Xem mẫu

  1. Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS. Tr n Huyên Ngày 8 tháng 4 năm 2005 Bài 10. Các Bài Toán V Iđêan Và Vành Thương Indêan trong vành có vai trò tương t như ư c chu n trong nhóm, giúp hình thành nên c u trúc vành thương. Cho vành X, b ph n I = ø trong X đư c g i là m t idêan n u I ⊂ X đ ng th i th a mãn v đi u ki n: ∀x ∈ X, ∀a ∈ I thì ax, xa ∈ I (*). Đi u ki n sau cùng (*) có th đư c g i là đi u ki n hút hai phía (t c ph n t x ∈ X dù "dính" bên trái (xa) hay "dính" bên ph i (ax)) v i các ph n t a ∈ I thì b "hút" vào trong I !) Khi I là idean c a X (Kí hi u : I X) thì t p thương X I = {x + I : x ∈ X} đư c trang b các phép toán (xác đ nh h p lí ! ) sau : • Phép c ng : (x1 + I) + (x2 + I) = (x1 + x2 ) + I. • Phép nhân : (x1 + I)(x2 + I) = x1 x2 + I, s tr thành m t vành, g i là vành thương c a vành X theo idean I và kí hi u là (X I; +, .) hay đơn gi n hơn : X I. N u X là vành giao hoán thì X I giao hoán N u X là vành có đơn v 1 thì X I có đơn v là 1 + I. Tuy nhiên, n u X không có ư c c a 0 thì X I nói chung không đư c th a k vô đi u ki n tính ch t nói trên c a X (đ c gi hãy th suy nghĩ xem, lí do vì sao?) Các bài toán v inđêan và vành thương thư ng g p trư c h t là các bài toán ki m tra m t b ph n nào đó c a m t vành cho trư c là iđêan và mô t c u trúc c a vành thương theo iđêan đó. Đ ki m tra m t iđêan ta dùng tiêu chu n iđêan đư c phát bi u như sau : Cho vành X, t p I = ø trong X là iđêan c a X khi và ch khi : ∀a, b ∈ I : a−b∈I ∀x ∈ X, ∀a ∈ I : ax, xa ∈ I 1
  2. 1. Ví d 1 : Cho các t p s ph c sau : √ √ Z( −5) = a + b −5 : a, b ∈ Z √ I = 5a + b −5 : a, b ∈ Z √ (a) Ch ng minh r √ Z( −5) là vành v i hai phép c ng và nhân thông thư ng các s ng ph c và I Z( −5). √ (b) Ch ng minh r ng vành thương Z( −5)/I là trư ng. Gi i: (a) Chúng tôi dành cho đ c gi dùng tiêu chu n vành con đ ki m tra √ √ Z( −5) ⊂ (C; +; .), và do đó Z( −5) là m t vành. v √ Đ ki m tra I Z( −5), ta có : √ √ • ∀5a1 + b1√ −5, 5a2 + b2 √ ∈ I : −5 √ (5a1 + b1 −5) − (5a2 + b2 −5) = 5(a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) −5 ∈ I √ √ √ • ∀a + b√ −5 ∈ Z( −5), ∀5c + d −5 ∈ I : √ √ (a + b √ −5)(5c + d√−5) = 5(ac − bd) + (5bc + ad) −5 ∈ I và √ √ (5c + d −5)(a + b −5) = (a + b −5)(5c + d −5) ∈ I √ V y I là iđêan c a Z( −5). (b) Ta có vành thương : √ √ Z( −5)/I = {(a + b −5) + I : a, b ∈ Z} √ = {a + I : a ∈ Z} (vì b −5 ∈ I) = {0 + I; 1 + I; 2 + I; 3 + I; 4 + I} √ √ D th y Z( −5) là vành giao hoán, có đơn v nên vành thương Z( −5)/I là vành giao hoán, có đơn v . Ta còn ph i ch ng t b t kì ph n t m + I = 0 + I trong vành thương là có ngh ch đ o. Th t v y khi đó m là s không chia h t cho 5 và do 5 là s nguyên t nên (m, 5) = 1. T c t n t i các s nguyên k và t mà km + 5t = 1, và như v y t n t i ph n t (k + I) mà : (m + I)(k + I) = km + I = 1 − 5t + I =1+I t c (k + I) = (m + I)−1 . √ V y Z( −5)/I là trư ng. √ Nh n xét : Đ ki m tra vành thương Z( −5)/I là trư ng ta đã dùng đ nh nghĩa trư ng đ ki m tra. Sau này ta còn có th kh ng đ nh đi u trên nh vào vi c ch ra I là iđêan √ t i đ i√ a Z( −5). Ta cũng có th kh ng đ nh đi u đó nh vi c thi t l p m t toàn c u c ϕ : Z( −5) −→ Z5 , v i Z5 là trư ng, mà ker ϕ = I. Đ đưa các ví d ti p theo, trư c h t ta nh c l i và đ nh nghĩa v iđêan nguyên t , iđêan t i đ i. Đ nh nghĩa : Cho X là vành giao hoán có đơn v 1. Inđêan I X đư c g i là iđêan nguyên t n u xy ∈ I thì ho c x ∈ I ho c y ∈ I. Inđêan I X đư c g i là iđêan t i đ i n u I là iđêan th t s c a X và không b ch a 2
  3. trong b t kì iđêan th t s nào khác I. (Nói cách khác n u có J X mà J ⊃ I thì ho c J = X ho c J = I). V các iđêan nguyên t và iđêan t i đ i c a m t vành X giao hoán có đơn v , chúng ta có th cho m t đ nh nghĩa khác tương đương, th hi n trong ví d sau. 2. Ví d 2 : Cho X là vành giao hoán có đơn v 1. Ch ng minh r ng, n u I X thì : (a) I là iđêan nguyên t ⇔ vành thương X/I là mi n nguyên. (b) I là iđêan t i đ i ⇔ X/I là trư ng. Gi i : (a) B i X I là vành giao hoán có đơn v nên các đi u ki n đ nh ra trên có th rút g n hơn như sau : I là iđêan nguyên t ⇔ X I không có ư c c a 0 Th t v y : I là iđêan nguyên t ⇔ xy ∈ X thì ho c x ∈ I ho c y ∈ I ⇔ (x + I)(y + I) = xy + I = 0 thì x + I = 0 ho c y + I = 0 ⇔ X I không có ư c c a 0. (b) Tương t nh n xét trên, do X I là vành giao hoán có đơn v nên đi u c n ch ng minh có th rút g n như sau : I là iđêan t i đ i ⇔ m i ph n t a + I = 0 là kh ngh ch. Th t v y : I là iđêan t i đ i ⇔ ∀a ∈ I thì iđêan / J =< I, a >=I + aX = X ⇔ ∀a ∈ I :1 ∈ I + aX / ⇔ ∀a ∈ I, ∃b ∈ X :1 ∈ ab + I / ⇔ ∀a + I = 0, ∃b + I :(a + I)(b + I) = ab + I = 1 + I ⇔ ∀a + I = 0 đ u kh ngh ch (đpcm). Các k t qu trong ví d 2 cho ta các tiêu chu n ki m tra m t iđêan là t i đ i hay nguyên t thông qua vi c xem xét vành thương theo chúng là trư ng hay mi n nguyên. 3. Ví d 3 : Cho các t p các ma tr n nguyên c p hai sau : m n X= : m, n ∈ Z n m và : m −m A= :m∈Z −m m Ch ng minh r ng X là vành giao hoán có đơn v và A là iđêan nguyên t c a vành X. Gi i : 3
  4. Đ ki m tra X là vành ta dùng tiêu chu n vành con đ ki m tra 1 0 X ⊂ M2 , trong đó M2 là vành các ma tr n th c c p hai. Đơn v c a X là E = v ∈ 0 1 X. Tính giao hoán c a phép nhân trong X có th ki m tra tr c ti p. M i tính toán chi ti t ph n nói trên xin dành cho đ c gi . Ta ki m tra A X : m −m n −n • ∀ , ∈A: −m m −n n m −m n −n (m − n) −(m − n) − = ∈A −m m −n n −(m − n) (m − n) m n k −k • ∀ ∈ X, ∀ ∈A n m −k k m n k −k k −k m n k(m − n) −k(m − n) = = ∈A n m −k k −k k n m −k(m − n) k(m − n) V y A là iđêan. Vi c ki m tra A là iđêan nguyên t , ta có th ti n hành theo đ nh nghĩa ho c theo tiêu chu n có đư c t ví d 2. N u theo đ nh nghĩa ta có : • Cách 1 : N u m n k l mk + nl ml + nk = ∈A n m l k ml + nk mk + nl thì mk + nl = −(ml + nk) ⇔ mk + ml + nl + nk = 0 ⇔ (m + m)(k + l) = 0 m+n=0 ⇔ [ k+l =0 m = −n ⇔ [ k = −l m n ⇔ ho c ∈A n m k l ho c ∈A l k T c A là iđêan nguyên t . N u theo tiêu chu n t ví d 2, ta c n ki m tra X A là mi n nguyên thì : • Cách 2 : Hi n nhiên X A là vành giao hoán có đơn v . Ta ch còn ph i ki m tra X A không m + k −m có ư c c a 0. Đ ý r ng m i ph n t c a X có th vi t dư i d ng : −m m + k 4
  5. k 0 nên m i ph n t c a X A có th vi t dư i d ng : + A . Vì v y n u : 0 k k 0 l 0 +A +A =0 0 k 0 l kl 0 ⇒ ∈A 0 kl ⇒ kl = 0 k=0 ⇒[ l=0 k 0 ⇒ + A = 0 ho c 0 k l 0 +A=0 0 l V y X A không có ư c c a 0 ; Do v y A là iđêan nguyên t . 4. Ví d 4 : Cho các t p các ma tr n c p hai sau : a b X= : a, b ∈ R b a và a a A= :a∈R a a Ch ng minh X là vành giao hoán có đơn v (v i phép toán c ng và nhân ma tr n) và A là iđêan t i đ i c a X. Gi i : Vi c ki m tra X ⊂ M2 v i M2 là vành các ma tr n th c c p hai, X là vành giao hoán có v 1 0 đơn v E = ∈ X xin đư c giành cho đ c gi . 0 1 Ta ki m tra A X: a a b b • ∀ , ∈A: a a b b a a b b a−b a−b − = ∈ A. a a b b a−b a−b a b c c • ∀ ∈ X, ∀ ∈ A ta có : b a c c a b c c c c a b c(a + b) c(a + b) = = ∈ A. b a c c c c b a c(a + b) c(a + b) 5
  6. V y A là iđêan Đ ch ng minh A là iđêan t i đ i ta dùng đ nh nghĩa. N u BX, B = A và B ⊃ A c d thì ta ph i ch ng minh B = X. Vì B = A, t t n t i ph n t ∈ B mà d c d d c = d. Vì B ⊃ A nên ph n t ∈ A ⊂ B, do đó : d d c d d d c−d 0 − = ∈B d c d d 0 c−d (v i c − d = 0) Vì B là iđêan nên 1   c−d 0  c−d 0  1  ∈B 0 c−d  0 c−d 1 0 hay ∈ B, do v y B = X. T c A t i đ i. 0 1 Nh n xét : Ta cũng có th ch ng minh A t i đ i b ng cách ki m tra X A là a 0 trư ng. Đ ý r ng m i ph n t khác 0 c a X A có d ng +A v i a=0 ;   0 a 1  a 0  và do v y nó có ngh ch đ o là  1 +A 0 a BÀI T P 1. Cho X là vành và n là s nguyên cho trư c và cho A = {x ∈ X : nx = 0}. Ch ng minh A X 2. Ch ng minh r ng trong vành giao hoán có đơn v , m i iđêan t i đ i đ u là iđêan nguyên t . Ch ng minh r ng trong vành Zn vành các s nguyên modul n, m i iđêan nguyên t đ u là iđêan t i đ i. 3. Cho các t p các ma tr n c p hai sau : a 0 X= : a, b ∈ R 0 b và 0 0 :a∈R a 0 (a) Ch ng minh r ng X là vành có đơn v (v i hai phép c ng và nhân ma tr n) (b) Ch ng minh A X và X A là trư ng. 6
  7. m n 4. Cho vành X = : m, n ∈ Z trong ví d 3 và n m m 5n − m A= : m, n ∈ Z Ch ng minh r ng A là iđêan t i đ i c a X. Tìm 5n − m m t t c các iđêan t i đ i c a X? Tìm t t c các iđêan nguyên t nhưng không t i đ i c a X. a b 5. Cho vành X = : a, b ∈ R trong ví d 4 . Tìm t t c các iđêan t i đ i c a b a vành X. 7