Xem mẫu
- Đ IS (CƠ S )
Tài li u ôn thi cao h c năm 2005
Phiên b n đã ch nh s a
TS. Tr n Huyên
Ngày 27 tháng 3 năm 2005
Bài 9. Các Bài Toán V Mi n Nguyên
Và Trư ng
Khái ni m mi n nguyên đư c xem như là s t ng quát hóa tr c ti p c u trúc c a vành s
nguyên Z. Nó bao hàm h t t t c các tính ch t c a vành Z, đư c đ t trên các phép toán trong
Z. C th là :
Đ nh nghĩa 1 : Mi n nguyên là vành X giao hoán, có đơn v 1 = 0 (và do v y |X| > 1) và
tích c a hai ph n t khác 0 là khác 0.
V đi u ki n sau cùng c a vành X "tích c a hai ph n t khác 0 là khác 0" cũng thư ng đư c
phát bi u theo m t ngôn ng khác tương đương là : Vành X "không có ư c c a 0". Khái ni m
ư c c a 0 đư c xác đ nh như sau :
Đ nh nghĩa 2: Trong vành giao hoán X, ph n t a = 0 đư c g i là ư c c a 0 n u t n t i ph n
t b = 0 sao cho ab = 0.
Như v y : Mi n nguyên là m t vành giao hoán X, có đơn v 1 = 0 và không có ư c c a 0.
Do đi u ki n "không có ư c c a 0" có th đư c di n đ t theo các ngôn ng khác nhau, vì v y
khái ni m mi n nguyên ngoài hai đ nh nghĩa đư c nói trên còn có th xác đ nh theo nh ng
cách khác.
Ví d 1 :
Cho vành X giao hoán có đơn v 1 = 0. Ch ng minh r ng X là mi n nguyên ⇔ trong X có lu t
gi n ư c cho các ph n t a = 0 đ i v i phép nhân.
Gi i
Cho X là mi n nguyên. Khi đó v i m i a = 0, t đ ng th c ax = ay ta suy ra :
ax − ay = 0 ⇒ a(x − y) = 0
⇒ x − y = 0 (vì a = 0)
⇒x=y
t c có lu t gi n ư c cho m i ph n t a = 0 (n u x − y = 0 thì a là ư c c a 0 !).
Ngư c l i, n u X là vành giao hoán có đơn v 1 = 0 và có lu t gi n ư c cho m i ph n t x = 0.
1
- Khi đó n u ab = 0 thì ho c a = 0, ho c a = 0; n u a = 0 thì t ab = 0 = a.0 suy ra b = 0, sau
khi gi n ư c a. V y X không có ư c c a 0, t c X là mi n nguyên.
Chú ý : Lu t gi n ư c cho m i a = 0 trong mi n nguyên là m t tính ch t quan tr ng c a
mi n nguyên và thư ng hay đư c s d ng trong khá nhi u bài toán liên quan t i mi n nguyên,
ch ng h n ví d 2 dư i đây.
Trư c khi đưa ra ví d ti p theo, ta c n nh c l i m t khái ni m quan tr ng khác, là khái ni m
trư ng.
Đ nh nghĩa 3: Trư ng là vành X giao hoán có đơn v 1 = 0 và ph n t b t kỳ x = 0 đ u có
ngh ch đ o x−1 (t c xx−1 = 1).
Hi n nhiên r ng trư ng là m t mi n nguyên và do đó t p các ph n t khác 0 c a trư ng X (ta
kí hi u là X ∗ ) là n đ nh đ i v i phép nhân, đ ng th i l p thành nhóm giao hoán. Vì v y ta
có th đ nh nghĩa trư ng, k th a các tri th c v nhóm như sau : Trư ng là m t t p h p X có
nhi u hơn m t ph n t , trên đó xác đ nh đư c hai phép toán c ng (+) và nhân (.), th a :
1. (X; +) l p thành nhóm giao hoán.
2. (X ∗ ; .) l p thành nhóm giao hoán.
3. Lu t phân ph i c a phép nhân đ i v i phép c ng.
Hi n nhiên mu n ki m tra m t t p X cho trư c v i các phép toán nào đó là trư ng chúng ta
ph i tuân th m t trong các đ nh nghĩa nói trên.
Ví d 2 :
Ch ng minh r ng m t mi n nguyên h u h n là m t trư ng.
Gi i
N u X là mi n nguyên h u h n thì hi n nhiên (X; +) là nhóm giao hoán và có lu t phân ph i
c a phép nhân v i phép c ng. Vì X là mi n nguyên nên X ∗ n đ nh đ i v i phép nhân (tích
hai ph n t khác 0 là khác 0 !). Phép toán nhân trên X là k t h p, giao hoán nên nó cũng k t
h p, giao hoán trên X ∗ ⊂ X. Theo ví d 1 phép nhân trên X ∗ có lu t gi n ư c. V y (X ∗ , .)
là n a nhóm h u h n (do X h u h n) có lu t gi n ư c nên X ∗ là nhóm và là nhóm giao hoán.
V y X là trư ng.
Cũng như trong các bài toán ki m tra vành, đ ki m tra m t mi n nguyên hay m t trư ng ta
có th ki m tra gián ti p thông qua tiêu chu n c u trúc con, khi đã xác đ nh đư c r ng mi n
nguyên hay trư ng c n ph i ki m tra là b ph n c a m t mi n nguyên hay trư ng đã bi t.
Đ ý r ng n u X là mi n nguyên còn A ⊂ X, thì A hi n nhiên là giao hoán và không có ư c
v
c a 0 (hai tính ch t này k th a t X) nên khi đó A là mi n nguyên n u A ch a đơn v 1.
Còn X là trư ng thì b ph n A = ø trong X là trư ng con (kí hi u A ⊂ X)t
⇔ ∀x, y ∈ A : x−y ∈A
và ∀x, y ∈ A∗ : xy −1 ∈ A∗ .
Ví d 3 : Cho các t p s sau :
√ √
Z( −3) = {a + b −3 : a, b ∈ Z}
√ √
Q( −3) = {a + b −3 : a, b ∈ Q}.
√ √
Ch ng minh r ng Z( −3) là mi n nguyên, Q( −3) là trư ng v i các phép toán c ng và nhân
thông thư ng các s .
2
- Gi i :
√ √
Đ ch ng t Z( −3) là mi n nguyên, do nh n √ y r ng Z( −3) là b ph n c a trư ng s
th
ph c (C; +; .) nên trư c h t ta ch ng t r ng Z( −3) ⊂ C.
v
Th t v y :√ √ √
∀ a1 + b1 −3, a2 + b2 −3 ∈ Z( −3) ta có :
√ √ √ √
• (a1 + b1 −3) − (a2 + b2 −3) = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) −3 ∈ Z( −3)
√ √ √ √
• (a1 + b1 −3)(a2 + b2 −3) = (a1 a2 − 3b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 ) −3 ∈ Z( −3)
√
V y Z( −3) ⊂ C theo tiêu chu n c a vành con.
v
√
Vì trư ng (C; +; .) là giao hoán, không có ư √ c a 0 nên b ph n Z( −3) cũng giao hoán,
c √ √
không có ư c c a 0. Hơn n a đơn v 1 = 1 + 0 √−3 ∈ Z( −3). V y Z( −3) là vành giao hoán
có đơn v 1 = 0 √ không có ư c c a 0, t c Z( −3) là √ n nguyên.
và mi √
Đ ch ng t Q( −3) là trư ng, ta ch c n ch ng t Q( −3) ⊂ C. Hi n nhiên là Q( −3) = ø.
t
√ √ √
• ∀ (a1 + b1 −3), (a2 + b2 −3) ∈ Q( −3) :
√ √ √ √
(a1 + b1 −3) − (a2 + b2 −3) = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) −3 ∈ Q( −3)
√ √ √
• ∀ (a1 + b1 −3), (a2 + b2 −3) ∈ [Q( −3)]∗ :
√ √ √
a1 + b1 −3 (a1 + b1 −3)(a2 − b2 −3)
√ =
a2 + b2 −3 a2 + 3b2
2 2
a1 a2 + 3b1 b2 a2 b1 − a1 b2 √ √
= 2 2
+ 2 2
−3 ∈ [Q( −3)]∗
a2 + 3b2 a2 + 3b2
√ √
V y Q( −3) ⊂ C, t c Q( −3) là trư ng.
t
√
* Chú
√ : Trong vi c ki m√ Q( −3) ⊂ C trên khi ch ra thương hai ph n t khác 0 c a
tra t
Q(√−3) là ph n t c a [Q( −3)]∗ , ta đã tìm cách bi u di n thương đó thành ph n t thu c
Q( −3) mà không c n ki m tra tính khác 0 c a thương đó, vì trong m t trư ng đã cho trư c
thì thương hai ph n t khác 0 hi n nhiên là khác 0.
T m t mi n nguyên ta có th xây d ng nên m t trư ng c c ti u ch a mi n nguyên đó, g i là
trư ng các thương. N u X là mi n nguyên thì Q(X), trư ng các thương c a X, có các ph n
t đư c vi t dư i d ng ab−1 v i a, b ∈ X, b = 0; nên đ ch ng minh m t trư ng là trư ng các
thương c a mi n nguyên nào đó, thông thư ng ta ch ng minh mi n nguyên có th nhúng vào
trư ng xem như vành con c a nó và m i ph n t c a trư ng đư c bi u di n như thương c a
hai ph n t c a mi n nguyên. √ √
Ví d 4 : Ch ng minh r ng trư ng Q( −3) là trư ng các thương c a mi n nguyên Z( −3)
( ví d 3).
Gi i :
√ √
Trư c h t ta có Z( −3) ⊂ Q( −3).
Hơn n a n u √ √ a1 a2
q1 + q2 −3 ∈ Q( −3) thì c q1 = , q2 =
b1 b2
3
- √ √
là các √
thương t √Z( −3) nên chúng là các ph n t c a trư ng các thương c a Z( −3). Hi n
√ √
nhiên −3 = 1. −3 ∈ Z( −3) và th c vào trư ng các thương c a Z( −3). Do tính n đ nh
√
đ i v i các phép toán c ng và nhân c a trư ng mà q1 + q2 −3 là ph n t c a trư ng các
√ √ √
thương c a Z( −3). V y trư ng Q( −3), b ch a trong trư ng các thương c a Z( −3), tuy
√
nhiên do tính c c ti u c a trư ng các thương nên nó trùng v i Q( −3).
BÀI T P
1. Ch ng minh r ng vành Zn các s nguyên mod n là m t trư ng ⇔ n là s nguyên t .
2. Ch ng minh r ng trư ng (Q; +; .) các s h u t không ch a trư ng con nào khác ngoài
b n thân nó. K t lu n có đúng v i trư ng Zp v i p là s nguyên t hay không?
3. Cho X là vành mà các ph n t là lũy đ ng, t c ∀x ∈ X thì x2 = x. Ch ng minh r ng :
(a) x = −x, ∀x ∈ X.
(b) X là vành giao hoán.
(c) N u X không có ư c c a 0, có nhi u hơn m t ph n t thì X là mi n nguyên. Khi
đó X có ph i là trư ng không?
4. Cho X là trư ng, e là ph n t đơn v c a X. Xét t p con
A = {ne : n ∈ Z}
Ch ng minh r ng A là mi n nguyên khi c p e là vô h n, còn A là trư ng khi c p e là h u
h n. (c p e đây là c p ph n t e trong nhóm c ng (X; +))
5. Cho t p các ma tr n c p hai :
a b
M= : a, b ∈ R .
b a
(a) Ch ng minh r ng M là vành giao hoán có đơn v v i hai phép toán c ng và nhân
ma tr n.
a b
(b) Ph n t A = là ư c c a 0 trong M ⇔ det A = 0.
b a
(c) T p :
a 0
K= : a, b ∈ R .
0 a
là trư ng con c a vành M và n u có m t trư ng con T c a M mà T ⊃ K thì T = K.
(d) T p : √
a
√ b 2
L= : a, b ∈ Q .
b 2 a
là m t trư ng con c a M . Trư ng L có đư c tính ch t tương t như trư ng K câu
c không?
4
nguon tai.lieu . vn
