Xem mẫu
- Đ IS (CƠ S )
Tài li u ôn thi cao h c năm 2005
Phiên b n đã ch nh s a
TS. Tr n Huyên
Ngày 8 tháng 4 năm 2005
Bài 10. Các Bài Toán V Iđêan Và
Vành Thương
Indêan trong vành có vai trò tương t như ư c chu n trong nhóm, giúp hình thành nên c u
trúc vành thương.
Cho vành X, b ph n I = ø trong X đư c g i là m t idêan n u I ⊂ X đ ng th i th a mãn
v
đi u ki n: ∀x ∈ X, ∀a ∈ I thì ax, xa ∈ I (*).
Đi u ki n sau cùng (*) có th đư c g i là đi u ki n hút hai phía (t c ph n t x ∈ X dù
"dính" bên trái (xa) hay "dính" bên ph i (ax)) v i các ph n t a ∈ I thì b "hút" vào trong I
!)
Khi I là idean c a X (Kí hi u : I X) thì t p thương X I = {x + I : x ∈ X} đư c trang
b các phép toán (xác đ nh h p lí ! ) sau :
• Phép c ng : (x1 + I) + (x2 + I) = (x1 + x2 ) + I.
• Phép nhân : (x1 + I)(x2 + I) = x1 x2 + I,
s tr thành m t vành, g i là vành thương c a vành X theo idean I và kí hi u là (X I; +, .)
hay đơn gi n hơn : X I.
N u X là vành giao hoán thì X I giao hoán
N u X là vành có đơn v 1 thì X I có đơn v là 1 + I. Tuy nhiên, n u X không có ư c c a
0 thì X I nói chung không đư c th a k vô đi u ki n tính ch t nói trên c a X (đ c gi hãy
th suy nghĩ xem, lí do vì sao?)
Các bài toán v inđêan và vành thương thư ng g p trư c h t là các bài toán ki m tra m t b
ph n nào đó c a m t vành cho trư c là iđêan và mô t c u trúc c a vành thương theo iđêan
đó.
Đ ki m tra m t iđêan ta dùng tiêu chu n iđêan đư c phát bi u như sau :
Cho vành X, t p I = ø trong X là iđêan c a X khi và ch khi :
∀a, b ∈ I : a−b∈I
∀x ∈ X, ∀a ∈ I : ax, xa ∈ I
1
- 1. Ví d 1 : Cho các t p s ph c sau :
√ √
Z( −5) = a + b −5 : a, b ∈ Z
√
I = 5a + b −5 : a, b ∈ Z
√
(a) Ch ng minh r √ Z( −5) là vành v i hai phép c ng và nhân thông thư ng các s
ng
ph c và I Z( −5). √
(b) Ch ng minh r ng vành thương Z( −5)/I là trư ng.
Gi i:
(a) Chúng tôi dành cho đ c gi dùng tiêu chu n vành con đ ki m tra
√ √
Z( −5) ⊂ (C; +; .), và do đó Z( −5) là m t vành.
v
√
Đ ki m tra I Z( −5), ta có :
√ √
• ∀5a1 + b1√ −5, 5a2 + b2 √ ∈ I :
−5 √
(5a1 + b1 −5) − (5a2 + b2 −5) = 5(a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) −5 ∈ I
√ √ √
• ∀a + b√ −5 ∈ Z( −5), ∀5c + d −5 ∈ I :
√ √
(a + b √ −5)(5c + d√−5) = 5(ac − bd) + (5bc + ad) −5 ∈ I và
√ √
(5c + d −5)(a + b −5) = (a + b −5)(5c + d −5) ∈ I
√
V y I là iđêan c a Z( −5).
(b) Ta có vành thương :
√ √
Z( −5)/I = {(a + b −5) + I : a, b ∈ Z}
√
= {a + I : a ∈ Z} (vì b −5 ∈ I)
= {0 + I; 1 + I; 2 + I; 3 + I; 4 + I}
√ √
D th y Z( −5) là vành giao hoán, có đơn v nên vành thương Z( −5)/I là vành
giao hoán, có đơn v . Ta còn ph i ch ng t b t kì ph n t m + I = 0 + I trong vành
thương là có ngh ch đ o. Th t v y khi đó m là s không chia h t cho 5 và do 5 là s
nguyên t nên (m, 5) = 1. T c t n t i các s nguyên k và t mà km + 5t = 1, và như
v y t n t i ph n t (k + I) mà :
(m + I)(k + I) = km + I
= 1 − 5t + I
=1+I
t c (k + I) = (m + I)−1 .
√
V y Z( −5)/I là trư ng.
√
Nh n xét : Đ ki m tra vành thương Z( −5)/I là trư ng ta đã dùng đ nh nghĩa trư ng
đ ki m tra. Sau này ta còn có th kh ng đ nh đi u trên nh vào vi c ch ra I là iđêan
√
t i đ i√ a Z( −5). Ta cũng có th kh ng đ nh đi u đó nh vi c thi t l p m t toàn c u
c
ϕ : Z( −5) −→ Z5 , v i Z5 là trư ng, mà ker ϕ = I. Đ đưa các ví d ti p theo, trư c
h t ta nh c l i và đ nh nghĩa v iđêan nguyên t , iđêan t i đ i.
Đ nh nghĩa : Cho X là vành giao hoán có đơn v 1.
Inđêan I X đư c g i là iđêan nguyên t n u xy ∈ I thì ho c x ∈ I ho c y ∈ I.
Inđêan I X đư c g i là iđêan t i đ i n u I là iđêan th t s c a X và không b ch a
2
- trong b t kì iđêan th t s nào khác I. (Nói cách khác n u có J X mà J ⊃ I thì ho c
J = X ho c J = I).
V các iđêan nguyên t và iđêan t i đ i c a m t vành X giao hoán có đơn v , chúng ta
có th cho m t đ nh nghĩa khác tương đương, th hi n trong ví d sau.
2. Ví d 2 : Cho X là vành giao hoán có đơn v 1. Ch ng minh r ng, n u I X thì :
(a) I là iđêan nguyên t ⇔ vành thương X/I là mi n nguyên.
(b) I là iđêan t i đ i ⇔ X/I là trư ng.
Gi i :
(a) B i X I là vành giao hoán có đơn v nên các đi u ki n đ nh ra trên có th rút
g n hơn như sau :
I là iđêan nguyên t ⇔ X I không có ư c c a 0
Th t v y : I là iđêan nguyên t ⇔ xy ∈ X thì ho c x ∈ I ho c y ∈ I ⇔
(x + I)(y + I) = xy + I = 0 thì x + I = 0 ho c y + I = 0 ⇔ X I không có ư c
c a 0.
(b) Tương t nh n xét trên, do X I là vành giao hoán có đơn v nên đi u c n ch ng
minh có th rút g n như sau :
I là iđêan t i đ i ⇔ m i ph n t a + I = 0 là kh ngh ch. Th t v y : I là iđêan t i
đ i ⇔ ∀a ∈ I thì iđêan
/
J =< I, a >=I + aX = X
⇔ ∀a ∈ I :1 ∈ I + aX
/
⇔ ∀a ∈ I, ∃b ∈ X :1 ∈ ab + I
/
⇔ ∀a + I = 0, ∃b + I :(a + I)(b + I) = ab + I = 1 + I
⇔ ∀a + I = 0 đ u kh ngh ch (đpcm).
Các k t qu trong ví d 2 cho ta các tiêu chu n ki m tra m t iđêan là t i đ i hay nguyên
t thông qua vi c xem xét vành thương theo chúng là trư ng hay mi n nguyên.
3. Ví d 3 : Cho các t p các ma tr n nguyên c p hai sau :
m n
X= : m, n ∈ Z
n m
và :
m −m
A= :m∈Z
−m m
Ch ng minh r ng X là vành giao hoán có đơn v và A là iđêan nguyên t c a vành X.
Gi i :
3
- Đ ki m tra X là vành ta dùng tiêu chu n vành con đ ki m tra
1 0
X ⊂ M2 , trong đó M2 là vành các ma tr n th c c p hai. Đơn v c a X là E =
v ∈
0 1
X. Tính giao hoán c a phép nhân trong X có th ki m tra tr c ti p. M i tính toán chi
ti t ph n nói trên xin dành cho đ c gi .
Ta ki m tra A X :
m −m n −n
• ∀ , ∈A:
−m m −n n
m −m n −n (m − n) −(m − n)
− = ∈A
−m m −n n −(m − n) (m − n)
m n k −k
• ∀ ∈ X, ∀ ∈A
n m −k k
m n k −k k −k m n k(m − n) −k(m − n)
= = ∈A
n m −k k −k k n m −k(m − n) k(m − n)
V y A là iđêan.
Vi c ki m tra A là iđêan nguyên t , ta có th ti n hành theo đ nh nghĩa ho c theo tiêu
chu n có đư c t ví d 2.
N u theo đ nh nghĩa ta có :
• Cách 1 : N u
m n k l mk + nl ml + nk
= ∈A
n m l k ml + nk mk + nl
thì
mk + nl = −(ml + nk)
⇔ mk + ml + nl + nk = 0
⇔ (m + m)(k + l) = 0
m+n=0
⇔ [
k+l =0
m = −n
⇔ [
k = −l
m n
⇔ ho c ∈A
n m
k l
ho c ∈A
l k
T c A là iđêan nguyên t .
N u theo tiêu chu n t ví d 2, ta c n ki m tra X A là mi n nguyên thì :
• Cách 2 :
Hi n nhiên X A là vành giao hoán có đơn v . Ta ch còn ph i ki m tra X A không
m + k −m
có ư c c a 0. Đ ý r ng m i ph n t c a X có th vi t dư i d ng :
−m m + k
4
- k 0
nên m i ph n t c a X A có th vi t dư i d ng : + A . Vì v y n u :
0 k
k 0 l 0
+A +A =0
0 k 0 l
kl 0
⇒ ∈A
0 kl
⇒ kl = 0
k=0
⇒[
l=0
k 0
⇒ + A = 0 ho c
0 k
l 0
+A=0
0 l
V y X A không có ư c c a 0 ; Do v y A là iđêan nguyên t .
4. Ví d 4 : Cho các t p các ma tr n c p hai sau :
a b
X= : a, b ∈ R
b a
và
a a
A= :a∈R
a a
Ch ng minh X là vành giao hoán có đơn v (v i phép toán c ng và nhân ma tr n) và A
là iđêan t i đ i c a X.
Gi i :
Vi c ki m tra X ⊂ M2 v i M2 là vành các ma tr n th c c p hai, X là vành giao hoán có
v
1 0
đơn v E = ∈ X xin đư c giành cho đ c gi .
0 1
Ta ki m tra A X:
a a b b
• ∀ , ∈A:
a a b b
a a b b a−b a−b
− = ∈ A.
a a b b a−b a−b
a b c c
• ∀ ∈ X, ∀ ∈ A ta có :
b a c c
a b c c c c a b c(a + b) c(a + b)
= = ∈ A.
b a c c c c b a c(a + b) c(a + b)
5
- V y A là iđêan
Đ ch ng minh A là iđêan t i đ i ta dùng đ nh nghĩa. N u BX, B = A và B ⊃ A
c d
thì ta ph i ch ng minh B = X. Vì B = A, t t n t i ph n t ∈ B mà
d c
d d
c = d. Vì B ⊃ A nên ph n t ∈ A ⊂ B, do đó :
d d
c d d d c−d 0
− = ∈B
d c d d 0 c−d
(v i c − d = 0)
Vì B là iđêan nên
1
c−d 0 c−d 0
1 ∈B
0 c−d
0
c−d
1 0
hay ∈ B, do v y B = X. T c A t i đ i.
0 1
Nh n xét : Ta cũng có th ch ng minh A t i đ i b ng cách ki m tra X A là
a 0
trư ng. Đ ý r ng m i ph n t khác 0 c a X A có d ng +A v i a=0 ;
0 a
1
a 0
và do v y nó có ngh ch đ o là 1 +A
0
a
BÀI T P
1. Cho X là vành và n là s nguyên cho trư c và cho A = {x ∈ X : nx = 0}. Ch ng minh
A X
2. Ch ng minh r ng trong vành giao hoán có đơn v , m i iđêan t i đ i đ u là iđêan nguyên
t .
Ch ng minh r ng trong vành Zn vành các s nguyên modul n, m i iđêan nguyên t đ u
là iđêan t i đ i.
3. Cho các t p các ma tr n c p hai sau :
a 0
X= : a, b ∈ R
0 b
và
0 0
:a∈R
a 0
(a) Ch ng minh r ng X là vành có đơn v (v i hai phép c ng và nhân ma tr n)
(b) Ch ng minh A X và X A là trư ng.
6
- m n
4. Cho vành X = : m, n ∈ Z trong ví d 3 và
n m
m 5n − m
A= : m, n ∈ Z Ch ng minh r ng A là iđêan t i đ i c a X. Tìm
5n − m m
t t c các iđêan t i đ i c a X? Tìm t t c các iđêan nguyên t nhưng không t i đ i c a
X.
a b
5. Cho vành X = : a, b ∈ R trong ví d 4 . Tìm t t c các iđêan t i đ i c a
b a
vành X.
7
nguon tai.lieu . vn
