Xem mẫu
- Đ IS (CƠ S )
Tài li u ôn thi cao h c năm 2005
Phiên b n đã ch nh s a
TS. Tr n Huyên
Ngày 24 tháng 4 năm 2005
Bài 14. CÁC BÀI TOÁN V VÀNH
ƠCLÍT
Các vành chính - như đã bi t m c trư c - nh có tính ch t cơ b n : m i iđêan là iđêan
chính mà s h u đư c khá nhi u các tính ch t chia h t như trong vành Z các s nguyên. Tuy
v y, chúng v n còn m t kho ng cách khá xa so v i Z. Ch ng h n, ư c chung l n nh t c a hai
ph n t trong m t vành chính A, đã t n t i, nói chung v n không có đư c m t thu t toán tìm
UCLN như trong vành s nguyên - thu t toán Ơclit. Khái ni m v vành Ơclit (mà các đi u
ki n đ nh nghĩa nó có đư c nh s phân tích, đánh giá các đi u ki n đ m b o cho s th c hi n
thu t toán Ơclit trong vành Z !), đư c xem là m t b sung rút ng n b t kho ng cách đó.
Đ nh nghĩa
Vành Ơclit là m t mi n nguyên A, sao cho trên t p A∗ các ph n t khác 0 xác đ nh đư c ánh
x δ : A∗ −→ N, vào t p s t nhiên N th a các đi u ki n:
E1 : N u a, b ∈ A∗ mà a\b thì δ(a) δ(b).
E2 : ∀a, b ∈ A, b = 0 luôn t n t i q, r ∈ A sao cho a = qb + r, hơn n a n u r = 0 thì δ(r) < δ(b).
Ánh x δ đư c g i là hàm b c hay ánh x Ơclit.
Hi n nhiên vành Ơclit A là vành chính và đ c đi m nh n bi t m t vành Ơclit trong l p các
vành chính nói chung đó là s xác đ nh c a hàm b c trên nó. Vì v y các bài toán v vành Ơclit,
ngoài các d ng tương t như có trong vành chính, mà cách x lí nói chung cũng tương t như
trong vành chính, đáng đ ý hơn đây là các bài toán liên quan t i hàm b c. Tr ơc h t, chính
là các bài toán ki m tra m t vành đã cho là vành Ơclit.
Ví d 1
a b
Cho æ = : a, b ∈ Z . Ch ng minh r ng æ cùng v i hai phép toán c ng và nhân
−b a
ma tr n là m t vành Ơclit.
Gi i :
Đ ch ng minh æ là m t vành Ơclit, trư c h t ta c n ki m tra æ là m t mi n nguyên theo các
bư c sau:
+ æ có nhi u hơn m t ph n t .
+ æ ⊂ M2 , v i M2 là vành các ma tr n c p hai.
v
1
- 1 0
+ Đơn v c a æ là
0 1
+ Phép nhân trên æ là giao hoán.
+ æ không có ư c c a 0.
B n bư c đ u khá đơn gi n, xin dành cho b n đ c. Đ ki m tra æ không có ư c c a 0, ta đ
ý r ng :
a b
= a2 + b 2 = 0 ⇔ a = b = 0
−b a
nên
a b
A= =0
−b a
khi và ch khi det A = 0. V y n u A = 0, B = 0 thì
det AB = det A. det B = 0
nên AB = 0. V y æ là mi n nguyên.
Ti p theo ta xây d ng hàm b c δ : æ∗ −→ N mà v i m i A ∈ æ∗ thì δ(A) = det A = a2 +b2 ∈ N.
Ta l n lư t ki m tra δ th a các đii u ki n E1, E2
Th t v y, trư c h t n u A\B (A, B ∈ æ∗ ) thì t n t i C mà B = AC ⇒ det B = det A. det C,
t đó ta có det A det B (do det C 1).
V y : δ(A) δ(B) t c δ th a E1.
Bây gi n u A, B ∈ æ và B = 0. Khi đó det B = 0 nên t n t i ma tr n ngh ch đ o B −1 ∈ M2 .
Xét ma tr n AB −1 ∈ M2 , d th y nó có d ng
r s
AB −1 =
−s r
1 1
Ta ch n các s nguyên a, b sao cho |a − r| và |b − s| , và l p ma tr n
2 2
a b
Q= ∈æ
−b a
Khi đó ta có A = QB + (A − QB), trong đó ma tr n
R = A − QB = (AB −1 − Q)B
th a mãn yêu c u det R < det B (n u R = 0) b i :
r−a s−b
det(AB −1 − Q) =
b−s r−a
=(r − a)2 + (s − b)2
1 1
+ < 1.
4 4
t c δ th a đi u ki n E2.
V y æ là vành Ơclit.
Các bài toán v tính ch t c a các ph n t liên quan t i b c (t c giá tr c a ánh x Ơclit) c a
chúng cũng là nh ng d ng toán đáng chú ý trong vành Ơclit.
2
- Ví d 2:
Cho vành Ơclit A v i hàm b c δ. Đ t
m = min δ(A∗ ) và n = min{δ(A∗ ) \ m}
Ch ng minh r ng :
a. N u u ∈ A∗ mà δ(u) = m thì u \ 1
b. N u a ∈ A∗ mà δ(a) = n thì a b t kh qui.
Gi i :
a) Theo tiên đ E2, v i c p ph n t 1, u = 0, t t n t i q, r ∈ A sao cho 1 = qu + r .
N u r = 0 thì δ(r) < δ(u) = min δ(A∗ ) là đi u không th x y ra. V y r = 0 t c 1 = qu hay
u\1 .
b) Hi n nhiên a = 0 và a không kh ngh ch do δ(a) = n > m = min δ(A∗ ). (n u a \ 1 thì
δ(a) = m! ). Đ ch ng minh a b t kh qui ta l y ư c b t kỳ b c a a ta ch ra b là ư c
kh ngh ch hay ư c liên k t v i a. Vì b \ a nên t n t i c mà a = bc ; đ ng th i do E1 mà
δ(b) ≤ δ(a). Suy ra δ(b) = n hay δ(b) = m.
N u δ(a) = m, theo a) ta có : b \ 1.
N u δ(a) = n, theo tiên đ E2 áp d ng cho c p b, a = 0, t n t i q, r sao cho :
b = qa + r.
N u r = 0 thì δ(r) < δ(a) ⇒ δ(r) = m, do đó theo a) thì r \ 1. Khi đó ta có :
r = b − qa = b − q(bc) = b(1 − qc) ⇒ b \ r.
Đi u này không th x y ra vì δ(b) = n > m = δ(r) !
V y r = 0 và b = qa, t c a \ b.
Do b \ a và a \ b nên b ∼ a
V y ư c b t kỳ b c a a là ư c t m thư ng, do đó a b t kh qui.
Ví d 3
Cho A là vành Ơclit v i hàm b c δ không là hàm h ng (δ(A∗ ) nhi u hơn m t ph n t !). Ch ng
minh r ng t n t i ph n t a ∈ A, sao cho trong vành thương A/ a , m i l p ghép khác 0 đ u
ch a ít nh t m t đ i di n kh ngh ch.
Gi i :
Vì δ(A∗ ) nhi u hơn m t ph n t nên t n t i các s t nhiên m = min δ(A∗ ) và n = min{δ(A∗ ) m}. Ch n a ∈ A∗ mà δ(a) = n; ta ch ra a là ph n t c n tìm. Th t v y, n u x + A là l p ghép
khác 0 trong A/ a thì x không là b i c a a, do đó t n t i q, r ∈ A v i r = 0 mà : x = qa + r.
Theo đii u ki n E2 thì δ(r) < δ(a) ⇒ δ(r) = m, do v y r kh ngh ch và r = x − qa ∈ x + A, là
đ i di n kh ngh ch c a l p x + A = 0.
3
- BÀI T P
1. Ch ng minh r ng vành các s ph c có d ng a + ib v i a, b ∈ Z là vành Ơclit.
2. Cho t p các s ph c √ √
Z( −2) = a + b( −2) : a, b ∈ Z
√
Ch ng minh Z( −2) là vành Ơclit (v i phép c ng và phép nhân s ph c). Ch ng minh
√ √ √
r ng ph n t a + b −2 ∈ Z( −2) là b t kh qui trong Z( −2) n u a2 + 2b2 là s nguyên
t .
3. Cho A là vành Ơclit. Ch ng minh r ng giá tr c a hàm b c δ trên hai ph n t liên k t là
b ng nhau. T đó suy ra r ng A là trư ng khi và ch khi hàm b c δ trên A∗ là hàm h ng
(t c δ(x) = n ∈ N, ∀x ∈ A∗ )
4. Cho A là vành Ơclit v i ánh x Ơclit δ : A∗ −→ N. Ch ng minh r ng t n t i ánh x Ơclit
δ : A∗ −→ N sao cho
δ (A∗ ) = {0, 1, 2, . . . , n} hay δ (A∗ ) = N
5. Cho A là vành Ơclit không ph i là trư ng và cho a ∈ A∗ là ph n t sao cho m i l p ghép
khác 0 c a vành thương A/ a đ u ch a m t đ i di n kh ngh ch. Ch ng minh r ng a là
ph n t b t kh qui. Có k t lu n gì v b c c a a ?
6. Cho A là vành Ơclit và I A. Ch ng minh r ng vành thương A/I là vành Ơclit ⇔ A/I là
mi n ngyuên.
4
nguon tai.lieu . vn
