Xem mẫu

  1. Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS. Tr n Huyên Ngày 24 tháng 4 năm 2005 Bài 14. CÁC BÀI TOÁN V VÀNH ƠCLÍT Các vành chính - như đã bi t m c trư c - nh có tính ch t cơ b n : m i iđêan là iđêan chính mà s h u đư c khá nhi u các tính ch t chia h t như trong vành Z các s nguyên. Tuy v y, chúng v n còn m t kho ng cách khá xa so v i Z. Ch ng h n, ư c chung l n nh t c a hai ph n t trong m t vành chính A, đã t n t i, nói chung v n không có đư c m t thu t toán tìm UCLN như trong vành s nguyên - thu t toán Ơclit. Khái ni m v vành Ơclit (mà các đi u ki n đ nh nghĩa nó có đư c nh s phân tích, đánh giá các đi u ki n đ m b o cho s th c hi n thu t toán Ơclit trong vành Z !), đư c xem là m t b sung rút ng n b t kho ng cách đó. Đ nh nghĩa Vành Ơclit là m t mi n nguyên A, sao cho trên t p A∗ các ph n t khác 0 xác đ nh đư c ánh x δ : A∗ −→ N, vào t p s t nhiên N th a các đi u ki n: E1 : N u a, b ∈ A∗ mà a\b thì δ(a) δ(b). E2 : ∀a, b ∈ A, b = 0 luôn t n t i q, r ∈ A sao cho a = qb + r, hơn n a n u r = 0 thì δ(r) < δ(b). Ánh x δ đư c g i là hàm b c hay ánh x Ơclit. Hi n nhiên vành Ơclit A là vành chính và đ c đi m nh n bi t m t vành Ơclit trong l p các vành chính nói chung đó là s xác đ nh c a hàm b c trên nó. Vì v y các bài toán v vành Ơclit, ngoài các d ng tương t như có trong vành chính, mà cách x lí nói chung cũng tương t như trong vành chính, đáng đ ý hơn đây là các bài toán liên quan t i hàm b c. Tr ơc h t, chính là các bài toán ki m tra m t vành đã cho là vành Ơclit. Ví d 1 a b Cho æ = : a, b ∈ Z . Ch ng minh r ng æ cùng v i hai phép toán c ng và nhân −b a ma tr n là m t vành Ơclit. Gi i : Đ ch ng minh æ là m t vành Ơclit, trư c h t ta c n ki m tra æ là m t mi n nguyên theo các bư c sau: + æ có nhi u hơn m t ph n t . + æ ⊂ M2 , v i M2 là vành các ma tr n c p hai. v 1
  2. 1 0 + Đơn v c a æ là 0 1 + Phép nhân trên æ là giao hoán. + æ không có ư c c a 0. B n bư c đ u khá đơn gi n, xin dành cho b n đ c. Đ ki m tra æ không có ư c c a 0, ta đ ý r ng : a b = a2 + b 2 = 0 ⇔ a = b = 0 −b a nên a b A= =0 −b a khi và ch khi det A = 0. V y n u A = 0, B = 0 thì det AB = det A. det B = 0 nên AB = 0. V y æ là mi n nguyên. Ti p theo ta xây d ng hàm b c δ : æ∗ −→ N mà v i m i A ∈ æ∗ thì δ(A) = det A = a2 +b2 ∈ N. Ta l n lư t ki m tra δ th a các đii u ki n E1, E2 Th t v y, trư c h t n u A\B (A, B ∈ æ∗ ) thì t n t i C mà B = AC ⇒ det B = det A. det C, t đó ta có det A det B (do det C 1). V y : δ(A) δ(B) t c δ th a E1. Bây gi n u A, B ∈ æ và B = 0. Khi đó det B = 0 nên t n t i ma tr n ngh ch đ o B −1 ∈ M2 . Xét ma tr n AB −1 ∈ M2 , d th y nó có d ng r s AB −1 = −s r 1 1 Ta ch n các s nguyên a, b sao cho |a − r| và |b − s| , và l p ma tr n 2 2 a b Q= ∈æ −b a Khi đó ta có A = QB + (A − QB), trong đó ma tr n R = A − QB = (AB −1 − Q)B th a mãn yêu c u det R < det B (n u R = 0) b i : r−a s−b det(AB −1 − Q) = b−s r−a =(r − a)2 + (s − b)2 1 1 + < 1. 4 4 t c δ th a đi u ki n E2. V y æ là vành Ơclit. Các bài toán v tính ch t c a các ph n t liên quan t i b c (t c giá tr c a ánh x Ơclit) c a chúng cũng là nh ng d ng toán đáng chú ý trong vành Ơclit. 2
  3. Ví d 2: Cho vành Ơclit A v i hàm b c δ. Đ t m = min δ(A∗ ) và n = min{δ(A∗ ) \ m} Ch ng minh r ng : a. N u u ∈ A∗ mà δ(u) = m thì u \ 1 b. N u a ∈ A∗ mà δ(a) = n thì a b t kh qui. Gi i : a) Theo tiên đ E2, v i c p ph n t 1, u = 0, t t n t i q, r ∈ A sao cho 1 = qu + r . N u r = 0 thì δ(r) < δ(u) = min δ(A∗ ) là đi u không th x y ra. V y r = 0 t c 1 = qu hay u\1 . b) Hi n nhiên a = 0 và a không kh ngh ch do δ(a) = n > m = min δ(A∗ ). (n u a \ 1 thì δ(a) = m! ). Đ ch ng minh a b t kh qui ta l y ư c b t kỳ b c a a ta ch ra b là ư c kh ngh ch hay ư c liên k t v i a. Vì b \ a nên t n t i c mà a = bc ; đ ng th i do E1 mà δ(b) ≤ δ(a). Suy ra δ(b) = n hay δ(b) = m. N u δ(a) = m, theo a) ta có : b \ 1. N u δ(a) = n, theo tiên đ E2 áp d ng cho c p b, a = 0, t n t i q, r sao cho : b = qa + r. N u r = 0 thì δ(r) < δ(a) ⇒ δ(r) = m, do đó theo a) thì r \ 1. Khi đó ta có : r = b − qa = b − q(bc) = b(1 − qc) ⇒ b \ r. Đi u này không th x y ra vì δ(b) = n > m = δ(r) ! V y r = 0 và b = qa, t c a \ b. Do b \ a và a \ b nên b ∼ a V y ư c b t kỳ b c a a là ư c t m thư ng, do đó a b t kh qui. Ví d 3 Cho A là vành Ơclit v i hàm b c δ không là hàm h ng (δ(A∗ ) nhi u hơn m t ph n t !). Ch ng minh r ng t n t i ph n t a ∈ A, sao cho trong vành thương A/ a , m i l p ghép khác 0 đ u ch a ít nh t m t đ i di n kh ngh ch. Gi i : Vì δ(A∗ ) nhi u hơn m t ph n t nên t n t i các s t nhiên m = min δ(A∗ ) và n = min{δ(A∗ ) m}. Ch n a ∈ A∗ mà δ(a) = n; ta ch ra a là ph n t c n tìm. Th t v y, n u x + A là l p ghép khác 0 trong A/ a thì x không là b i c a a, do đó t n t i q, r ∈ A v i r = 0 mà : x = qa + r. Theo đii u ki n E2 thì δ(r) < δ(a) ⇒ δ(r) = m, do v y r kh ngh ch và r = x − qa ∈ x + A, là đ i di n kh ngh ch c a l p x + A = 0. 3
  4. BÀI T P 1. Ch ng minh r ng vành các s ph c có d ng a + ib v i a, b ∈ Z là vành Ơclit. 2. Cho t p các s ph c √ √ Z( −2) = a + b( −2) : a, b ∈ Z √ Ch ng minh Z( −2) là vành Ơclit (v i phép c ng và phép nhân s ph c). Ch ng minh √ √ √ r ng ph n t a + b −2 ∈ Z( −2) là b t kh qui trong Z( −2) n u a2 + 2b2 là s nguyên t . 3. Cho A là vành Ơclit. Ch ng minh r ng giá tr c a hàm b c δ trên hai ph n t liên k t là b ng nhau. T đó suy ra r ng A là trư ng khi và ch khi hàm b c δ trên A∗ là hàm h ng (t c δ(x) = n ∈ N, ∀x ∈ A∗ ) 4. Cho A là vành Ơclit v i ánh x Ơclit δ : A∗ −→ N. Ch ng minh r ng t n t i ánh x Ơclit δ : A∗ −→ N sao cho δ (A∗ ) = {0, 1, 2, . . . , n} hay δ (A∗ ) = N 5. Cho A là vành Ơclit không ph i là trư ng và cho a ∈ A∗ là ph n t sao cho m i l p ghép khác 0 c a vành thương A/ a đ u ch a m t đ i di n kh ngh ch. Ch ng minh r ng a là ph n t b t kh qui. Có k t lu n gì v b c c a a ? 6. Cho A là vành Ơclit và I A. Ch ng minh r ng vành thương A/I là vành Ơclit ⇔ A/I là mi n ngyuên. 4