Xem mẫu

  1. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC sè phøc PHẦN I. CÁC DẠNG TOÁN VẤN ĐỀ 1 d¹ng ®¹i sè cña sè phøc Céng, trõ, nh©n, chia sè phøc A. TÓM TẮT KIẾN THỨC 1. Sè phøc Mét biÓu thøc d¹ng z = a + bi, trong ®ã a vµ b lµ nh÷ng sè thùc vµ i tháa m·n i 2 = -1 ®­îc gäi lµ mét sè phøc. a ®­îc gäi lµ phÇn thùc, b ®­îc gäi lµ phÇn ¶o, i ®­îc gäi lµ ®¬n vÞ ¶o. TËp c¸c sè phøc ®­îc kÝ hiÖu lµ . Sè phøc cã phÇn ¶o b»ng 0 gäi lµ sè thùc nªn R  . Sè phøc cã phÇn thùc b»ng 0 gäi lµ sè ¶o. 0 = 0 + 0i lµ sè võa thùc võa ¶o. 2. Hai sè phøc b»ng nhau a  a ' z  a+bi (a,b   ), z'  a'+b' i (a',b'  ); z  z'   b  b ' 3. Céng, trõ hai sè phøc z  a+bi (a,b   ), z'  a'+b' i (a',b'   ) z + z'  (a + a' ) + (b + b') i, z  z'  (a - a') + (b - b' )i Sè ®èi cña sè phøc z = a + bi lµ sè phøc ; - z = - a – bi. 4. Nh©n hai sè phøc z  a+bi (a,b   ), z'  a'+b' i (a',b'   ); zz'  aa '  bb '  (ab '  a 'b)i 5. M«®un cña sè phøc, sè phøc liªn hîp z = a +bi (a, b   ) th× m«®un cña z lµ z = a 2 +b2 z = a +bi (a, b   ) th× sè phøc liªn hîp cña z lµ z = a - bi. Ta cã: 2 zz' = z z' , zz  a 2  b2  z , z + z' = z + z', zz'=z z', z = z * z lµ sè thùc khi vµ chØ khi z = z 6. Chia cho sè phøc kh¸c 0 1 NÕu z = a + bi (a, b   ) kh¸c kh«ng th× sè phøc nghÞch ®¶o cña z lµ z-1= z. 2 z z' z'z z' z'  z' z' Th­¬ng cña z' cho z kh¸c kh«ng lµ:  z'z-1  . Ta cã:  ,   . z zz z z z z 7. BiÓu diÔn h×nh häc cña sè phøc Sè phøc z = a + bi (a, b   ) ®­îc biÓu diÔn bëi M(a; b) trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy hay cßn gäi lµ mÆt ph¼ng phøc. Trôc Ox biÓu diÔn c¸c sè thùc gäi lµ trôc thùc, trôc Oy biÓu diÔn c¸c sè ¶o gäi lµ trôc ¶o  Sè phøc z = a + bi (a, b   ) còng ®­îc biÓu diÔn bëi vect¬ u  ( a; b) , do ®ã M(a; b) lµ ®iÓm   biÓu diÔn cña sè phøc z = a + bi (a, b   ) còng cã nghÜa lµ OM biÓu diÔn sè phøc ®ã.   Ta cã:NÕu u , v theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc z, z' th× http://violet.vn/kinhhoa 1 Ngọc Vinh
  2. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC      u  v biÓu diÔn sè phøc z + z', u  v biÓu diÔn sè phøc z – z-1, k u (k   ) biÓu diÔn sè phøc kz,    OM  u  z , víi M lµ ®iÓm biÓu diÔn cña z. B. C¸c d¹ng bµi tËp I. X¸c ®Þnh tæng, hiÖu, tÝch, th­¬ng cña c¸c sè phøc 1) Ph­¬ng ph¸p gi¶i Áp dông c¸c quy t¾c céng, trõ, nh©n, chia hai sè phøc, chó ý c¸c tÝnh chÊt giao ho¸n, kÕt hîp ®èi víi c¸c phÐp to¸n céng vµ nh©n. 2) C¸c vÝ dô VÝ dô 1: T×m ph©n thùc, phÇn ¶o cña c¸c sè phøc sau a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); b) (1  i )3  (2i )3 Bµi gi¶i a) Ta cã: i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = ((0 + 2) + (1 - 4)i) + (- 3 + 2i) = (2 - 3) + (-3 + 2)i = -1 - i. VËy sè phøc ®· cho cã phÇn thùc lµ - 1, phÇn ¶o lµ - 1. b) Sö dông c¸c quy t¾c céng, trõ, nh©n hai sè phøc ta cã (1  i)3  (1)3  3(1)2 i  3(1)i 2  i3  2  2i, (2i )3  (2)3 (i )3  8i Do ®ã nhËn ®­îc kÕt qu¶ cña bµi to¸n lµ 2 + 10i 1 VÝ dô 2: TÝnh 1 3  i 2 2 Bµi gi¶i 1 3 1 3  i  i 2 2 1 3 Ta cã : 2 2   i 1 3  1 3  1 2 2   i   i  2 2  2 2  VÝ dô 3: TÝnh 1  i  i 2  i3  ...  i 2009 Bµi gi¶i Ta cã: 1  i 2010  (1  i)(1  i  i 2  i3  ...  i 2009 ) . Mµ 1  i 2010  2 . Nªn 2 1  i  i 2  i3  ...  i 2009  ,  1  i  i 2  i3  ...  i 2009  1  i . 1 i VÝ dô 4: TÝnh (1  i)100 Bµi gi¶i NhËn thÊy (1  i)2  (1  i)(1  i )  2i . Suy ra (1  i)100  ((1  i )2 )50  (2i )50  (2)50 (i )50  250 . 1 3 VÝ dô 5: Cho sè phøc z    i. 2 2 1 H·y chøng minh r»ng: z 2  z  1  0; z  z 2  ; z3  1. . z Bµi gi¶i 1 3 1 3 1 3 Do z 2    i . Nªn z 2  z  1  (  i )  (  i)  1  0 ; 2 2 2 2 2 2 http://violet.vn/kinhhoa 2 Ngọc Vinh
  3. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 1 3 1 1   i L¹i cã   2 2   1  3 i . Suy ra z 2  z  1 . z 1 3 1 2 2 z   i 2 2 H¬n n÷a ta cã z3  1 . VÝ dô 6: T×m sè phøc z, nÕu z 2  z  0 . Bµi gi¶i §Æt z = x + yi, khi ®ã   z 2  z  0  ( x  yi)2  x 2  y 2  0  x 2  y 2  x 2  y 2  2 xyi  0  x  0   x  0   2  x  y  x  y  0  2 2 2 2   y  y  0    y (1  y )  0     2 xy  0   y  0   y  0   2  x  x  0   x (1  x )  0    x  0    x  0, y  0  y  0   x  0, y  1   y  1      x  0, y  1   x  0 (do x  1  0)      y  0, x  0   y  0  VËy cã ba sè phøc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn lµ z = 0; z = i; z = - i. II. BiÓu diÔn sè phøc trong mÆt ph¼ng to¹ ®é 1) Ph­¬ng ph¸p gi¶i §Ó biÓu diÔn mét sè phøc cÇn dùa vµo®Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt sau:  NÕu sè phøc z ®­îc biÓu diÔn bëi vect¬ u , sè phøc z' ®­îc biÓu diÔn bëi vect¬ u ' , th×      z + z' ®­îc biÓu diÔn bëi u  u ' ; z - z' ®­îc biÓu diÔn bëi u  u ' ; - z ®­îc biÓu diÔn bëi u . 2) C¸c vÝ dô. VÝ dô 1: Gi¶ sö M(z) lµ ®iÓm trªn mÆt ph¼ng to¹ ®« biÓu diÔn sè phøc z. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M(z) tháa m·n ®iÒu kiÖn sau a) z  1  i  2 ; b) 2  z  i  z . Bµi gi¶i a) §Æt z = x + yi suy ra z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i. Nªn hÖ thøc z  1  i  2 trë thµnh ( x  1) 2  ( y  1) 2  2  ( x  1) 2  ( y  1) 2  4. VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M(z) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é biÓu diÔn c¸c sè phøc z tháa m·n gi¶ thiÕt lµ ®­êng trßn t©m I(1; - 1) b¸n kÝnh R = 2. b) Gäi A (- 2 ; 0), B(0 ; 1). Khi ®ã 2  z  i  z  z  (2)  z  i hay lµ M(z)A = M(z)B. VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M(z) lµ ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB. NhËn xÐt: Víi phÇn b ta cã thÓ thøc hiÖn c¸ch gi¶i nh­ ®· lµm ë phÇn a. Tuy nhiªn ®Ó thÓ thùc hiÖn c¸ch gi¶i nh­ vËy lµ ta ®· dùa v¸o nhËn xÐt sau:    NÕu vÐct¬ u cña mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn sè phøc z th× ®é dµi cña vect¬ u lµ u  z , vµ tõ  ®ã nÕu c¸c ®iÓm A, B theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc z, z' th× AB  z  z ' . http://violet.vn/kinhhoa 3 Ngọc Vinh
  4. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 3 VÝ dô 2: Trong c¸c sè phøc z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn z  2  3i  . T×m sè phøc z cã modul nhá 2 nhÊt. Bµi gi¶i 3 XÐt biÓu thøc z  2  3i  (1). §Æt z = x + yi. Khi ®ã (1) trë thµnh 2 3 9 ( x  2)  ( y  3)i   ( x  2)2  ( y  3)2  . 2 4 Do ®ã c¸c ®iÓm M biÓu diÔn sè phøc z tho¶ m·n (1) n»m trªn ®­êng trßn ( ) t©m 3 I(2; -3) vµ b¸n kÝnh R = . y 2 O H 2 x M -3 I Ta cã z ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vµ chØ khi ®iÓm M n»m trªn ®­êng trßn ( ) vµ gÇn O nhÊt. Do ®ã M lµ giao ®iÓm cña ( ) vµ ®­êng th¼ng OI, víi M lµ giao ®iÓm gÇn O h¬n. Ta cã OI = 4  9  13 . KÎ MH  Ox. Theo ®Þnh lÝ talet cã 3 13  MH OM 2  13MH  3 13  9  6 13  9  MH  6 13  9  78  9 13 .   3 OI 13 2 2 2 13 26 3 13  OH 2  OH  2 13  3  26  3 13 . L¹i cã  2 13 13 13 26  3 13 78  9 13 VËy sè phøc cÇn t×m lµ : z   i. 13 26 VÝ dô 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè phøc z, w, ta cã z  w  z  w . §¼ng thøc x¶y ra khi nµo? Bµi gi¶i Gäi A, B, C lÇn l­ît lµ c¸c ®iÓm biÓu diÔn cña c¸c sè phøc z, w, z + w. Ta cã z  OA, w  OB, z  w  OC . Tõ OC  OA + AC suy ra z  w  z  w . H¬n n÷a OC = OA + AC khi vµ chØ khi O, A, C th¼ng hµng vµ A thuéc ®o¹n th¼ng OC.    Khi O  A (hay z  0) ®iÒu ®ã cã nghÜa lµ cã sè k  0 ®Ó AC  kOA tøc lµ w = kz. (Cßn khi z = 0, râ rµng z  w  z  w ). VËy z  w  z  w khi vµ chØ khi z = 0 hoÆc nÕu z  0 th× tån t¹i k  R ®Ó w = kz. c. bµi tËp 1. Chøng minh r»ng víi mäi sè phøc z, w ta ®Òu cã z  w  z  w . DÊu b»ng x¶y ra khi nµo? 2. Trong mÆt ph¼ng phøc, bèn ®iÓm ph©n biÖt A, B, C, D theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc z, w, u, v tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt: http://violet.vn/kinhhoa 4 Ngọc Vinh
  5. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC a) z  w  u  v  1 ; b) z + w + u + v = 0. 3. Cho sè phøc z = m + (m - 3)i, m  R a) T×m m ®Ó biÓu diÔn cña sè phøc n»m trªn ®­êng ph©n gi¸c thø hai y = - x; 2 b) T×m m ®Ó biÓu diÔn cña sè phøc n»m trªn hypebol y   ; x c) T×m m ®Ó kho¶ng c¸ch cña ®iÓm biÓu diÔn sè phøc ®Õn gèc to¹ ®é lµ nhá nhÊt. 4. X¸c ®Þnh tËp hîp c¸c ®iÓm trong mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn c¸c sè phøc tho¶ m·n hÖ thøc z 3. z i 5. XÐt c¸c ®iÓm A, B, C trong mÆt ph¼ng phøc theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc 4i 2  6i ; (1  i)(1  2i ); . i 1 3 i a) Chøng minh ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n; b) T×m sè phøc biÓu diÔn bëi ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng. ………………………………… VẤN ĐỀ 2 C¨n bËc hai cña sè phøc vµ ph­¬ng tr×nh bËc hai A. KiÕn thøc cÇn nhí I. §Þnh nghÜa c¨n bËc hai cña sè phøc Cho sè phøc w mçi sè phøc z tho¶ m·n z2 = w ®­îc gäi lµ mét c¨n bËc hai cña sè phøc w. a) NÕu w lµ sè thùc + w < 0 th× cã hai c¨n bËc hai:  wi &   wi + w  0 th× cã hai c¨n bËc hai: w &  w . b) NÕu w lµ sè phøc khi ®ã ta thùc hiÖn c¸c b­íc: + Gi¶ sö w= a + ib, ®Æt z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña w tøc lµ: z 2  w khi ®ã ta cã  x 2  y 2  a (1) hÖ:  2 xy  b (2) 2 2 B×nh ph­¬ng 2 vÕ cña (1) vµ (2) råi céng l¹i ta ®­îc x  y  a 2  b2  x 2  y 2  a (1)  Do vËy ta ®­îc hÖ:  2 2 2 2 x  y  a  b  (2') 2 Gi¶i hÖ t×m ®­îc x vµ y 2 suy ra x vµ y ®Ó t×m z. Chó ý: Theo (2) ta cã nÕu b > 0 th× x, y cïng dÊu. NÕu b < 0 th× x, y tr¸i dÊu. II. C«ng thøc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai hÖ sè phøc Cho PT: ax  bx  c  0; (1) (a, b, c  , a  0) vµ cã   b  4ac 2 2 b   b   + NÕu   0 pt cã hai nghiÖm lµ x1  ; x2  2a 2a Trong ®ã  lµ mét c¨n bËc hai cña  . b + NÕu  = 0 th× pt cã nghiÖm kÐp: x1  x2   . 2a B. C¸c d¹ng bµi tËp I. Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt 1) Ph­¬ng ph¸p gi¶i http://violet.vn/kinhhoa 5 Ngọc Vinh
  6. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC B BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng Az + B = 0, A, B  , A  0 . ViÕt nghiÖm z   A 2) VÝ dô VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 2iz + 1 - i = 0 Bµi gi¶i (1  i ) 1 1 1 1 NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ z      i. 2i 2i 2 2 2 II. TÝnh c¨n bËc hai vµ gi¶iph­¬ng tr×nh bËc hai 1) Ph­¬ng ph¸p gi¶i Sö dông c«ng thøc tÝnh c¨n bËc hai cña sè phøc ®Ó tÝnh c¨n bËc hai. Sö dông c«ng thøc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai ®Ó t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh víi chó ý ph¶i ®­a vÒ ®óng d¹ng cña ph­¬ng tr×nh. 2) C¸c vÝ dô VÝ dô 1: T×m c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau: a )  5  12i b) 8  6i c) 33  56i d )  3  4i Bµi gi¶i a) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña -5 + 12i tøc lµ 2  x  iy   5  12i  x 2  y 2  2ixy  5  12i  x 2  y 2  5  2 2  x  y  5  2 x  4  x  2   2 2  2  2 xy  12  x  y  13  y  9   y  3 x  2  x  2 Do b = 12 > 0 nªn x vµ y cïng dÊu tõ ®ã cã  hoÆc  y  3  y  3 VËy -5 + 12i cã 2 c¨n bËc hai lµ z1 =2+3i vµ z2 = -2-3i. b) T­¬ng tù ta gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña 8+ 6i tøc lµ 2  x  iy   8  6i  x 2  y 2  2ixy  8  6i  x2  y 2  8  x2  y 2  8  x2  9   x  3   2 2  2  2 xy  6  x  y  10  y 1   y  1 x  3  x  3 Do b= 6> 0 nªn x vµ y cïng dÊu tõ ®ã cã  hoÆc  y 1  y  1 VËy 8 + 6i cã 2 c¨n bËc hai lµ 3+i vµ -3-i. c) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña 33 - 56i tøc lµ 2  x  iy   33  56i  x 2  y 2  2ixy  33  56i  x 2  y 2  33  2 2  x  y  33  x 2  49   x  7   2 2  2  2 xy  56  x  y  65   y  16   y  4 x  7  x  7 Do b = -56 < 0 nªn x vµ y tr¸i dÊu tõ ®ã cã  hoÆc   y  4 y  4 VËy 2 c¨n bËc hai cña 33 - 56i lµ 7- 4i vµ -7+i4. d) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña -3 +4i tøc lµ 2  x  iy   3  4i  x 2  y 2  2ixy  3  4i http://violet.vn/kinhhoa 6 Ngọc Vinh
  7. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC  x 2  y 2  3  2 2  x  y  3  2 x  1  x  1   2 2  2  2 xy  4 x  y  5  y  4   y  2 x  1  x  1 Do b = 4 > 0 nªn x vµ y cïng dÊu tõ ®ã cã  hoÆc  y  2  y  2 VËy 2 c¨n bËc hai cña -3 + 4i lµ 1 + 2i vµ -1-2i. VÝ dô 2: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a ) x 2   3  4i  x  5i  1  0; (1) b) x2   1  i x  2  i  0; (2) Bµi gi¶i 2 a) Ta cã    3  4i   4  5i  1  3  4i Theo kÕt qu¶ vÝ dô 1d) th×  cã hai c¨n bËc hai lµ 1+ 2i vµ -1 - 2i. Do ®ã pt (1) cã hai nghiÖm lµ: 3  4i  1  2i 3  4i  1  2i x1   2  3i; x2  1 i 2 2 2 b) T­¬ng tù ta cã   1  i   4  i  2   8  6i Theo kÕt qu¶ vÝ dô 1b) th×  cã hai c¨n bËc hai lµ 3 + i vµ -3 - i. Do ®ã pt (2) cã hai nghiÖm lµ: 1  i  3  i 1  i  3  i x1   1; x2   2  i 2 2 Chó ý: PT (2) cã thÓ dïng nhÈm nghiÖm nhê a + b + c = 0 VÝ dô 3: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a ) 3 x 2  x  2  0; (1); b) x 2  x  1  0; (2); c ) x3  1  0 (3) Bµi gi¶i a) Ta cã  = 12- 4.3.2 =-23
  8. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 2 Gi¶ sö PT bËc hai: ax  bx  c  0;  a, b, c   , a  0  nhËn sè phøc    lµ nghiÖm 2 tøc lµ ta cã: a  b  c  0 . (1) LÊy liªn hîp hai vÕ cña (1) vµ sö dông tÝnh chÊt liªn hîp cña sè thùc b»ng chÝnh nã th× ta ®­îc: 2 a 2  b  c  0  a     b  c  0 . §iÒu nµy chøng tá  lµ nghiÖm cña pt. 2 ¸p dông: Chøng tá 1+i lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x  3 x  3  5i  0 . T×m nghiÖm cßn l¹i cña pt ®ã. VÝ dô 5: Ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lÝ ®¶o vµ thuËn cña ®Þnh lÝ Vi-et cña ph­¬ng t×nh bËc hai víi hÖ sè phøc. ThuËn: NÕu hai sè x1 & x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh b c ax 2  bx  c  0;  a, b, c  , a  0  th× x1  x2   & x1 x2  . a a Chøng minh Theo c«ng thøc nghiÖm cña pt bËc hai víi hÖ sè phøc ta cã: b    b    b x1  x2     2a  2a  a 2 2  b     b    b   c x1 x2   .  2   2a   2a  4a a §¶o: NÕu hai sè  ;  tho¶ m·n:     S & .   P th×  ;  lµ nghiÖm cña pt: x 2  Sx  P  0 .(1) Chøng minh 2 x   Ta cã: (1)  x      x    0   x    x     0   x   §iÒu nµy chøng tá  ;  lµ nghiÖm cña (1). ¸p dông: LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm   4  3i;   2  5i Bµi gi¶i Theo bµi ra ta cã:     2  8i vµ  .    4  3   2  5i   23  14i i 2 Theo kÕt qu¶ Vd5 ta ®­îc pt bËc hai cÇn lËp lµ: x   2  8i  x  14i  23  0 2 VÝ dô 6: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh: x  mx  3i  0 cã tæng b×nh ph­¬ng 2 nghiÖm b»ng 8. Bµi gi¶i 2 2 2 Theo bµi ra ta cã: x1  x2  8   x1  x2   2 x1 x2  8 (1). Theo Vi-et ta cã  x1  x2  m 2 2  Thay vµo (1) ta ®­îc m  6i  8  m  8  6i . Tøc m lµ mét c¨n bËc hai  x1 x2  3i cña 8+6i. Theo kÕt qu¶ Vd1b ta cã 2 gi¸ trÞ cña m lµ: 3 + i vµ -3 - i.  z12  z2  5  2i (1) 2 VÝ dô 7: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh   z1  z2  4  i (2) Bµi gi¶i http://violet.vn/kinhhoa 8 Ngọc Vinh
  9. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 2 2 Tõ (2) ta cã z1  z2  2 z1 z2  15  8i. KÕt hîp víi (1) ta cã z1 z2  5  5i vËy ta cã hÖ  z1  z2  4  i ph­¬ng tr×nh:  Do ®ã z1 , z2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh  z1 z2  5  5i z 2   4  i  z  5  5i  0 . Ta cã   5  12i theo Vd1a ta biÕt  cã hai c¨n bËc hai lµ: 2 + 3i vµ -2 - 3i.  4  i  2  3i  z1  3i  2  z1  1  2i VËy ta cã  HoÆc  . z  4  i  2  3i  z2  3  i  1  2i  2  2   2 VÝ dô 8: Cho z1 , z2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 1  i 2 z   3  2i  z  1  i  0 . Kh«ng gi¶i pt h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: z1 z2 a ) A  z12  z2 2 b) B  z12 z2  z1 z2 2 c) C   z2 z1 Bµi gi¶i  3  2i 3  2 2 2  3 2  z1  z2    i  1 i 2 3 3 Theo Vi-et ta cã:  z z  1 i  1  2  1  2 i  1 2 1 i 2  3 3 a) Ta cã 2 2  3 2 2 23 2   1  2 1  2  11  30 2 6  4 2 A   z1  z2   2 z1 z2     i   2   3  3 i    i  3 3    9 9 b)  3  2 2 2  3 2  1  2 1  2  5  2 2 1 10 2 B  z1 z2  z1  z2     i   i   i  3 3  3 3  9 9 2 2 z  z2 A 6  26 2 i c) Ta cã C  1   . z1 z2 1 2 1 2 18  i 3 3 4 2 VÝ dô 9: Gi¶i pt: z  6 z  25  0 (1) Bµi gi¶i 2 2 §Æt z  t. Khi ®ã (1) cã d¹ng: t  6t  25  0 (2). Ta cã:  '  16 cã hai c¨n bËc hai lµ 4i vµ - 4i nªn pt (2) cã hai nghiÖm lµ t1  3  4i vµ t2  3  4i . MÆt kh¸c 3 + 4i cã hai c¨n bËc hai lµ: 2 + i vµ -2 - i cßn 3 - 4i cã hai c¨n bËc hai lµ: 2 - i vµ -2 + i nªn pt (1) cã 4 nghiÖm lµ: z1  2  i; z2  2  i; z3  2  i; z4   2  i C. bµi tËp Bµi 1: T×m c¸c c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau: http://violet.vn/kinhhoa 9 Ngọc Vinh
  10. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 3 i a) 8+6i b) 3+4i c) 1 i 3 2 2 1 1 1 i  1 i 3  d)  e)   f)   1 i 1 i 1 i   3 i  Bµi 2: Gäi u1 ; u2 lµ hai c¨n bËc hai cña z1  3  4i vµ v1 ; v2 lµ hai c¨n bËc hai cña z2  3  4i . TÝnh u1  u2  v1  v2 ? Bµi 3: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a ) z 2  2iz  2i  1  0; b) z 2   5  14i  z  2 12  5i   0 2 c) z 2  80 z  4099  100i  0; d )  z  3  i   6  z  3  i   13  0 e) z 2   cos   i sin   z  i cos  sin   0. Bµi 4: T×m c¸c c¨n bËc ba cña 8 vµ -8. Bµi 5: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng: a ) z 4  8 1  i  z 2  63  16i  0; b) z4  24  1  i z2  308  144 i  0 2   Bµi 6: Cho z1 , z2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: z  1  i 2 z  2  3i  0 . Kh«ng gi¶i pt h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: z1 z2 a ) A  z12  z2 2 b) B  z12 z2  z1 z2 2 c) C   z2 z1 1 2 1 2 d ) D  z13  z2 3 e) E  z2 z13  z1 z2 3 f ) F  z1     z2     z2 z1   z1 z2  Bµi 7: Gi¶i c¸c hÖ PT u 2  v 2  4uv  0  z  2i  z  a)  b)  u  v  2i  z  i  z 1  ……………………………………………………. VẤN ĐỀ 3 D¹ng l­îng gi¸c cña sè phøc A. KiÕn thøc cÇn nhí I. Sè phøc d­íi d¹ng l­îng gi¸c. 1. Acgumen cña sè phøc z  0 y Cho sè phøc z  0. Gäi M lµ ®iÓm trong mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn sè phøc z. Khi ®ã sè ®o (radian) cña mçi gãc l­îng b gi¸c tia ®Çu Ox, tia cuèi OM ®­îc M gäi lµ mét Acgumen cña z. O a x Chó ý: + NÕu  lµ Acgumen cña z th× mäi Acgumen cña z ®Òu cã d¹ng:  + k2  , k  Z. + Acgumen cña z  0 x¸c ®Þnh sai kh¸c k2  , k  Z. II. D¹ng l­îng gi¸c cña sè phøc http://violet.vn/kinhhoa 10 Ngọc Vinh
  11. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC Cho sè phøc Z = a+bi, (a, b  R), víi r = a 2  b 2 lµ modun cña sè phøc z vµ  lµ Acgumen cña sè phøc z. D¹ng z = r (cos  +isin  ) ®­îc gäi lµ d¹ng l­îng gi¸c cña sè phøc z  0, cßn d¹ng z = a + bi ®­îc gäi lµ d¹ng ®¹i sè cña sè phøc z. II. Nh©n vµ chia sè phøc d­íi d¹ng l­îng gi¸c NÕu z = r(cos  +isin  ), z' = r' (cos  '+isin  ') (r  0 vµ r'  0 ) th× z r zz' = rr ( cos (    ' )  i sin(   ' ));   cos(   ')  i sin(   ') (khi r' > 0). z' r' III. C«ng thøc Moa-Vr¬ vµ øng dông 1. C«ng thøc Moa- Vr¬ n  r (cos   i sin  )  r n (cos n  i sin n ) cos   i sin  n  cos n  i sin n , n  N * . 2. C¨n bËc n cña mét sè phøc Víi z = r(cos  +isin  ), r > 0, cã hai c¨m bËc hai cña z lµ       r (cos  i sin ) ;  r (cos  i sin )  r (cos(   )  i sin(   )) . 2 2 2 2 2 2 B. c¸c d¹ng Bµi tËp I. ViÕt sè phøc d­íi d¹ng l­îng gi¸c 1) Ph­¬ng ph¸p Víi mçi sè phøc z = a + bi: a b TÝnh r = a 2  b2 ; TÝnh cos  = ,sin   tõ ®ã suy ra acgumen cña z r r Sö dông c«ng thøc l­îng gi¸c cña sè phøc cho ta z = r (cos   i sin ) . 2) C¸c vÝ dô VÝ dô 1: ViÕt c¸c sè phøc sau d­íi d¹ng l­îng gi¸c 1 i 3 a )(1  i 3)(1  i ); b ) ; c ) z  sin   i cos  1 i Bµi gi¶i        a) Ta cã 1  i 3  2 cos(  )  i sin(  )  ; cßn 1  i  2 cos  i sin  . Do ®ã  3 3   4 4     (1  i 3)(1  i )  2 2  cos(  )  i sin(  )  .  12 12  b) Tõ phÇn trªn ta cã ngay kÕt qu¶ 1 i 3   7   7    2 cos     i sin    . 1 i   12   12       c) Ta cã z  sin   i cos   cos(   )  i sin(   ) . VËy z  cos(   )  i sin(   ) . 2 2 2 2 VÝ dô 2: Tuú theo gãc  , h·y viÕt sè phøc sau d­íi d¹ng l­îng gi¸c (1  cos   i sin  )(1  cos   i sin  ). Bµi gi¶i XÐt sè phøc z = (1  cos   i sin  )(1  cos   i sin  ) , ta cã http://violet.vn/kinhhoa 11 Ngọc Vinh
  12. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC       z  (2sin 2  i.2sin cos )(2cos 2  i.2sin cos ) 2 2 2 2 2 2        4sin cos (sin  i cos )(cos  i sin ) 2 2 2 2 2 2        2sin  (sin cos  sin cos  i (cos2  sin 2 ))  2sin   sin   i cos  . 2 2 2 2 2 2 Hay z = 2sin  (sin  - icos  ) (*)     + NÕu sin   0 , th× tõ (*) cã z = 2sin  cos(  )  i.sin(  )  lµ d¹ng sè phøc cÇn t×m.  2 2  + NÕu sinh  < 0, th× tõ (*) ta cã :     z  2sin  (  sin   i cos  )  2sin  cos(  )  i.sin(  )  lµ dang l­îng gi¸c cÇn t×m.  2 2  + NÕu sinh  = 0, th× z = 0, nªn kh«ng cã d¹ng l­îng gi¸c x¸c ®Þnh. II. C¸c bµi tËp tÝnh to¸n tæng hîp vÒ d¹ng l­îng gi¸c cña sè phøc 1) Ph­¬ng ph¸p gi¶i §­a sè phøc vÒ d¹ng l­îng gi¸c råi sö dông c¸c c«ng thøc Moivre ®Ó tÝnh to¸n c¸c ®¹i l­îng theo yªu cÇu cña bµi tËp. 2) C¸c vÝ dô VÝ dô 1: T×m phÇn thùc vµ phÇn ¶o cña mçi sè phøc sau (1  i )10    1 1 a) 9 ; b)  cos  i sin  i 5 (1  3i )7 ; c) z 2009  2009 , nÕu z   1 . ( 3  i)  3 3 z z Bµi gi¶i a) XÐt sè phøc 10     5 5  2(cos  i sin )  25 (cos  i sin ) (1  i )10 4 4   9  2 2 ( 3  i) 9    3 3 29 (cos  i sin )  2(cos 6  i sin 6    2 2 1 1  4 (cos   i sin  )   2 16 1 VËy phÇn thùc b»ng  , phÇn ¶o b»ng 0. 16 b) XÐt sè phøc 7             cos  i sin  i 5 (1  3i )7   cos( )  i sin( )  i  2(cos  i sin )   3 3  3 3   3 3      7 7  27 cos( )  i sin( )  (cos  i sin )i  27  cos 2  i sin 2  i  27 i.  3 3  3 3 VËy phÇn thùc cña sè phøc b»ng 0, phÇn ¶o b»ng 27  128 . c) Tõ  1  3i   1 z   cos  i sin 2 3 3 z   1  z2  z  1  0   z  1  3i   z   cos( )  i sin( ).  2 3 3 http://violet.vn/kinhhoa 12 Ngọc Vinh
  13. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC   Víi z  cos  i sin , ta cã 3 3 1   1 z 2009  2009  (cos  i sin )2009  ( )2009 z 3 3   cos  i sin 3 3   2009   2009  (cos  i sin )  (cos(  )  i sin(  )) 3 3 3 3 2009 2009 2009 2009 2 2  (cos  i sin )(cos  i sin )  2cos(669  )  2cos 1. 3 3 3 3 3 3 VËy phÇn thùc c¶u sè phøc b»ng 1, phÇn ¶o b»ng 0. VÝ dô 2: TÝnh tæng sau S  (1  i ) 2008  (1  i ) 2008 Bµi gi¶i Ta cã   1  i  2(cos  i sin )  (1  i )2008  21004 (cos502  i sin 502 ) 4 4     1  i  2(cos  i sin )  2(cos(  )  i sin(  ))  (1  i )2008  21004 (cos( 502 )  i sin( 502 )). 4 4 4 4 Do ®ã S  21005 cos(502 )  21005 . VÝ dô 3: Chøng minh r»ng c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c c¨n bËc ba cña 1 lËp thµnh mét tam gi¸c ®Òu. Bµi gi¶i XÐt ph­¬ng tr×nh z 3  1 trªn  , cã nghiÖm d¹ng z  r (cos   i sin  ) . Khi ®ã r  1 z 3  1  r 3 (cos3  i sin 3 )  1   3  k 2, k  . Do ®ã ph­¬ng tr×nh trªn cã ®óng ba nghiÖm øng víi ba gi¸ trÞ cña k lµ Víi k = 0 ta cã z 0 = cos0 + isin0 = 1; 2 2 1 3 Víi k = 1 ta cã z 1 = cos  i sin   i ; 3 3 2 2 4 4 1 3 Víi k = 2 ta cã z 2 = cos  i sin   i . 3 3 2 2 Nªn 1 cã ba c¨n bËc ba ®ã lµ c¸c sè phøc ®­îc x¸c ®Þnh nh­ trªn. Trong mÆt ph¼ng phøc, gäi A, B, C lÇn l­ît lµ ®iÓm biÓu diÔn c¸c sè phøc z 0 , z 1 , z 2 . Khi ®ã     2  2 OA  OB  OC  1;   AOB ; BOC  3 3 Tõ ®ã suy ra tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu. C. bµi tËp Bµi 1: ViÕt c¸c sè phøc sau d­íi d¹ng l­îng gi¸c: 1 i 3 a. 1 - i 3 b. ( 1 - i 3 )(1  i ) c. 1 i  5 d. 1 - itan e. tan i f. 1-cos   i sin  (   R,   k 2 , k  Z ) 5 8 Bµi 2: Cho 2 sè phøc: 4 – 4i vµ 1+ i 3 . http://violet.vn/kinhhoa 13 Ngọc Vinh
  14. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC T×m Modun vµ Acgumen cña c¸c sè phøc lµ ®èi liªn hîp cña 2 sè phøc trªn vµ viÕt chóng d­íi d¹ng l­îng gi¸c. 1 Bµi 4: T×m d¹ng l­îng gi¸c cña c¸c sè phøc sau: z ; , biÕt: z a. z = r ( cos   i sin ) , r >0; b. z = 1 + 3 i Bµi 5: T×m c¸c c¨n bËc 5 cña 1? CMR tæng cña chóng b»ng 0? Bµi 6: Rót gän hÕt dÊu c¨n ë mçi biÓu thøc sau 1 3 a. 4 1 b. 8 1 c. 1  i d. 3 i 2 2 Bµi 7: Cho sè phøc z = a + bi . Mét h×nh vu«ng t©m lµ gèc to¹ ®é 0, c¸c c¹nh song song víi c¸c trôc to¹ ®é vµ cã ®é dµi b»ng 4. X¸c ®Þnh a,b ®Ó t×m ®iÓm biÓu diÔn cña sè thùc z. a, N»m trong h×nh vu«ng b, N»m trªn ®­êng chÐo cñah×nh vu«ng Bµi 8: Chøng minh r»ng 2 2 2 1 z z a. z1 z 2  1 + z1  z2 = (1+ z1 )(1+ z 2 ) 2 b. z1  z 2  ( z1  z 2 ) 1  2 . 2 z1 z2 Bµi 9: TÝnh a. cos a + cos (a+b) + cos (a+2b) +…+ cos(a+nb) b. sin a + sin (a+b) + sin (a+2b) +…+ sin (a+nb). ………………………………. http://violet.vn/kinhhoa 14 Ngọc Vinh
  15. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC PHẦN 2. LUYỆN TỔNG HỢP Bµi 1. a.Trong c¸c sè z tho¶ m·n : 2 z  2  2i  1 h·y t×m sè z cã moidule nhá nhÊt b.Trong c¸c sè z tho¶ m·n : z  5i  3 h·y t×m sè z cã acgumen d­¬ng nhá nhÊt 1 c. Cho | z  |  2009 . Tìm số phức có modun lớn nhất z Bµi 2. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau : a. z  z n 1 ( n  N ) b. ( z  a ) n  z n ( n  N , a  R, a  0) Bµi 3. Cho hai ®iÓm M(z) vµ I(z1) t­¬ng øng víi sè phøc z=x+yi , x, y R vµ sè phøc z1=a+bi a) Chøng minh hÖ thøc : (z-z1).( z  z 1 ) =(x-a)2+(y-b)2 b) suy ra hÖ thøc : (z-z1).( z  z 1 ) =R2 ( R> 0) Lµ ph­¬ng tr×nh mét ®­êng trßn t©m I, b¸n kÝnh R Bµi 4. 0  x  y  1  T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M biÓu diÔn c¸c sè phøc z =x+yi tháa m·n ®iÒu kiÖn sau :   y  x 2  1    Bµi 5. 2 2 Hãy tính tổng S  1  z  z 2  z3  ... zn 1 biết rằng z  cos  i sin n n Bµi 6. Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 2 4 3 z 1 a. z -z + +z+1 = 0 ( Èn phô =z- ); b. (z2+3z+6)2+2z(z2+3z+6)-3z2 = 0 2 z Bµi 7. T×m sè thùc a, b ®Ó cã ph©n tÝch : f(z) =z4-4z3+7z2-16z+12 =(z2+4)(z2+az+b) Tõ ®ã gi¶i ph­¬ng tr×nh : f(z) = 0 Bµi 8. Với z là số phức. Chứng minh rằng: Bµi 9. z Tính giới hạn: lim |1 |n với z  C n  n Bµi 10. Cho a, b, c là ba số phức khác 0 phân biệt với |a| = |b| = |c|. Chứng minh rằng nếu mỗi phương trình: az2 + bz + c = 0, bz2 + cz + a = 0 có một nghiệm có modun bằng 1 thì: |a – b| = |b – c| = |c – a| http://violet.vn/kinhhoa 15 Ngọc Vinh