Xem mẫu
- Các đ nh lí và đ nh đ c a cơ h c lư ng t
Lý Lê
Ngày 8 tháng 12 năm 2009
Tóm t t n i dung
Trong nh ng ph n trư c, chúng ta đã áp d ng cơ h c lư ng t đ
kh o sát nh ng h hóa h c h c đơn gi n như h t chuy n đ ng trong
h p, s dao đ ng và s quay c a phân t hai nguyên t , nguyên t
hydro và gi ng hydro. Trong ph n này, chúng ta s tóm t t nh ng đ nh
lí và đ nh đ đã đư c đ c p trư c đó. Đây là cơ s đ phát tri n cơ h c
lư ng t xa hơn nh m gi i quy t nh ng h hóa h c ph c t p thư ng
g p trong th c t .
1 Kí hi u bra − ket
Tích vô hư ng c a hai hàm s ϕm (x) và ϕn (x) đư c xác đ nh như sau
+∞
ϕ∗ (x)ϕn (x)dx
m (1)
−∞
Đ i v i nh ng hàm c a các t a đ (x, y, z), tích vô hư ng c a hai hàm
ϕm (x, y, z) và ϕn (x, y, z) là
+∞
ϕ∗ (x, y, z)ϕn (x, y, z)dxdydz
m (2)
−∞
Đ i v i nh ng hàm c a các t a đ (r, θ, ϕ), tích vô hư ng c a hai hàm
ϕm (r, θ, ϕ) và ϕn (r, θ, ϕ) là
2π π +∞
ϕ∗ (r, θ, ϕ)ϕn (r, θ, ϕ)r2 sin θdrdθdϕ
m (3)
0 0 −∞
M t cách t ng quát, chúng ta s d ng dτ đ ch tích phân toàn ph n c a
t t c nh ng t a đ trong h đang xét và vi t tích vô hư ng c a hai hàm
ϕm , ϕn dư i d ng
ϕ∗ ϕn dτ
m (4)
1
- Đơn gi n hơn, ta s d ng các kí hi u ket và bra cho các tích phân. Theo
đó, tích phân hàm ψi đư c g i là ket và kí hi u như sau
ψi dτ = ψi = i (5)
∗
Tích phân c a hàm liên h p ph c ψj đư c g i là bra
∗
ψj dτ = ψj = j (6)
Ví d :
∗
ψj (x)ψi (x)dx = ψj ψi = j i
ϕ∗ (x, y, z)ϕn (x, y, z)dxdydz =
m ϕm ϕn = m n
Chúng ta có
∗
ϕ∗ ϕn dτ
m = (ϕ∗ )∗ (ϕn )∗ dτ =
m ϕ∗ ϕm dτ
n (7)
Do đó
∗ ∗
ϕm ϕn = ϕn ϕm hay mn = nm (8)
Đ t bi t
∗ ∗
ϕm ϕm = ϕm ϕm hay mm = mm (9)
∗
Vì tích phân ϕm ϕm = ϕm ϕm nên tích vô hư ng ϕm ϕm là m t
k t qu th c. Tương t , ta có
ϕm cϕn = c ϕn ϕm ; cϕm ϕn = c∗ ϕn ϕm (10)
V i c là h ng s b t kì. Trong kí hi u bra - ket
ψm ψn
hàm đư c vi t trư c là hàm liên h p ph c c a ψm .
N u các đ c hàm ψi c a toán t A tuân theo phương trình
ψi ψj = 0 v i m i giá tr i = j (11)
thì ta nói các hàm ψi là m t b tr c giao (orthogonal). Hơn n a, n u tích
vô hư ng c a ψi v i chính nó b ng đơn v thì ψi đư c g i là đã chu n hóa.
2
- M t b nh ng hàm v a tr c giao v i nhau v a chu n hóa đư c g i là b
hàm tr c chu n (orthonormal)
ψi ψj = δij (12)
v i δij đư c g i là Kronecker delta; nó b ng 1 khi i = j và b ng zero khi
i = j.
0 n ui=j
δij = (13)
1 n ui=j
Khi gi i quy t nh ng bài toán liên quan đ n h nhi u electron, ta thư ng
g p nh ng tích phân c a m t toán t n m gi a hai hàm fm và fn như sau
∗
fm Afn dτ (14)
Có r t nhi u kí hi u đư c dùng đ ch tích phân ki u sandwich như trên.
Sau đây là m t s ví d
∗
fm Afn dτ = fm A fn = m A n = Amn (15)
Tích phân này còn đư c g i là ph n t ma tr n c a toán t A.
2 Toán t Hermitian
2.1 Đ nh nghĩa
Toán t tuy n tính A đư c g i là toán t Hermitian n u có tính ch t sau
∗
fm Afn dτ = fn (Afm )∗ dτ (16)
Trong đó fm và fn là nh ng hàm hoàn h o tùy ý. Lưu ý, phương trình trên
không có nghĩa là
fm Afn = fn (Afm )∗
∗
S d ng kí hi u ket và bra, ta vi t l i (16) như sau
∗
fm A fn = fn A fm = Afm fn (17)
hay
∗
mAn = nAm = Am n (18)
d
Ví d : Xét hai toán t đ o hàm b c nh t và toán t đ o hàm b c
dx
d2
hai , v i hai hàm f (x) và g(x) là nh ng hàm th c, xác đ nh trong kho ng
dx2
0 ≤ x ≤ 1 và th a mãn đi u ki n biên là f (0) = f (1) = 0.
3
- Vì f (x) là hàm th c nên f ∗ (x) = f (x), ta có
1 1
d
f ∗ (x) g(x)dx = f (x)g (x)dx
0 dx 0
Áp d ng công th c tính tích phân t ng ph n, đ t
u = f (x) dv = g (x)dx
Ta có
du = f (x)dx v = g(x)
Do đó
1 1 1
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − g(x)f (x)dx
0 0 0
1
= − g(x)f (x)dx
0
1
d
= − g ∗ (x) f (x)dx
0 dx
Ta th y
1 1
d d
f ∗ (x) g(x)dx = − g ∗ (x) f (x)dx (19)
0 dx 0 dx
d
Như v y, toán t không ph i toán t Hermitian, mà là anti-Hermitian.
dx
Ti p theo, chúng ta xét
1 1
d2
f ∗ (x) g(x)dx = f (x)g (x)dx
0 dx2 0
Đ t
u = f (x) dv = g (x)dx
Ta có
du = f (x)dx v = g (x)
Do đó
1 1 1
f (x)g (x)dx = f (x)g (x) − f (x)g (x)dx
0 0 0
1
= − f (x)g (x)dx
0
Đ t f (x) = h(x) và áp d ng k t qu t (19)
1 1
f (x)g (x)dx = − g(x)f (x)dx
0 0
4
- Ta có
1 1 1
f (x)g (x)dx = h(x)g (x)dx = − g(x)h (x)dx
0 0 0
v i h (x) = f (x), nên
1 1 1
f (x)g (x)dx = − g(x)h (x)dx = − g(x)f (x)dx
0 0 0
Do đó
1 1 1
f (x)g (x)dx = − f (x)g (x)dx = g(x)f (x)dx
0 0 0
hay
1 1
d2 d2
f ∗ (x) g(x)dx = g ∗ (x) f (x)dx
0 dx2 0 dx2
d2
Như v y, trong đi u ki n đã xét thì là toán t Hermitian.
dx2
2.2 Tính Hermitian c a các toán t trong cơ h c lư ng t
N u A là toán t tuy n tính mô t thu c tính v t lí A. Giá tr trung bình
thu đư c khi th c hi n phép đo A đư c tính như sau
A = Ψ∗ AΨdτ (20)
v i Ψ là hàm tr ng thái c a h . Giá tr trung bình c a m t thu c tính v t
lí ph i là m t s th c; do đó, ta có
∗
A = A (21)
hay
∗
Ψ∗ AΨdτ = Ψ∗ AΨdτ = Ψ(AΨ)∗ dτ (22)
Phương trình trên có th bi u di n b ng kí hi u ket - bra
∗
ΨAΨ = ΨAΨ (23)
Như v y, n u A là toán t tuy n tính mô t thu c tính v t lí thì nó
là toán t Hermitian.
d
Ví d : Chúng ta ch ng minh toán t px = −i là toán t Hermitian;
dx
nghĩa là ch ng minh
∞ ∞ ∗
∗
ψi (x)px ψj (x)dx = ψj (x) px ψi (x) dx (24)
−∞ −∞
5
- Ta có
∞ ∞
∗ ∗ d
ψi (x)px ψj (x)dx = ψi (x) − i ψj (x) dx
−∞ −∞ dx
∞
∗
= ψi (x)(−i )ψj (x)dx
−∞
Đ t
∗
u = ψi (x) dv = −i ψj (x)dx
Ta có
∗
du = (ψi (x)) dx; v = −i ψj (x)
∞ ∞
∗ ∗
ψi (x)(−i )ψj (x)dx = ψi (x)(−i )ψj (x)
−∞ −∞
∞
∗
− (−i )ψj (x)(ψi (x)) dx
−∞
∞
∗
= 0+ ψj (x)(i )(ψi (x)) dx
−∞
∞ ∗
dψi (x)
= ψj (x) − i dx
−∞ dx
∞ ∗
= ψj (x) px ψi (x) dx
−∞
Vì ψ(x) là nh ng hàm mô t tr ng thái c a h nên chúng b tri t tiêu khi
x = ±∞, do đó ta có
∞
∗
ψi (x)(−i )ψj (x) =0
−∞
Như v y, ta có
∞ ∞ ∗
∗
ψi (x)px ψj (x)dx = ψj (x) px ψi (x) dx
−∞ −∞
Đây chính là đi u c n ch ng minh.
3 Các đ nh lí v toán t Hermitian
3.1 Đ nh lí 1
Vì phép đo m t thu c tính v t lí A đư c mô t b i toán t Hermitian A
ph i cho k t qu dương nên đ c tr c a toán t Hermitian ph i là s
th c. Th t v y, chúng ta xét phương trình đ c tr
Aψi = αi ψi
6
- Trong đó A là toán t Hermitian; ψi là đ c hàm c a A v i αi là đ c tr
∗
tương ng. Nhân hai v phương trình v i ψi r i l y tích phân toàn ph n, ta
đư c
∗ ∗ ∗
ψi Aψi dτ = ψi αψi dτ = αi ψi ψi dτ = αi |ψi |2 dτ
Vì A là toán t Hermitian nên
∗
ψi Aψi dτ = ψi (Aψi )∗ dτ
= ψ(αi ψ)∗ dτ = αi
∗ ∗
ψi ψi dτ
= α∗ |ψi |2 dτ
Như v y
∗ ∗
ψi Aψi dτ = αi |ψi |2 dτ = αi |ψi |2 dτ
Suy ra
∗
(αi − αi ) |ψi |2 dτ = 0 (25)
∗ ∗
Vì |ψi |2 dτ không th b ng zero t i m i đi m nên αi − αi = 0 hay αi = αi .
Nghĩa là, đ c tr αi là s th c.
Chúng ta cũng có th s d ng kí hi u ket - bra đ ch ng minh. Ta có
ψi A ψi = ψi αi ψi = αi ψi ψi
M t khác, ta có
∗
ψi ψi = ψi ψi = ψi ψi
Do đó ∗ ∗
ψi A ψi = α∗ ψi ψi ∗
= αi ψi ψi
Vì A là toán t Hermitian nên
∗
ψi A ψi = ψi A ψi
∗
αi ψi ψi = αi ψi ψi
Suy ra
∗
αi = αi
Phương trình đúng khi αi là s th c.
Tóm l i, các đ c tr c a toán t Hermitian là s th c.
7
- 3.2 Đ nh lí 2
Chúng ta đã ch ng minh r ng n u ψi và ψj là hai hàm sóng mô t hai tr ng
thái khác nhau c a h t trong h p thì chúng tr c giao v i nhau
ψi ψj = 0
Sau đây ta ch ng minh m t đ nh lí t ng quát v s tr c giao đó là các đ c
hàm không suy bi n (nondegenerate eigenfunctions) c a m t toán t
Hermitian thì tr c giao v i nhau.
G i ψ1 và ψ2 là nh ng đ c hàm c a toán t Hermitian A v i nh ng đ c
tr α1 và α2 khác nhau. Ta có
Aψ1 = α1 ψ1 ; Aψ2 = α2 ψ2 (26)
∗
Nhân Aψ1 v i ψ2 r i l y tích phân toàn ph n, ta đư c
ψ2 A ψ1 = ψ2 α1 ψ1 = α1 ψ2 ψ1 (27)
M t khác, vì A là toán t Hermitian nên
∗ ∗
∗
ψ2 A ψ1 = ψ1 A ψ2 = α2 ψ1 ψ2
Do đ c tr α2 là s th c nên
∗
∗
ψ2 A ψ1 = α2 ψ1 ψ2 = α2 ψ2 ψ1 (28)
T (27) và (28), ta có
α2 ψ1 ψ2 = α1 ψ1 ψ2
(α2 − α1 ) ψ2 ψ1 = 0
vì α1 và α2 khác nhau nên
ψ2 ψ1 = 0 (29)
Đây chính là đi u chúng ta c n ch ng minh.
Trong trư ng h p đ c tr suy bi n, nghĩa là α2 = α1 , và do đó
(α2 − α1 ) ψ2 ψ1
b ng zero dù ψ1 và ψ2 không tr c giao v i nhau. Tuy nhiên, ta v n có th
xây d ng đư c ít nh t m t đ c hàm m i t ψ1 và ψ2 v i cùng đ c tr và
8
- tr c giao v i ψ1 và ψ2 . Th t v y, g i ψ1 và ψ2 là nh ng đ c hàm đ c l p
c a toán t Hermitian A v i cùng đ c tr α
Aψ1 = αψ1 ; Aψ2 = αψ2
Chúng ta s t h p tuy n tính ψ1 và ψ2 thành hàm φ2 có d ng
φ2 = ψ2 + cψ1 (30)
Ta th y φ2 cũng là m t đ c hàm c a A v i đ c tr α
Aφ2 = A(ψ2 + cψ1 ) = Aψ2 + cAψ1 = α(ψ2 + cψ1 ) = αφ2
Đ φ2 tr c giao v i ψ1 thì h ng s c ph i đư c ch n sao cho
∗
ψ1 φ2 dτ = 0
∗ ∗ ∗
ψ1 (ψ2 + cψ1 )dτ = ψ1 ψ2 + c ψ1 ψ1 = 0
∗
ψ1 ψ2 ψ1 ψ2
⇒c=− ∗ =− = − ψ1 ψ2 (31)
ψ1 ψ1 ψ1 ψ1
Phương pháp này còn đư c g i là phép chu n hóa tr c giao Schmidt (Schmidt
orthogonalization procedure) và có th đư c m r ng đ xây d ng các đ c
hàm đ c l p tuy n tính tr c giao v i nhau khi đ c tr suy bi n b c n.
4 Đ c hàm đ ng th i
4.1 Đ nh lí 3
N u hàm tr ng thái ψ là m t đ c hàm đ ng th i c a hai toán t A và B
v i các đ c tr là α và β thì phép đo thu c tính v t lí A cho k t qu là α và
phép đo thu c tính v t lí B cho k t qu là β. Như v y, hai tính ch t A và
B đ u có nh ng giá tr xác đ nh khi ψ là m t đ c hàm đ ng th i c a A và
B. Khi hai toán t tuy n tính có chung m t b đ c hàm thì chúng
s giao hoán v i nhau. Sau đây, chúng ta ch ng minh đ nh lí này.
G i ψ1 , ψ2 , . . . , ψn là các đ c hàm chung c a hai toán t A và B
Aψi = αi ψi Bψi = βi ψi
v i i = 1, 2, . . . , n. Ta c n ph i ch ng minh
[A, B] = 0 hay (AB − B A)f = 0 (32)
trong đó, f là m t hàm tùy ý có cùng đi u ki n biên v i ψi .
9
- Chúng ta b t đ u b ng cách khai tri n f theo ψi như sau
f = a1 ψ1 + a2 ψ2 + · · · = ai ψi (33)
i
Ta có
(B A − AB)f = (B A − AB) ai ψi
i
Vì A và B đ u là nh ng toán t tuy n tính nên
(B A − AB) ai ψi = ai (B A − AB)ψi = ai (B Aψi − ABψi )
i i i
= ai (Bαi ψi − Aβi ψi ) = ai (αi Bψi − βi Aψi )
i i
= ai (αi βi ψi − βi αi ψi )
i
= 0
T đó, ta có
[A, B]f = (B A − AB) ai ψi = 0 (34)
i
Đây là đi u ta c n ch ng minh. Như v y, A và B s giao hoán v i nhau n u
chúng có chung m t b các đ c hàm hoàn ch nh.
4.2 Đ nh lí 4
Sau đây, chúng ta s ch ng minh đi u ngư c l i v i đ nh lí 3. Nghĩa là, n u
hai toán t Hermitian A và B giao hoán v i nhau, chúng ta có th
xây d ng m t t p h p các đ c hàm hoàn ch nh chung cho chúng.
G i ψi và αi là đ c hàm và đ c tr c a A
Aψi = αi ψi
T đó, ta có
B Aψi = B(αi ψi )
Vì A và B giao hoán v i nhau và vì B là toán t tuy n tính nên
A(Bψi ) = αi (Bψi ) (35)
Đi u này có nghĩa hàm Bψi là m t đ c hàm c a A v i đ c tr αi .
Đ n đây, có hai kh năng: các đ c tr αi c a A có th suy bi n ho c cũng
có th không suy bi n. N u αi không suy bi n, nó là đ c tr c a m t hàm
đ c l p ψi , nên hàm Bψi t l v i ψi
Bψi = βi ψi
10
- v i βi là đ c tr c a B. Như v y, rõ ràng ψi là đ c hàm chung c a hai toán
t hoán v A và B.
Trong trư ng h p các đ c tr αi suy bi n, chúng ta v n có th xây d ng
đư c các đ c hàm m i c a B, đ ng th i chúng cũng là các đ c hàm c a A,
b ng cách t h p tuy n tính các hàm ψi . Đ đơn gi n, chúng ta xét trư ng
h p đ c tr αi suy bi n b c hai.
G i ψi1 và ψi2 là hai đ c hàm đ c l p c a A v i đ c tr αi ; ψi là hàm t
h p tuy n tính c a hai hàm này
ψi = c1 ψi1 + c2 ψi2 (36)
Chúng ta c n ph i xác đ nh các h s c1 và c2 sao cho
Bψi = βi ψi
nghĩa là
c1 Bψi1 + c2 Bψi2 = βi (c1 ψi1 + c2 ψi2 ) (37)
Nhân hai v phương trình trên v i ∗
ψi1 r i l y tích phân toàn ph n, ta đư c
ψi1 (c1 Bψi1 + c2 Bψi2 ) = ψi1 βi (c1 ψi1 + c2 ψi2 )
c1 ψi1 B ψi1 + c2 ψi1 B ψi2 = βi c1 ψi1 ψi1 + βi c2 ψi1 ψi2 (38)
Vì ψi1 và ψi2 chu n hóa và tr c giao v i nhau nên (38) tr thành
c1 (B11 − βi ) + c2 B12 = 0 (39)
v i
B11 = ψi1 B ψi1 B12 = ψi1 B ψi2
∗
Tương t , nhân hai v phương trình (37) v i ψi2 r i l y tích phân toàn ph n,
ta đư c
c1 B21 + c2 (B22 − βi ) = 0 (40)
v i
B21 = ψi2 B ψi1 B22 = ψi2 B ψi2
T (39) và (40), ta có h phương trình
c1 (B11 − βi ) + c2 B12 = 0
c1 B21 + c2 (B22 − βi ) = 0
H phương trình trên có nghi m không t m thư ng (non-trivial) khi đ nh
th c sau b tri t tiêu
(B11 − βi ) B12
=0
B21 (B22 − βi )
11
- Khai tri n đ nh th c trên ta đư c phương trình b c hai sau
2
βi − (B11 + B22 )βi + B11 B22 − B12 B21 = 0
(1) (2)
Phương trình b c hai này có hai nghi m βi và βi nên tương ng s có
(1) (1) (2) (2) (1) (2)
hai b c1 , c2 và c1 , c2 . Vì v y, có hai hàm riêng bi t ψi và ψi
(1) (1) (1)
ψi = c1 ψi1 + c2 ψi2
(2) (2) (2)
ψi = c1 ψi1 + c2 ψi2
đ u th a mãn phương trình
(1) (1) (1)
Bψi = βi ψi
(2) (2) (2)
Bψi = βi ψi
Do đó, chúng là nh ng đ c hàm đ ng th i c a các toán t hoán v A và B.
Như v y, khi A và B giao hoán v i nhau, chúng ta s xây d ng đư c các đ c
hàm chung cho chúng.
4.3 Đ nh lí 5
Đ nh lí này còn đư c g i là đ nh lí tr c giao m r ng, đư c phát bi u như
sau
N u ψi và ψj là các đ c hàm c a toán t Hermitian A v i các
đ c tr khác nhau, nghĩa là
Aψi = αi ψi Aψj = αj ψj (αi = αj )
và n u B là toán t tuy n tính giao hoán v i A thì ta có
ψi B ψj = 0 (41)
Sau đây, chúng ta s ch ng minh đ nh lí này.
Ta có
[A, B] = 0
hay
ABψj = B Aψj = Bαj ψj = αj Bψj (42)
∗
Nhân αj Bψj v i ψi r i l y tích phân toàn ph n, ta đư c
αj ψi B ψj = αj ψi Bψj (43)
Vì A và B giao hoán v i nhau nên chúng s có chung nh ng đ c hàm, theo
đ nh lí 4. Do đó, n u ψj là đ c hàm c a A thì nó cũng s là đ c hàm c a B.
G i βj là đ c tr c a B, ta có
Bψj = βj ψj (44)
12
- T (43) và (44) ta đư c
αj ψi B ψj = αj ψi βj ψj = αj βj ψi ψj = 0 (45)
vì các đ c hàm ψi và ψj là nh ng đ c hàm c a toán t Hermtian v i các
đ c tr khác nhau nên tr c giao v i nhau, theo đ nh lí 2.
5 Phép đo và nh ng tr ng thái ch ng ch t
G i ψ là hàm sóng mô t tr ng thái c a h , A là toán t mô t thu c tính
v t lí A. N u ψ là đ c hàm c a A v i đ c tr k
Aψ = kψ
thì đi u này có nghĩa là khi th c hi n phép đo thu c tính v t lí A, ta luôn
thu đư c k t qu là k. Ví d , hàm sóng c a h t trong h p m t chi u như
sau
2 nπx
ψ(x) = sin( )
l l
2 d2
T =− là toán t mô t đ ng năng c a h t. Ta có
2m dx2
2 d2 2 nπx
Tψ = − sin( )
2m dx2 l l
n 2π2 2 2 nπx
= sin( )
2ml2 l l
n2 π 2 2
= ψ
2ml2
Như v y, khi ta đo đ ng năng c a h t trong h p m t chi u trong đi u ki n
như trên thì k t qu thu đư c
n2 π 2 2 n 2 h2
T = =
2ml2 8ml2
Cũng có trư ng h p ψ không ph i là đ c hàm c a A
Aψ = constant · ψ
d 2 nπx
Ví d , ta xét px = −i và ψ(x) = sin( )
dx l l
d 2 nπx nπ 2 nπx
−i sin( ) = −i cos( )
dx l l l l l
13
- Ta th y
px ψ = constant · ψ
Như v y, ψ(x) không ph i là đ c hàm c a toán t đ ng lư ng px . Do đó,
khi th c hi n m i phép đo px , ta s thu đư c m t giá tr ng u nhiên. Tuy
ψ(x) không ph i là đ c hàm c a px nhưng nó v n có th đư c t o nên b ng
cách t h p tuy n tính nh ng đ c hàm c a px (xem l i bài toán h t trong
h p m t chi u)
√
iαx −iαx 2mE
ψ1 (x) = c1 e và ψ2 (x) = c2 e (α = )
T đó, ta có nh n xét r ng cho dù hàm tr ng thái ψ không ph i là đ c
hàm c a toán t A mô t thu c tính v t lí A ta v n có th bi u di n ψ dư i
d ng t h p tuy n tính các đ c hàm c th c a A và đư c g i là tr ng thái
ch ng ch t.
ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2 + · · · = ci ψi (46)
i
trong đó ci là các h s khai tri n; ψi là nh ng đ c hàm c a A
Aψi = αi ψi (47)
Ta có đi u ki n chu n hóa
ψ ψ =1
Th (46) vào đi u ki n chu n hóa, ta đư c
ci ψi ci ψi = 1 (48)
i i
Thay bi n s gi i = j, ta đư c
ci ψi ci ψi = ci ψi cj ψj
i i i j
= c∗ cj ψi ψj = 1
i
i j
Chúng ta ph i s d ng bi n s gi khác nhau vì
ci ψi cj ψj = ci cj ψi ψj
i j i j
N u ta s d ng bi n s gi gi ng nhau thì
ci ψi ci ψi = ci ci ψi ψi
i i i i
14
- Th t v y, đ đơn gi n, chúng ta xét
2 2
ai bi = (a1 + a2 )(b1 + b2 ) = a1 b1 + a1 b2 + a2 b1 + a2 b2
i=1 i=1
2 2 2
ai bi = (a1 b1 + a2 b2 ) = 2(a1 b1 + a2 b2 )
i=1 i=1 i=1
2 2 2
ai bj = (ai b1 + ai b2 ) = a1 b1 + a1 b2 + a2 b1 + a2 b2
i=1 j=1 i=1
Như v y, ta có
ci ψi ci ψi = c∗ cj ψi ψj = 1
i (49)
i i i j
A là toán t Hermitian, vì nó mô t thu c tính v t lí c a h , nên các đ c
hàm c a nó chu n hóa và tr c giao v i nhau; nghĩa là
ψi ψj = 0 khi i = j
= 1 khi i = j
Do đó
c∗ cj ψi ψj =
i c∗ cj δij
i
i j i j
Ta có
c∗ cj δij
i = c∗ c1 δi1 + c∗ c2 δi2 + c∗ c3 δi3 + · · · + c∗ ci δii + · · ·
i i i i
i j i
= c∗ c1 × 0 + c∗ c2 × 0 + · · · + c∗ ci × 1 + · · ·
i i i
i
vì δij = 0 khi i = j và δij = 1 khi i = j. Do đó
c∗ cj δij =
i |ci |2 (50)
i j i
Như v y, đ ψ chu n hóa, các h s khai tri n ci ph i đư c ch n sao cho
|ci |2 = 1 (51)
i
Giá tr trung bình c a phép đo m t thu c tính v t lí A đư c mô t b i
toán t A đư c tính b i
A = ψAψ
15
- v i
ψ= ci ψi
i
nên
A = c∗ cj ψi A ψj
i (52)
i j
Thay Aψj = αj ψj , ta đư c
A = c∗ cj αj ψi ψj
i (53)
i j
Áp d ng đi u ki n hàm tr c chu n và thay bi n s gi j = i, ta đư c
A = |ci |2 αi (54)
i
M t khác, ta có bi u th c tính giá tr trung bình theo xác su t như sau
A = Pi αi (55)
i
trong đó αi là các giá tr ng u nhiên thu đư c khi th c hi n phép đo thu c
tính A; khi s l n đo đ l n thì Pi là xác su t đ A nh n giá tr αi . So sánh
hai phương trình trên ta th y |ci |2 chính là xác su t đ A nh n giá tr αi
khi th c hi n phép đo thu c tính v t lí A đư c mô t b i A.
Như v y, ta có th xem tr ng thái
ψ= ci ψi
i
là m t tr ng thái ch ng ch t c a các tr ng thái ψi c a toán t A. M i tr ng
thái ψi tương ng v i m t đ c tr αi cho thu c tính A đư c mô t b i A.
M c đ đóng góp c a m i tr ng thái ψi trong tr ng thái ch ng ch t ψ đư c
xác đ nh b i |ci |2 . Nó cũng chính là xác su t đ A nh n giá tr αi khi th c
hi n phép đo thu c tính v t lí A đư c mô t b i A.
Đ xác đ nh các giá tr |ci |2 , t đó tính các h s khai tri n ci , chúng ta
∗
nhân (46) v i ψj r i l y tích phân, ta đư c
ψj ψ = ψj ci ψi = ci δij = ci
i i
Suy ra
ci = ψi ψ (56)
Xác su t đ thu c tính A đư c mô t b i A nh n giá tr αi là
2
Pi = |ci |2 = ψi ψ (57)
16
- Như v y, n u bi t tr ng thái c a m t h , đư c mô t b i hàm sóng ψ,
chúng ta có th d đoán đư c xác su t khi th c hi n phép đo thu c tính
v t lí A, d a vào (57).
6 Các đ nh đ c a cơ h c lư ng t
Sau đây, chúng ta s tóm t t l i nh ng đ nh đ mà chúng ta đã kh o sát.
6.1 Đ nh đ 1
Tr ng thái c a m t h đư c mô t b i m t hàm Ψ c a các t a đ và th i gian.
Hàm này, đư c g i là hàm tr ng thái hay hàm sóng, ch a đ ng m i thông
tin c n bi t c a h . Nó là hàm đơn tr , liên t c và kh tích bình phương.
Bình phương hàm sóng
2
Ψ = Ψ∗ Ψ
đư c g i là m t đ xác su t tìm th y h t trong không gian. Vì xác su t tìm
th y h t trong toàn b không gian nên ta có yêu c u hàm sóng chu n hóa
ΨΨ =1
6.2 Đ nh đ 2
M i thu c tính v t lí đư c đ c trưng b i m t toán t . Các toán t này có
hai tính ch t đ c trưng quan tr ng là tuy n tính và Hermitian
A(αi ψi + αj ψj ) = αi Aψi + αj Aψj
∗
ψi A ψj = ψj A ψi = Aψi ψj
6.3 Đ nh đ 3
Giá tr đư c phép αi c a m t thu c tính v t lí A đư c đ c trưng b i toán t
A là các đ c tr c a phương trình
Aψi = αi ψi
∗
Nhân hai v phương trình trên v i ψi r i l y tích phân toàn ph n, ta
đư c
ψi A ψi = αi ψi ψi
T đó, ta có
ψi A ψi
αi =
ψi ψi
17
- N u ψi là hàm tr ng thái c a h thì ψi ψi = 1. Do đó
αi = ψi A ψi
và n u ψi là đ c hàm c a A thì các phép đo thu c tính A luôn cho m t giá
tr duy nh t. Ngư c l i, n u ψi không ph i là đ c hàm c a A thì m i phép
đo thu c tính A luôn cho m t giá tr ng u nhiên.
6.4 Đ nh đ 4
Hàm sóng mô t tr ng thái c a m t h là nghi m c a phương trình Schr¨dinger
o
HΨ = EΨ
v i H là toán t Hamiltonian và E là năng lư ng c a h .
M t h t trong tr ng thái không ph thu c th i gian trong không gian
m t chi u đư c mô t b i hàm sóng ψ(x) là nghi m c a phương trình vi
phân sau
2 d2 ψ(x)
− + V (x)ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
Nh ng áp d ng c a cơ h c lư ng t vào hóa h c ch y u s d ng phương
trình Schr¨dinger không ph thu c th i gian.
o
18
- Bài t p
d
1. Ch ng minh A = −i và B = A2 là nh ng toán t Hermitian.
dx
2. Tr ng thái c a m t h đư c mô t b i
2 /2
ψ(x) = αxe−x
v i α là h ng s chu n hóa. Ch ng minh
+∞ +∞ 2
ψ(x)ψ (x)dx = ψ (x) dx
−∞ −∞
3. Cho ψi và ψj là hai đ c hàm c a toán t Hermitian A v i đ c tr αi và
αj khác nhau; nghĩa là
Aψi = αi ψi ; Aψj = αi ψj v i αi = αj
Gi s B là m t toán t tuy n tính giao hoán v i A. Ch ng minh
ψj B ψi = 0
4. Tr ng thái ψ1 đư c mô t b i
√
i 3
ψ1 = c1 dz 2 + d 2 2
2 x −y
Cho bi t dz 2 và dx2 −y2 chu n hóa và tr c giao v i nhau. Xác đ nh h s khai
tri n c1 đ ψ1 chu n hóa. So sánh năng lư ng c a tr ng thái trên v i tr ng
thái ψ2 đư c mô t b i
√
i 3
ψ2 = c1 dz 2 − d 2 2
2 x −y
5. Hai tr ng thái suy bi n ψ1 và ψ2 đư c xác đ nh như sau
1
ψ1 = √ (2f1 − f2 − f3 )
6
1
ψ2 = √ (2f2 − f1 − f3 )
6
Trong đó f1 , f2 , f3 là nh ng hàm chu n hóa và tr c giao v i nhau.
a. Ch ng t r ng ψ1 và ψ2 chu n hóa nhưng không tr c giao v i nhau.
b. Áp d ng phương pháp tr c chu n Schmidt, xây d ng hàm tr ng thái
ψ3 chu n hóa và tr c giao v i ψ1 .
19
nguon tai.lieu . vn
