Xem mẫu

  1. Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS. Tr n Huyên Ngày 29 tháng 4 năm 2005 Bài 15. Các Bài Toán V Vành Đa Th c Lý thuy t các vành đa th c cũng như các d ng toán liên quan t i chúng là r t phong phú và đa d ng. Tuy nhiên trong gi i h n c a chương trình, chúng ta ch quan tâm ch y u t i các d ng toán c a vành đa th c liên quan t i các khái ni m cơ b n c a lý thuy t vành. R i rác, đây đó trong các m c khác nhau c a chuyên đ ôn t p này, ta đã có m t s ví d v chúng. Ph n còn l i này, chúng ta đ ý nhi u hơn t i các d ng toán liên quan t i lý thuy t chia h t trong vành đa th c, nh ng v n đ v đa th c b t kh qui, đa th c nguyên t cùng nhau, ... liên quan v i nghi m c a đa th c. Xin nh c l i r ng, riêng đ i v i m t vành đa th c trên m t trư ng K, K[x] luôn luôn là m t vành Ơclít. Và vì v y khi x lý các bài t p trong vành đa th c, các k t qu , tính ch t c a vành Ơclit (và do đó c c a vành chính) thư ng đư c áp d ng khá hi u qu . Ta cũng không quên nh c t i m t k t qu cũng r t hay đư c s d ng trong vành đa th c thư ng đư c bi t dư i cái tên "đ nh lý Bezout", đó là vành đa th c f (x) chia h t cho đa th c b c nh t g(x) khi và ch khi nghi m c a g(x) là nghi m c a f (x). Hơn n a khi x lý các bài toán trong các vành đa th c c th , ta cũng c n t i các tri th c c th c a các vành đó; đ c bi t là v i các vành đa th c trên các trư ng s : C[x], R[x], Q[x], mà vi c h th ng l i xin phép đư c dành cho đ c gi . Ví d 1: Cho g(x), f (x) ∈ C[x] là các đa th c khác 0. Ch ng minh r ng f (x), g(x) là nguyên t cùng nhau khi và ch khi chúng không có nghi m chung nào. GI I N u f (x), g(x) không nguyên t cùng nhau, t t n t i h(x) v i deg(h) ≥ 1 sao cho (f (x), g(x)) = h(x). Theo đ nh lý cơ b n c a đ i s , do deg(h) ≥ 1 nên h(x) có ít nh t m t nghi m ph c x0 . Hi n nhiên x0 là nghi m chung c a c f (x) và g(x). Ngư c l i, n u f (x) và g(x) có chung nghi m x0 . Theo đ nh lý Bezout c f (x) và g(x) có ch a chung nhân t (x − x0 ), nên (f (x), g(x)) = 1. V y (f (x), g(x)) = 1 ⇔ f (x), g(x) không có nghi m chung 1
  2. Ví d 2: Cho các trư ng K ⊂ F và đa th c f (x) ∈ K[x] là b t kh qui trong K[x] nhưng có nghi m x = x0 ∈ F . Cho g(x) ∈ K[x] là đa th c cũng nh n x = x0 ∈ F làm nghi m. Ch ng minh r ng f (x)\g(x). GI I Trong vành đa th c K[x] xem như m t vành chính, m i quan h c a m t đa th c b t kh qui f (x) v i đa th c b t kì g(x) ch có th n m trong hai kh năng là ho c f (x)\g(x) ho c (f (x), g(x)) = 1. N u (f (x), g(x)) = 1, t t n t i các đa th c t(x), s(x) ∈ K[x] sao cho s(x).f (x) + t(x).g(x) = 1. H th c sau cùng này, do K[x] ⊂ F [x] nên cũng có trong F [x], t c là trong F [x] thì v n có (f (x), g(x)) = 1. Tuy nhiên theo gi thi t bài toán các đa th c f (x), g(x) nh n x0 ∈ F làm nghi m, nên theo đ nh lý Bezout, trong F [x] c f (x), g(x) có nhân t chung (x − x0 ). T c là không th x y ra trư ng h p (f (x), g(x)) = 1. V y ch có th x y ra : f (x)\g(x) Ví d 3: Trong vành đa th c K[x] v i K là trư ng, cho đa th c f (x). S d ng phép đ i bi n x = ay + b (a = 0) ta xây d ng đa th c g(y) = f (ay + b). Ch ng minh r ng đa th c f (x) b t kh qui khi và ch khi đa th c g(y) b t kh quy. GI I D th y m nh đ trên là tương đương v i m nh đ sau : f (x) không b t kh qui ⇔ g(y) không b t kh qui Trư c h t n u f (x) không b t kh qui, t t n t i các đa th c f1 (x), f2 (x) ∈ K[x] v i deg(f1 ) ≥ 1, deg(f2 ) ≥ 1 sao cho f (x) = f1 (x).f2 (x). Khi đó ta cũng có: g(y) = f (ay + b) = f1 (ay + b).f2 (ay + b) = g1 (y).g2 (y) v i g1 (y) = f1 (ay + b) có deg(g1 ) = deg(f1 ) ≥ 1 g2 (y) = f2 (ay + b) có deg(g2 ) = deg(f2 ) ≥ 1 t c g(y) cũng không b t kh qui. Ti p theo đ ý r ng n u x = ay + b (a = 0) thì y = cx + d, trong đó c = a−1 và d = −ba−1 . Vì v y n u g(y) = f (ay + b) thì f (x) = g(cx + d). Do đó n u g(y) = g1 (y).g2 (y) v i deg(g1 ) ≥ 1 và deg(g2 ) ≥ 1 thì f (x) = g(cx + d) = g1 (cx + d).g2 (cx + d) = f1 (x).f2 (x) v i f1 (x) = g1 (cx + d) có deg(f1 ) = deg(g1 ) ≥ 1 f2 (x) = g2 (cx + d) có deg(f2 ) = deg(g2 ) ≥ 1 2
  3. t c n u g(y) không b t kh qui thì f (x) không b t kh qui. Ví d 4: Trong vành Q[x] cho đa th c: f (x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − an ) − 1 trong đó a1 , a2 , . . . , an là các s nguyên phân bi t. Ch ng minh r ng f (x) là b t kh qui trong Q[x]. Đa th c f (x) có b t kh qui trong R[x] hay trong C[x] không ? GI I N u f (x) không b t kh qui, t t n t i các đa th c h s nguyên h(x), g(x) b c l n hơn hay b ng 1 sao cho f (x) = g(x).h(x) Khi đó ta cũng có degg(x) < degf (x) và degh(x) < degf (x) do degf = degg+degh và degg ≥ 1, degh ≥ 1). Do f (ai ) = −1 v i i = 1, 2, . . . , n, nên g(ai ).h(ai ) = −1, ∀i. B i g(ai ), h(ai ) ∈ Z nên t đó suy ra g(ai ) + h(ai ) = 0. N u g(x) + h(x) = 0 thì deg(h(x) + g(x)) ≤ max{deg(g), deg(h)} t c deg(h(x) + g(x)) < deg(f (x)) = n. Và ta có h(x) + g(x) là đa th c b c bé hơn n l i có n nghi m a1 , a2 , . . . , an ; là đi u không th đư c. V y ph i có : h(x) + g(x) = 0, do đó h(x) = −g(x) và f (x) = g(x).h(x) = −[g(x)]2 . Đi u này cũng không th x y ra vì h s cao nh t c a f (x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − an ) − 1 là +1, trong khi đó h cao nh t c a −(g(x))2 là s âm. Mâu thu n này ch ra r ng f (x) b t kh qui trong Q[x]. N u xét trong R[x] hay C[x], d th y f (x) b t kh quy ⇔ deg(f (x)) = 1, t c n = 1 3
  4. BÀI T P 1. Cho các trư ng K ⊂ F và các đa th c f (x), g(x) ∈ K[x]. Ch ng minh r ng (f (x), g(x)) = 1 trong K[x] ⇔ (f (x), g(x)) = 1 trong F [x]. 2. Cho K là trư ng và f (x) ∈ K[x] mà f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn v ia0 .an = 0 và n ≥ 1 Ch ng minh r ng f (x) là b t kh quy trong K[x] khi và ch khi g(x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an là b t kh quy. 3. Cho a1 , a2 , . . . , an là các s nguyên phân bi t. Ch ng minh r ng các đa th c sau là b t kh quy trong Q[x] : (a) (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − an ) + 1 v i n l . (b) (x − a1 )2 (x − a2 )2 . . . (x − an )2 + 1. 4. Ch ng minh r ng v i vành K giao hoán, có đơn v thì các kh ng đ nh sau là tương đương. (a) K là trư ng (b) K[x] là vành Ơclít (c) K[x] là vành chính 4
  5. THAY CHO L I K T Đ c gi thân m n ! Th là b n đã d o qua trang web chuyên đ ôn thi Đ i s cơ s c a chúng tôi và gi đây đã t i ... "đi m d ng"! Có th b n cho r ng, đã không tìm đư c thêm nh ng đi u m i m như b n kỳ v ng. B n thông c m, b i đây v n là chuyên đ ôn t p ch đư c phép nói nhi u và nói l i v nh ng đi u... "bi t r i... nói mãi"! Có th b n cho r ng đâu đó, trong quá trình tri n khai chuyên đ , có đôi chút sa đà l ch l c so v i yêu c u "cơ b n" c a m t chuyên đ ôn t p ? R t có th b n đã đúng, nhưng b n ơi đ l a ch n đư c m t n i dung có th làm hài lòng h t th y m i ngư i th t quá khó khăn! Dù b n đã thu lư m đư c nhi u hay ít t chuyên đ c a chúng tôi; dù b n đã r t h ng thú hay ch là "cư i ng a xem hoa",... t i đi m k t thúc này, xin đư c nói l i chia tay. T m bi t b n, chúc b n m t mùa thi k t qu mĩ mãn. Và h n g p b n trong m t tương lai g n trên gi ng đư ng Cao h c c a ĐHSPTPHCM. Khi đó t h n có nhi u chuyên đ m i m , h p d n đ chúng ta có th trao đ i tr c ti p. L i cu i cùng chúng tôi mu n nh n g i l i b n là : Trư c khi kh i công d ng ti p các t ng l u m i cho lâu đài tri th c c a mình, b n hãy gia c l i n n móng c a tòa lâu đài th t ch c ch n, th t v ng chãi! Chúc các b n thành công! 5