Xem mẫu
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC
sè phøc
PHẦN I. CÁC DẠNG TOÁN
VẤN ĐỀ 1
d¹ng ®¹i sè cña sè phøc
Céng, trõ, nh©n, chia sè phøc
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC
1. Sè phøc
Mét biÓu thøc d¹ng z = a + bi, trong ®ã a vµ b lµ nh÷ng sè thùc vµ i tháa m·n i 2 = -1 ®îc gäi
lµ mét sè phøc.
a ®îc gäi lµ phÇn thùc, b ®îc gäi lµ phÇn ¶o, i ®îc gäi lµ ®¬n vÞ ¶o.
TËp c¸c sè phøc ®îc kÝ hiÖu lµ .
Sè phøc cã phÇn ¶o b»ng 0 gäi lµ sè thùc nªn R .
Sè phøc cã phÇn thùc b»ng 0 gäi lµ sè ¶o. 0 = 0 + 0i lµ sè võa thùc võa ¶o.
2. Hai sè phøc b»ng nhau
a a '
z a+bi (a,b ), z' a'+b' i (a',b' ); z z'
b b '
3. Céng, trõ hai sè phøc
z a+bi (a,b ), z' a'+b' i (a',b' )
z + z' (a + a' ) + (b + b') i, z z' (a - a') + (b - b' )i
Sè ®èi cña sè phøc z = a + bi lµ sè phøc ; - z = - a – bi.
4. Nh©n hai sè phøc
z a+bi (a,b ), z' a'+b' i (a',b' ); zz' aa ' bb ' (ab ' a 'b)i
5. M«®un cña sè phøc, sè phøc liªn hîp
z = a +bi (a, b ) th× m«®un cña z lµ z = a 2 +b2
z = a +bi (a, b ) th× sè phøc liªn hîp cña z lµ z = a - bi.
Ta cã:
2
zz' = z z' , zz a 2 b2 z , z + z' = z + z', zz'=z z', z = z
* z lµ sè thùc khi vµ chØ khi z = z
6. Chia cho sè phøc kh¸c 0
1
NÕu z = a + bi (a, b ) kh¸c kh«ng th× sè phøc nghÞch ®¶o cña z lµ z-1= z.
2
z
z' z'z z' z' z' z'
Th¬ng cña z' cho z kh¸c kh«ng lµ: z'z-1 . Ta cã: , .
z zz z z z z
7. BiÓu diÔn h×nh häc cña sè phøc
Sè phøc z = a + bi (a, b ) ®îc biÓu diÔn bëi M(a; b) trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy hay
cßn gäi lµ mÆt ph¼ng phøc.
Trôc Ox biÓu diÔn c¸c sè thùc gäi lµ trôc thùc, trôc Oy biÓu diÔn c¸c sè ¶o gäi lµ trôc ¶o
Sè phøc z = a + bi (a, b ) còng ®îc biÓu diÔn bëi vect¬ u ( a; b) , do ®ã M(a; b) lµ ®iÓm
biÓu diÔn cña sè phøc z = a + bi (a, b ) còng cã nghÜa lµ OM biÓu diÔn sè phøc ®ã.
Ta cã:NÕu u , v theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc z, z' th×
http://violet.vn/kinhhoa 1 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC
u v biÓu diÔn sè phøc z + z', u v biÓu diÔn sè phøc z – z-1, k u (k ) biÓu diÔn sè phøc
kz,
OM u z , víi M lµ ®iÓm biÓu diÔn cña z.
B. C¸c d¹ng bµi tËp
I. X¸c ®Þnh tæng, hiÖu, tÝch, th¬ng cña c¸c sè phøc
1) Ph¬ng ph¸p gi¶i
Áp dông c¸c quy t¾c céng, trõ, nh©n, chia hai sè phøc, chó ý c¸c tÝnh chÊt giao ho¸n, kÕt hîp
®èi víi c¸c phÐp to¸n céng vµ nh©n.
2) C¸c vÝ dô
VÝ dô 1: T×m ph©n thùc, phÇn ¶o cña c¸c sè phøc sau
a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); b) (1 i )3 (2i )3
Bµi gi¶i
a) Ta cã: i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = ((0 + 2) + (1 - 4)i) + (- 3 + 2i) = (2 - 3) + (-3 + 2)i = -1 - i.
VËy sè phøc ®· cho cã phÇn thùc lµ - 1, phÇn ¶o lµ - 1.
b) Sö dông c¸c quy t¾c céng, trõ, nh©n hai sè phøc ta cã
(1 i)3 (1)3 3(1)2 i 3(1)i 2 i3 2 2i, (2i )3 (2)3 (i )3 8i
Do ®ã nhËn ®îc kÕt qu¶ cña bµi to¸n lµ 2 + 10i
1
VÝ dô 2: TÝnh
1 3
i
2 2
Bµi gi¶i
1 3 1 3
i i
2 2 1 3
Ta cã : 2 2 i
1 3 1 3 1 2 2
i i
2 2 2 2
VÝ dô 3: TÝnh 1 i i 2 i3 ... i 2009
Bµi gi¶i
Ta cã: 1 i 2010 (1 i)(1 i i 2 i3 ... i 2009 ) . Mµ 1 i 2010 2 . Nªn
2
1 i i 2 i3 ... i 2009 , 1 i i 2 i3 ... i 2009 1 i .
1 i
VÝ dô 4: TÝnh (1 i)100
Bµi gi¶i
NhËn thÊy (1 i)2 (1 i)(1 i ) 2i .
Suy ra (1 i)100 ((1 i )2 )50 (2i )50 (2)50 (i )50 250 .
1 3
VÝ dô 5: Cho sè phøc z i.
2 2
1
H·y chøng minh r»ng: z 2 z 1 0; z z 2 ; z3 1. .
z
Bµi gi¶i
1 3 1 3 1 3
Do z 2 i . Nªn z 2 z 1 ( i ) ( i) 1 0 ;
2 2 2 2 2 2
http://violet.vn/kinhhoa 2 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC
1 3
1 1 i
L¹i cã 2 2 1 3 i . Suy ra z 2 z 1 .
z 1 3 1 2 2 z
i
2 2
H¬n n÷a ta cã z3 1 .
VÝ dô 6: T×m sè phøc z, nÕu z 2 z 0 .
Bµi gi¶i
§Æt z = x + yi, khi ®ã
z 2 z 0 ( x yi)2 x 2 y 2 0 x 2 y 2 x 2 y 2 2 xyi 0
x 0
x 0
2
x y x y 0
2 2 2 2
y y 0
y (1 y ) 0
2 xy 0
y 0
y 0
2
x x 0 x (1 x ) 0
x 0
x 0, y 0
y 0
x 0, y 1
y 1
x 0, y 1
x 0 (do x 1 0)
y 0, x 0
y 0
VËy cã ba sè phøc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn lµ z = 0; z = i; z = - i.
II. BiÓu diÔn sè phøc trong mÆt ph¼ng to¹ ®é
1) Ph¬ng ph¸p gi¶i
§Ó biÓu diÔn mét sè phøc cÇn dùa vµo®Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt sau:
NÕu sè phøc z ®îc biÓu diÔn bëi vect¬ u , sè phøc z' ®îc biÓu diÔn bëi vect¬ u ' , th×
z + z' ®îc biÓu diÔn bëi u u ' ; z - z' ®îc biÓu diÔn bëi u u ' ; - z ®îc biÓu diÔn bëi u .
2) C¸c vÝ dô.
VÝ dô 1: Gi¶ sö M(z) lµ ®iÓm trªn mÆt ph¼ng to¹ ®« biÓu diÔn sè phøc z. T×m tËp hîp nh÷ng
®iÓm M(z) tháa m·n ®iÒu kiÖn sau
a) z 1 i 2 ; b) 2 z i z .
Bµi gi¶i
a) §Æt z = x + yi suy ra z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i. Nªn hÖ thøc z 1 i 2 trë thµnh
( x 1) 2 ( y 1) 2 2 ( x 1) 2 ( y 1) 2 4.
VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M(z) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é biÓu diÔn c¸c sè phøc z tháa m·n gi¶ thiÕt
lµ ®êng trßn t©m I(1; - 1) b¸n kÝnh R = 2.
b) Gäi A (- 2 ; 0), B(0 ; 1). Khi ®ã 2 z i z z (2) z i hay lµ
M(z)A = M(z)B. VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M(z) lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB.
NhËn xÐt: Víi phÇn b ta cã thÓ thøc hiÖn c¸ch gi¶i nh ®· lµm ë phÇn a. Tuy nhiªn ®Ó
thÓ thùc hiÖn c¸ch gi¶i nh vËy lµ ta ®· dùa v¸o nhËn xÐt sau:
NÕu vÐct¬ u cña mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn sè phøc z th× ®é dµi cña vect¬ u lµ u z , vµ tõ
®ã nÕu c¸c ®iÓm A, B theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc z, z' th× AB z z ' .
http://violet.vn/kinhhoa 3 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC
3
VÝ dô 2: Trong c¸c sè phøc z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn z 2 3i . T×m sè phøc z cã modul nhá
2
nhÊt.
Bµi gi¶i
3
XÐt biÓu thøc z 2 3i (1). §Æt z = x + yi. Khi ®ã (1) trë thµnh
2
3 9
( x 2) ( y 3)i ( x 2)2 ( y 3)2 .
2 4
Do ®ã c¸c ®iÓm M biÓu diÔn sè phøc z tho¶ m·n (1) n»m trªn ®êng trßn ( ) t©m
3
I(2; -3) vµ b¸n kÝnh R = . y
2
O H 2
x
M
-3 I
Ta cã z ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vµ chØ khi
®iÓm M n»m trªn ®êng trßn ( ) vµ gÇn O nhÊt. Do ®ã M lµ giao ®iÓm cña ( ) vµ ®êng th¼ng
OI, víi M lµ giao ®iÓm gÇn O h¬n.
Ta cã OI = 4 9 13 . KÎ MH Ox. Theo ®Þnh lÝ talet cã
3
13
MH OM 2 13MH 3 13 9 6 13 9 MH 6 13 9 78 9 13 .
3 OI 13 2 2 2 13 26
3
13
OH 2 OH 2 13 3 26 3 13 .
L¹i cã
2 13 13 13
26 3 13 78 9 13
VËy sè phøc cÇn t×m lµ : z i.
13 26
VÝ dô 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè phøc z, w, ta cã z w z w . §¼ng thøc x¶y ra khi
nµo?
Bµi gi¶i
Gäi A, B, C lÇn lît lµ c¸c ®iÓm biÓu diÔn cña c¸c sè phøc z, w, z + w.
Ta cã z OA, w OB, z w OC . Tõ OC OA + AC suy ra z w z w .
H¬n n÷a OC = OA + AC khi vµ chØ khi O, A, C th¼ng hµng vµ A thuéc ®o¹n th¼ng OC.
Khi O A (hay z 0) ®iÒu ®ã cã nghÜa lµ cã sè k 0 ®Ó AC kOA tøc lµ w = kz. (Cßn khi z
= 0, râ rµng z w z w ).
VËy z w z w khi vµ chØ khi z = 0 hoÆc nÕu z 0 th× tån t¹i k R ®Ó w = kz.
c. bµi tËp
1. Chøng minh r»ng víi mäi sè phøc z, w ta ®Òu cã z w z w . DÊu b»ng x¶y ra khi nµo?
2. Trong mÆt ph¼ng phøc, bèn ®iÓm ph©n biÖt A, B, C, D theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc z, w,
u, v tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt:
http://violet.vn/kinhhoa 4 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC
a) z w u v 1 ;
b) z + w + u + v = 0.
3. Cho sè phøc z = m + (m - 3)i, m R
a) T×m m ®Ó biÓu diÔn cña sè phøc n»m trªn ®êng ph©n gi¸c thø hai y = - x;
2
b) T×m m ®Ó biÓu diÔn cña sè phøc n»m trªn hypebol y ;
x
c) T×m m ®Ó kho¶ng c¸ch cña ®iÓm biÓu diÔn sè phøc ®Õn gèc to¹ ®é lµ nhá nhÊt.
4. X¸c ®Þnh tËp hîp c¸c ®iÓm trong mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn c¸c sè phøc tho¶ m·n hÖ thøc
z
3.
z i
5. XÐt c¸c ®iÓm A, B, C trong mÆt ph¼ng phøc theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc
4i 2 6i
; (1 i)(1 2i ); .
i 1 3 i
a) Chøng minh ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n;
b) T×m sè phøc biÓu diÔn bëi ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng.
…………………………………
VẤN ĐỀ 2
C¨n bËc hai cña sè phøc vµ ph¬ng tr×nh bËc hai
A. KiÕn thøc cÇn nhí
I. §Þnh nghÜa c¨n bËc hai cña sè phøc
Cho sè phøc w mçi sè phøc z tho¶ m·n z2 = w ®îc gäi lµ mét c¨n bËc hai cña sè phøc w.
a) NÕu w lµ sè thùc
+ w < 0 th× cã hai c¨n bËc hai: wi & wi
+ w 0 th× cã hai c¨n bËc hai: w & w .
b) NÕu w lµ sè phøc khi ®ã ta thùc hiÖn c¸c bíc:
+ Gi¶ sö w= a + ib, ®Æt z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña w tøc lµ: z 2 w khi ®ã ta cã
x 2 y 2 a (1)
hÖ:
2 xy b (2)
2 2
B×nh ph¬ng 2 vÕ cña (1) vµ (2) råi céng l¹i ta ®îc x y a 2 b2
x 2 y 2 a (1)
Do vËy ta ®îc hÖ:
2 2 2 2
x y a b
(2')
2
Gi¶i hÖ t×m ®îc x vµ y 2 suy ra x vµ y ®Ó t×m z.
Chó ý: Theo (2) ta cã nÕu b > 0 th× x, y cïng dÊu. NÕu b < 0 th× x, y tr¸i dÊu.
II. C«ng thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai hÖ sè phøc
Cho PT: ax bx c 0; (1) (a, b, c , a 0) vµ cã b 4ac
2 2
b b
+ NÕu 0 pt cã hai nghiÖm lµ x1 ; x2
2a 2a
Trong ®ã lµ mét c¨n bËc hai cña .
b
+ NÕu = 0 th× pt cã nghiÖm kÐp: x1 x2 .
2a
B. C¸c d¹ng bµi tËp
I. Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt
1) Ph¬ng ph¸p gi¶i
http://violet.vn/kinhhoa 5 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC
B
BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng Az + B = 0, A, B , A 0 . ViÕt nghiÖm z
A
2) VÝ dô
VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2iz + 1 - i = 0
Bµi gi¶i
(1 i ) 1 1 1 1
NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ z i.
2i 2i 2 2 2
II. TÝnh c¨n bËc hai vµ gi¶iph¬ng tr×nh bËc hai
1) Ph¬ng ph¸p gi¶i
Sö dông c«ng thøc tÝnh c¨n bËc hai cña sè phøc ®Ó tÝnh c¨n bËc hai.
Sö dông c«ng thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ®Ó t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh víi chó
ý ph¶i ®a vÒ ®óng d¹ng cña ph¬ng tr×nh.
2) C¸c vÝ dô
VÝ dô 1: T×m c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau:
a ) 5 12i b) 8 6i
c) 33 56i d ) 3 4i
Bµi gi¶i
a) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña -5 + 12i tøc lµ
2
x iy 5 12i x 2 y 2 2ixy 5 12i
x 2 y 2 5 2 2
x y 5 2
x 4 x 2
2 2
2
2 xy 12 x y 13
y 9
y 3
x 2 x 2
Do b = 12 > 0 nªn x vµ y cïng dÊu tõ ®ã cã hoÆc
y 3 y 3
VËy -5 + 12i cã 2 c¨n bËc hai lµ z1 =2+3i vµ z2 = -2-3i.
b) T¬ng tù ta gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña 8+ 6i tøc lµ
2
x iy 8 6i x 2 y 2 2ixy 8 6i
x2 y 2 8 x2 y 2 8
x2 9
x 3
2 2
2
2 xy 6 x y 10
y 1
y 1
x 3 x 3
Do b= 6> 0 nªn x vµ y cïng dÊu tõ ®ã cã hoÆc
y 1 y 1
VËy 8 + 6i cã 2 c¨n bËc hai lµ 3+i vµ -3-i.
c) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña 33 - 56i tøc lµ
2
x iy 33 56i x 2 y 2 2ixy 33 56i
x 2 y 2 33 2 2
x y 33 x 2 49
x 7
2 2
2
2 xy 56 x y 65
y 16
y 4
x 7 x 7
Do b = -56 < 0 nªn x vµ y tr¸i dÊu tõ ®ã cã hoÆc
y 4 y 4
VËy 2 c¨n bËc hai cña 33 - 56i lµ 7- 4i vµ -7+i4.
d) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña -3 +4i tøc lµ
2
x iy 3 4i x 2 y 2 2ixy 3 4i
http://violet.vn/kinhhoa 6 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC
x 2 y 2 3 2 2
x y 3 2
x 1 x 1
2 2
2
2 xy 4 x y 5
y 4
y 2
x 1 x 1
Do b = 4 > 0 nªn x vµ y cïng dÊu tõ ®ã cã hoÆc
y 2 y 2
VËy 2 c¨n bËc hai cña -3 + 4i lµ 1 + 2i vµ -1-2i.
VÝ dô 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a ) x 2 3 4i x 5i 1 0; (1) b) x2 1 i x 2 i 0; (2)
Bµi gi¶i
2
a) Ta cã 3 4i 4 5i 1 3 4i
Theo kÕt qu¶ vÝ dô 1d) th× cã hai c¨n bËc hai lµ 1+ 2i vµ -1 - 2i. Do ®ã pt (1) cã hai nghiÖm lµ:
3 4i 1 2i 3 4i 1 2i
x1 2 3i; x2 1 i
2 2
2
b) T¬ng tù ta cã 1 i 4 i 2 8 6i
Theo kÕt qu¶ vÝ dô 1b) th× cã hai c¨n bËc hai lµ 3 + i vµ -3 - i. Do ®ã pt (2) cã hai nghiÖm lµ:
1 i 3 i 1 i 3 i
x1 1; x2 2 i
2 2
Chó ý: PT (2) cã thÓ dïng nhÈm nghiÖm nhê a + b + c = 0
VÝ dô 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a ) 3 x 2 x 2 0; (1); b) x 2 x 1 0; (2); c ) x3 1 0 (3)
Bµi gi¶i
a) Ta cã = 12- 4.3.2 =-23
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC
2
Gi¶ sö PT bËc hai: ax bx c 0; a, b, c , a 0 nhËn sè phøc lµ nghiÖm
2
tøc lµ ta cã: a b c 0 . (1)
LÊy liªn hîp hai vÕ cña (1) vµ sö dông tÝnh chÊt liªn hîp cña sè thùc b»ng chÝnh nã th× ta ®îc:
2
a 2 b c 0 a b c 0 . §iÒu nµy chøng tá lµ nghiÖm cña pt.
2
¸p dông: Chøng tá 1+i lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 3 x 3 5i 0 . T×m nghiÖm
cßn l¹i cña pt ®ã.
VÝ dô 5: Ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lÝ ®¶o vµ thuËn cña ®Þnh lÝ Vi-et cña ph¬ng t×nh bËc
hai víi hÖ sè phøc.
ThuËn: NÕu hai sè x1 & x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
b c
ax 2 bx c 0; a, b, c , a 0 th× x1 x2 & x1 x2 .
a a
Chøng minh
Theo c«ng thøc nghiÖm cña pt bËc hai víi hÖ sè phøc ta cã:
b b b
x1 x2
2a 2a a
2 2
b b b c
x1 x2 . 2
2a 2a 4a a
§¶o: NÕu hai sè ; tho¶ m·n: S & . P th× ; lµ nghiÖm cña pt:
x 2 Sx P 0 .(1)
Chøng minh
2 x
Ta cã: (1) x x 0 x x 0
x
§iÒu nµy chøng tá ; lµ nghiÖm cña (1).
¸p dông: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm 4 3i; 2 5i
Bµi gi¶i
Theo bµi ra ta cã: 2 8i vµ . 4 3 2 5i 23 14i
i
2
Theo kÕt qu¶ Vd5 ta ®îc pt bËc hai cÇn lËp lµ: x 2 8i x 14i 23 0
2
VÝ dô 6: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh: x mx 3i 0 cã tæng b×nh ph¬ng 2 nghiÖm b»ng 8.
Bµi gi¶i
2 2 2
Theo bµi ra ta cã: x1 x2 8 x1 x2 2 x1 x2 8 (1). Theo Vi-et ta cã
x1 x2 m 2 2
Thay vµo (1) ta ®îc m 6i 8 m 8 6i . Tøc m lµ mét c¨n bËc hai
x1 x2 3i
cña 8+6i. Theo kÕt qu¶ Vd1b ta cã 2 gi¸ trÞ cña m lµ: 3 + i vµ -3 - i.
z12 z2 5 2i (1)
2
VÝ dô 7: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
z1 z2 4 i (2)
Bµi gi¶i
http://violet.vn/kinhhoa 8 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC
2 2
Tõ (2) ta cã z1 z2 2 z1 z2 15 8i. KÕt hîp víi (1) ta cã z1 z2 5 5i vËy ta cã hÖ
z1 z2 4 i
ph¬ng tr×nh: Do ®ã z1 , z2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
z1 z2 5 5i
z 2 4 i z 5 5i 0 . Ta cã 5 12i theo Vd1a ta biÕt cã hai c¨n bËc hai lµ:
2 + 3i vµ -2 - 3i.
4 i 2 3i
z1 3i
2 z1 1 2i
VËy ta cã HoÆc .
z 4 i 2 3i z2 3 i
1 2i
2
2
2
VÝ dô 8: Cho z1 , z2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 1 i 2 z 3 2i z 1 i 0 .
Kh«ng gi¶i pt h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:
z1 z2
a ) A z12 z2
2
b) B z12 z2 z1 z2
2
c) C
z2 z1
Bµi gi¶i
3 2i 3 2 2 2 3 2
z1 z2 i
1 i 2 3 3
Theo Vi-et ta cã:
z z 1 i 1 2 1 2 i
1 2 1 i 2
3 3
a) Ta cã
2
2 3 2 2 23 2 1 2 1 2 11 30 2 6 4 2
A z1 z2 2 z1 z2
i 2
3 3 i i
3 3 9 9
b)
3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 5 2 2 1 10 2
B z1 z2 z1 z2 i i i
3 3 3 3 9 9
2 2
z z2 A 6 26 2 i
c) Ta cã C 1 .
z1 z2 1 2 1 2 18
i
3 3
4 2
VÝ dô 9: Gi¶i pt: z 6 z 25 0 (1)
Bµi gi¶i
2 2
§Æt z t. Khi ®ã (1) cã d¹ng: t 6t 25 0 (2).
Ta cã: ' 16 cã hai c¨n bËc hai lµ 4i vµ - 4i nªn pt (2) cã hai nghiÖm lµ t1 3 4i
vµ t2 3 4i .
MÆt kh¸c 3 + 4i cã hai c¨n bËc hai lµ: 2 + i vµ -2 - i cßn 3 - 4i cã hai c¨n bËc hai lµ:
2 - i vµ -2 + i nªn pt (1) cã 4 nghiÖm lµ:
z1 2 i; z2 2 i; z3 2 i; z4 2 i
C. bµi tËp
Bµi 1: T×m c¸c c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau:
http://violet.vn/kinhhoa 9 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC
3 i
a) 8+6i b) 3+4i c)
1 i 3
2 2
1 1 1 i 1 i 3
d) e) f)
1 i 1 i 1 i 3 i
Bµi 2: Gäi u1 ; u2 lµ hai c¨n bËc hai cña z1 3 4i vµ v1 ; v2 lµ hai c¨n bËc hai cña z2 3 4i .
TÝnh u1 u2 v1 v2 ?
Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a ) z 2 2iz 2i 1 0; b) z 2 5 14i z 2 12 5i 0
2
c) z 2 80 z 4099 100i 0; d ) z 3 i 6 z 3 i 13 0
e) z 2 cos i sin z i cos sin 0.
Bµi 4: T×m c¸c c¨n bËc ba cña 8 vµ -8.
Bµi 5: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng:
a ) z 4 8 1 i z 2 63 16i 0; b) z4 24 1 i z2 308 144 i 0
2
Bµi 6: Cho z1 , z2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: z 1 i 2 z 2 3i 0 .
Kh«ng gi¶i pt h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:
z1 z2
a ) A z12 z2
2
b) B z12 z2 z1 z2
2
c) C
z2 z1
1 2 1 2
d ) D z13 z2
3
e) E z2 z13 z1 z2
3
f ) F z1 z2
z2 z1 z1 z2
Bµi 7: Gi¶i c¸c hÖ PT
u 2 v 2 4uv 0 z 2i z
a) b)
u v 2i z i z 1
…………………………………………………….
VẤN ĐỀ 3
D¹ng lîng gi¸c cña sè phøc
A. KiÕn thøc cÇn nhí
I. Sè phøc díi d¹ng lîng gi¸c.
1. Acgumen cña sè phøc z 0 y
Cho sè phøc z 0. Gäi M lµ ®iÓm
trong mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn sè phøc z.
Khi ®ã sè ®o (radian) cña mçi gãc lîng b
gi¸c tia ®Çu Ox, tia cuèi OM ®îc M
gäi lµ mét Acgumen cña z.
O a x
Chó ý: + NÕu lµ Acgumen cña z th× mäi Acgumen cña z ®Òu cã d¹ng: + k2 , k Z.
+ Acgumen cña z 0 x¸c ®Þnh sai kh¸c k2 , k Z.
II. D¹ng lîng gi¸c cña sè phøc
http://violet.vn/kinhhoa 10 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC
Cho sè phøc Z = a+bi, (a, b R), víi r = a 2 b 2 lµ modun cña sè phøc z vµ lµ Acgumen
cña sè phøc z.
D¹ng z = r (cos +isin ) ®îc gäi lµ d¹ng lîng gi¸c cña sè phøc z 0, cßn d¹ng
z = a + bi ®îc gäi lµ d¹ng ®¹i sè cña sè phøc z.
II. Nh©n vµ chia sè phøc díi d¹ng lîng gi¸c
NÕu z = r(cos +isin ), z' = r' (cos '+isin ') (r 0 vµ r' 0 ) th×
z r
zz' = rr ( cos ( ' ) i sin( ' )); cos( ') i sin( ') (khi r' > 0).
z' r'
III. C«ng thøc Moa-Vr¬ vµ øng dông
1. C«ng thøc Moa- Vr¬
n
r (cos i sin ) r n (cos n i sin n )
cos i sin n cos n i sin n , n N * .
2. C¨n bËc n cña mét sè phøc
Víi z = r(cos +isin ), r > 0, cã hai c¨m bËc hai cña z lµ
r (cos i sin ) ; r (cos i sin ) r (cos( ) i sin( )) .
2 2 2 2 2 2
B. c¸c d¹ng Bµi tËp
I. ViÕt sè phøc díi d¹ng lîng gi¸c
1) Ph¬ng ph¸p
Víi mçi sè phøc z = a + bi:
a b
TÝnh r = a 2 b2 ; TÝnh cos = ,sin tõ ®ã suy ra acgumen cña z
r r
Sö dông c«ng thøc lîng gi¸c cña sè phøc cho ta z = r (cos i sin ) .
2) C¸c vÝ dô
VÝ dô 1: ViÕt c¸c sè phøc sau díi d¹ng lîng gi¸c
1 i 3
a )(1 i 3)(1 i ); b ) ; c ) z sin i cos
1 i
Bµi gi¶i
a) Ta cã 1 i 3 2 cos( ) i sin( ) ; cßn 1 i 2 cos i sin . Do ®ã
3 3 4 4
(1 i 3)(1 i ) 2 2 cos( ) i sin( ) .
12 12
b) Tõ phÇn trªn ta cã ngay kÕt qu¶
1 i 3 7 7
2 cos i sin .
1 i 12 12
c) Ta cã z sin i cos cos( ) i sin( ) . VËy z cos( ) i sin( ) .
2 2 2 2
VÝ dô 2: Tuú theo gãc , h·y viÕt sè phøc sau díi d¹ng lîng gi¸c
(1 cos i sin )(1 cos i sin ).
Bµi gi¶i
XÐt sè phøc z = (1 cos i sin )(1 cos i sin ) , ta cã
http://violet.vn/kinhhoa 11 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC
z (2sin 2 i.2sin cos )(2cos 2 i.2sin cos )
2 2 2 2 2 2
4sin cos (sin i cos )(cos i sin )
2 2 2 2 2 2
2sin (sin cos sin cos i (cos2 sin 2 )) 2sin sin i cos .
2 2 2 2 2 2
Hay z = 2sin (sin - icos ) (*)
+ NÕu sin 0 , th× tõ (*) cã z = 2sin cos( ) i.sin( ) lµ d¹ng sè phøc cÇn t×m.
2 2
+ NÕu sinh < 0, th× tõ (*) ta cã :
z 2sin ( sin i cos ) 2sin cos( ) i.sin( ) lµ dang lîng gi¸c cÇn t×m.
2 2
+ NÕu sinh = 0, th× z = 0, nªn kh«ng cã d¹ng lîng gi¸c x¸c ®Þnh.
II. C¸c bµi tËp tÝnh to¸n tæng hîp vÒ d¹ng lîng gi¸c cña sè phøc
1) Ph¬ng ph¸p gi¶i
§a sè phøc vÒ d¹ng lîng gi¸c råi sö dông c¸c c«ng thøc Moivre ®Ó tÝnh to¸n c¸c ®¹i lîng
theo yªu cÇu cña bµi tËp.
2) C¸c vÝ dô
VÝ dô 1: T×m phÇn thùc vµ phÇn ¶o cña mçi sè phøc sau
(1 i )10 1 1
a) 9
; b) cos i sin i 5 (1 3i )7 ; c) z 2009 2009 , nÕu z 1 .
( 3 i) 3 3 z z
Bµi gi¶i
a) XÐt sè phøc
10
5 5
2(cos i sin ) 25 (cos i sin )
(1 i )10 4 4
9
2 2
( 3 i) 9
3 3
29 (cos i sin )
2(cos 6 i sin 6
2 2
1 1
4 (cos i sin )
2 16
1
VËy phÇn thùc b»ng , phÇn ¶o b»ng 0.
16
b) XÐt sè phøc
7
cos i sin i 5 (1 3i )7 cos( ) i sin( ) i 2(cos i sin )
3 3 3 3 3 3
7 7
27 cos( ) i sin( ) (cos i sin )i 27 cos 2 i sin 2 i 27 i.
3 3 3 3
VËy phÇn thùc cña sè phøc b»ng 0, phÇn ¶o b»ng 27 128 .
c) Tõ
1 3i
1 z cos i sin
2 3 3
z 1 z2 z 1 0
z 1 3i
z cos( ) i sin( ).
2 3 3
http://violet.vn/kinhhoa 12 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC
Víi z cos i sin , ta cã
3 3
1 1
z 2009 2009 (cos i sin )2009 ( )2009
z 3 3
cos i sin
3 3
2009 2009
(cos i sin ) (cos( ) i sin( ))
3 3 3 3
2009 2009 2009 2009 2 2
(cos i sin )(cos i sin ) 2cos(669 ) 2cos 1.
3 3 3 3 3 3
VËy phÇn thùc c¶u sè phøc b»ng 1, phÇn ¶o b»ng 0.
VÝ dô 2: TÝnh tæng sau S (1 i ) 2008 (1 i ) 2008
Bµi gi¶i
Ta cã
1 i 2(cos i sin ) (1 i )2008 21004 (cos502 i sin 502 )
4 4
1 i 2(cos i sin ) 2(cos( ) i sin( )) (1 i )2008 21004 (cos( 502 ) i sin( 502 )).
4 4 4 4
Do ®ã S 21005 cos(502 ) 21005 .
VÝ dô 3: Chøng minh r»ng c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c c¨n bËc ba cña 1 lËp thµnh mét tam gi¸c
®Òu.
Bµi gi¶i
XÐt ph¬ng tr×nh z 3 1 trªn , cã nghiÖm d¹ng z r (cos i sin ) . Khi ®ã
r 1
z 3 1 r 3 (cos3 i sin 3 ) 1
3 k 2, k .
Do ®ã ph¬ng tr×nh trªn cã ®óng ba nghiÖm øng víi ba gi¸ trÞ cña k lµ
Víi k = 0 ta cã z 0 = cos0 + isin0 = 1;
2 2 1 3
Víi k = 1 ta cã z 1 = cos i sin i ;
3 3 2 2
4 4 1 3
Víi k = 2 ta cã z 2 = cos i sin i .
3 3 2 2
Nªn 1 cã ba c¨n bËc ba ®ã lµ c¸c sè phøc ®îc x¸c ®Þnh nh trªn. Trong mÆt ph¼ng phøc, gäi
A, B, C lÇn lît lµ ®iÓm biÓu diÔn c¸c sè phøc z 0 , z 1 , z 2 . Khi ®ã
2 2
OA OB OC 1; AOB ; BOC
3 3
Tõ ®ã suy ra tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu.
C. bµi tËp
Bµi 1: ViÕt c¸c sè phøc sau díi d¹ng lîng gi¸c:
1 i 3
a. 1 - i 3 b. ( 1 - i 3 )(1 i ) c.
1 i
5
d. 1 - itan e. tan i f. 1-cos i sin ( R, k 2 , k Z )
5 8
Bµi 2: Cho 2 sè phøc: 4 – 4i vµ 1+ i 3 .
http://violet.vn/kinhhoa 13 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC
T×m Modun vµ Acgumen cña c¸c sè phøc lµ ®èi liªn hîp cña 2 sè phøc trªn vµ viÕt chóng díi
d¹ng lîng gi¸c.
1
Bµi 4: T×m d¹ng lîng gi¸c cña c¸c sè phøc sau: z ; , biÕt:
z
a. z = r ( cos i sin ) , r >0; b. z = 1 + 3 i
Bµi 5: T×m c¸c c¨n bËc 5 cña 1? CMR tæng cña chóng b»ng 0?
Bµi 6: Rót gän hÕt dÊu c¨n ë mçi biÓu thøc sau
1 3
a. 4
1 b. 8 1 c. 1 i d. 3 i
2 2
Bµi 7: Cho sè phøc z = a + bi . Mét h×nh vu«ng t©m lµ gèc to¹ ®é 0, c¸c c¹nh song song víi c¸c
trôc to¹ ®é vµ cã ®é dµi b»ng 4. X¸c ®Þnh a,b ®Ó t×m ®iÓm biÓu diÔn cña sè thùc z.
a, N»m trong h×nh vu«ng
b, N»m trªn ®êng chÐo cñah×nh vu«ng
Bµi 8: Chøng minh r»ng
2
2 2 1 z z
a. z1 z 2 1 + z1 z2 = (1+ z1 )(1+ z 2 ) 2 b. z1 z 2 ( z1 z 2 ) 1 2 .
2 z1 z2
Bµi 9: TÝnh
a. cos a + cos (a+b) + cos (a+2b) +…+ cos(a+nb)
b. sin a + sin (a+b) + sin (a+2b) +…+ sin (a+nb).
……………………………….
http://violet.vn/kinhhoa 14 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC
PHẦN 2. LUYỆN TỔNG HỢP
Bµi 1.
a.Trong c¸c sè z tho¶ m·n : 2 z 2 2i 1 h·y t×m sè z cã moidule nhá nhÊt
b.Trong c¸c sè z tho¶ m·n : z 5i 3 h·y t×m sè z cã acgumen d¬ng nhá nhÊt
1
c. Cho | z | 2009 . Tìm số phức có modun lớn nhất
z
Bµi 2.
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau :
a. z z n 1 ( n N ) b. ( z a ) n z n ( n N , a R, a 0)
Bµi 3.
Cho hai ®iÓm M(z) vµ I(z1) t¬ng øng víi sè phøc z=x+yi , x, y R vµ sè phøc z1=a+bi
a) Chøng minh hÖ thøc : (z-z1).( z z 1 ) =(x-a)2+(y-b)2
b) suy ra hÖ thøc : (z-z1).( z z 1 ) =R2 ( R> 0)
Lµ ph¬ng tr×nh mét ®êng trßn t©m I, b¸n kÝnh R
Bµi 4.
0 x y 1
T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M biÓu diÔn c¸c sè phøc z =x+yi tháa m·n ®iÒu kiÖn sau :
y x 2 1
Bµi 5.
2 2
Hãy tính tổng S 1 z z 2 z3 ... zn 1 biết rằng z cos i sin
n n
Bµi 6.
Gi¶i ph¬ng tr×nh :
2
4 3 z 1
a. z -z + +z+1 = 0 ( Èn phô =z- ); b. (z2+3z+6)2+2z(z2+3z+6)-3z2 = 0
2 z
Bµi 7.
T×m sè thùc a, b ®Ó cã ph©n tÝch : f(z) =z4-4z3+7z2-16z+12 =(z2+4)(z2+az+b)
Tõ ®ã gi¶i ph¬ng tr×nh : f(z) = 0
Bµi 8.
Với z là số phức. Chứng minh rằng:
Bµi 9.
z
Tính giới hạn: lim |1 |n với z C
n n
Bµi 10.
Cho a, b, c là ba số phức khác 0 phân biệt với |a| = |b| = |c|. Chứng minh rằng nếu mỗi phương
trình: az2 + bz + c = 0, bz2 + cz + a = 0 có một nghiệm có modun bằng 1 thì:
|a – b| = |b – c| = |c – a|
http://violet.vn/kinhhoa 15 Ngọc Vinh
nguon tai.lieu . vn