = i (5) ∗ Tích phân c a hàm liên h p ph c ψj đư c g i là bra ∗ ψj dτ = ψj = j (6) Ví d : ∗ ψj (x)ψi (x)dx = ψj ψi = j i ϕ∗ (x, y, z)ϕn (x, y, z)dxdydz = m ϕm ϕn = m n Chúng ta có ∗ ϕ∗ ϕn dτ m = (ϕ∗ )∗ (ϕn )∗ dτ = m ϕ∗ ϕm dτ n (7) Do đó ∗ ∗ ϕm ϕn = ϕn ϕm hay mn = nm (8) Đ t bi t ∗ ∗ ϕm ϕm = ϕm ϕm hay mm = mm (9) ∗ Vì tích phân ϕm ϕm = ϕm ϕm nên tích vô hư ng ϕm ϕm là m t k t qu th c. Tương t , ta có ϕm cϕn = c ϕn ϕm ; cϕm ϕn = c∗ ϕn ϕm (10) V i c là h ng s b t kì. Trong kí hi u bra - ket ψm ψn hàm đư c vi t trư c là hàm liên h p ph c c a ψm . N u các đ c hàm ψi c a toán t A tuân theo phương trình ψi ψj = 0 v i m i giá tr i = j (11) thì ta nói các hàm ψi là m t b tr c giao (orthogonal). Hơn n a, n u tích vô hư ng c a ψi v i chính nó b ng đơn v thì ψi đư c g i là đã chu n hóa. 2
  3. M t b nh ng hàm v a tr c giao v i nhau v a chu n hóa đư c g i là b hàm tr c chu n (orthonormal) ψi ψj = δij (12) v i δij đư c g i là Kronecker delta; nó b ng 1 khi i = j và b ng zero khi i = j. 0 n ui=j δij = (13) 1 n ui=j Khi gi i quy t nh ng bài toán liên quan đ n h nhi u electron, ta thư ng g p nh ng tích phân c a m t toán t n m gi a hai hàm fm và fn như sau ∗ fm Afn dτ (14) Có r t nhi u kí hi u đư c dùng đ ch tích phân ki u sandwich như trên. Sau đây là m t s ví d ∗ fm Afn dτ = fm A fn = m A n = Amn (15) Tích phân này còn đư c g i là ph n t ma tr n c a toán t A. 2 Toán t Hermitian 2.1 Đ nh nghĩa Toán t tuy n tính A đư c g i là toán t Hermitian n u có tính ch t sau ∗ fm Afn dτ = fn (Afm )∗ dτ (16) Trong đó fm và fn là nh ng hàm hoàn h o tùy ý. Lưu ý, phương trình trên không có nghĩa là fm Afn = fn (Afm )∗ ∗ S d ng kí hi u ket và bra, ta vi t l i (16) như sau ∗ fm A fn = fn A fm = Afm fn (17) hay ∗ mAn = nAm = Am n (18) d Ví d : Xét hai toán t đ o hàm b c nh t và toán t đ o hàm b c dx d2 hai , v i hai hàm f (x) và g(x) là nh ng hàm th c, xác đ nh trong kho ng dx2 0 ≤ x ≤ 1 và th a mãn đi u ki n biên là f (0) = f (1) = 0. 3
  4. Vì f (x) là hàm th c nên f ∗ (x) = f (x), ta có 1 1 d f ∗ (x) g(x)dx = f (x)g (x)dx 0 dx 0 Áp d ng công th c tính tích phân t ng ph n, đ t u = f (x) dv = g (x)dx Ta có du = f (x)dx v = g(x) Do đó 1 1 1 f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − g(x)f (x)dx 0 0 0 1 = − g(x)f (x)dx 0 1 d = − g ∗ (x) f (x)dx 0 dx Ta th y 1 1 d d f ∗ (x) g(x)dx = − g ∗ (x) f (x)dx (19) 0 dx 0 dx d Như v y, toán t không ph i toán t Hermitian, mà là anti-Hermitian. dx Ti p theo, chúng ta xét 1 1 d2 f ∗ (x) g(x)dx = f (x)g (x)dx 0 dx2 0 Đ t u = f (x) dv = g (x)dx Ta có du = f (x)dx v = g (x) Do đó 1 1 1 f (x)g (x)dx = f (x)g (x) − f (x)g (x)dx 0 0 0 1 = − f (x)g (x)dx 0 Đ t f (x) = h(x) và áp d ng k t qu t (19) 1 1 f (x)g (x)dx = − g(x)f (x)dx 0 0 4
  5. Ta có 1 1 1 f (x)g (x)dx = h(x)g (x)dx = − g(x)h (x)dx 0 0 0 v i h (x) = f (x), nên 1 1 1 f (x)g (x)dx = − g(x)h (x)dx = − g(x)f (x)dx 0 0 0 Do đó 1 1 1 f (x)g (x)dx = − f (x)g (x)dx = g(x)f (x)dx 0 0 0 hay 1 1 d2 d2 f ∗ (x) g(x)dx = g ∗ (x) f (x)dx 0 dx2 0 dx2 d2 Như v y, trong đi u ki n đã xét thì là toán t Hermitian. dx2 2.2 Tính Hermitian c a các toán t trong cơ h c lư ng t N u A là toán t tuy n tính mô t thu c tính v t lí A. Giá tr trung bình thu đư c khi th c hi n phép đo A đư c tính như sau A = Ψ∗ AΨdτ (20) v i Ψ là hàm tr ng thái c a h . Giá tr trung bình c a m t thu c tính v t lí ph i là m t s th c; do đó, ta có ∗ A = A (21) hay ∗ Ψ∗ AΨdτ = Ψ∗ AΨdτ = Ψ(AΨ)∗ dτ (22) Phương trình trên có th bi u di n b ng kí hi u ket - bra ∗ ΨAΨ = ΨAΨ (23) Như v y, n u A là toán t tuy n tính mô t thu c tính v t lí thì nó là toán t Hermitian. d Ví d : Chúng ta ch ng minh toán t px = −i là toán t Hermitian; dx nghĩa là ch ng minh ∞ ∞ ∗ ∗ ψi (x)px ψj (x)dx = ψj (x) px ψi (x) dx (24) −∞ −∞ 5
  6. Ta có ∞ ∞ ∗ ∗ d ψi (x)px ψj (x)dx = ψi (x) − i ψj (x) dx −∞ −∞ dx ∞ ∗ = ψi (x)(−i )ψj (x)dx −∞ Đ t ∗ u = ψi (x) dv = −i ψj (x)dx Ta có ∗ du = (ψi (x)) dx; v = −i ψj (x) ∞ ∞ ∗ ∗ ψi (x)(−i )ψj (x)dx = ψi (x)(−i )ψj (x) −∞ −∞ ∞ ∗ − (−i )ψj (x)(ψi (x)) dx −∞ ∞ ∗ = 0+ ψj (x)(i )(ψi (x)) dx −∞ ∞ ∗ dψi (x) = ψj (x) − i dx −∞ dx ∞ ∗ = ψj (x) px ψi (x) dx −∞ Vì ψ(x) là nh ng hàm mô t tr ng thái c a h nên chúng b tri t tiêu khi x = ±∞, do đó ta có ∞ ∗ ψi (x)(−i )ψj (x) =0 −∞ Như v y, ta có ∞ ∞ ∗ ∗ ψi (x)px ψj (x)dx = ψj (x) px ψi (x) dx −∞ −∞ Đây chính là đi u c n ch ng minh. 3 Các đ nh lí v toán t Hermitian 3.1 Đ nh lí 1 Vì phép đo m t thu c tính v t lí A đư c mô t b i toán t Hermitian A ph i cho k t qu dương nên đ c tr c a toán t Hermitian ph i là s th c. Th t v y, chúng ta xét phương trình đ c tr Aψi = αi ψi 6
  7. Trong đó A là toán t Hermitian; ψi là đ c hàm c a A v i αi là đ c tr ∗ tương ng. Nhân hai v phương trình v i ψi r i l y tích phân toàn ph n, ta đư c ∗ ∗ ∗ ψi Aψi dτ = ψi αψi dτ = αi ψi ψi dτ = αi |ψi |2 dτ Vì A là toán t Hermitian nên ∗ ψi Aψi dτ = ψi (Aψi )∗ dτ = ψ(αi ψ)∗ dτ = αi ∗ ∗ ψi ψi dτ = α∗ |ψi |2 dτ Như v y ∗ ∗ ψi Aψi dτ = αi |ψi |2 dτ = αi |ψi |2 dτ Suy ra ∗ (αi − αi ) |ψi |2 dτ = 0 (25) ∗ ∗ Vì |ψi |2 dτ không th b ng zero t i m i đi m nên αi − αi = 0 hay αi = αi . Nghĩa là, đ c tr αi là s th c. Chúng ta cũng có th s d ng kí hi u ket - bra đ ch ng minh. Ta có ψi A ψi = ψi αi ψi = αi ψi ψi M t khác, ta có ∗ ψi ψi = ψi ψi = ψi ψi Do đó ∗ ∗ ψi A ψi = α∗ ψi ψi ∗ = αi ψi ψi Vì A là toán t Hermitian nên ∗ ψi A ψi = ψi A ψi ∗ αi ψi ψi = αi ψi ψi Suy ra ∗ αi = αi Phương trình đúng khi αi là s th c. Tóm l i, các đ c tr c a toán t Hermitian là s th c. 7
  8. 3.2 Đ nh lí 2 Chúng ta đã ch ng minh r ng n u ψi và ψj là hai hàm sóng mô t hai tr ng thái khác nhau c a h t trong h p thì chúng tr c giao v i nhau ψi ψj = 0 Sau đây ta ch ng minh m t đ nh lí t ng quát v s tr c giao đó là các đ c hàm không suy bi n (nondegenerate eigenfunctions) c a m t toán t Hermitian thì tr c giao v i nhau. G i ψ1 và ψ2 là nh ng đ c hàm c a toán t Hermitian A v i nh ng đ c tr α1 và α2 khác nhau. Ta có Aψ1 = α1 ψ1 ; Aψ2 = α2 ψ2 (26) ∗ Nhân Aψ1 v i ψ2 r i l y tích phân toàn ph n, ta đư c ψ2 A ψ1 = ψ2 α1 ψ1 = α1 ψ2 ψ1 (27) M t khác, vì A là toán t Hermitian nên ∗ ∗ ∗ ψ2 A ψ1 = ψ1 A ψ2 = α2 ψ1 ψ2 Do đ c tr α2 là s th c nên ∗ ∗ ψ2 A ψ1 = α2 ψ1 ψ2 = α2 ψ2 ψ1 (28) T (27) và (28), ta có α2 ψ1 ψ2 = α1 ψ1 ψ2 (α2 − α1 ) ψ2 ψ1 = 0 vì α1 và α2 khác nhau nên ψ2 ψ1 = 0 (29) Đây chính là đi u chúng ta c n ch ng minh. Trong trư ng h p đ c tr suy bi n, nghĩa là α2 = α1 , và do đó (α2 − α1 ) ψ2 ψ1 b ng zero dù ψ1 và ψ2 không tr c giao v i nhau. Tuy nhiên, ta v n có th xây d ng đư c ít nh t m t đ c hàm m i t ψ1 và ψ2 v i cùng đ c tr và 8
  9. tr c giao v i ψ1 và ψ2 . Th t v y, g i ψ1 và ψ2 là nh ng đ c hàm đ c l p c a toán t Hermitian A v i cùng đ c tr α Aψ1 = αψ1 ; Aψ2 = αψ2 Chúng ta s t h p tuy n tính ψ1 và ψ2 thành hàm φ2 có d ng φ2 = ψ2 + cψ1 (30) Ta th y φ2 cũng là m t đ c hàm c a A v i đ c tr α Aφ2 = A(ψ2 + cψ1 ) = Aψ2 + cAψ1 = α(ψ2 + cψ1 ) = αφ2 Đ φ2 tr c giao v i ψ1 thì h ng s c ph i đư c ch n sao cho ∗ ψ1 φ2 dτ = 0 ∗ ∗ ∗ ψ1 (ψ2 + cψ1 )dτ = ψ1 ψ2 + c ψ1 ψ1 = 0 ∗ ψ1 ψ2 ψ1 ψ2 ⇒c=− ∗ =− = − ψ1 ψ2 (31) ψ1 ψ1 ψ1 ψ1 Phương pháp này còn đư c g i là phép chu n hóa tr c giao Schmidt (Schmidt orthogonalization procedure) và có th đư c m r ng đ xây d ng các đ c hàm đ c l p tuy n tính tr c giao v i nhau khi đ c tr suy bi n b c n. 4 Đ c hàm đ ng th i 4.1 Đ nh lí 3 N u hàm tr ng thái ψ là m t đ c hàm đ ng th i c a hai toán t A và B v i các đ c tr là α và β thì phép đo thu c tính v t lí A cho k t qu là α và phép đo thu c tính v t lí B cho k t qu là β. Như v y, hai tính ch t A và B đ u có nh ng giá tr xác đ nh khi ψ là m t đ c hàm đ ng th i c a A và B. Khi hai toán t tuy n tính có chung m t b đ c hàm thì chúng s giao hoán v i nhau. Sau đây, chúng ta ch ng minh đ nh lí này. G i ψ1 , ψ2 , . . . , ψn là các đ c hàm chung c a hai toán t A và B Aψi = αi ψi Bψi = βi ψi v i i = 1, 2, . . . , n. Ta c n ph i ch ng minh [A, B] = 0 hay (AB − B A)f = 0 (32) trong đó, f là m t hàm tùy ý có cùng đi u ki n biên v i ψi . 9
  10. Chúng ta b t đ u b ng cách khai tri n f theo ψi như sau f = a1 ψ1 + a2 ψ2 + · · · = ai ψi (33) i Ta có (B A − AB)f = (B A − AB) ai ψi i Vì A và B đ u là nh ng toán t tuy n tính nên (B A − AB) ai ψi = ai (B A − AB)ψi = ai (B Aψi − ABψi ) i i i = ai (Bαi ψi − Aβi ψi ) = ai (αi Bψi − βi Aψi ) i i = ai (αi βi ψi − βi αi ψi ) i = 0 T đó, ta có [A, B]f = (B A − AB) ai ψi = 0 (34) i Đây là đi u ta c n ch ng minh. Như v y, A và B s giao hoán v i nhau n u chúng có chung m t b các đ c hàm hoàn ch nh. 4.2 Đ nh lí 4 Sau đây, chúng ta s ch ng minh đi u ngư c l i v i đ nh lí 3. Nghĩa là, n u hai toán t Hermitian A và B giao hoán v i nhau, chúng ta có th xây d ng m t t p h p các đ c hàm hoàn ch nh chung cho chúng. G i ψi và αi là đ c hàm và đ c tr c a A Aψi = αi ψi T đó, ta có B Aψi = B(αi ψi ) Vì A và B giao hoán v i nhau và vì B là toán t tuy n tính nên A(Bψi ) = αi (Bψi ) (35) Đi u này có nghĩa hàm Bψi là m t đ c hàm c a A v i đ c tr αi . Đ n đây, có hai kh năng: các đ c tr αi c a A có th suy bi n ho c cũng có th không suy bi n. N u αi không suy bi n, nó là đ c tr c a m t hàm đ c l p ψi , nên hàm Bψi t l v i ψi Bψi = βi ψi 10
  11. v i βi là đ c tr c a B. Như v y, rõ ràng ψi là đ c hàm chung c a hai toán t hoán v A và B. Trong trư ng h p các đ c tr αi suy bi n, chúng ta v n có th xây d ng đư c các đ c hàm m i c a B, đ ng th i chúng cũng là các đ c hàm c a A, b ng cách t h p tuy n tính các hàm ψi . Đ đơn gi n, chúng ta xét trư ng h p đ c tr αi suy bi n b c hai. G i ψi1 và ψi2 là hai đ c hàm đ c l p c a A v i đ c tr αi ; ψi là hàm t h p tuy n tính c a hai hàm này ψi = c1 ψi1 + c2 ψi2 (36) Chúng ta c n ph i xác đ nh các h s c1 và c2 sao cho Bψi = βi ψi nghĩa là c1 Bψi1 + c2 Bψi2 = βi (c1 ψi1 + c2 ψi2 ) (37) Nhân hai v phương trình trên v i ∗ ψi1 r i l y tích phân toàn ph n, ta đư c ψi1 (c1 Bψi1 + c2 Bψi2 ) = ψi1 βi (c1 ψi1 + c2 ψi2 ) c1 ψi1 B ψi1 + c2 ψi1 B ψi2 = βi c1 ψi1 ψi1 + βi c2 ψi1 ψi2 (38) Vì ψi1 và ψi2 chu n hóa và tr c giao v i nhau nên (38) tr thành c1 (B11 − βi ) + c2 B12 = 0 (39) v i B11 = ψi1 B ψi1 B12 = ψi1 B ψi2 ∗ Tương t , nhân hai v phương trình (37) v i ψi2 r i l y tích phân toàn ph n, ta đư c c1 B21 + c2 (B22 − βi ) = 0 (40) v i B21 = ψi2 B ψi1 B22 = ψi2 B ψi2 T (39) và (40), ta có h phương trình c1 (B11 − βi ) + c2 B12 = 0 c1 B21 + c2 (B22 − βi ) = 0 H phương trình trên có nghi m không t m thư ng (non-trivial) khi đ nh th c sau b tri t tiêu (B11 − βi ) B12 =0 B21 (B22 − βi ) 11
  12. Khai tri n đ nh th c trên ta đư c phương trình b c hai sau 2 βi − (B11 + B22 )βi + B11 B22 − B12 B21 = 0 (1) (2) Phương trình b c hai này có hai nghi m βi và βi nên tương ng s có (1) (1) (2) (2) (1) (2) hai b c1 , c2 và c1 , c2 . Vì v y, có hai hàm riêng bi t ψi và ψi (1) (1) (1) ψi = c1 ψi1 + c2 ψi2 (2) (2) (2) ψi = c1 ψi1 + c2 ψi2 đ u th a mãn phương trình (1) (1) (1) Bψi = βi ψi (2) (2) (2) Bψi = βi ψi Do đó, chúng là nh ng đ c hàm đ ng th i c a các toán t hoán v A và B. Như v y, khi A và B giao hoán v i nhau, chúng ta s xây d ng đư c các đ c hàm chung cho chúng. 4.3 Đ nh lí 5 Đ nh lí này còn đư c g i là đ nh lí tr c giao m r ng, đư c phát bi u như sau N u ψi và ψj là các đ c hàm c a toán t Hermitian A v i các đ c tr khác nhau, nghĩa là Aψi = αi ψi Aψj = αj ψj (αi = αj ) và n u B là toán t tuy n tính giao hoán v i A thì ta có ψi B ψj = 0 (41) Sau đây, chúng ta s ch ng minh đ nh lí này. Ta có [A, B] = 0 hay ABψj = B Aψj = Bαj ψj = αj Bψj (42) ∗ Nhân αj Bψj v i ψi r i l y tích phân toàn ph n, ta đư c αj ψi B ψj = αj ψi Bψj (43) Vì A và B giao hoán v i nhau nên chúng s có chung nh ng đ c hàm, theo đ nh lí 4. Do đó, n u ψj là đ c hàm c a A thì nó cũng s là đ c hàm c a B. G i βj là đ c tr c a B, ta có Bψj = βj ψj (44) 12
  13. T (43) và (44) ta đư c αj ψi B ψj = αj ψi βj ψj = αj βj ψi ψj = 0 (45) vì các đ c hàm ψi và ψj là nh ng đ c hàm c a toán t Hermtian v i các đ c tr khác nhau nên tr c giao v i nhau, theo đ nh lí 2. 5 Phép đo và nh ng tr ng thái ch ng ch t G i ψ là hàm sóng mô t tr ng thái c a h , A là toán t mô t thu c tính v t lí A. N u ψ là đ c hàm c a A v i đ c tr k Aψ = kψ thì đi u này có nghĩa là khi th c hi n phép đo thu c tính v t lí A, ta luôn thu đư c k t qu là k. Ví d , hàm sóng c a h t trong h p m t chi u như sau 2 nπx ψ(x) = sin( ) l l 2 d2 T =− là toán t mô t đ ng năng c a h t. Ta có 2m dx2 2 d2 2 nπx Tψ = − sin( ) 2m dx2 l l n 2π2 2 2 nπx = sin( ) 2ml2 l l n2 π 2 2 = ψ 2ml2 Như v y, khi ta đo đ ng năng c a h t trong h p m t chi u trong đi u ki n như trên thì k t qu thu đư c n2 π 2 2 n 2 h2 T = = 2ml2 8ml2 Cũng có trư ng h p ψ không ph i là đ c hàm c a A Aψ = constant · ψ d 2 nπx Ví d , ta xét px = −i và ψ(x) = sin( ) dx l l d 2 nπx nπ 2 nπx −i sin( ) = −i cos( ) dx l l l l l 13
  14. Ta th y px ψ = constant · ψ Như v y, ψ(x) không ph i là đ c hàm c a toán t đ ng lư ng px . Do đó, khi th c hi n m i phép đo px , ta s thu đư c m t giá tr ng u nhiên. Tuy ψ(x) không ph i là đ c hàm c a px nhưng nó v n có th đư c t o nên b ng cách t h p tuy n tính nh ng đ c hàm c a px (xem l i bài toán h t trong h p m t chi u) √ iαx −iαx 2mE ψ1 (x) = c1 e và ψ2 (x) = c2 e (α = ) T đó, ta có nh n xét r ng cho dù hàm tr ng thái ψ không ph i là đ c hàm c a toán t A mô t thu c tính v t lí A ta v n có th bi u di n ψ dư i d ng t h p tuy n tính các đ c hàm c th c a A và đư c g i là tr ng thái ch ng ch t. ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2 + · · · = ci ψi (46) i trong đó ci là các h s khai tri n; ψi là nh ng đ c hàm c a A Aψi = αi ψi (47) Ta có đi u ki n chu n hóa ψ ψ =1 Th (46) vào đi u ki n chu n hóa, ta đư c ci ψi ci ψi = 1 (48) i i Thay bi n s gi i = j, ta đư c ci ψi ci ψi = ci ψi cj ψj i i i j = c∗ cj ψi ψj = 1 i i j Chúng ta ph i s d ng bi n s gi khác nhau vì ci ψi cj ψj = ci cj ψi ψj i j i j N u ta s d ng bi n s gi gi ng nhau thì ci ψi ci ψi = ci ci ψi ψi i i i i 14
  15. Th t v y, đ đơn gi n, chúng ta xét 2 2 ai bi = (a1 + a2 )(b1 + b2 ) = a1 b1 + a1 b2 + a2 b1 + a2 b2 i=1 i=1 2 2 2 ai bi = (a1 b1 + a2 b2 ) = 2(a1 b1 + a2 b2 ) i=1 i=1 i=1 2 2 2 ai bj = (ai b1 + ai b2 ) = a1 b1 + a1 b2 + a2 b1 + a2 b2 i=1 j=1 i=1 Như v y, ta có ci ψi ci ψi = c∗ cj ψi ψj = 1 i (49) i i i j A là toán t Hermitian, vì nó mô t thu c tính v t lí c a h , nên các đ c hàm c a nó chu n hóa và tr c giao v i nhau; nghĩa là ψi ψj = 0 khi i = j = 1 khi i = j Do đó c∗ cj ψi ψj = i c∗ cj δij i i j i j Ta có c∗ cj δij i = c∗ c1 δi1 + c∗ c2 δi2 + c∗ c3 δi3 + · · · + c∗ ci δii + · · · i i i i i j i = c∗ c1 × 0 + c∗ c2 × 0 + · · · + c∗ ci × 1 + · · · i i i i vì δij = 0 khi i = j và δij = 1 khi i = j. Do đó c∗ cj δij = i |ci |2 (50) i j i Như v y, đ ψ chu n hóa, các h s khai tri n ci ph i đư c ch n sao cho |ci |2 = 1 (51) i Giá tr trung bình c a phép đo m t thu c tính v t lí A đư c mô t b i toán t A đư c tính b i A = ψAψ 15
  16. v i ψ= ci ψi i nên A = c∗ cj ψi A ψj i (52) i j Thay Aψj = αj ψj , ta đư c A = c∗ cj αj ψi ψj i (53) i j Áp d ng đi u ki n hàm tr c chu n và thay bi n s gi j = i, ta đư c A = |ci |2 αi (54) i M t khác, ta có bi u th c tính giá tr trung bình theo xác su t như sau A = Pi αi (55) i trong đó αi là các giá tr ng u nhiên thu đư c khi th c hi n phép đo thu c tính A; khi s l n đo đ l n thì Pi là xác su t đ A nh n giá tr αi . So sánh hai phương trình trên ta th y |ci |2 chính là xác su t đ A nh n giá tr αi khi th c hi n phép đo thu c tính v t lí A đư c mô t b i A. Như v y, ta có th xem tr ng thái ψ= ci ψi i là m t tr ng thái ch ng ch t c a các tr ng thái ψi c a toán t A. M i tr ng thái ψi tương ng v i m t đ c tr αi cho thu c tính A đư c mô t b i A. M c đ đóng góp c a m i tr ng thái ψi trong tr ng thái ch ng ch t ψ đư c xác đ nh b i |ci |2 . Nó cũng chính là xác su t đ A nh n giá tr αi khi th c hi n phép đo thu c tính v t lí A đư c mô t b i A. Đ xác đ nh các giá tr |ci |2 , t đó tính các h s khai tri n ci , chúng ta ∗ nhân (46) v i ψj r i l y tích phân, ta đư c ψj ψ = ψj ci ψi = ci δij = ci i i Suy ra ci = ψi ψ (56) Xác su t đ thu c tính A đư c mô t b i A nh n giá tr αi là 2 Pi = |ci |2 = ψi ψ (57) 16
  17. Như v y, n u bi t tr ng thái c a m t h , đư c mô t b i hàm sóng ψ, chúng ta có th d đoán đư c xác su t khi th c hi n phép đo thu c tính v t lí A, d a vào (57). 6 Các đ nh đ c a cơ h c lư ng t Sau đây, chúng ta s tóm t t l i nh ng đ nh đ mà chúng ta đã kh o sát. 6.1 Đ nh đ 1 Tr ng thái c a m t h đư c mô t b i m t hàm Ψ c a các t a đ và th i gian. Hàm này, đư c g i là hàm tr ng thái hay hàm sóng, ch a đ ng m i thông tin c n bi t c a h . Nó là hàm đơn tr , liên t c và kh tích bình phương. Bình phương hàm sóng 2 Ψ = Ψ∗ Ψ đư c g i là m t đ xác su t tìm th y h t trong không gian. Vì xác su t tìm th y h t trong toàn b không gian nên ta có yêu c u hàm sóng chu n hóa ΨΨ =1 6.2 Đ nh đ 2 M i thu c tính v t lí đư c đ c trưng b i m t toán t . Các toán t này có hai tính ch t đ c trưng quan tr ng là tuy n tính và Hermitian A(αi ψi + αj ψj ) = αi Aψi + αj Aψj ∗ ψi A ψj = ψj A ψi = Aψi ψj 6.3 Đ nh đ 3 Giá tr đư c phép αi c a m t thu c tính v t lí A đư c đ c trưng b i toán t A là các đ c tr c a phương trình Aψi = αi ψi ∗ Nhân hai v phương trình trên v i ψi r i l y tích phân toàn ph n, ta đư c ψi A ψi = αi ψi ψi T đó, ta có ψi A ψi αi = ψi ψi 17
  18. N u ψi là hàm tr ng thái c a h thì ψi ψi = 1. Do đó αi = ψi A ψi và n u ψi là đ c hàm c a A thì các phép đo thu c tính A luôn cho m t giá tr duy nh t. Ngư c l i, n u ψi không ph i là đ c hàm c a A thì m i phép đo thu c tính A luôn cho m t giá tr ng u nhiên. 6.4 Đ nh đ 4 Hàm sóng mô t tr ng thái c a m t h là nghi m c a phương trình Schr¨dinger o HΨ = EΨ v i H là toán t Hamiltonian và E là năng lư ng c a h . M t h t trong tr ng thái không ph thu c th i gian trong không gian m t chi u đư c mô t b i hàm sóng ψ(x) là nghi m c a phương trình vi phân sau 2 d2 ψ(x) − + V (x)ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2 Nh ng áp d ng c a cơ h c lư ng t vào hóa h c ch y u s d ng phương trình Schr¨dinger không ph thu c th i gian. o 18
  19. Bài t p d 1. Ch ng minh A = −i và B = A2 là nh ng toán t Hermitian. dx 2. Tr ng thái c a m t h đư c mô t b i 2 /2 ψ(x) = αxe−x v i α là h ng s chu n hóa. Ch ng minh +∞ +∞ 2 ψ(x)ψ (x)dx = ψ (x) dx −∞ −∞ 3. Cho ψi và ψj là hai đ c hàm c a toán t Hermitian A v i đ c tr αi và αj khác nhau; nghĩa là Aψi = αi ψi ; Aψj = αi ψj v i αi = αj Gi s B là m t toán t tuy n tính giao hoán v i A. Ch ng minh ψj B ψi = 0 4. Tr ng thái ψ1 đư c mô t b i √ i 3 ψ1 = c1 dz 2 + d 2 2 2 x −y Cho bi t dz 2 và dx2 −y2 chu n hóa và tr c giao v i nhau. Xác đ nh h s khai tri n c1 đ ψ1 chu n hóa. So sánh năng lư ng c a tr ng thái trên v i tr ng thái ψ2 đư c mô t b i √ i 3 ψ2 = c1 dz 2 − d 2 2 2 x −y 5. Hai tr ng thái suy bi n ψ1 và ψ2 đư c xác đ nh như sau 1 ψ1 = √ (2f1 − f2 − f3 ) 6 1 ψ2 = √ (2f2 − f1 − f3 ) 6 Trong đó f1 , f2 , f3 là nh ng hàm chu n hóa và tr c giao v i nhau. a. Ch ng t r ng ψ1 và ψ2 chu n hóa nhưng không tr c giao v i nhau. b. Áp d ng phương pháp tr c chu n Schmidt, xây d ng hàm tr ng thái ψ3 chu n hóa và tr c giao v i ψ1 . 19